Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A

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1 Prova scritta di Controlli Automatici Compito A 2 Aprile 2007 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare quali sono le affermazioni vere. 1. Si considerino due funzion f(t) eg(t) e si indichino con F (s) e le loro trasformata di Laplace L[f(t)] e L[g(t)]. L[ f(t)] = sf (s) y L[ f(t)] = F (s) s y L[3f(t)g(t)] = 3F (s) Commento. L argomento della domanda riguarda la Trasformata di Laplace dei segnali nel dominio del tempo (Approfondimento: Cap. 2.1 pag. 38 del libro di testo), e la trasfomata della derivata (Approfondimento: Cap. 2.1 pag. 45 del libro di testo) In particolare: Applicando le proprietà della trasformata di Laplace della derivata, si ottiene che la prima risposta è errata, in quanto L[ f(t)] = s 2 F (s) sf(0) df, t=0 Applicando la propietà della trasformata dell integrale si ottiene che la seconda risposta è corretta. Applicando la proprietà di linearità si ottiene che la terza risposta è corretta. 2. Si consideri un sistema descritto da una funzione di trasferimento. L andamento asintotico dei modi di tale sistema: dt y Dipende solo dai poli del sistema y È legata alla stabilità del sistema Se il sistema ha almeno uno zero, allora almeno un modo èdivergente 1

2 Commento. L argomento della domanda riguarda la relazione tra i modi e i poli di un sistema, e le sue caratteristiche di stabilità. In particolare, i modi di un sistema corrispondono alla antitrasformata dell uscita della risposta ad un ingresso impulsivo (e quindi la seconda risposta è corretta). Attraverso il metodo di antitrasformazione mediante fratti semplici, è possibile mostrare che a ciascun polo corrisponde un modo (e quindi la prima risposta è corretta), mentre l andamento asintotico dei modi non dipende dagli zeri del sistema (e quindi la terza risposta è errata). 3. Si consideri un sistema elementare del secondo ordine descritto da dove k>0 = k s 2 2s 10 y All aumentare di k i poli del sistema rimangono invariati All aumentare di k la massima sovraelongazione percentuale della risposta del sistema a un gradino unitario aumenta y Il tempo di assestamento della risposta del sistema a un gradino unitario rimane invariata all aumentare di k Commento. L argomento della domanda riguarda lo studio dell andamento della risposta dei sistemi elementari del secondo ordine (Approfondimento: Cap. 2.4 pag. 64 del libro di testo). I poli del sistema non dipendono dal numeratore k (si faccia attenzione, il sistema NON èconsiderato in retroazione, caso nel quale la posizione dei poli del sistema retroazionato dipendono da k), e quindi la prima risposta è corretta. Ancora, siccome la massima sovraelongazione percentuale e il tempo di assestamento dipendono solo dai poli del sistema e non dagli zeri (numeratore), la seconda affermazione èerrataelaterzaè corretta. 4. Si consideri il seguente sistema chiuso in retroazione dove = 3s2 s1. Il diagramma completo di Nyquist del guadagno d anello circonda il punto 1j0 y Il diagramma di Nyquist del guadagno d anello del sistema chiuso in retroazione è uguale a quello della funzione di risposta armonicaassociataa Secondo il criterio di Nyquist, il sistema chiuso in retroazione è instabile 2

3 Commento. L argomento della domanda riguarda l applicazione del criterio di Nyquist alla analisi di stabilità dei sistemi dinamici lineari chiusi in retroazione. In particolare, il criterio ci consente di determinare la stabilità del sistema chiuso in retroazione a partire dalla analisi del diagramma polare del sistema in catena aperta. Nel caso in esempio la funzione in catena aperta (guadagno di anello) vale (Approfondimento: Cap. 4.5, pag. 143 del libro di testo). Il calcolo del diagramma di Nyquist puè essere semplicemente portato avanti considerando la funzione di risposta armonica associa al sistema, G(jω) = 3jω2 jω1 e valutando che per lim ω 0 G(jω) = 2, e lim ω G(jω) =3, con fase iniziale e finale nulla. Il diagramma completo di Nyquist è raffigurato nella figura seguente 1 Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis Quindi la prima affermazione è errata, la seconda è corretta (la funzione di risposta armonica associata a è esattamente il guadagno d anello del sistema chiuso in retroazione.) e la terza è errata (la terza proposizione equivale alla prima per il teorema di Nyquist) 5. Si consideri un sistema descritto da = 1 gradino di ampiezza 1. s2 e lo si ecciti con un y Il guadagno statico del sistema è0.5 A regime, la risposta del sistema vale 1 I modi del sistema sono limitati ma non convergenti La domanda riguarda la risposta al gradino di un sistema elementare del primo ordine (Approfondimento: Cap. 2.4 pag. 64 del libro di testo). L uscita del sistema vale Y (s) = 1 1 s2 s,con ingresso a gradino U(s) = 1 s. Il guadagno statico, definito come il lim s 0 = 1 2,è effettivamente 0.5, e quindi la prima affermazione è corretta. In base al teorema del valor finale lim t = y(t) = lim s 0 s 1 1 s2 s = 1 2, e quindi la seconda risposta éerrata. Il sistema ha un solo polo in p 1 = 2, a parte reale strettamente negativa, e quindi il modo corrispondente è asintoticamente convergente, e quindi la terza affermazione è errata. 3

