Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le assicurazioni sulla vita

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1 Appuni delle lezioni di isiuzioni di maemaica auariale per le assicurazioni sulla via Claudio Pacai anno accademico Indice 1 Le operazioni di assicurazione e la eoria dell uilià L operazione di assicurazione Il premio equo e il premio puro Il caricameno di sicurezza e le basi ecniche del I ordine La riserva maemaica Il modello probabilisico radizionale per la duraa della via umana Duraa della via alla nascia Duraa della via ad eà x Noazioni auariali Tavole di sopravvivenza Le polizze radizionali non rivaluabili La legge di equivalenza ineremporale finanziario-auariale radizionale Classificazione in base alla ipologia di presazioni Presazioni di capiale Presazioni di rendia vializia Alre presazioni Classificazione in base alla ipologia di premio Polizze a premio unico Polizze a premio annuo Polizze a premio unico ricorrene La conroassicurazione La riserva maemaica Inroduzione La riserva maemaica Uno schema conrauale generale L equazione di Foure Premio di rischio e premio di risparmio La riserva rerospeiva La riserva come variabile aleaoria

2 5 Il valore inrinseco Inroduzione L uile La scomposizione dell uile: la formula di Homans La valuazione degli uili: il meodo RAD Le polizze rivaluabili Inroduzione La formalizzazione della regola di rivaluazione Uile rerocesso e uile raenuo Rerocessione soo forma di cedole Rerocessione soo forma di rivaluazione delle presazioni Rerocessione soo forma di rivaluazione di premi e presazioni Le opzioni implicie nella rivaluazione La valuazione delle polizze rivaluabili I faori di rivaluazione La valuazione Appendici 56 A.1 Richiami sulla formula di Black e Scholes A.1.1 Il moo Browniano geomerico A.1.2 La formula di Black e Scholes A.2 Un esempio di valuazione mark o marke di polizze rivaluabili A.2.1 Il calcolo del faore di valuazione A.2.2 La scomposizione pu del faore di valuazione A.2.3 La scomposizione call del faore di valuazione ii

3 1 Le operazioni di assicurazione e la eoria dell uilià 1.1 L operazione di assicurazione Un conrao di assicurazione è un accordo fra due pari, nel quale l assicurao rasferisce all assicuraore un danno che può verificarsi in fuuro, in cambio di un premio che paga alla daa di sipula. Il premio è il prezzo che l assicurao paga per l eliminazione del rischio che si verifichi il danno. Considereremo in quesa sede una siuazione semplificaa uniperiodale e solo dal puno di visa dell assicuraore. Si assuma che al empo 0 = 0, daa di sipula del conrao, l assicuraore abbia un capiale proprio cero c > 0; sia u la sua funzione di uilià (crescene e concava e prob la disribuzione di probabilià in base alla quale l assicuraore aribuisce probabilià agli eveni. Si assuma che il danno D oggeo del conrao si possa verificare al empo 1 = 1 e che l assicurao paghi il premio P al empo 0. Il danno è una variabile aleaoria, le cui deerminazioni si misurano in unià monearie; si assumerà che prob(d 0 = 1 e che prob(d > 0 > 0. (1 Si osservi che, nel caso D abbia un numero finio di deerminazioni con probabilià non nulla (caso finio e discreo, la (1 significa che ue le deerminazioni sono non negaive e che almeno una è posiiva. Si assumerà inolre che D sia non degenere, cioè che sia effeivamene aleaoria. Se si ipoizza per semplicià che l assicuraore non abbia in corso alri conrai, dopo la sipula del conrao la sua posizione al empo 1 sarà Z 1 = (c + P (1 + I D, (2 dove I è il rendimeno dell invesimeno del capiale proprio e del premio per il periodo [ 0, 1 ] ed è in generale aleaorio. Poichè prima della sipula la sua posizione 1 era c(1 + I, la condizione di indifferenza per l assicuraore è che risuli E 0 [ u ( (c + P (1 + I D ] = E0 [ u ( c(1 + I ], (3 essendo E 0 l aspeaiva condizionaa all informazione disponibile al empo 0 e calcolaa secondo la probabilià prob. Nauralmene, nel caso nella (3 risuli la disuguaglianza >, l assicuraore percepirà vanaggiosa l operazione di assicurazione, menre se dovesse risulare < la percepirà svanaggiosa. Per semplicià esposiiva si assumerà d ora in poi che l assicuraore invesa i suoi aivi al asso di mercao privo di rischio i > 0 e che l aleaorieà del danno D sia indipendene da quella del mercao finanziario. La (3 divena allora E 0 [ u ( (c + P ( D ] = u ( c(, (4 essendo cera la posizione non assicuraa. Si noi che la (4 è sruuralmene diversa dalla condizione di equià dello scambio E 0 [(c + P ( D] = c(, (5 che equivale a P = E 0 (D. (6 c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 1 (v. 18/10/2005 pag. 1

