CBM a.s. 2012/2013 FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI

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1 CBM a.s. 01/013 FUNIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI Chiamiamo FUNIONE oni leame ra due insiemi tale che ad oni elemento del primo insieme (detto DOMINIO) corrisponde uno e un solo elemento del secondo insieme (detto CODOMINIO). Una F. si dice reale quando il Codominio è un sottoinsieme di e si dice di due variabili reali quando il suo Dominio è un sottoinsieme di. Una unzione reale di due variabili reali si indica con una scrittura del tipo z = (; con,, z Il suo Graico (Insieme delle terne ordinate (;;z) soluzione dell equazione rappresentativa della unzione) è una Supericie sottoinsieme di 3. X viene chiamata ascissa, ordinata, z quota. Per rappresentare tale Graico su un olio (che è bidimensionale) si possono utilizzare le LINEE di LIVELLO (L.d.L.: proiezione ortoonale su uno dei piani del rierimento cartesiano della sezione della supericie con un ascio di piani paralleli al piano dato; le L.d.L. sono linee del piano coordinato ciascuna delle quali è ormata da punti (; per cui la unzione z ha lo stesso valore,che hanno la stessa quota z e hanno equazione L: (; = k, k ). Per una unzione reale di una variabile reale = () è possibile calcolare le derivate, prima, seconda,, soltanto rispetto all unica variabile. Data una unzione reale di due variabili reali z = (;, è possibile derivare sia rispetto alla variabile sia rispetto alla variabile. Funzione: z = (; Derivata parziale prima atta rispetto ad : Derivata parziale prima atta rispetto ad : Dierenziale totale del primo ordine Data una unzione di due variabili z = (;, si deinisce dierenziale totale della unzione l espressione d * d d. Il dierenziale totale di una unzione reale di * due variabili reali ed esprime la variazione della unzione rispetto ad entrambe le variabili ed. Derivata parziale seconda rispetto ad volte: Derivata parziale seconda mista rispetto ad e : Derivata seconda parziale mista rispetto ad e : Derivata parziale seconda rispetto ad volte: ) Teorema di Schwarz (Teorema dell inversione dell ordine di derivazione) Le derivate parziali seconde miste di una unzione di due variabili continua e derivabile con derivate prime e seconde continue sono coincidenti. 1

2 CBM a.s. 01/013 MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNIONE REALE DI DUE VARIABILI REALI MASSIMI O MINIMI ASSOLUTI Data una unzione z = (,; ed un punto P ( 0 ; 0 ) Dom, sia z 0 =( 0 ; 0 ). Se z 0 =( 0 ; 0 ) z(; ( ; Dom, allora P( 0 ; 0 ) è un punto di minimo assoluto della unzione. La quota z 0 nel punto P( 0 ; 0 ) è il valore minimo assoluto della unzione. Il Punto dello Spazio M( 0 ; 0; z 0 ) è un Minimo assoluto della unzione. Se z 0 =( 0 ; 0 ) z(; ( ; Dom, allora P( 0 ; 0 ) è un punto di massimo assoluto della unzione. La quota z 0 nel punto P( 0 ; 0 ) è il valore massimo assoluto della unzione. Il Punto dello Spazio M( 0 ; 0 ;z 0 ) è un Massimo assoluto della unzione. MASSIMI O MINIMI RELATIVI Data una unzione z = (; ed un punto intorno di P 0 ; ). ( 0 P ( Dom 0 ; 0 ), sia z 0 =( 0 ; 0 ), sia I 0 un Se z 0 =( 0 ; 0 ) z(; ( ; I 0, allora P( 0 ; 0 ) è un punto di minimo relativo della unzione. La quota z 0 nel punto P( 0 ; 0 ) è un valore minimo relativo della unzione. Il Punto dello Spazio M( 0 ; 0 ;z 0 ) è un Minimo relativo della unzione. Se z 0 =( 0 ; 0 ) z(; ( ; I 0, allora P(0;0) è un punto di massimo relativo della unzione. La quota z 0 nel punto P( 0 ; 0 ) è un valore massimo relativo della unzione. Il Punto dello Spazio M( 0 ; 0 ;z 0 ) è un Massimo relativo della unzione.

