Incertezza, assicurazioni, deterrenza

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1 Incertezza, assicurazioni, deterrenza (anche questo è adattato da altri pezzi per mancanza di tempo) Scelta sotto incertezza come scelta tra lotterie L esperienza ci insegna che in generale le conseguenze delle nostre scelte non ci sono perfettamente note nel momento della decisione: qualche malattia potrebbe impedirmi di lavorare tanto quanto avevo programmato; qualche evento esterno, per esempio climatico o tecnologico, potrebbe alterare il profitto che posso ottenere dalla mia attività; in futuro i prezzi dei beni, e quindi le mie possibilità di consumo, potrebbero rivelarsi diversi da quelli che avevo previsto. Come si vede, l incertezza relativa alla scelta può dipendere da varie circostanze. Tuttavia, il problema può essere impostato in modo semplificato. Anzitutto le varie fonti di incertezza possono essere ricondotte all unico caso generale in cui incerte sono le conseguenze delle scelte. Inoltre, le diverse forme di incertezza analizzate sopra possono essere rappresentate in termini di incertezza sulla somma monetaria di cui posso venire in possesso dopo aver rinunciato a qualcosa il cui valore monetario è invece certo. Ciò significa che possiamo pensare alla scelta sotto incertezza come scelta fra diverse lotterie. Se si accetta la semplificazione proposta sopra, il comportamento di scelta di fronte ad un mondo incerto consiste sostanzialmente nello scegliere tra diverse lotterie alternative, ciascuna delle quali ha caratteristiche diverse, cioè prezzi di partecipazione e premi potenziali diversi. L insieme di scelta di chi prende una decisione, dunque, è costituito dalle lotterie disponibili, il vincolo alla scelta potrebbe essere pensato come l ammontare di risorse che si possono impegnare nella partecipazione alle diverse lotterie e l informazione consiste nella conoscenza delle caratteristiche delle lotterie disponibili. La descrizione delle conseguenze delle lotterie e il loro ordinamento saranno gli aspetti nuovi che ci impegneranno in questo capitolo. Definiti questi aspetti, la scelta consisterà nel selezionare la lotteria preferita fra quelle disponibili. Per semplificare ulteriormente le cose, supporremo che le lotterie disponibili siano solo due. Gli esiti di una lotteria possono essere rappresentati per mezzo di variabili casuali. Consideriamo, per esempio, le conseguenze di una puntata di x euro su un singolo numero alla roulette: se esce quel numero si vince 36 volte la posta, altrimenti non si vince nulla. Tale conseguenza può essere descritta tramite una variabile casuale che assume valore zero con probabilità 36/37, e valore 36x con probabilità 1/37 (si rammenti che può uscire anche il numero zero). Un altro esempio è la scommessa di x euro sul fatto che esca croce nel lancio di una moneta: se esce croce si vince il doppio della puntata, altrimenti si perde tutto. Se la moneta non è truccata, la conseguenza è una variabile casuale che vale 2x con probabilità ½ e zero con probabilità ½. Più in generale, una lotteria è caratterizzata da un costo di partecipazione x e da esiti che prendono la forma di diverse somme monetarie alternative, ciascuna con una sua probabilità. Esempi di lotterie importanti in economia possono essere i seguenti. Un progetto di investimento è caratterizzato da un costo iniziale, usualmente noto con certezza, e da possibili rendimenti futuri alternativi, alti o bassi, che potranno dipendere da varie circostanze non ancora note. La semina di un cereale ha le stesse caratteristiche, poiché il profitto che se ne potrà ottenere dipenderà dal clima durante l anno. Anche il profitto ottenibile da un attività industriale è soggetto a incertezza, per esempio a causa di possibili problemi di produzione. La guida di un autoveicolo potrà causare danni più o meno gravi a sé o ad altri, solitamente quantificati in termini monetari. L acquisto di un titolo in borsa ha le medesime caratteristiche, perché se ne conosce il prezzo di acquisto odierno, ma il prezzo futuro di realizzo è incerto. Interessante potrà essere più avanti anche il seguente esempio. Supponiamo che la qualità di un bene che vorrei comprare non mi sia nota, perché non tutti gli esemplari esistenti di quel bene, pur somigliandosi esteriormente, sono tra loro uguali. Supponiamo inoltre che io riesca ad attribuire valori monetari diversi alle diverse qualità, cioè supponiamo che io sia disposto a pagare prezzi diversi per i diversi benefici che le varie qualità mi arrecano. Anche l acquisto di un bene di qualità incerta, dunque, può essere rappresentato come una lotteria. Una prima caratteristica sintetica di una variabile casuale è il suo valore atteso, che si calcola moltiplicando ciascuno dei possibili esiti per la sua probabilità, e poi sommando tutti questi prodotti. Il valore atteso di una variabile casuale è una stima sintetica dell esito che ci si aspetta di poter osservare. Nel caso di una lotteria, gli esiti sono somme monetarie, per cui parleremo di valore monetario atteso o vincita monetaria attesa della lotteria. Se la lotteria è quella descritta nel precedente esempio della roulette, il valore monetario atteso è 0 (36/37) + 36x (1/37) = (36/37) x. Nel caso della moneta non truccata il valore monetario atteso della