4 La (4 incorpora infai l avversione al rischio dell assicuraore. Per ben noi fai di eoria dell uilià è più sringene: se vale la (5 l assicuraore percepisce svanaggiosa l operazione. Infai, se vale la (5 si oiene che u (E 0 [(c + P ( D] = u ( c( ; (7 per la disuguaglianza di Jensen 1 si ha che u (E 0 [(c + P ( D] > E 0 [ u ( (c + P ( D ] (8 e quindi che E 0 [ u ( (c + P ( D ] < u ( c(, (9 cioè che l equià dell operazione ne compora la svanaggiosià per l assicuraore. In realà si può dimosrare un risulao più fore: in ipoesi di mercao assicuraivo ideale (che qui non speficheremo un assicuraore che accei operazioni eque è desinao a fallire con probabilià 1. Esempio Si assuma che il danno D possa assumere una sola deerminazione deerminazione posiiva d > 0 con probabilià p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilià 1 p. La (4 assume allora la forma p u ( (c + P ( d + (1 p u ( (c + P ( = u ( c(. (10 La condizione di equià (5 è invece p[(c + P ( d] + (1 p(c + P ( = c(, (11 cioè, poso v = ( 1, P = p d v. ( Il premio equo e il premio puro Fissao D, la (4 può essere uilizzaa per deerminare il premio di indifferenza P, cioè il premio che rende l operazione indifferene per l assicuraore. Si è già osservao che il premio di indifferenza, deo anche premio puro, deve essere maggiore del premio equo, definio invece dalla (6. Per deerminare il premio puro occorre risolvere la (4 rispeo a P. Si osservi che, fissai c, i e D la funzione [ ( ] ( f(p = E 0 u (c + P ( D u c( (13 è coninua, monoona crescene e concava. In paricolare è inveribile e l inversa può essere calcolaa con meodi numerici (ad esempio, il meodo di Newon e, per la concavià, in modo semplice e compuazionalmene efficiene. Il premio puro è allora la soluzione dell equazione f(p = 0, cioè P = f 1 (0. Esempio Se si assume che il danno sia quello dell esempio e che la funzione dell assicuraore sia di ipo esponenziale u(x = e rx, con r > 0, (14 il premio puro P si può ricavare in forma chiusa. La (4 divena infai ( p e r (c+p (1+i d (1 p e r(c+p (1+i = e r c(1+i. (15 1 Disuguaglianza di Jensen. Se f(x è una funzione concava e X una variabile aleaoria, allora E[f(X] f ( E(X e vale = se e solo se X è degenere (cera. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 1 (v. 18/10/2005 pag. 2

5 Cambiando i segni ad ambo i membri e moliplicando uo per e r(c+p (1+i si oiene Passando ai logarimi si ha infine p e r d + (1 p = e r P (1+i. P = 1 ] [p r log e r d + (1 p v. (16 Poichè la funzione inversa della funzione di uilià esponenziale è il premio puro è u 1 (x = 1 r log( x, P = u 1 (E 0 [u( D], (17 cioè l equivalene cero di D. Si osservi che, in queso caso, il premio puro non dipende dal capiale proprio dell assicuraore, ma solo dal danno e dal asso di ineresse non rischioso. Queso fao, così come l espressione (17, dipende da una proprieà specifica della funzione di uilià esponenziale. Se si considera il caso c = 1000, i = 5%, r = 1/1000, d = 100, p = 5%, il premio equo risula p d v = = , 1.05 menre il premio puro è [ ] P = 1000 log 0.05 e = Se invece si considera il caso di un danno 5 vole più elevao, cioè se si pone d = 500, il premio equo aumena per un faore 5 p d v = = , menre il premio puro divena [ ] P = 1000 log 0.05 e = , 1.05 aumenando quindi per un faore di olre 6. Esempio Si consideri la siuazione dell esempio 1.2.1, ma si assuma che l assicuraore abbia funzione di uilià esponenziale La (4 divena u(x = log(x. p log ( (c + P ( d + (1 p log ( (c + P ( = log ( c(. e può essere risola rispeo a P per via numerica. Se si considera ancora il caso di c = 1000, i = 5%, d = 100, p = 5% il premio puro che si oiene è P = , menre nel caso di danno 5 vole maggiore si ha P = Si noi che se il capiale prorpio fosse c = 2000, il premio puro dei due conrai sarebbe rispeivamene P = e P = c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 1 (v. 18/10/2005 pag. 3