3 CBM a.s. 01/013 Metodo per la ricerca dei massimi e minimi relativi liberi Per calcolare i massimi e minimi relativi di una unzione reale di due variabili reali z = (;, si può applicare un metodo che utilizza le derivate. Supponiamo di lavorare con unzioni con una rande reolarità per cui esistano le derivate parziali, rispetto ad oni variabile, di oni ordine. 1. Innanzitutto si calcola il dominio della unzione.. Se il dominio non è vuoto, si calcolano le derivate parziali prime e della unzione; 3. Si risolve il sistema ottenuto ponendo le due derivate prime uuali a zero. Gli eventuali punti P( 0 ; 0 ) soluzioni del sistema sono detti punti stazionari, a piano tanente orizzontale, e possono essere Punti di Sella o Flesso oppure Punti Estremanti, cioè di Massimo o di Minimo. 4. Si calcolano le derivate parziali seconde. 5. Si costruisce il Determinante Hessiano H(;, che è il determinante della matrice quadrata delle derivate seconde della unzione. H(; = = * - * 6. Si calcola il valore del D.H. nei punti stazionari P( 0 ; 0 ). 7. Si studia la natura dei punti stazionari, che dipende dal valore assunto da H(P). a) Se H(P)> 0 e ( 0; 0 ) < 0 allora P è un punto di massimo relativo della unzione e z(p) è un valore massimo relativo. P * ( 0 ; 0 ;z 0 ) è un Massimo della unzione b) Se H(P) > 0 e ( 0; 0 ) > 0 allora P è un punto di minimo relativo della unzione e z(p) è un valore minimo relativo. P * ( 0 ; 0 ;z 0 ) è un Minimo della unzione c) Se H(P)< 0 allora P è un punto di sella unzione e z(p) è un valore di sella. d) Se H(P)= 0 allora il Caso è dubbio (il metodo non è siniicativo, cioè non si può stabilire, con questo metodo, se P è un punto di massimo o di minimo relativo della unzione), quindi si deve ricorrere all analisi del comportamento della unzione in un intorno del punto o ad un altro metodo (es. le linee di livello). 3

4 CBM a.s. 01/013 Metodo per la ricerca dei massimi e minimi relativi vincolati Si parla di massimi e minimi vincolati di una unzione reale di due variabili reali z = (; quando le variabili o non possono essere prese liberamente nel dominio alebrico, ma sono leate ad assumere valori condizionati dalla presenza di vincoli che si traducono con equazioni o disequazioni del tipo (; = 0 o (; > 0 (per esempio). Per calcolare i massimi e minimi vincolati da un equazione, si può applicare un metodo che utilizza le derivate detto metodo dei moltiplicatori di Larane. Sia z = (; la unzione da ottimizzare; sia (; = 0 il vincolo. Supponiamo di lavorare con unzioni con una rande reolarità per cui esistano le derivate parziali, rispetto ad oni variabile, di oni ordine. 1) Innanzitutto si calcola il dominio della unzione. ) Se il dominio non è vuoto, si scrive la unzione Laraniana data da (; ; λ) = (; +λ(; con λ parametro Reale. 3) Si calcolano le derivate parziali prime (, e λ) della unzione Laraniana; 4) Si risolve il sistema ottenuto ponendo le tre derivate prime uuali a zero. 5) Se il sistema ammette soluzioni, si ottenono uno o più punti del tipo P * ( 0 ; 0 ;λ 0 ). 6) Si calcolano le derivate parziali seconde di (; ; λ) rispetto ad oni variabile,, λ della unzione ( o le derivate parziali seconde di (; ; λ) rispetto alle variabili, e le derivate prime del vincolo e ). 7) Si costruisce il determinante Hessiano Orlato H * (; ; λ). H * (; ; λ) = = 0 8) Si calcola il valore dell Hessiano Orlato in onuno dei punti P * ( 0 ; 0 ;λ 0 ) ottenuti dalla risoluzione del sistema. 9) Si studia la natura dei punti stazionari, che dipende dal valore assunto da H * ( P * ). a) Se H * ( P * ) > 0 allora P( 0 ; 0 )è un punto di massimo relativo vincolato della unzione e z(p) è un valore massimo relativo vincolato b) Se H * ( P * ) < 0 allora P( 0 ; 0 )è un punto di minimo relativo vincolato della unzione e z(p) è un valore minimo relativo vincolato. c) Se H * ( P * ) = 0 allora il Caso è dubbio (il metodo non è siniicativo, cioè non si può stabilire, con questo metodo, se P è un punto di massimo o di minimo relativo della unzione), quindi si deve ricorrere all analisi del comportamento della unzione in un intorno del punto o ad un altro metodo (es. le linee di livello). 4