2 lotteria è pari a 0 (1/2) + 2x (1/2) = x. Una lotteria si dice equa se il suo valore monetario atteso è pari al costo di partecipazione. La puntata alla roulette, per esempio, non è una lotteria equa, mentre lo è la scommessa sulla moneta non truccata. La maggior parte delle lotterie effettivamente esistenti non è equa, perché altrimenti i suoi organizzatori non ne ricaverebbero alcun beneficio. Una seconda caratteristica molto importante di una variabile casuale è la variabilità dei suoi possibili valori rispetto al valore atteso. Tale caratteristica è misurabile tramite la varianza della variabile casuale, definita come media degli scostamenti dei diversi possibili esiti dal valore atteso, elevati al quadrato. La varianza misura in qualche modo il rischio connesso con la variabile casuale. Se quest ultima può assumere solo valori molto vicini tra loro, la media sarà essa stessa vicina a quei valori e gli scostamenti dalla media saranno piccoli. Se la variabile casuale, quindi, descrive gli esiti di una lotteria, quando la varianza è piccola la lotteria presenta un rischio basso: posso vincere somme tutte molto vicine al valore monetario atteso. Il contrario accade per una variabile che può assumere valori tra loro molto diversi, cosicché la varianza è grande. In questo caso la variabile casuale rappresenta gli esiti di una lotteria caratterizzata da un rischio elevato: posso vincere somme molto più alte, ma anche molto più basse, del valore monetario atteso. Siccome poi partecipare alla lotteria ha un prezzo, quando la lotteria ha varianza elevata posso sì guadagnare molto ma posso anche perdere molto. Lotterie caratterizzate da gradi diversi di rischiosità, cioè da varianza diversa, per alcuni soggetti possono non essere tra loro equivalenti pur avendo il medesimo valore monetario atteso. Si noti che possiamo avere, come caso particolare, variabili casuali che in realtà coincidono con eventi certi. In questo caso uno degli esiti, quello certo, ha probabilità pari ad uno, mentre tutti gli altri hanno probabilità pari a zero. Si tratta ovviamente di un artificio, ma l artificio è utile perché mostra che un evento certo può essere rappresentato come un caso particolare di variabile casuale. È facile calcolare che una variabile certa ha valore atteso pari al suo unico esito possibile, e ha varianza pari a zero, cioè comporta un rischio nullo, coerentemente con la nostra interpretazione della varianza. Ciò posto, la scelta sotto incertezza diventa una scelta tra lotterie alternative, ciascuna caratterizzata da un valore atteso ed una varianza. Nell insieme di scelta appariranno anche lotterie degenerate, cioè somme monetarie certe, e ciò potrà essere molto utile per comprendere meglio il processo di scelta. Per esempio, la scelta se partecipare o meno alla scommessa sul lancio di una moneta non truccata, con costo x e premio 2x, può essere reinterpretata come scelta fra due lotterie: quella appena descritta, nel caso in cui si scommetta effettivamente, e quella coincidente con l avere x euro in tasca con certezza nel caso in cui non si scommetta. A questo punto occorre rivolgere l attenzione all ordinamento di preferenza fra le diverse lotterie. Atteggiamenti nei confronti del rischio, utilità, utilità attesa A prima vista potrebbe apparire che il confronto fra lotterie possa avvenire sulla base dei soli valori monetari attesi: un valore monetario atteso, cioè un aspettativa di vincita, maggiore dovrebbe essere preferibile ad uno minore. Abbiamo già osservato, però, che anche il rischio costituisce un importante elemento di valutazione. Alcune persone, infatti, potrebbero essere molto caute e preferire un valore monetario atteso più basso, purché il rischio sia limitato, mentre altre persone potrebbe amare l azzardo. Di fronte a prospettive incerte alcuni soggetti si sentono timorosi, mentre altri, amanti dell azzardo, potrebbero invece entusiasmarsi: soggetti diversi hanno attitudini diverse nei confronti del rischio, manifestando una maggiore o minore propensione nei suoi confronti. La definizione di avversione al rischio che adottiamo è piuttosto intuitiva: un individuo è avverso al rischio se, di fronte a due lotterie che hanno uguale valore monetario atteso, sceglie sempre quella caratterizzata da minore rischio, ovvero minore varianza. In caso contrario diremo che quell individuo è propenso al rischio. Infine, è neutrale nei confronti del rischio chi è indifferente fra lotterie con uguale valore atteso monetario, anche se hanno varianza diversa. Cerchiamo ora di ottenere qualcosa di meno intuitivo. Quando si parla p. es. della scelta del consumatore, si dice che ciò che conta non è ciò di cui un individuo dispone, beni o danaro, ma il benessere o soddisfazione che egli ottiene da ciò di cui dispone. Nel caso di lotterie con vincite monetarie, non è la vincita in sé che rileva, ma la soddisfazione che un individuo ottiene da quella vincita. Qui utilizzeremo esplicitamente il concetto di funzione di utilità. Si tratta di una funzione che assegna indicatori numerici di soddisfazione alle diverse possibili conseguenze delle scelte. Poiché nel caso di scelta tra lotterie le conseguenze sono somme monetarie, ipotizzeremo l esistenza di una funzione di utilità la cui variabile indipendente sono le diverse somme monetarie potenzialmente disponibili: ad ogni somma

3 monetaria corrisponde un ammontare di soddisfazione, misurato da questa funzione. Ovviamente la relazione deve essere crescente, cioè al crescere della somma monetaria l utilità aumenta. L ipotesi di utilità crescente è illustrata nelle Fig. 1a e 1b. In entrambi i casi l utilità aumenta al crescere delle somme monetarie, tuttavia nel primo caso la relazione è concava, mentre nel secondo caso la relazione è convessa. Il significato economico della concavità, per esempio, è che quanto più grande è la somma che il signor Rossi già possiede, tanto più piccola è l utilità addizionale che egli ottiene da un euro addizionale. Ciò ricorda l ipotesi che abbiamo adottato nel capitolo precedente, e che allora giustificava la forma convessa delle curve di indifferenza: il possedere quantità maggiori di un certo bene rende le unità aggiuntive meno appetibili. Ma un soggetto potrebbe anche avere preferenze diverse da queste, come per esempio il signor Neri della Fig. 1b, la cui funzione di utilità è convessa. Non si può neppure escludere, infine, che un soggetto abbia una funzione di utilità lineare, cioè rappresentata da una retta. Figura 1 Due tipi di utilità delle somme monetarie di Rossi (a) di Neri (b) 0 Somma 0 Somma monetaria monetaria Data questa descrizione del benessere ottenibile da somme monetarie alternative, possiamo ora affrontare il problema dell ordinamento delle lotterie. Ogni lotteria dà luogo ad una variabile casuale che consiste in varie somme monetarie alternative, ciascuna ottenibile con una certa probabilità. Da ciò consegue che chi partecipa alla