6 1.3 Il caricameno di sicurezza e le basi ecniche del I ordine La differenza fra il premio puro e il premio equo L = P E 0 [D]v (18 è posiiva e prende il nome di caricameno di sicurezza. Quanifica in unià monearie al empo 0 l avversione dell assicuraore al rischio insio nell operazione di assicurazione del danno D. La erminologia deriva dal fao, già richiamao, che l assicuraore non può praicare premi equi, alrimeni fallirebbe: deve quindi essere prudene, caricando i premi con il caricameno di sicurezza. Il caricameno di sicurezza si esprime spesso in percenuale del premio puro, come asso di caricameno di sicurezza l = L P. (19 È un caricameno implicio, che l assicuraore non è enuo a dichiarare all assicurao, diversamene dal caricameno per spese, che invece deve essere normalmene dichiarao all assicurao. Per considerare correamene la propria avversione al rischio nel calcolare i premi l assicuraore deve rinunciare alla semplicià di calcolo del premio equo. Come viso nel paragrafo 1.2, infai, e ranne in casi paricolari (come nell esempio il calcolo del premio puro deve essere condoo per via numerica e non ammee espressione in forma chiusa. Per ovviare a queso inconveniene si ricorre spesso alla logica della base ecnica del I ordine, disorcendo la misura di probabilià e il asso di ineresse per incorporarvi l avversione al rischio dell assicuraore. Formalmene, si definisce base ecnica del I ordine ogni coppia (prob I, i I di misura di probabilià e di asso di ineresse ali che il premio equo calcolao con (prob I, i I risuli uguale al premio puro P. Se si indica con E I l aspeaiva calcolaa con la misura di probabilià prob I ciò significa che E I 0(D( I 1 = P = E 0 (D( 1 + L. (20 In generale la base ecnica del I ordine non è unica. Il asso di ineresse del I ordine i I, deo anche asso ecnico è soliamene non negaivo e minore-uguale del asso di mercao i, menre la disribuzione di probabilià prob I assegna probabilià maggiori di prob al verificarsi del danno D. Per queso moivo la base ecnica del I ordine viene anche dea base ecnica prudenziale. Esempio Proseguendo l esempio 1.2.1, nel caso d = 100 si ha un caricameno di sicurezza L = P E 0 [D]v = = , che corrisponde ad un asso di caricameno l = L P = = %. Ogni base ecnica del I ordine (p I, i I deve soddisfare l equazione p I ( I 1 = P. Se, per esempio, si sceglie i I = i, la probabilià del I ordine p I è univocamene deerminaa e risula p I P ( = = = %. d 100 c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 1 (v. 18/10/2005 pag. 4

7 Se invece si pone p I = p, il asso ecnico i I è univocamene deerminao da i I = p d P 1 = = %. Nel caso invece di d = 500 si oiene L = e l = %. Se si fissa il asso ecnico i I al livello del asso di mercao i, si oiene p I = %. Se invece si fissa la probabilià del I ordine, ad esempio al livello p I = 6.2%, si oiene un asso ecnico i I = %. 1.4 La riserva maemaica La riserva maemaica di un conrao di assicurazione è l imporo moneario che l assicuraore deve immobilizzare a frone dell impegno nei confroni dell assicurao. In base a quano viso nel paragrafo 1.1, nello schema uniperiodale considerao essa coincide con il premio puro. Deo in alri ermini, la riserva maemaica è il valore aeso sconao della presazione, calcolao con la base ecnica del I ordine. Si noi che l apposameno della riserva maemaica non garanisce la solvibilià dell assicuraore. Essa è infai deerminaa in base alla prudenzialià, cioè all avversione al rischio, dell assicuraore. Il regolamenaore ipicamene richiede un uleriore immobilizzazione di capiale per garanire la solvibilià del conrao, il margine di solvibilià. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 1 (v. 18/10/2005 pag. 5

8 2 Il modello probabilisico radizionale per la duraa della via umana 2.1 Duraa della via alla nascia Si consideri un individuo con eà x = 0 (alla nascia e sia T 0 la duraa della sua via in anni, che sarà assuna una variabile aleaoria a valori reali e posiivi. Nella modellisica si considera sia la possibilià che T 0 illimiaa superiormene sia il caso, più frequene nella praica, che ci sia un eà massima raggiungibile, che viene indicaa soliamene con ω > 0. Per raare conemporaneamene i due casi, supporremo che ω sia fissao, evenualmene a +, e che T 0 ω. Sia F 0 ( = prob(t 0 la funzione di riparizione della variabile aleaoria T 0. La funzione di sopravvivenza è la funzione di riparizione complemenare: Risula S( = prob(t 0 > = 1 F 0 (. (21 F 0 (0 = 0, S(0 = 1, lim F 0 ( = 1, ω (22 lim S( = 0. ω (23 La figura 1 ripora in forma grafica un esempio concreo di funzione di riparizione e della conseguene funzione di sopravvivenza in uso nella praica auariale ialiana. F 0 (x S(x x x Figura 1: Funzione di riparizione e funzione di sopravvivenza 2.2 Duraa della via ad eà x Si consideri un individuo con eà x 0 e sia T x la duraa residua della sua via. Per definizione è T x = T 0 x T 0 > x = { T0 x se T 0 > x, non definia se T 0 x. (24 La funzione di riparizione è perano F x ( = prob(t x = prob(t 0 x + T 0 > x. (25 c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 2 (v. 21/10/2005 pag. 6

9 Usando il eorema di Bayes 2 si ha che F x ( = prob(x < T 0 x + prob(t 0 > x (26 = F 0(x + F 0 (x 1 F 0 (x (27 S(x S(x + = S(x (28 S(x + = 1 S(x. (29 Nel modello probabilisico radizionale (o sandard la disribuzione di probabilià della via residua di un individuo è compleamene dalla funzione di sopravvivenza S, che è fissaa alla nascia. Non si considera la possibilià che avvengano delle innovazioni successive. La grandezza ω x = { ω x se ω < +, + se ω = +, (30 è il limie superiore alla duraa residua della via di un individuo di eà x. 2.3 Noazioni auariali Per un individuo di eà x anni e in riferimeno ad una duraa anno si usano le segueni noazioni abbreviae: q x = F x ( = 1 q x = 1 q x, p x = 1 q x = p x = 1 p x. S(x + S(x S(x + S(x prob. di more in anni, (31 (32 prob. di essere in via dopo anni, (33 (34 Se si considerano poi due durae 1 e 2, la probabilià di more in 2 anni, differia di 1 anni è definia da: Si noi che, per definizione, 1 2 q x = prob( 1 < T x (35 = F x ( F x ( 1 (36 = 1 S(x + [ S(x + ] 1 (37 S(x S(x = S(x + 1 S(x (38 S(x 0 q x = q x. (39 2 Teorema di Bayes. Dai due eveni A e B con prob(b 0, la probabilà di A condizionaa a B può essere espressa nella forma prob(a B = prob(a B prob(b. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 2 (v. 21/10/2005 pag. 7

