Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).

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1 OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll sse. Osservzione Normle vuol dire perpendicolre e nell definizione precedente le rette di equzione = ed = b sono perpendicolri ll sse delle d cui il nome dominio normle rispetto ll sse. In riferimento ll figur 5. di pg. ricordimo che α() d indic l re dell regione di pino grigi rcchius dll sse delle dlle rette di equzione = e = b e dll funzione α() mentre β() d indic l re dell prte di pino binc piu quell grigi precedentemente descritt. cui, per trovre l re (misur) del dominio bst fre m() = β() d α() d (.) ossi l re dell prte binc è ugule ll re dell prte binc piu grigi meno l re dell prte grigi. Il simbolo m() ricord che stimo clcolndo l misur del dominio. Anlogmente dimo l seguente definizione

2 . efinizione Sino γ(), δ() due funzioni continue in un intervllo [c, d] IR tli che L insieme del pino (figur 5.) γ() δ(). E = {(, ) IR [c, d] : γ() δ()} si chim dominio normle rispetto ll sse e l su re si ottiene d m(e) = d Esercizio (.5 pg. 8 Libro Esercizi) Clcolre l re dell regione pin = c δ() γ() d (.) { (, ) [, π] IR : cos cos }. Si osservi che l insieme è normle rispetto ll sse (nche senz il disegno bst notre che l vribile vri tr due numeri e l vribile tr due funzioni dell come descritto nell efinizione.. Applicndo l (.) si ottiene m() = cos d cos d = cos d cos d = [ sin ] π sin = sin π sin π sin + sin = Esercizio (.55 Libro Esercizi) Clcolre l re dell regione pin = {(, ) [, π } ] IR : sin cos. ll (.) m() = cos d sin π + cos π sin cos = + Esercizio (.56 Libro Esercizi) Clcolre l re dell regione pin sin d = [sin + cos ] π = =. = { (, ) [, ] IR : }.

3 Esercizio (Esempio pg. ) Clcolre l re dell regione pin = { (, ) [, ] IR : }. Si osservi nell figur (5.) che il dominio è normle rispetto d entrmbi gli ssi (perché un punto si può pensre perpendicolre d entrmbi gli ssi). Per ottenere il risultto possimo procedere in due modi. Applicndo l (.) m() = d oppure scrivendo come dominio normle rispetto ll sse. Per frlo occorre esplicitre l vribile in funzione dell ossi: e d cui = = = = = { } (, ) IR [, ] :. e pplicndo l (.) clcolre m() = d. In questi csi non è necessrio usre entrmbi i metodi m conviene scegliere l integrle più fcile d clcolre. INTEGRALI OPPI Si or un dominio normle del pino e f : IR IR un funzione di due vribili continu. Anlogmente qunto ftto per le funzioni di un vribile è possibile definire le somme integrli per eccesso e per difetto prtendo d un prtizione del dominio e giungere così ll definizione rigoros di integrle doppio di f(, ) esteso che si indic con il simbolo f(, ) dd.

4 (Leggere pgg. e 5). Vedimo il significto geometrico di tle integrle nel cso di f(, ) >. L integrle fornisce il vlore del volume del solido dell regione di spzio vente per bse per tetto f(, ) e come superficie lterle quell formt dll infinite rette prllele ll sse z che congiungono il bordo di con i punti che gicciono su f(, ).. FORMULE I RIUZIONE PER GLI INTEGRALI OPPI Si [, b] un intervllo chiuso e limitto e si il dominio normle rispetto ll sse definito dlle limitzioni = {(, ) [, b] IR : α() β()} con α() e β() continue in [, b]. Allor per ogni f : IR IR continu vle l formul [ b ] β() f(, ) dd = f(, ) d d (.) Si [c, d] un intervllo chiuso e limitto e si E il dominio normle rispetto ll sse definito dlle limitzioni α() = {(, ) IR [c, d] : γ() δ()} con γ() e δ() continue in [c, d]. Allor per ogni f : E IR IR continu vle l formul [ d ] δ() f(, ) dd = f(, ) d d (.) E c γ() Esempio (Esempio pg. ) Clcolre + d d dove = {(, ) [, ] IR : }. Essendo il dominio normle rispetto ll sse pplico l formul di riduzione (.) e ottengo + d d. Clcolimo per prim cos l integrle dell vribile : + d.

5 Essendo d d ( + ) = si h + d = obbimo or risolvere ( ) d = Esercizio 5 Clcolre [ ] ( + ) = ( + ) ( ) d = cos d d dove = { (, ) [ π, ] IR : }. obbimo clcolre Clcolimo prim π [ cos d d. = ] = = cos d = cos d = [sin ] = sin( ) sin = sin( ) dove bbimo portto fuori dll integrle perché costnte rispetto, vribile d integrzione. Or occorre clcolre = π [ cos( ) ] π Esercizio 6 Clcolre sin( ) d = π sin( ) d = = cos cos( +π ) = cos π = = d d + dove = { ; }. obbimo clcolre [ ] + d d. Clcolimo prim + d. 5 ( )

6 Osservimo che l integrle è nell vribile e denomintore bbimo + l cui derivt rispetto vle. A numertore bbimo, per questo conviene tenere un dentro il simbolo d integrle ed un portrl fuori. Risult + d = + d = [ log( + )] = d cui d d = + log( + ) log = log( + ) log( + ) d = log( + ) d. Ponimo or t = + d cui dt = d e log( + ) d = t log t che si risolve per prti dndo luogo t log t = t log t t = t log t t. Ne risult + d d = = [ ( + ) log( + ) ( + ) Esercizio 7 Clcolre ] log( + ) d = = ( log ) ( ) = log 8 + dd dove E = { ; }. Essendo il dominio normle rispetto ll sse pplichimo l formul di riduzione (.) ed ottenimo + dd = [ Clcolimo prim l integrle dentro le prentesi qudre: + d = + d = ] + d d. [ ] = ( + ) ( + ) 6

7 d cui risult che + dd = + d == ( + ) d + per l ultimo pssggio si è utilizzt l divisione fr polinomi (si controlli l vlidità del pssggio dndo il minimo comune multiplo). Quindi risult [ ] + dd = + log( + ) = ( ) + log = log 7