lotteria può ottenere diversi livelli di utilità, ciascuno con una certa probabilità. Il suggerimento offerto dagli studiosi della scelta sotto incertezza è allora il seguente. Si consideri una lotteria e si valuti, tramite la funzione di utilità del consumatore, l utilità che egli otterrebbe in corrispondenza di ogni possibile esito della lotteria. Si calcoli poi il valore atteso, cioè la media, di queste utilità, usando come pesi proprio le probabilità dei diversi esiti. Il risultato di questa operazione è chiamato utilità attesa della lotteria, vale a dire è il valore atteso delle diverse possibili utilità. Si osservi quindi che l utilità attesa della lotteria si calcola come media di valori della grandezza rappresentata sull asse verticale del grafico, l utilità, e si dovrà rappresentarla sul medesimo asse. Il valore monetario atteso, invece, si calcola come media delle somme monetarie, rappresentate sull asse orizzontale del grafico. L utilità attesa, dunque, è un indicatore numerico del benessere fornito dalla lotteria in questione. Poiché ordinare i numeri è facile, chi deve prendere una decisione può scegliere, fra diverse lotterie alternative, quella caratterizzata dall utilità attesa più alta. Se si prende una decisione in questo modo, si dice che ci si comporta secondo il principio dell utilità attesa, e noi assumeremo che ci si comporti proprio in questo modo. La Fig. 2 illustra alcuni esempi di calcolo dell utilità attesa. Supponiamo di avere tre diverse lotterie, caratterizzate dalle stesse possibili vincite monetarie, una bassa e una alta. Di conseguenza, le due utilità che un dato soggetto può ottenere nei due diversi esiti di ogni lotteria sono le medesime: l utilità B, se la vincita monetaria è quella bassa, e l utilità A, se la vincita monetaria è quella alta. Ovviamente A è maggiore di B, come rappresentato nella Fig. 2. La differenza tra le tre lotterie consiste nelle probabilità dei loro possibili esiti: nella prima lotteria la probabilità che si verifichi la vincita monetaria alta, e che quindi l utilità ottenuta sia A, è ¼ (dunque la probabilità di ottenere l utilità B è ¾); nella seconda lotteria la probabilità dell esito migliore è ½; nella terza lotteria infine tale probabilità è ¾. Di conseguenza, l utilità attesa, cioè la media delle possibili utilità, è diversa nei tre casi. Nella prima lotteria, dove la probabilità dell esito peggiore è più grande, l utilità attesa UA 1 si situa più vicino a B (per la precisione a un quarto di strada fra B e A); nella

4 seconda lotteria l utilità attesa UA 2 è proprio a metà strada fra A e B; nella terza lotteria l utilità attesa UA 3 è più vicina ad A (a tre quarti di strada fra B e A). Figura 2 Se cambiano le probabilità cambia l utilità attesa O B O UA 1 UA 2 UA 3 A Naturalmente un soggetto che si comporta secondo il principio dell utilità attesa sceglie la terza lotteria, che ha utilità attesa più alta. Ma questa semplice osservazione non esaurisce ciò che abbiamo da dire sulla scelta sotto incertezza. Per collegare in modo semplice le definizioni di avversione e propensione al rischio con il principio dell utilità attesa conviene considerare inizialmente la scelta fra coppie di lotterie di uguale valore monetario atteso quando una delle due lotterie sia in realtà un evento certo. Il caso più semplice è la scelta se partecipare o meno ad una lotteria equa. In questo caso la scelta di non partecipare implica che alla fine avremo in tasca per certo il costo di partecipazione x: se non partecipiamo alla scommessa possiamo godere sicuramente della somma x che abbiamo risparmiato. Possiamo anche dire che la scelta di non partecipare ci promette un valore monetario atteso pari a x, in quanto si tratta del valore atteso di una variabile in realtà certa il cui valore è x. La partecipazione, invece, implica esiti incerti, ma con un valore monetario atteso esattamente pari al costo di partecipazione, essendo la lotteria equa. I valori monetari attesi delle due scelte sono dunque uguali, ma la varianza è diversa: non partecipare implica una varianza nulla, mentre partecipare implica una varianza positiva. Studiamo il problema secondo il principio dell utilità attesa. Figura 3 Avversione al rischio U(OA) U(OX) UA = ½U(OA) + ½U(OB) U(OB) 0 B X A Somme monetarie Consideriamo un soggetto che abbia una funzione di utilità concava. Supponiamo che costui possa scegliere se partecipare ad una lotteria equa i cui due esiti monetari, alto e basso, sono indicati come al solito come OA e OB. Il valore monetario atteso, OX, si situa a metà strada fra OB e OA poiché ipotizziamo che le probabilità dei due esiti siano ½; e OX è anche il costo di partecipazione alla lotteria. Questa situazione è illustrata nella Fig. 3. Se il nostro soggetto decide di non partecipare, risparmia OX euro, che si ritrova in tasca per certo e che gli garantiscono un utilità pari a U(OX), come vediamo dalla figura. Se invece decide di partecipare, il nostro decisore potrà ottenere due diversi livelli di utilità, ciascuno con probabilità ½, a seconda dell esito monetario. Se la vincita monetaria è quella più alta, l utilità ottenuta sarà U(OA), altrimenti sarà U(OB). Questi due livelli di utilità sono indicati in ordinata nella Fig. 3. Ciò che conta ai fini della decisione, tuttavia, è l utilità attesa UA, cioè la media fra U(OA) e U(OB): siccome le probabilità di ottenere questi due livelli di utilità sono pari a ½, l utilità attesa si trova a metà strada fra i due (in verticale!), e corrisponde all altezza della linea continua riportata in figura. Siccome l utilità attesa di partecipare alla lotteria, UA, è chiaramente inferiore all utilità di non partecipare, U(OX), questo soggetto decide di non partecipare. Ne segue che un soggetto la cui funzione di utilità è concava è avverso al rischio, perché fra le due alternative di uguale valore monetario atteso preferisce quella di minor varianza. La scelta di non partecipare, infatti, dà luogo ad un esito certo, la cui varianza è zero, mentre la lotteria ha varianza positiva in quanto i due possibili esiti sono discostati dal valore monetario atteso.