10 Se è inero valgono le segueni relazioni noevoli, di verifica direa: p x = p x p x+1... p x+ 1, (40 p x = (1 q x (1 q x+1... (1 q x+ 1, ( p x = 1 p x 2 p x+1, (42 q x = 1 p x = 1 p x p x+1... p x+ 1, (43 q x = 1 (1 q x (1 q x+1... (1 q x+ 1, ( q x = 1 p x p x, ( q x = q x 1 q x, ( q x = 1 p x 2 q x+1, (47 p x = 1 k 1 1q x. (48 k=1 La (47 può essere generalizzaa considerando una duraa 0 con : 1 2 q x = 0 p x q x+0. (49 Le relazioni precedeni mosrano come la disribuzione di probabilià della via residua di un individuo è compleamene deerminaa dalla successione delle p x o delle q x. Se per semplicià si considerano solo eà e durae inere, la funzione di sopravvivenza S(x è compleamene deerminaa dall equazione ricorrene S(0 = 1, (50 S(x + 1 = S(xp x = S(x(1 q x. (51 Per concludere, per le noazioni auariali valgono le segueni relazioni al conorno: ω x n=+1 0p x = 1, 0q x = 0, n 1 1q x = p x, lim p x = 0, (52 ω x lim q x = 1, ω x (53 ω x n 1 1q x = 1. (54 n=1 2.4 Tavole di sopravvivenza Si consideri una colleivià di L α persone coeanee di eà α. Si supponga che: 1. la colleivià sia chiusa a nuovi ingressi (è quindi una generazione, 2. l unica causa di uscia sia il decesso, 3. ue le persone della colleivià abbiano la sessa funzione di sopravvivenza S α. Per j = 1, 2,..., L α sia T j α la duraa della via residua (aleaoria dell individuo j. Si fissi x α e consideri l eveno E j α,x = {T j α > x α} (l individuo j raggiunge l eà x e sia I j α,x = 1 E j α,x = { 1 se E j α,x, 0 se non E j α,x (55 c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 2 (v. 21/10/2005 pag. 8

11 la funzione indicarice dell eveno E j α,x. Risula E(I j α,x = prob(e j α,x = Sα (x S α (x α = x αp α. (56 Per ogni x α si indichi con L α x il numero dei sopravviveni all eà x (fra gli L α iniziali. Si ha che L α L α x = Iα,x j. (57 Se D α x è il numero di decessi nella generazione fra le eà x e x + si ha che Risula che E(L α L α x = E Iα,x j L α = j=1 j=1 j=1 D α x = L α x L α x+. (58 ( E Iα,x j = L α prob(eα,x j = L α x α p α, (59 j=1 E( D α x = E(L α x E(L α x+ = L α ( x α p α x+ α p α = L α x α q α. (60 In paricolare la conoscenza di E(L α x per ogni x > α permee perano di calcolare ue le probabilià di sopravvivenza del ipo x α p α e quindi di ricosruire la funzione di sopravvivenza per x α, dao che x α p α = S α (x/s α (α. La avola di sopravvivenza come modello probabilisico (a empo discreo è basaa su queso fao e ripora per ogni generazione α i valori di l α x = E(L α x. (61 Spesso la avola è svincolaa dalla generazione e ripora un unica colonna di valori ( medi che vale per ue le generazioni. La radice della avola è l 0 = L 0 e viene soliamene poso ad un valore convenzionale (ipicamene Le grandezze auariali possono essere calcolae direamene dalla avola secondo le relazioni p x = l x+ l x, (62 q x = l x l x+ l x, ( q x = l x+ 1 l x l x. (64 Il numero aeso di decessi fra le eà x e x + si indica con d x e risula d x = l x l x+. (65 Esempi di calcolo con le avole ialiane SIM e SIF sono nella carella Excel lab1.xls. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 2 (v. 21/10/2005 pag. 9