4 6. Si consideri un sistema descritto con un ingresso u(t) e un uscita y(t) e si supponga che il comportamento del sistema sia dato da ü(t) = y(t) y = Y (s) U(s) = s2 Il sistema non è fisicamente realizzabile L errore a regime in risposta a un gradino unitario u(t) =1è nullo u(s) y(s) La domanda riguarda la trasfomata di Laplace applicata ai sistemi dinamici lineari (Cap. 2, pagg. 38 e successive del libro di testo). Applicando il teorema della derivata (pag. 44), si ottiene s 2 U(s) =Y (s), da cui = Y (s) U(s) = s2, e qundi la prima affermazione è corretta. Il grado relativo del sistema, vale a dire la differnze fra il numero di poli n e il numero di zeri m è negativo (n m = 2), per cui il sistema non èfisicamente realizzabile, e quindi la seconda affermazione è errata. In base al teorema del valor finale, l uscita a regime del sistema vale lim t y(t) = lim s 0 ss 2 = 0, per cui e(t) =u(t) y(t) =1 0 = 1per cui la terza affermazione è errata. 7. Si consideri il seguente sistema chiuso in retroazione dove = s1 s3 C(s) e C(s) = 1 s 2 y L errore a regime in risposta a una rampa unitaria è nullo y L errore a regime in risposta a un gradino di ampiezza arbitraria è nullo Per annullare l errore a regime in risposta a un gradino di ampiezza arbitraria è necessario che abbia un polo nell origine La domanda riguarda l uso del teorema del valor finale per il calcolo della risposta a regime di un sistema (approfondimento sul libro di testo Cap. 4.4, pagg. 139 e successive). Il sistema complessivamente da considerare è C(s) = s1 1 s3, ha due poli nell orgine (il sistema s 2 complessivo è quindi di tipo 2), per cui gli errori di posizione e di velocità, e r sono nulli, e quindi la prima e la seconda affermazioni sono corrette. La terza affermazione non è corretta in quanto la funzione C(s) ha due poli nell origine (ne sarebbe sufficiente uno), e quindi non è necessario che sia di tipo 1 (un polo nell origine). 4

5 8. Sia dato un sistema rappresentato da una funzione di trasferimento. Si indichi con F (ω) la funzione di risposta armonica del sistema. F (ω) =G(ω) y La funzione di risposta armonica può venire rappresentata con i diagrammi di Nyquist y I diagrammi di Bode sono equivalenti ai diagrammi di Nyquist La domanda riguarda lo studio della funzione armonica di un sistema dinamico (approfondimento sul libro di testo Cap. 3, pagg. 87 e successive). In base al teorema di pag. 88, la funzione di risposta armonica si ricava dalla funzione di trasferimento per cui si è ristretto il dominio di variabilità della variabile indipendente s alla sola retta immaginaria s = jω, in altre parole F (ω) =G(jω), per cui la prima affermazione è errata. I diagrammi di Nyquist o Diagrammi polari (Cap. 3.5., pag. 109) definiscono una curva nel piano di Gauss al variare del numero complesso G(jω) in funzione della pulsazione ω. Poichè i valori del modulo e dell argomento sono facilmente deducibili sul diagramma polare, tali diagrammmi sono equivalenti ai diagrammi di Bode, e quindi la seconda e terza affermazioni sono corrette. 9. Si consideri una funzione f(t) e si indichi con F (s) la sua trasformata di Laplace Per ottenere il lim t f(t) apartiredaf (s) è necessario antitrasformare F (s) lim t 0 f(t) = lim s sf (s) lim t f(t) = lim s F (s) La domanda riguarda le proprietà della trasformata di Laplace, in particolare il teorema del valore finale (Teorema C2.2.3, pag. 76). In base a tale teorema, è possibile ricavare il valore asintotico lim t f(t) a partire dalla funzione di trasferimento senza ricorre alla antitrasformazione utilizzando l enunciato del teorema: lim t f(t) = lim s 0 sf (s), e quindi tutte le affermazioni sono errate. 10. Si consideri un sistema descritto da = s 3 (s 2 4)(s 2 9)(s 2 16) Il sistema è instabile y I modi del sistema sono limitati ma non convergenti Il sistema è asintoticamente stabile La domanda riguarda le proprietà di stabilità di un sistema in releazione al valore dei poli del sistema (approfondimento Cap. 4, pagg. 121 e seguenti). Il sistema ha 3 poli complessi coniugati tutti distinti pari a ±j2, ±j3, ±j4 per cui i corrispondenti modi sono oscillanti (limitati ma non convergenti) e in base al teorema il sistema è semplicemente stabile. 11. Si consideri il sistema rappresentato in figura. Si indichi con G cl (s) la funzione di trasferimento Y (s)/. 5

6 H(s) G cl (s) = H(s) 1 G cl (s) e sempre instabile y Gcl (s) = 1 H(s) La domanda riguarda la riduzione degli schemi a blocchi (approfondimento Cap. 1.2, pagg. 7 e seguenti). La stabilità deve essere studiata in base ai valori assunti dalla funzione, ed in particolare dai suoi poli. In base alle regole di riduzione degli schemi a blocchi, la sola affermazione 3 è corretta. 12. Si consideri il sistema rappresentato in figura, dove k>0 K y Il luogo delle radici consente di studiare i poli del sistema chiuso in retroazione al variare di k da 0 a y Se = 1 s2 il sistema chiuso in retroazione è asintoticamente stabile per ogni valore di k Se = 1 s 2 allora il sistema chiuso in retroazione è instabile per ogni valore di k 6

7 La domanda riguarda il metodo del luogo delle radici per il progetto del controllore. (approfondimento Cap. 5, pagg. 173 e seguenti). La prima affermazione è corretta in quanto corrisponde alla definizione del luogo delle radici. La seconda affermazione è corretta in quanto, disegnando il luogo delle radici, esso rimane sempre nel semipiano reale negativo del piano di Gauss. Im(s) X 2 Re(s) la terza affermazione è errata, in quanto il luogo delle radici attraversa l asse immaginario, per cui il sistema passa da instabilea stabile. Im(s) X 2 Re(s). 7