5 Consideriamo invece ora il caso di un individuo che abbia una funzione di utilità convessa. Gli altri dati del problema sono gli stessi di prima. La Fig. 4 illustra questa situazione, e se ne può agevolmente ricavare che in questo caso U(OX) è inferiore a UA. Il nostro individuo, dunque, sceglie di partecipare alla lotteria, perché ciò gli fornisce un utilità attesa maggiore. Questo è il caso di propensione al rischio: il soggetto preferisce la prospettiva con maggiore varianza. Una situazione esattamente intermedia fra le due precedenti sarà caratterizzata da una funzione di utilità né concava né convessa. Il grafico di questa funzione di utilità sarà una linea retta, e in tal caso chi deve decidere sarà indifferente fra le due alternative in esame. Costui è neutrale nei confronti del rischio, cioè guarda solo al valore monetario atteso delle due lotterie senza preoccuparsi della maggiore o minore varianza. U(OA) Figura 4 Propensione al rischio U(OX) U(OB) 0 B X A UA= ½U(OA) + ½U(OB) Somme monetarie Un modo alternativo per rappresentare il fatto che un soggetto è avverso o propenso al rischio è valutare quanto sarebbe disposto a pagare (se avverso), prenderebbe di incassare (se propenso) per privarsi del rischio: pagare e incassare sono da intendersi in termini di valore monetario atteso. Conderiamo nuovamente la situazione di un avverso al rischio. U(OA) Figura 3bis Avversione al, e premio per il, rischio UA = ½U(OA) + ½U(OB) U(OB) Premio per il rischio 0 B EC X A Somme monetarie Di fronte alla solita lotteria con esiti possibili B e A, ciascuno di probabilità ½ sempre per semplicità (e dunque il valore monetario atteso è X), l utilità attesa è UA. Ci chiediamo ora qual è il valore monetario certo che darebbe a questo soggetto la medesima utilità (attesa) della lotteria: si tratta ovviamente del valore EC, che è detto equivalente certo della lotteria in questione. Se questo soggetto potesse disporre di quel valore starebbe altrettanto bene di quanto sta disponendo della lotteria; in altri termini, sarebbe disposto a rinunciare ad un ammontare di valore atteso monetario pari a (X EC), a patto che EC sia certo (una prospettiva il cui valore atteso è EC stesso). La differenza (X EC) si chiama premio per il rischio: è, appunto, una misura di quanto quel soggetto è disposto a pagare per essere privato dell incertezza. Si lascia a voi di verificare che per un propenso al rischio di fronte alla medesima lotteria il valore EC sarebbe a

6 destra di X, e dunque la differenza (X EC) avrebbe il segno opposto: costui pretenderebbe di incassare questa differenza per doversi privare del rischio. Si potrebbe sospettare che i risultati ottenuti sopra siano validi solo perché l alternativa alla prospettiva incerta è un evento certo. Da ciò potremmo dedurre, per esempio, che un soggetto avverso al rischio è semplicemente uno che preferisce solo le prospettive certe, ma in realtà le definizioni che abbiamo dato all inizio di questo paragrafo, che vi preghiamo di andare a rileggere, sono valide in generale. Per capire questo punto ci limitiamo al caso dell avversione al rischio, e ricorriamo alla Fig. 5. Qui un soggetto caratterizzato da una funzione di utilità concava si trova di fronte a due diverse lotterie con uguale vincita monetaria attesa: la prima ha come esiti possibili OA 1 e OB 1, la seconda ha esiti OA 2 e OB 2 ed in entrambe le lotterie le probabilità degli esiti sono pari a ½. Evidentemente la prima lotteria ha varianza maggiore della seconda, perché i suoi esiti sono più lontani, rispetto alla seconda, dal valore atteso. Figura 5 Due lotterie diverse U(OA 1 ) U(OA 2 ) U(OB 2 ) L 2 L 1 U(OB 1 ) O B 1 B 2 A 2 A 1 Somme monetarie Ciò che conta per chi deve decidere è l utilità attesa. Siccome la probabilità degli esiti in entrambe le lotterie è pari a ½, l utilità attesa di ciascuna di esse si situa esattamente a metà strada fra le utilità dei due diversi esiti a cui esse possono condurre. Dunque l utilità attesa della prima lotteria è L 1, media fra U(OA 1 ) e U(OB 1 ), mentre l utilità attesa della seconda lotteria è L 2, media fra U(OA 2 ) e U(OB 2 ). La prima lotteria implica per il decisore un utilità attesa inferiore rispetto alla seconda: quest ultima, che ha varianza più bassa, sarà dunque preferita alla prima, e ciò significa avversione al rischio. Resta dunque confermato che un soggetto la cui funzione di utilità è concava è anche avverso al rischio. Poiché un soggetto avverso al rischio ha una funzione di utilità concava, potremmo pensare che una funzione di utilità più concava, cioè caratterizzata da una curvatura più pronunciata, implichi una maggiore avversione al rischio. Questa ipotesi è in un certo senso corretta, ma non la approfondiamo in questa sede. Possiamo solo affermare che la curvatura della funzione di utilità è un indicatore dell attitudine al rischio. Più la curva è concava, più il soggetto è avverso al rischio; se la curva è meno concava, lineare, o addirittura convessa, il soggetto è meno avverso, neutrale, o addirittura propenso nei confronti del rischio. Per concludere, accettando il principio dell utilità attesa abbiamo potuto giustificare rigorosamente un ipotesi abbastanza ragionevole: un individuo avverso al rischio sceglierà, fra diverse lotterie di uguale valore monetario atteso, quella caratterizzata da minor incertezza, cioè da minore varianza. Dunque, il fatto che oggi esista una gran quantità di persone che si dedicano a fare scommesse e a comprare biglietti di lotterie (e sappiamo che non si tratta di lotterie eque) può, al punto attuale della nostra analisi, essere interpretato in un solo modo: se sono persone che agiscono secondo il principio dell utilità attesa e sanno valutare correttamente le opzioni a loro disposizione, si tratta di persone amanti del rischio. Assicurarsi o correre il rischio? Il signor Rossi possiede un appezzamento di terreno e sa che mettendolo a coltura potrebbe ottenere un certo profitto, che è dato dalla differenza tra ricavi e costi. Il profitto sarà alto se il clima sarà favorevole, e basso nel caso contrario. Supponiamo che la probabilità di un clima favorevole sia ½. Rossi, dunque, è incerto sul risultato finale della sua attività, ma d altra parte questo è l unico modo per ottenere un reddito. Rossi,