12 3 Le polizze radizionali non rivaluabili 3.1 La legge di equivalenza ineremporale finanziario-auariale radizionale Nell approccio auariale radizionale si considera una legge di equivalenza ineremporale basaa su una legge esponenziale con asso annuo i 0 fissao (asso ecnico, ipoesi finanziaria; un modello probabilisico radizionale basao su una funzione di sopravvivenza S fissaa (ipoesi demografica. La coppia (i, S, che deermina compleamene la legge di equivalenza ineremporale, viene chiamaa base ecnica. Fissaa una base ecnica (i, S, un isane di valuazione, un imporo X s pagabile in s e legao alla duraa della via di un individuo, il valore auale auariale V (, S s è il valore in di X s calcolao secondo la base ecnica (i, S: V (, X s = E (X s v s, (66 dove v = ( 1 è il faore di scono annuo della legge esponenziale di asso annuo i. Osservazione In base a quano viso nel paragrafo 1.2, se (i, S è una base ecnica del I ordine il valore V (, X s calcolao secondo (i, S è il premio (unico puro in del conrao che paga X s in s. Se invece l ipoesi demografica riflee le opinioni probabilisiche dell assicuraore e la legge esponenziale di asso annuo i è allineaa con la legge di equivalenza finanziaria in vigore sul mercao al empo, il valore coincide con il premio (unico equo. 3.2 Classificazione in base alla ipologia di presazioni Fissaa una base ecnica (i, S, si consideri un individuo di eà x anni che sipula una polizza al empo = Presazioni di capiale Capiale differio. La presazione di capiale differio (CD con duraa n prevede il pagameno di un capiale assicurao C dopo n anni, a condizione che l assicurao sia in via a quella daa. La duraa n viene chiamaa anche differimeno. La presazione aleaoria pagaa dalla polizza al empo n è quindi Y n = { C se l assicurao sarà in via in n, cioè se Tx > n, 0 alrimeni; (67 l aleaorieà della presazione riguarda il pagameno o meno della presazione che, se verrà pagaa, sarà comunque C. Se si indica con 1 {Tx>n} la funzione indicarice 3 dell eveno {T x > n}, la presazione conraualmene previsa può essere scria nella forma Y n = C 1 {Tx>n}. (68 e può essere perano visa come un conrao di ipo zero-coupon, con pagameno aleaorio. 3 La funzione indicarice dell eveno A è una variabile aleaoria che varrà 1 se A risulerà vero, 0 alrimeni; risula inore che E(1 A = prob(a. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005 pag. 10

13 Nel modello radizionale il valore all emissione della presazione risula essere V (0, Y n = C V (0, 1 {Tx>n} = C v n E 0 (1 {Tx>n} = C v n prob(t x > n = C v n np x. (69 Viene spesso usaa la noazione ne x = v n np x (70 per indicare il valore di una presazione di capiale differio uniario dopo n anni riferio ad una esa di eà correne x. In base a quesa noazione si ha quindi V (0, Y n = C n E x. (71 Temporanea caso more. Una polizza emporanea caso more (TCM di duraa n anni prevede il pagameno di un capiale assicurao C alla daa del decesso dell assicurao, qualora queso si verifichi enro n anni dalla sipula. La presazione assicuraa è quindi previsa alla daa T x, può essere scria nella forma Y Tx = { C se Tx n, 0 alrimeni (72 ed è quindi caraerizzaa da una daa di pagameno aleaoria, olre che dall aleaorieà del pagameno sesso, che porebbe non esserci se l assicurao sarà in via alla scadenza. Nel modello radizionale si assume per semplicià che l assicurao possa morire solo a empi ineri, cioè che le possibili deerminazioni di T x siano numeri ineri e posiivi. 4 La presazione conrauale può essere allora descria come un veore di pagameni aleori Y = {Y 1, Y 2,..., Y n } ai empi = {1, 2,..., n}, dove per ogni k = 1, 2,..., n Y k = { C se Tx = k, 0 alrimeni (73 = C 1 {Tx=k} = C 1 {k 1<Tx k}. (74 Si osservi infai che l ipoesi semplificarice compora che {T x = k} = {k 1 < T x k}. La presazione può quindi essere visa come un porafoglio di conrai zero-coupon aleaorî. Nel modello radizionale il valore alla sipula dello zero-coupon in scadenza in k è dao da V (0, Y k = C V (0, 1 {k 1<Tx k} = C v k prob(k 1 < T x k = C v k k 1 1q x. (75 Il valore delle presazioni complessivamene previse dalla polizza è quindi V (0, Y = Viene spesso usaa la noazione n V (0, Y k = C k=1 na x = n v k k 1 1q x. (76 k=1 n v k k 1 1q x (77 k=1 per indicare il valore della presazione emporanea caso more con capiale assicurao uniario. Si noi che se i = 0 risula n A x = n q x. 4 Si osservi che, poiché si è posa convenzionalmene a zero la daa di sipula conrauale, i empi ineri coincidono con le ricorrenze anniversarie della sipula. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005 pag. 11

