FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE A.A. 2012/2013 Compito generale 21 Giugno 2013

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1 FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE A.A. 2012/2013 Compito generale 21 Giugno ) Un corpo di massa M = 300 g viene lanciato verso il basso, con velocità in modulo v A = 1 m/s, lungo un piano inclinato di un angolo θ = 60, partendo da un un punto A a quota H = 2.5 m rispetto alla base del piano. Giunto in B, alla base del piano, procede su un tratto orizzontale liscio, fino al punto C. Successivamente, dopo avere percorso il tratto CD orizzontale scabro di lunghezza L = 3 m, con coefficiente di attrito dinamico µ, urta in modo completamente anelastico con un corpo di massa 2M, posto in D. a) Determinare la velocità del corpo di massa M nel punto B (alla base del piano inclinato) e nel punto C (alla fine del tratto orizzontale liscio); b) Determinare il coefficiente di attrito µ, tale che la velocità del corpo di massa M nel punto D, immediatamente prima dell urto, sia pari ad 1/3 della sua velocità in C; c) Facoltativo: Determinare la velocità dei due corpi immediatamente dopo l urto ed il tempo impiegato per raggiungere il suolo e la distanza orizzontale percorsa, supponendo che il punto D si trovi su un gradino di altezza h = 20 cm, come mostrato in figura. 2) Un cubo di lato L=0.15 m ha una cavità vuota al proprio interno, pari ad 1/5 del suo volume e la densità del materiale di cui è costituito è pari alla metà di quella dell acqua. Il cubo, completamente immerso in una vasca piena d acqua, è trattenuto con una fune, ancorata al fondo della vasca. a) Calcolare la spinta di Archimede e la tensione della fune, specificando modulo, direzione e verso; b) Supposto di tagliare la fune, calcolare il volume di corpo immerso in acqua dopo che il corpo ha raggiunto una condizione di equilibrio di galleggiamento. 3) Una lamina piana, infinitamente estesa, uniformemente carica con densità superficiale σ = C/m 2, è posta nel piano (x,y), passante per l origine O di un sistema d assi (x,y,z). Nel punto A del semiasse positivo z, è fissata una carica Q = C, a distanza OA= 4m dalla lamina. Si determinino: a) gli eventuali punti dell asse z in cui il campo elettrostatico totale è nullo. b) il lavoro totale compiuto dalle forze elettrostatiche per spostare la carica q, q = C, dal punto B al punto C lungo il semiasse positivo z, sapendo che OB ed OC sono rispettivamente 6 m e 8 m. [Note: ε 0 = C 2 /Nm 2 ] x z C B + Q A O +σ y 4) Due moli di un gas perfetto biatomico compiono il ciclo A B C A costituito dalle seguenti trasformazioni reversibili: A B isobara con V B = 2V A, B C isocora con p C = (1/4) p B, C A trasformazione in cui la pressione aumenta linearmente fino a p A, mentre il volume decresce da V C fino a V A. Inoltre p A = 4 atmosfere e V A = 2 litri. a) Si rappresentino le tre trasformazioni in un diagramma (V, p) e si calcolino le temperature di A, B e C; la quantità di calore totale scambiata e il lavoro compiuto dal gas nell intero ciclo. b) Si calcoli la variazione di energia interna del gas per le trasformazioni A B C e per le trasformazioni A B C, dove A B è isoterma e B C isocora. c) Facoltativo: Si calcoli il rendimento per il ciclo A B C A [Nota: 8.31 J/Kmole =0.082 l atm /K mol] SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE I PROCEDIMENTI. SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. NON SCORDARE LE UNITA` DI MISURA. Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega,

2 SOLUZIONE ESERCIZIO MECCANICA a) La velocità in B si ottiene applicando la conservazione dell energia meccanica: La velocità in C è a stessa in B, non essendoci attrito ed essendo il piano orizzontale. b) Per il Teorema lavoro-energia cinetica, il lavoro della forza di attrito tra C e D è pari alla variazione di energia cinetica: FACOLTATIVO: La velocità V dopo l urto anelastico si ottiene applicando la conservazione della quantità di moto: Il tempo impiegato per raggiungere il suolo si ottiene dalla legge oraria lungo y (moto uniformemente accelerato) : La distanza orizzontale percorsa è pari a: x = Vt = 0.79 m/s x 0.2 s = m