7 quindi, non potrà astenersi dal coltivare il suo appezzamento. Un giorno arriva il signor Verdi, che è un assicuratore, il quale propone a Rossi questo contratto: Rossi pagherà a Verdi ogni anno una somma, che si chiama premio assicurativo, pari alla metà della differenza fra il profitto alto e il profitto basso. Nel caso di un annata sfavorevole per il raccolto, Verdi pagherà a Rossi come risarcimento tutta la differenza fra profitto alto e profitto basso. Rossi deciderà di assicurarsi? Se A è il profitto alto e B il profitto basso, quando Rossi non si assicura può aspettarsi di avere in media ogni anno una somma pari a ½ A + ½ B = ½ (A + B). Cosa accade se Rossi si assicura? Se le cose vanno male, egli ottiene il profitto basso, riceve il risarcimento e paga il premio, cioè ottiene il reddito B + (A B) ½ (A B) = ½ (A + B). Se le cose vanno bene, invece, Rossi riceve il profitto alto e paga il premio, cioè ottiene il reddito A ½ (A B) = ½ (A + B). Allora, poiché in entrambi i casi Rossi riceve ½ (A + B), se si assicura egli può contare ogni anno su un reddito certo pari a tale valore. Rossi quindi si trova a scegliere tra due lotterie con lo stesso valore monetario atteso ma con una diversa varianza, perché l esito di una delle due lotterie, quella che consiste nell accettare l assicurazione, è certo. Dunque, se Rossi è avverso al rischio preferisce assicurarsi, e rinuncia ad assicurarsi se è propenso al rischio. Come già sappiamo, se Rossi è avverso al rischio accetterà di assicurarsi non solo quando gli si promette un reddito costante, ma anche quando gli si propone un qualsiasi contratto caratterizzato da un premio x e da un risarcimento 2 x, il cui effetto è una riduzione del rischio per Rossi. Si consideri infatti quanto segue. Se non si assicura Rossi può continuare ad avere in media un reddito pari a ½ (A + B). Se Rossi si assicura, quando le cose vanno bene ottiene il profitto alto e paga il premio, cioè ha un reddito pari a A x, e quando le cose vanno male ottiene il profitto basso, riceve il risarcimento e paga il premio, cioè ha un reddito pari a B + 2 x x = B + x. Il valore monetario atteso di questa lotteria, quindi, è ½ (A x) + ½ (B + x) = ½ (A + B). Rossi, dunque, deve scegliere tra due lotterie che hanno lo stesso valore monetario: ma la seconda ha varianza più bassa della prima, visto che i suoi esiti sono più vicino al valore monetario atteso. Se Rossi è avverso al rischio, dunque, deciderà di assicurarsi. Sinora abbiamo appreso che un soggetto avverso al rischio preferisce, se ne ha l opportunità, assicurarsi ed affrontare così una nuova situazione caratterizzata, a parità di valore monetario atteso, da una rischiosità inferiore. Non è detto, però, che tutte le assicurazioni siano eque, cioè non è detto che esse promettano all assicurato lo stesso reddito monetario atteso che egli avrebbe se non si assicurasse. Anzi, usualmente accade che il valore monetario atteso garantito da un assicurazione sia inferiore al valore monetario atteso che si avrebbe se non ci si assicurasse. L assicurazione, infatti, deve pagare i suoi dipendenti e tutti gli altri costi di gestione. Ciò significa che un soggetto avverso al rischio non trova più conveniente assicurarsi? Per studiare questo problema consideriamo la Fig. 6. Il profitto di Rossi è OB se il raccolto è cattivo, il profitto OA se il raccolto è buono e la probabilità che il raccolto sia cattivo è sempre ½. Ora Verdi, l assicuratore, gli propone il seguente contratto: Rossi pagherà a Verdi un premio all inizio dell anno. Se le cose vanno bene la storia finisce qui; se invece il raccolto sarà cattivo Verdi pagherà a Rossi un risarcimento tale che il reddito di Rossi sarà comunque OR, maggiore di OB. In altri termini, Verdi propone a Rossi un risarcimento netto, cioè al netto del premio, pari a BR = OR OB. La domanda che ci poniamo è: qual è il premio massimo che Rossi è disposto a pagare a Verdi? Figura 6 Il massimo premio assicurativo che Rossi è disposto a pagare H S M N L Premio massimo attesa senza assicurazione 0 B R E A Reddito di Rossi

8 Poiché il reddito che Rossi ottiene senza assicurarsi può essere OB oppure OA, l utilità che Rossi ottiene senza assicurarsi è misurata da OL in caso sfavorevole e da OH in caso favorevole, e l utilità attesa in assenza di assicurazione (cioè la media fra queste due utilità) è OM, il segmento di lunghezza media fra OL e OH. Lo schema assicurativo proposto da Verdi implica che in caso sfavorevole Rossi ottenga un reddito, inclusivo del risarcimento netto, pari a OR, a cui corrisponde un utilità pari a ON. Poiché in caso favorevole Rossi deve comunque pagare il premio, egli si troverà in tal caso con un reddito inferiore a OA, e dunque con un utilità inferiore a OH. L utilità attesa in caso di accettazione dell assicurazione è la media fra ON e l utilità alternativa, che dipende dal premio da pagarsi. Rossi accetterà di assicurarsi solo se questa seconda utilità attesa sarà almeno pari a quella ottenibile senza assicurazione, OM. Ciò accade solo se l utilità del caso favorevole (tenendo conto del pagamento del premio) è almeno pari a OS. In questo caso la lunghezza del segmento MS è la stessa del segmento NM, e la media tra ON e OS è proprio OM, uguale l utilità attesa in assenza di assicurazione. Dunque OM è sia la media fra OL e OH, sia quella fra ON e OS. Affinché l utilità del caso favorevole sia almeno pari a OS, il reddito al netto del premio ottenibile da Rossi in quel caso deve essere almeno OE. Dunque, poiché il reddito netto è pari alla differenza fra il profitto alto e il premio assicurativo, il premio massimo che Rossi è disposto a pagare a Verdi per accettare l assicurazione proposta è dato dal segmento EA. Naturalmente Rossi sarebbe ben contento di pagare un premio inferiore a EA, ma non sarebbe comunque disposto a pagarne un premio maggiore. La cosa importante da osservare è che, pagando il premio EA in caso favorevole e incassando il risarcimento netto BR in caso sfavorevole, Rossi si trova in una situazione incerta il cui valore monetario atteso è inferiore a quello che avrebbe senza assicurarsi. Ciò emerge dalla Fig. 6, dove potete chiaramente vedere che il punto medio del segmento BA, cioè il valore monetario atteso in assenza di assicurazione, sta a destra del punto medio del segmento RE, il valore monetario atteso in presenza di assicurazione. Quanto appena dedotto è ovviamente connesso con quanto si diceva prima a proposito del premio per il rischio. Possiamo concludere, dunque, che un soggetto avverso al rischio può preferire assicurarsi anche se il premio che deve pagare è superiore al risarcimento che gli è garantito in caso di sinistro moltiplicato per la probabilità del sinistro (detto premio equo ). Per costui, infatti, non è importante il valore