14 Temporanea caso more con capiale assicurao variabile. Una variane della TCM è la TCM con capiale assicurao variabile in modo prefissao. Per ogni anno k è definio conraualmene uno specifico capiale assicurao C k e la presazione previsa per il empo k è Y k = C k 1 {k 1<Tx k}. Il valore alla sipula della presazione è quindi V (0, Y = n C k v k k 1 1q x. (78 k=1 Un esempio ipico è quello di polizza con capiale assicurao decrescene linearmene: fissao il capiale assicurao C 1, si ha C 2 = C 1 1 n C 1 = n 1 n C 1, C 3 = C 2 1 n C 1 = n 2 n C 1,... C n = C n 1 1 n C 1 = 1 n C 1. Un alro esempio ipico, diffuso soprauo nelle compagnie di bancassicurazione, è quello dove il capiale assicurao decresce come il debio residuo di un muuo sooscrio dall assicurao. In queso caso, normalmene, il beneficiario della presazione è il muuane, che ipicamene impacchea la polizza assieme al muuo in un unico prodoo, per uelarsi conro il rischio che la more del muuaario possa inerrompere l ammorameno del debio. Via inera. Una polizza di via inera è il caso limie della polizza emporanea caso more, con duraa n = ω x. L aleaorieà del conrao riguarda quindi solo la daa di pagameno: l assicuraore dovrà comunque pagare, prima o poi, il capiale assicurao. Si possono ripeere ue le considerazioni svole nella sezione precedene e la noazione in uso per il valore di una via inera con capiale assicurao uniario è Osservazione Nel caso i = 0 risula ω x A x = v k k 1 1q x. (79 k=1 ω x A x = k 1 1q x = 1 (80 k=1 e il valore della via inera non dipende dall ipoesi demografica e coincide con il capiale assicurao. Osservazione Se la base ecnica demografica prevede che ω x = +, il ermine desro della (79 è una serie numerica a ermini non negaivi. Poiché il ermine generale della serie è v k k 1 1q x k 1 1 q x e poiché nel caso i = 0 si ha A x = 1, la serie converge ad una somma minore o uguale a 1. Il valore della via inera dipende quindi sia dal asso ecnico che dalla base ecnica demografica. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005 pag. 12

15 Misa. Una polizza misa di duraa n anni paga il capiale assicurao C sia in caso di via a scadenza che alla daa del decesso, se queso avviene enro la scadenza. Può perano essere visa come un porafoglio di due polizze: una capiale differio e un emporanea caso more con lo sesso capiale assicurao. Unendo i risulai oenui nelle sezioni dedicae alle due componeni possiamo descrivere le presazioni della polizza misa come un veore Y = {Y 1, Y 2,..., Y n } ai empi = {1, 2,..., n}, dove per ogni k = 1, 2,..., n si ha C se k 1 < T x k (presazione caso more in k Y k = C se k = n e T x > n (presazione caso via a scadenza, 0 alrimeni, il cui valore è la somma dei valori delle due componeni: (81 V (0, Y = C ( n E x + n A x. (82 Come nel caso della via inera, anche nella polizza misa l aleaorieà del conrao riguarda la daa di pagameno della presazione e non l imporo: l assicuraore ha la cerezza di dovere corrispondere la presazione ma non se alla scadenza (caso via o prima (caso premorienza. Osservazione Nel caso di asso ecnico nullo i = 0 si ha che ne x + n A x = 1 (83 e il valore della misa non dipende dalla base demografica e coincide con il capiale assicurao. Polizza misa con capiale assicurao via e more differeni. Una variane della polizza misa è la polizza misa con capiale assicurao caso via C v diverso dal capiale assicurao caso more C m. Il veore delle presazioni conraualmene previse per quesa polizza è C m se k 1 < T x k, Y k = C v se k = n e T x > n, (84 0 alrimeni e il valore della polizza è e Nauralmene si possono operare le scomposizioni V (0, Y = C v ne x + C m na x. (85 V (0, Y = C v ( n E x + n A x + (C m C v n A x (86 V (0, Y = C m ( n E x + n A x + (C v C m n E x. (87 La prima, che è ineressane soprauo nel caso C m > C v, soinende la scomposizione del conrao in un porafoglio di una misa normale, con capiale assicurao C v, e una TCM, con capiale assicurao C m C v. La seconda, significaiva soprauo nel caso C v > C m, soinende la scomposizione in una misa normale, con capiale assicurao C m, più un capiale differio, con capiale assicurao C v C m. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005 pag. 13

16 Capializzazione. Un conrao di capializzazione di duraa n prevede che al conraene venga pagao a scadenza un capiale C con cerezza, indipendenemene quindi dalla duraa della sua (o di alrui via. Tecnicamene non è quindi un conrao di assicurazione. Non lo è nemmeno giuridicamene, anche se la normaiva lo prevede come una forma conrauale che per essere commercializzaa ha bisogno di una paricolare auorizzazione, che è inclusa nella più resriiva auorizzazione a vendere conrai di assicurazione del ramo via. Il valore alla daa di sipula del conrao è ovviamene V (0, C n = C v n. Termine fisso. La polizza a ermine fisso è simile alla polizza misa, con l unica differenza che la presazione caso more, anziché essere pagaa alla daa del decesso dell assicurao, viene pagaa alla scadenza n della polizza. Se facciamo riferimeno ad una polizza con capiale assicurao caso via C v e capiale assicurao caso more C m, il conrao prevede un unica presazione Y n al empo n, definia da Y n = { C v se T x > n, C m se T x n (88 = C v 1 {Tx>n} + C m 1 {Tx n}. (89 Vi è quindi incerezza nell imporo della presazione, che però verrà corrisposa con cerezza alla scadenza. Poiché E 0 (1 {Tx>n} = prob(t x > n = n p x = 1 n q x, (90 E 0 (1 {Tx n} = prob(t x n = n q x = 1 n p x, (91 il valore della presazione è e può essere scrio nella forma V (0, Y n = C v v n np x + C m v n nq x (92 V (0, Y n = C m v n + (C v C m n E x, (93 che fa riferimeno alla scomposizione della ermine fisso in un porafoglio di una capializzazione, con capiale a scadenza C v, più un capiale differio che inegra (algebricamene la presazione nel caso di via a scadenza. Nauralmene si può alernaivamene operare la scomposizione del valore V (0, Y n = C v v n + (C m C v v n nq x, (94 che fa riferimeno alla scomposizione della ermine fisso in una capializzazione che paga C v più un conrao che prevede l inegrazione (in senso algebrico di C m C v a scadenza in caso di premorienza. Nauralmene, nel caso C v = C m la polizza degenera in una capializzazione Presazioni di rendia vializia Una rendia vializia è una presazione che prevede il pagameno periodico di un imporo moneario a pao che l assicurao sia in via; non è previsa nessuna presazione in caso di c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005 pag. 14

