θ = arcos[g/(ω 2 L)]

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1 Esercizio 1 a) Si consideri il sistema di riferimento inerziale con asse z parallelo all asse di rotazione della pallina. La pallina è sottoposta all azione della forza peso (parallela a z) e della tensione del filo (parallela al filo). Il moto della pallina è circolare uniforme, quindi la risultante delle forze deve avere direzione centripeta. La proiezione della risultante delle forze lungo l asse z deve pertanto essere nulla, mg = T cosθ T = mg/cosθ, mentre la componente perpendicolare a z dell accelerazione deve uguagliare il valore dell accelerazione centripeta del moto circolare: T sinθ = mω r; r = L sinθ Dalle due equazioni precedenti si ricava: mg sinθ /cosθ = mω r g sinθ /cosθ = ω L sinθ cosθ = g/(ω L) θ = arcos[g/(ω L)] b) L angolo massimo θ max viene raggiunto quando la tensione del filo T raggiunge il valore di rottura T r : T = mg/cosθ max = T r cosθ max = mg/t r θ max = arcos(mg/t r ) La soluzione numerica è la seguente: θ max = (m = kg, T r = 30 N.

2 Esercizio a) Nell'istante dello scoppio si conserva la componente orizzontale della quantità di moto 0 = mv p + Mv c v c = -v p m/m. Le soluzioni numeriche sono: v c = m/s (v p = 500 m/s, m = 1.5 kg, M = 800 kg). e quindi il cannone si sposta in direzione opposta al proiettile. b) L'energia dello scoppio si converte interamente in energia cinetica, per cui: E = 1 1 mv p + Mv c, ovvero: E = kj (v p = 500 m/s, m = 1.5 kg, M = 800 kg). c) L'energia cinetica acquisita dal cannone dopo lo sparo si esaurisce tutta in lavoro della forza d'attrito: 1 E k = L attrito - Mv c = -µd Mgd d = vc. µ g d Numericamente: d = 5.61 cm (v c = m/s, µ d = 0.8).

3 Esercizio 3 a) Le due molle identiche collegate al carrello si comportano come un unica molla di costante elastica doppia. Detta k la costante elastica della singola molla, si ricava che la pulsazione ω 0 delle oscillazioni libere del carrello è (se lo smorzamento è piccolo): ω 0 k. m Il grafico mostra il fenomeno della risonanza. La curva che indica l andamento dell ampiezza delle oscillazioni in funzione della pulsazione della forzante presenta uno stretto massimo, a conferma del fatto che lo smorzamento del carrello è piccolo. Dal grafico si ottiene che la pulsazione di risonanza ω r è pari a ω r = 4 rad/s. Sapendo che in un oscillatore forzato, se lo smorzamento è piccolo, la frequenza di risonanza corrisponde alla frequenza delle oscillazioni libere, si ottiene : ω 0 ω r k = mω r = 4 N/m, b) In un oscillatore forzato, a transitorio esaurito la posizione x in funzione del tempo (legge oraria) è data da (prendendo come origine di x la posizione di equilibrio dell oscillatore): x(t) = A(ω) cos(ω t + ϕ). Il grafico di A(ω) è riportato nel testo dell esercizio in funzione della pulsazione della forzante ω. Dal grafico si ricava quindi che l ampiezza delle oscillazioni è pari a: A(4.5 rad/s) = 4 cm = 0.04 m; Derivando x(t) in funzione del tempo si ricavano velocità v x (t) ed accelerazione a x (t): v x (t) = d x dt = - ω A(ω) sin(ω t + ϕ); d x a x (t) = = - ω A(ω) cos(ω t + ϕ). dt

4 Da queste due equazioni si ricavano i valori della velocità massima v max e dell accelerazione massima a max : v max = ω A(ω) = 0.18 m/s (ω = 4.5 rad/s). a max = ω A(ω) = 0.81 m/s (ω = 4.5 rad/s). c) Si vedano qui sotto i grafici quantitativi di posizione, velocità ed accelerazione (si è arbitrariamente scelta un origine dell asse dei tempi per cui ϕ = 0). Si ricordi che il periodo T dell oscillazione è pari a T = π/ω.

5 Esercizio 4 1a) Il sistema di riferimento O(x,y) è inerziale. 1b) T = m a, dove T è la tensione del filo. T x = -T cosθ = - mω R cosθ T y = -T sinθ = - mω R sinθ a x = -ω R cosθ a y = -ω R sinθ dove T è il modulo della tensione del filo. 1c) La tensione T del filo è una forza reale. a) Il sistema di riferimento O (x,y ) non è inerziale, poiché è in moto traslatorio accelerato rispetto al sistema di riferimento inerziale O(x,y). b) T + F app = 0 (condizione di equilibrio), dove T è la tensione del filo e F app la forza apparente. T x = -T cosθ = -mω R cosθ T y = -T sinθ = -mω R sinθ F app,x = -m a O,x = mω R cosθ F app,y = -m a O,y = mω R sinθ dove T è il modulo della tensione del filo e a O l accelerazione di O misurata nel sistema di riferimento O. c) La tensione T del filo è una forza reale, la forza apparente F app è dovuta all accelerazione di trascinamento del sistema O in moto relativo traslatorio rispetto al sistema di riferimento inerziale O.

6 3a) Il sistema di riferimento O (x,y ) non è inerziale, poiché è in moto rotatorio rispetto al sistema di riferimento inerziale O(x,y). 3b) T + F app = 0 (condizione di equilibrio), dove T è la tensione del filo e F app la forza apparente. T x = -T = -mω R T y = 0 F app,x = -m a tr,x = mω R F app,y = -m a tr,y = 0 dove T è il modulo della tensione del filo e a tr l accelerazione di trascinamento in O misurata nel sistema di riferimento O. 3c) La tensione T del filo è una forza reale, la forza centrifuga apparente F app è dovuta all accelerazione di trascinamento del sistema O in moto relativo rotatorio rispetto al sistema di riferimento inerziale O (è diversa da zero solo la componente centripeta dell accelerazione di trascinamento, l accelerazione di Coriolis è nulla poiché il corpo è fermo in O ).