monetario atteso dell assicurazione, ma la sua utilità attesa, e quest ultima può essere maggiore di quella che si avrebbe senza assicurazione anche se il valore monetario atteso è inferiore. D altra parte un soggetto che, valutando le sue prospettive secondo il principio dell utilità attesa, preferisce non assicurarsi è un soggetto amante del rischio. Delitto e castigo Molte persone scelgono di non commettere un crimine perché non prendono nemmeno in considerazione la possibilità di comportarsi in maniera disonesta. Altre persone, invece, scelgono di non commettere un crimine solo dopo aver considerato i benefici che possono ottenere e i costi che devono sostenere se sono scoperti e puniti. In questo paragrafo consideriamo proprio il problema di scelta affrontato da queste ultime persone, che è interessante perché affligge, se consideriamo un crimine ogni comportamento trasgressivo, anche individui che solitamente si considerano onesti. Molti studenti, per esempio, non considerano nemmeno la possibilità di copiare durante un esame, ma altri resistono alla tentazione di copiare solo perché hanno valutato cosa può succedere se sono scoperti. Molti automobilisti non lascerebbero mai la propria automobile in sosta vietata, ma altri non esitano a farlo se ritengono che non saranno multati. Molti cittadini considerano un dovere pagare le imposte, mentre altri si comportano da contribuenti leali solo perché temono le conseguenze che dovrebbero subire se l evasione fosse scoperta e punita. Proviamo a capire, dunque, come può essere analizzata la scelta di chi deve decidere se adottare un comportamento trasgressivo. Come si diventa criminali Supponiamo che qualcuno si trovi a decidere se commettere un crimine. La scelta di non delinquere ha una conseguenza certa: il soggetto può continuare a godere del benessere del quale può usufruire se non commette il crimine. La scelta di commettere il crimine, invece, ha conseguenze incerte. Se il crimine non è scoperto e punito, il benessere del criminale aumenta, per esempio perché aumenta la sua ricchezza. Se il crimine è scoperto e punito, invece, il benessere del criminale diminuisce, perché egli deve subire la reclusione oppure pagare una multa. L attività di repressione del crimine, però, non sempre ha successo, perché non sempre i delinquenti sono arrestati e condannati. La conseguenza di un crimine, quindi, può essere rappresentata da una variabile casuale: il delinquente potrà stare meglio o peggio di prima con

9 probabilità che dipendono dallo sforzo, che è ovviamente costoso, profuso dall apparato repressivo per punire il crimine. Supponiamo per semplicità di poter rappresentare le conseguenze dell attività illegale in termini monetari. La valutazione in termini monetari dei vantaggi di un crimine è abbastanza naturale nel caso di furto o evasione fiscale, mentre per altri crimini tale valutazione potrebbe essere ottenuta considerando la somma che qualcuno sarebbe disposto a pagare per ottenere ciò che può avere con il crimine. Altrettanto naturale è valutare in termini monetari gli svantaggi del crimine se la pena è pecuniaria; nel caso, invece, di una pena detentiva potremmo considerare la somma che si è disposti a pagare per evitarla. La scelta del potenziale delinquente, dunque, è fra una prospettiva certa, rappresentata dalla ricchezza che egli possiede inizialmente e che conserva se non commette il crimine, e una prospettiva incerta, che dipende dalla probabilità di essere condannato e dalla severità della punizione che subirà qualora sia condannato. Il potenziale criminale, quindi, sceglierà l alternativa che gli offre l utilità attesa maggiore. Naturalmente l atteggiamento del potenziale criminale nei confronti del rischio influisce sulla sua scelta: un individuo avverso al rischio sarà meno propenso a commettere l atto illegale dalle conseguenze incerte, ma non per questo si comporterà necessariamente in modo onesto. Molto dipende dall ammontare della pena: se la pena è modesta relativamente al guadagno derivante dal crimine, l utilità attesa del crimine può essere superiore a quella che il potenziale criminale ottiene dalla sua ricchezza iniziale, e costui sceglierà il comportamento illegale. Si considerino le Fig. 7a e 7b, dove sono illustrate rispettivamente le posizioni dei due protagonisti di questa storia, Rossi e Viola. Figura 7 Rossi (a) sceglie di essere onesto e Viola (b) preferisce commettere il crimine (a) (b) H D G F 0 B A H G D F C Ricchezza 0 B A C Ricchezza Costoro dispongono della stessa ricchezza iniziale, OA, e possono decidere di intraprendere la stessa attività criminale. Questa attività offre loro la possibilità di ottenere un guadagno AC e di trovarsi alla fine con una ricchezza OC se non sono arrestati. Se, per contro, sono arrestati e condannati, oltre a non ottenere alcun vantaggio subiscono una multa pari a BA e si ritrovano con una ricchezza finale OB. Supponiamo che la probabilità di farla franca sia ½ e dunque la probabilità di essere condannati sia ½. L unica differenza tra i due è che Rossi è avverso al rischio, mentre Viola è propenso al rischio, come si vede dalla forma delle loro funzioni di utilità. In entrambe le figure OD è l utilità che i soggetti hanno se non commettono il crimine, OH è l utilità nel caso in cui il crimine rimanga impunito, OF è l utilità qualora il crimine sia punito, e OG, a metà strada tra OF e OH, è l utilità attesa di chi commette il crimine. In queste circostanze Rossi preferisce non commettere il crimine, perché l utilità attesa, OG, è inferiore all utilità OD che egli può trarre dalla ricchezza che possiede senza commettere atti illegali. Viola, invece, preferisce commettere il crimine, perché l utilità attesa, OG, è superiore all utilità OD che egli può trarre dalla ricchezza che già possiede. Naturalmente, se la punizione prevista per quel crimine fosse meno severa, anche Rossi potrebbe preferire il crimine. Si può comprendere, allora, come mai la condanna a restituire solo il maltolto, in caso di furto oppure rapina, sia poco efficace. Il potenziale delinquente, per esempio Rossi, ottiene l utilità OD se si accontenta dei suoi averi iniziali, l utilità OH se commette il crimine e non viene condannato, ma di nuovo l utilità OD se viene condannato a restituire solo la somma guadagnata con il crimine. Se la probabilità di farla franca è positiva, l utilità attesa del crimine è una media tra OD e OH, e dunque è maggiore di OD. Indipendentemente dall avversione al rischio, quindi, conviene commettere il crimine.