17 decesso dell assicurao. Nel seguio faremo riferimeno solano al caso di periodicià annuale e raa cosane R. 5 Una rendia vializia può essere emporanea, quando la presazione si esaurisce dopo un cero numero di anni. Come nel caso delle rendie cere (non subordinae alla duraa della via dell assicurao, le rendie vializie possono essere anicipae, quando ciascuna raa è pagaa all inizio dell anno di riferimeno, o posicipae, quando la raa è pagaa a fine anno. Rendia vializia immediaa. La rendia vializia è immediaa quando inzia alla daa di sipula. Indicando con Y k il veore il pagameno conraualmene previso al empo k. Rendia vializia immediaa posicipaa. Risula che per ogni k > 0 e il valore alla sipula è quindi dove Y k = R 1 {Tx>k} (95 V (0, Y = R a x, (96 ω x a x = v k kp x. (97 k=1 Rendia vializia immediaa anicipaa. In queso caso le rae sono pagae a inizio anno. La presazione al empo k > 0 è ancora espressa dalla (95 e si aggiunge la presazione (cera alla sipula Y 0 = R. Il valore della rendia è dove V (0, Y = R ä x, (98 ω x ä x = v k kp x = 1 + a x. (99 k=0 Rendie emporanee. si ha Se n è la duraa della rendia vializia immediaa, nel caso posicipao Y k = { R 1{Tx>k} se 0 < k n, 0 alrimeni (100 e il valore è V (0, Y = R n a x, (101 dove na x = n v k kp x. (102 k=1 5 Le rendie vialize frazionae, nelle quali la raa viene pagaa con periodicià subannuale, sono in realà più frequeni nella praica assicuraiva ialiana, ma possono essere raae in modo simile a quano verrà fao per il caso annuale; le rendie con raa variabile deerminsiicamene sono invece poco frequeni, menre il caso di raa rivaluabile verrà raao in seguio. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005 pag. 15

18 Nel caso anicipao sia ha invece Y k = { R 1{Tx>k} se 0 k < n, 0 alrimeni, (103 V (0, Y = R n ä x, (104 nä x = n 1 k=0 v k kp x = 1 + n a x v n np x. (105 Rendie vializie differie. Se il conrao prevede che la rendia vializia sia erogaa dopo un cero differimeno m, si ha la presazione di rendia vializia differia, che può essere emporanea o meno, anicipaa o posicipaa. Sono quindi previse due fasi conrauali: il periodo di differimeno, durane il quale non vengono erogae presazioni, e il periodo di pagameno della rendia, deo anche, dal puno di visa dell assicurao, periodo di godimeno della rendia. Se si pone ω x m a x = k=m+1 m+n m na x = k=m+1 ω x m ä x = k=m m+n 1 m nä x = k=m v k kp x, (106 v k kp x, (107 v k kp x = v m mp x + m a x, (108 v k kp x = v m mp x + m n a x v m+n m+np x, (109 il valore alla sipula delle varie ipologie di rendia vializia differia risula R m a x nel caso posicipao, R V (0, Y = m n a x nel caso posicipao emporaneo di duraa n, R m ä x nel caso anicipao, R m n ä x nel caso anicipao emporaneo di duraa n. (110 È uile segnalare un imporane relazione che vale nel modello radizionale e collega i valori delle rendie differie con quelli delle corrispondeni rendie immediae. Per la legge esponenziale vale infai la proprieà di scindibilià, che compora che se per ogni k m allora v k = v m v m k ; una proprieà simile vale per le probabilià di via (cfr. (42 a pagina 8: xp k = x p m k m p x+m.. Se si considera quindi la rendia vializia posicipaa uniaria e differia di m anni e si applicano quese proprieà si ha che m a x = ω x k=m+1 v k kp x = v m xp m ω x k=m+1 v k m k mp x+m. Ricordando che v m mp x = m E x e operando nella somma il cambiameno di indice h = k m, si ha ω x m a x = m E x v h hp x+m = m E x a x+m, (111 h=1 c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005 pag. 16