3 SOLUZIONE ESERCIZIO FLUIDI a) La spinta di Archimede è pari al peso di fluido spostato ed è diretta verso l alto, in verso opposto alla forza peso del corpo e alla tensione della fune. Essendo il corpo completamente immerso in acqua si ottiene: F A = m f g = r f Vg = r f L 3 g = 10 3 (0.15) N = 33.1 N La tensione della fune si ottiene dal bilancio delle forze: a) Tagliata la fune, il corpo risale in superficie. Il volume di corpo immerso di ottiene dal bilancio fra la forza peso del corpo e la spinta di Archimede:

4 SOLUZIONE ESERCIZIO ELETTROSTATICA a) Il campo elettrostatico creato dalla lamina è in ogni punto perpendicolare alla lamina, uscente dalla lamina ed ha modulo /E lamina / = σ / 2ε 0. Indicato con k il versore dell asse z, il campo elettrostatico creato dalla lamina è E lamina = (σ / 2ε 0 ) (k) ( per z>0 ) ed E lamina = (σ / 2ε 0 ) (-k ) ( per z<0 ). Nei punti dell asse z il campo creato dalla carica Q è parallelo all asse z, uscente dalla carica Q, ed ha modulo /E Q / = KQ/ (z-4) 2. E pertanto E Q = KQ/ (z-4) 2 ( k) ( per z>4 ) ed E Q = KQ/ (z-4) 2 (- k) per ( per z<4 ), dove K = 1/ 4 π ε 0. I punti dell asse z in cui il campo elettrostatico totale può essere nullo sono quelli compresi tra O ed A ( 0< z <4) in quanto solo in questo tratto il campo creato dalla lamina e quello creato dalla carica Q sono paralleli ed hanno verso opposto. Per z>4 e z<0 i due campi sono invece paralleli ed equiversi. Il campo totale sarà nullo nel punto P, a quota z (con 0<z<4), in cui i moduli dei due campi sono uguali. Si ha quindi: (σ / 2ε 0 ) = KQ/ (z-4) 2. Sostituiti i valori numerici e risolta l equazione di secondo grado in z, si ottengono due soluzioni delle quali solo una è accettabile in quanto minore di 4, ed è z= 3.72m. b) Il lavoro compiuto dalle forze elettrostatiche esercitate dalla lamina e dalla carica Q mentre q si sposta da B a C sono rispettivamente: L lamina = q (σ / 2ε 0 ) ( BC) = 0, J L Q = U (B) U (C) = Kq Q ( 1/ AB -1/ AC) = 0, J Il lavoro totale è quindi L = 0, J

5 SOLUZIONE ESERCIZIO TERMODINAMICA a) p A B C V T A = p A V A /nr = K T B = p B V B /nr = p A 2V A /nr = 2 T A = K T C = p C V C /nr = (1/4) p A 2V A /nr = (1/2) T A = K Il Lavoro compiuto dal gas nell intero ciclo è L = L AB + L BC + L CA, ed è uguale all area del triangolo ABC. L CICLO = (V B - V A ) (p B - p C ) / 2 = ( 3/8) p A V A = 303 J Q CICLO = L CICLO = 303 J b) ΔE ABC : poichè E è una funzione di stato ΔE ABC = ΔE AC = n c V (T C - T A ) = J (c V = (5/2) R ) Inoltre ΔE AB C = ΔE ABC = J c) Facoltativo Il rendimento ρ = L CICLO / Q assorbito CICLO. Le quantità di calore scambiate dal gas nelle trasformazioni del ciclo sono : Q AB = n c p (T B - T A ) = n ( 7/2) R T A = ( 7/2) p A V A = 2828 J, positiva quindi assorbita Q BC = n c V (T C - T B ) = n ( 5/2) R ( -3/2)T A = ( - 15/4) p A V A = J, ceduta Q CA = Q CICLO - Q AB - Q BC = 505 J assorbita Q assorbito CICLO = 3333J e ρ = L CICLO / Q assorbito CICLO = 303/ 3333 = 0,09