10 Ciò spiega perché le condanne pecuniarie includano anche multe più o meno salate. Cosa succede, però, se il potenziale criminale non ha alcuna ricchezza iniziale, cosicché non può pagare alcuna multa? Costui preferirà comunque commettere il crimine. Si può capire, quindi, perché in alcuni ambienti sociali particolarmente degradati la delinquenza possa essere considerata l unica alternativa possibile. Ciò può essere vero, però, anche in altri ambienti. Supponiamo che i soci di una società siano responsabili solo sino alla concorrenza delle quote da loro versate, e che la società si trovi già in difficoltà tali che costoro non possono sperare di trarne ulteriori profitti. Se questi soci hanno pochi scrupoli, potrebbero dedicarsi ad attività disoneste o quanto meno estremamente rischiose, perché non hanno nulla da perdere. In questi casi, quindi, può essere utile minacciare, oltre alla pena pecuniaria, ulteriori pene che non implicano pagamenti in denaro, come la detenzione nel caso di bancarotta fraudolenta, oppure l obbligo di lavorare gratuitamente per un mese nel negozio dove si è commesso un furto. La prevenzione del crimine Gli strumenti a disposizione delle autorità per disincentivare il crimine sono, nella nostra storia, solo due: aumentare la probabilità di cattura, processo e condanna dei criminali oppure aumentare la severità della pena. Entrambi questi strumenti, naturalmente, sono costosi per la collettività. Se si aumenta la probabilità della reclusione, incrementando la spesa per prevenire o reprimere il crimine, crescono i costi che la società deve sostenere prima della condanna del criminale. Se si aumenta la severità della pena, soprattutto se la pena prevede la reclusione, crescono i costi che la società deve sostenere dopo la condanna del criminale. Allora, se l amministrazione della giustizia ha un budget prefissato, le possibilità di scelta delle autorità tra probabilità di punire il crimine e severità della pena possono essere rappresentate da curve come la retta FG nella Fig. 8a e nella Fig. 8b. Questa retta è decrescente, perché le risorse che possono essere utilizzate per punire i criminali diminuiscono quando aumentano le risorse dedicate a rendere più probabile la punizione del crimine. Inoltre, combinazioni di severità della pena e probabilità di punizione rappresentate da rette che si trovano più in alto e più a destra implicano costi maggiori per la collettività, perché a parità di severità della pena una probabilità più alta di punire il criminale comporta una spesa maggiore per la collettività. Qual è la posizione del potenziale criminale? Le preferenze di Rossi e Viola possono essere rappresentate da curve di indifferenza, ciascuna delle quali individua tutte le combinazioni di probabilità di condanna e severità della pena che garantiscono loro la stessa utilità attesa derivante dal commettere il crimine. Proviamo a capire perché tali curve sono fatte in questo modo. Anzitutto, sia la probabilità di condanna, sia la lunghezza della pena sono due mali per il delinquente, cosicché le curve di indifferenza di Rossi, indicate con R 1 e R 2 nella Fig. 8a, e quelle di Viola, indicate con V 1 e V 2 nella Fig. 8b, sono decrescenti. Inoltre, le combinazioni di pena e probabilità di punizione rappresentate da curve che stanno più in alto e più a destra sono considerate da entrambi più sgradevoli, e rappresentano un deterrente del crimine più efficace. Figura 8 Prevenzione del crimine: avversione (a) e propensione (b) al rischio Severità della pena (a) Severità della pena (b) F F A B A C E V 3 0 G R 1 R 2 R 3 Probabilità di condanna 0 G V 2 V 1 Probabilità di condanna Per capire perché le curve di indifferenza di Rossi sono concave e quelle di Viola sono convesse consideriamo dobbiamo analizzare in che modo devono muoversi, nei due casi, probabilità e severità per lasciare invariata l utilità attesa di un soggetto. Si faccia riferimento alle precedenti Figure 7.

11 Vediamo, anzitutto, quali sono gli effetti sull utilità attesa di un cambiamento della probabilità di una condanna, quando sono fissate la ricchezza ottenibile dal crimine, OC, e la severità della pena, BC. Vogliamo in altri termini indagare gli effetti su OG di un cambiamento della probabilità di una condanna, diciamo p, fissati OH e OF. Il danno, misurato in termini di utilità, che il criminale subisce se commette il crimine ed è condannato è uguale alla differenza tra l utilità OH che egli ottiene se commette il crimine e rimane impunito, e l utilità OF che ottiene se è condannato, cioè il danno è uguale a OH OF = HF. Per il criminale, poi, il danno atteso della condanna è uguale al danno derivante da un eventuale condanna, HF, moltiplicato per la probabilità di essere condannato. L utilità attesa del crimine, OG = OH HG, può quindi essere vista come l utilità del caso favorevole, OH, meno il danno atteso, HG = HF p. Allora, quando cresce la probabilità che il crimine sia punito, il danno atteso della condanna aumenta e l utilità attesa del crimine diminuisce. Inoltre, poiché il danno atteso HF p è proporzionale alla probabilità che il crimine sia punito, successivi aumenti della probabilità di una condanna comportano aumenti sempre uguali del danno atteso della condanna. Per il criminale, dunque, successivi aumenti della probabilità di una condanna comportano riduzioni sempre uguali dell utilità attesa del crimine. Ciò è vero sia per Rossi, sia per Viola. Cosa succede, invece, quando cambia la severità della pena, fissate la ricchezza ottenibile dal crimine e la probabilità di una condanna? In altri termini, qual è l effetto su OG di un aumento di HF, fissati OH e p? Un aumento della severità della pena comporta: una diminuzione della ricchezza del criminale in caso di condanna, OB; una diminuzione dell utilità del crimine in caso di condanna, OF; e un aumento del danno derivante dalla condanna, HF. Allora, data la probabilità p di una condanna, quando aumenta la severità della pena cresce il danno atteso della condanna, HF p, e diminuisce l utilità attesa del crimine. Come si può dedurre nella Fig. 7a, quando il criminale è avverso al rischio aumenti successivi della severità della pena, cioè riduzioni successive di OB, comportano aumenti sempre più grandi del danno, HF, perché provocano riduzioni sempre più grandi dell utilità del crimine nel caso di condanna, OF: gli andamenti appena descritti