5 CBM a.s. 01/013 Metodo per la ricerca del massimo e minimo assoluti vincolati da un insieme di disequazioni Data una unzione reale di due variabili reali z = (;, sia che si parli di massimi e minimi liberi sia che si parli di massimi e minimi vincolati, si dice valore massimo assoluto il più rande tra i valori massimi relativi (che la unzione assume in punti interni al dominio dei vincoli) ed i valori massimi che la unzione assume nei punti di rontiera e si dice valore minimo assoluto il più piccolo tra i valori minimi relativi (che la unzione assume in punti interni al dominio dei vincoli) ed i valori minimi che la unzione assume nei punti di rontiera. Sia z = (; la unzione da ottimizzare. 1) Innanzitutto si rappresenta su uno stesso piano cartesiano il dominio della unzione e l eventuale dominio dei vincoli. ) Se il Dominio risultante non è vuoto, si cerca l esistenza di punti di massimo o di minimo relativi e si scartano i punti estremanti relativi esterni al Dominio dei vincoli. 3) Si individuano i punti estremanti relativi o assoluti nella Frontiera del Dominio dei vincoli. 4) Si conrontano tutti i valori massimi o minimi sia relativi che assoluti. 5) Il valore maiore è il valore massimo assoluto e il punto in cui viene assunto è il punto di massimo assoluto, il valore minore è il valore minimo assoluto e il punto in cui viene assunto è il punto di minimo assoluto. Secondo metodo per la ricerca dei massimi e minimi relativi o assoluti liberi Per calcolare i massimi e minimi di una unzione reale di due variabili reali z = (;, si può applicare un metodo che utilizza le Linee di Livello. 1) Innanzitutto si calcola il dominio della unzione. ) Se il dominio non è vuoto, si rappresentano le linee di livello della unzione L: (; = k, k 3) Si uarda l andamento delle linee di livello al crescere della quota z = k. 4) Se c è un valore k 1 più rande di oni altro valore di k, il valore z = k 1 è il valore massimo assoluto e i punti P( 1 ; 1 ) in cui viene assunto sono punti di Massimo assoluti, se c è un valore k più piccolo di oni altro valore di k, il valore z = k è il valore minimo assoluto e i punti P( ; ) in cui viene assunto sono punti di Minimo assoluti. 5) Se poi ci sono valori di k per cui la linea di livello si riduce ad un punto, questi punti potrebbero essere punti di massimo o di minimo relativi: occorre controllare le linee di livello corrispondenti a valori di k prossimi a quello individuato; 6) Dall analisi dell andamento delle L.d.L. si può desumere inoltre la presenza di punti di massimo o minimo relativi ulteriori, non acilmente descrivibili. 5

6 CBM a.s. 01/013 Secondo metodo per la ricerca dei massimi e minimi vincolati da un equazione Per calcolare i massimi e minimi di una unzione reale di due variabili reali z = (; vincolati da un equazione, si può applicare un metodo che utilizza le Linee di Livello. Sia z = (; la unzione da ottimizzare; sia (; = 0 il vincolo. 1) Innanzitutto si calcola il dominio della unzione. ) Se il dominio non è vuoto, si rappresentano in uno stesso piano cartesiano le linee di livello della unzione L: (; = k, k e la linea raico del vincolo (; = 0 3) Si uarda l andamento delle linee di livello al crescere della quota z = k. Il più piccolo valore di k, z = k 1,per cui le L.d.L. incontrano il vincolo (se esiste) è il valore minimo assoluto vincolato, e i punti P( 1 ; 1 ) in cui viene assunto sono punti di Minimo assoluti vincolati, mentre il più rande valore di k, il valore z = k per cui le L.d.L. incontrano il vincolo (se esiste) è il valore massimo assoluto vincolato e i punti P( ; ) in cui viene assunto sono punti di Massimo assoluti vincolati. 4) In enerale i valori estremi di k sono quelli per cui la L.d.L. è tanente al vincolo, e il punto estremante è il punto di tanenza. Occorre perciò mettere in sistema l equazione delle linee di livello con l equazione del vincolo e trovare le eventuali soluzioni del sistema. Per veriicare se un punto soluzione sia un punto di massimo o di minimo basta sostituire le sue coordinate nell espressione della unzione e conrontare il valore ottenuto con i valori che la stessa assume in altri punti del dominio. 5) Dall analisi dell andamento delle L.d.L. in rapporto al vincolo si può desumere inoltre la presenza di punti di massimo o minimo relativi ulteriori, non acilmente descrivibili o che non sempre risultano dalla risoluzione del sistema, soprattutto quando il vincolo non è una unzione. 6