19 che mosra come il valore alla sipula della rendia differia su una esa di eà x sia uguale al valore in zero del valore al ermine del differimeno della corrispondene rendia immediaa su una esa di eà x + m. Proprieà analoghe valgono per le alre forme: Alre presazioni m na x = m E x n a x+m, (112 m ä x = m E x ä x+m, (113 m nä x = m E x n ä x+m. (114 Olre alle ipologie di presazioni già discusse, le polizze vie preseni nella praica commericale ialiana possono avere alre presazioni, delle quali daremo solo alcuni cenni. Spesso i prodoi assicuraivi comprendono delle presazioni complemenari che coprono rischi non propriamene via. Tra quese ci sono: presazioni complemenari in caso di eveni legai alla salue dell assicurao quali, ad esempio, la sopraggiuna invalidià permanene o la perdia dell auosufficienza; assicurazioni complemenari per more accidenale (ACMA e da incidene sradale (ACMAIS; un esempio diffuso è la polizza misa con ACMAIS, dove la presazione caso more viene raddoppiaa in caso di more accidenale e riplicaa nel caso la more accidenale sia dovua a cause legae alla circolazione di auoveicoli; presazioni legae al rendimeno scolasico dell assicurao, come nel caso della misa con bonus scolasico, dove la presazione caso via è indicizzaa al voo di maurià dell assicurao (nauralmene la polizza viene vendua a sudeni non ancora diplomai. Normalmene all assicurao viene daa la facolà di riscaare il conrao, risolvendolo e incassando anicipaamene la presazione, che viene però abbaua di una penale di riscao. Da un puno di visa eorico si raa di un opzione americana con soosane la presazione sessa, anche se nella praica non viene valuaa come ale: l esperienza mosra che non è possibile fare l ipoesi che l assicurao la esercierà razionalmene, ma sarà piuoso condizionao da esigenze collegae alle sue scele di consumo. 6 Nelle polizze che prevedono una presazione in caso di via a scadenza è spesso incorporaa l opzione di converire l imporo della presazione a scadenza in una rendia vializia, a condizioni conraualmene sabilie (opzione di conversione in rendia. Simmericamene, nelle polizze di rendia differia, è normalmene concessa all assicurao l opzione, da eserciarsi al ermine del differimeno, di converire la rendia in un capiale immediaamene esigibile (opzione di conversione in capiale. Come nel caso dell opzione di riscao, la valuazione di quese opzioni non può essere condoa in ipoesi di esercizio razionale. Un alra opzione spesso inseria nei conrai che prevedono una presazione in caso di via a scadenza è il differimeno auomaico di scadenza (DAS. Anche quesa è 6 Nella valuazione delle opzioni americane, olre all ipoesi di mercai perfei e privi di opporunià di arbiraggi non rischiosi, si fa l ipoesi aggiuniva di esercizio razionale, cioè che il deenore dell opzione esercii l opzione al meglio e indipendenemene da siuazioni personali. Si può dimosrare che l ipoesi di esercizio razionale compora che l opzione verrà eserciaa immediamene non appena il valore inrinseco della sessa (pagameno conraualmene previso in caso di esercizio risuli maggiore o uguale al valore di prosecuzione (valore di mercao dell opzione residua in caso di non esercizio. Queso risulao fornisce la chiave per la valuazione delle opzioni americane. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005 pag. 17

20 un opzione che l assicurao può eserciare in caso di via alla scadenza conrauale e prevede che la prosecuzione del conrao alle sesse condizioni, aciamene rinnovabile di anno in anno finché l assicurao non decida di incassare la presazione. 7 Hanno una cera diffusione le polizze di rendia vializia reversibile. Sono polizze in cui vi sono più assicurai (soliamene due e la rendia vializia che viene pagaa al primo assicurao è reversibile (in uo o in pare al secondo, se sarà in via al decesso del primo. Si raa perano di una polizza che è legaa alle durae della via di più ese. 3.3 Classificazione in base alla ipologia di premio Polizze a premio unico In una polizza a premio unico l assicurao corrisponde all assicuraore all ao della sipula un premio in cambio delle presazioni che percepirà nei empi e nei modi previsi dalla ipologia conrauale. In base alle considerazioni svole nel paragrafo 1.2, il premio unico praicao dall assicuraore, deo premio di ariffa, non può essere inferiore al premio unico puro, che già comprende il caricameno di sicurezza (caricameno implicio. Normalmene è sreamene maggiore e la maggiorazione rispeo al premio puro è il caricameno esplicio. Se si fissa, al empo zero di sipula una base ecnica del primo ordine (i, S, un flusso di presazioni Y e l eà dell assicurao x e si indica con con U il premio unico puro e con T il premio unico di ariffa, dovrà risulare e il caricameno esplicio (o caricameno oale è T U = V (0, Y (115 H = T U 0, (116 Spesso si percenualizza il caricameno H rispeo al premio di ariffa T, oenendo il asso di caricameno h = H (117 T che risula ovviamene non negaivo e minore di 1. Il premio unico di ariffa è allora dao da cioè da T = U + ht, (118 T = U 1 h. (119 Nella praica assicuraiva il caricameno esplicio H è chiamao caricameno per spese e l idea è che l assicuraore deve caricare i premi puri per recuperare le spese che subisce durane la via del conrao con il caricameno H. La erminologia incorpora però spesso una cera dose di ipocrisia, in quano il caricameno H viene spesso calibrao in modo sovrabbondane, almeno nelle inenzioni dell assicuraore, rispeo alle spese previse e incorpora quindi una pare di uile. Tradizionalmene il caricameno oale viene scomposo in re componeni non negaive H = G + A + I, (120 7 Quesa opzione ha senso in praica solo nelle polizza rivaluabili, che discueremo in seguio, dove le presazioni vengono rivaluae annualmene e quindi, eserciando l opzione, l assicurao decide di differire la presazione ad una daa fuura, dove verrà corrisposa maggioraa della rivaluazione. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005 pag. 18