equivalgono a spostarsi sempre più verso il basso e verso sinistra sul grafico della funzione di utilità, che è concava. Dunque, data la probabilità di condanna p, il danno atteso della condanna HF p cresce più che proporzionalmente in seguito a successivi incrementi della severità della pena. Se il criminale è propenso al rischio, invece, come si vede nella Fig. 7b riduzioni successive di OB determinano diminuzioni sempre più piccole dell utilità del crimine in caso di condanna, OF, e provocano aumenti sempre più piccoli del danno, HF. Dunque, data la probabilità di condanna, il danno atteso della condanna cresce meno che proporzionalmente in seguito a successivi incrementi della severità della pena. Ne segue che successivi aumenti della severità della pena comportano riduzioni crescenti dell utilità attesa del crimine per un individuo avverso al rischio, e riduzioni decrescenti dell utilità attesa del crimine per un individuo propenso al rischio. Allora, le curve di indifferenza tra severità della pena e probabilità di condanna di individuo avverso al rischio come Rossi devono essere concave. Per costui, infatti, successive riduzioni della probabilità della condanna provocano aumenti sempre uguali dell utilità attesa del crimine, mentre successivi aumenti della severità della pena provocano riduzioni crescenti dell utilità attesa del crimine. Per Rossi, dunque, successive riduzioni della probabilità della condanna devono essere compensate da aumenti decrescenti della severità della pena, perché in caso contrario la sua utilità attesa non potrebbe rimanere costante, come deve accadere lungo una curva di indifferenza. Quindi, le curve di indifferenza di Rossi sono concave. Anche per un individuo propenso al rischio, come è Viola, successive riduzioni della probabilità della pena provocano aumenti sempre uguali dell utilità attesa del crimine, ma per costui successivi aumenti della severità della pena provocano riduzioni decrescenti dell utilità del crimine. Per Viola, dunque, successive riduzioni della probabilità della condanna dovranno essere compensate da aumenti crescenti della severità della pena. Le curve di indifferenza di Viola, quindi, sono convesse. Ritorniamo ora alla Fig. 8 dove è illustrato il problema della prevenzione del crimine, che le autorità devono risolvere rispettando un vincolo di bilancio che definisce le risorse da usare per rendere più probabile la condanna oppure più severa la punizione. Nella Fig. 8a è illustrata la situazione in cui ci si trova quando il potenziale delinquente è avverso al rischio. Supponiamo che la combinazione scelta dalle autorità inizialmente sia quella rappresentata dal punto A. A parità di spesa le autorità possono rendere meno conveniente il crimine scegliendo per esempio la combinazione B, che comporta una pena più severa e una probabilità di condanna più bassa. Il punto B, infatti, si trova su una curva di indifferenza che per Rossi implica una minore utilità attesa, cioè un minor benessere derivante dal commettere il crimine. Se invece la combinazione scelta inizialmente dalle autorità fosse B, riducendo la severità della pena e aumentando la probabilità che il criminale sia condannato, cioè scegliendo una combinazione come A, si renderebbe più conveniente il crimine. Addirittura, in questo caso ci si accorge che le autorità, dato il loro vincolo di

12 bilancio, riuscirebbero ad infliggere il massimo svantaggio a Rossi, cioè a disincentivare al massimo la sua scelta di delinquere, se scegliessero il punto F, dove la severità della pena è massima e la probabilità di condanna minima: per il punto F, infatti, passa una curva di indifferenza che implica una minore utilità attesa del crimine rispetto alle altre. Quando il potenziale criminale è avverso al rischio, dunque, per ridurre l incentivo a delinquere si deve aumentare la severità della pena riducendo la probabilità di condanna. 1 Consideriamo invece cosa succede se il potenziale criminale è propenso al rischio, come avviene nella Fig. 8b. Se inizialmente la combinazione di pena e probabilità di condanna è A, si può ridurre l incentivo a commettere il crimine, a parità di spesa, scegliendo la combinazione C, che prevede una probabilità di condanna più bassa e una pena più severa: la curva di indifferenza V 2, infatti, implica per Viola un benessere inferiore della V 1. Nel caso in questione, le autorità possono ottenere il miglior risultato in termini di prevenzione del crimine, dato il loro vincolo di bilancio, scegliendo una combinazione come la E, che per Viola si situa sulla curva di indifferenza V 1, sicuramente peggiore delle precedenti. Quindi, se il potenziale criminale è propenso al rischio, non è certamente efficace annunciare pene draconiane che implicano, a causa dei vincoli di bilancio, probabilità di condanna minime: la scelta migliore è un mix equilibrato dei due strumenti, e se inizialmente la probabilità di condanna è molto bassa conviene aumentarla anche a scapito della severità della pena. 2 Molti studiosi hanno osservato che le politiche rivolte ad aumentare la probabilità di condanna sembrano nella realtà più efficaci, in termini di prevenzione dell illegalità, rispetto agli inasprimenti delle pene. Questo è un segnale indiretto che la maggioranza dei delinquenti non è avversa al rischio. 1 Il risultato deriva dall aver ipotizzato un vincolo di bilancio con inclinazione piuttosto elevata. Se invece l inclinazione fosse inferiore, la soluzione ottima potrebbe essere all estremo opposto del vincolo di bilancio, nel punto G. È però ragionevole supporre che l inclinazione del vincolo sia elevata. Si ricordi infatti che l inclinazione dipende dal rapporto fra il costo unitario di aumentare la probabilità di condanna e quello di aumentare la severità della pena: se si immagina una pena detentiva, è sicuramente meno costoso aumentare la lunghezza della detenzione (pasti, pulizia delle celle ecc.) che non aumentare la probabilità di condanna (aumentare il numero dei poliziotti, dei collaboratori dell inquirente e del PM, degli addetti ai tribunali, ecc.) 2 Anche questo risultato non è, per la verità, interamente corretto: si può infatti dimostrare che, per aversi curve di indifferenza convesse, non solo il criminale deve essere propenso al rischio, ma deve esserlo molto (cioè, la derivata seconda della sua funzione di utilità deve essere sufficientemente grande).