ANALISI DEL CONDIZIONAMENTO DI UN SISTEMA LINEARE

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1 ANALISI DEL CONDIZIONAMENTO DI UN SISTEMA LINEARE

2 Algebra lineare numerica 121 Ax = b A, b affetti dall errore di round-off si risolve sempre un sistema perturbato: con (A + A)(x + x) = b + b A = ( a i,j ) i,j=1,...,n a i,j = errore di round-off in a i,j b = ( b i ) i=1,...,n b i = errore di round-off in b i x = x x soluzione soluzione perturbata esatta

3 Algebra lineare numerica 122 Problema Come gli errori nei dati influenzano la soluzione? stimare x = x x in funzione di A e b valutare x x in funzione di (errore relativo in x) A A e b b (errori relativi nei dati) individuare l indice di condizionamento del sistema

4 Algebra lineare numerica 123 Consideriamo il sistema perturbato: A(x + x) = b + b da cui: Ax + A x = b + b e, poiché Ax = b, si ha: x = A 1 b x x = A 1 b x A 1 b x Poiché: Ax = b A x x b A si ha: x x A 1 b b / A = A 1 A b b

5 Algebra lineare numerica 124 La quantità µ(a) = A 1 A è una stima del fattore di amplificazione dell errore nei dati (termine noto) sulla soluzione

6 Algebra lineare numerica 125 Esempio Il sistema x x 2 = x x 2 = ha soluzione x = ( ) T. Rappresentando il sistema lineare in un sistema aritmetico floating-point con β = 10 e t = 3 si ha: x x 2 = x x 2 = 1.97 che ha soluzione esatta x = x + x = (1 1) T sistema mal condizionato!

7 Algebra lineare numerica 126 A partire dalla perturbazione b sui dati e dalla perturbazione x sulla soluzione, che in questo caso è nota, valutiamo il fattore di amplificazione dell errore. b = ; x = b b , x x 0.67 x x b b

8 Algebra lineare numerica 127 Calcoliamo ora µ(a). A 1 = A = 1.99, A 1 = µ(a) = A A 1 = µ(a) = fattore di amplificazione a meno di una costante

9 Algebra lineare numerica 128 Consideriamo ora il sistema perturbato: (A + A)(x + x) = b da cui: Ax + A x + A x + A x = b e quindi: A x + A x + A x = 0 Moltiplicando a sinistra per A 1 : x + A 1 A x + A 1 A x = 0 cioè: x = A 1 A x A 1 A x Passando alle norme: x A 1 A x + A 1 A x x x A 1 A + A 1 A x x

10 Algebra lineare numerica 129 x x (1 A 1 A ) A 1 A cioè: x x 1 1 A 1 A A 1 A (per A sufficientemente piccolo, si può supporre A 1 A < 1). Pertanto, posto: 1 M = 1 A 1 A si ha: x x M A 1 A A A

11 Algebra lineare numerica 130 La quantità µ(a) = A 1 A è una stima del fattore di amplificazione dell errore nei dati(matrice dei coefficienti) sulla soluzione

12 Algebra lineare numerica 131 Indice di condizionamento Mettendo insieme i risultati precedenti, si ha il seguente: Teorema Se A 1 A < 1, posto: si ha: µ(a) = A 1 A x x µ(a) 1 µ(a) A A A A + b b µ(a) è una stima del fattore di amplificazione dell errore nei dati sul risultato µ(a) = indice di condizionamento di A

13 Algebra lineare numerica 132 L ipotesi A 1 A < 1 è realistica in quanto equivale a supporre A < A, infatti: poiché: A 1 A < 1 A < 1 A 1 A 1 = I = A 1 A A 1 A 1 A 1 A è necessaria per assicurare 1 µ(a) A A > 0 infatti: 1 µ(a) A A = 1 A 1 A A A = = 1 A 1 A > 0

14 Algebra lineare numerica 133 Il condizionamento di un sistema lineare è una proprietà intrinseca del sistema e più precisamente della matrice dei coefficienti del sistema. Osserviamo che per qualsiasi norma matriciale indotta da una norma vettoriale si ha: infatti: µ(a) 1 µ(a) = A 1 A A 1 A = I = 1 µ(a) 1 sistema mal condizionato µ(a) 1 sistema ben condizionato

15 Algebra lineare numerica 134 Esempio A = B = µ 1 (A) µ 2 (A) µ (A) µ 1 (B) µ 2 (B) µ (B) A è mal condizionata B è ben condizionata se A è mal condizionata in una norma, è mal condizionata in tutte le norme se B è ben condizionata in una norma, è ben condizionata in tutte le norme

16 Algebra lineare numerica 135 La definizione della norma matriciale 2 richiede nozioni che esulano dagli argomenti trattati in questa sede. Ci limiteremo perciò a dare solo alcune definizioni. Norma spettrale (indotta dalla norma vettoriale 2 ): A 2 = (max λ i ) 2 1 dove λ i sono gli autovalori di A A, con A = ĀT, Ā matrice coniugata di A. Per l indice di condizionamento si ha: λ µ 2 (A) = max λ min Se A è hermitiana (in particolare simmetrica) si ha: µ 2 (A) = p(a) = λ max λ min indice di T odd (ad es.: indice µ 2 della matrice A dell esempio precedente) i

17 Algebra lineare numerica 136 Esempio Ax = b con A = , b = 2 1 La soluzione, arrotondata a 5 cifre significative, è Si ha s = ( ) T µ (A) A è ben condizionata

18 Algebra lineare numerica 137 Perturbando il vettore dei termini noti con b = ( ) T si ha la soluzione s + s = ( ) T Gli errori relativi b b = 0.5% s s = 0.9% sono dello stesso ordine di grandezza

19 Algebra lineare numerica 138 Esempio Ax = b con A = , b = la soluzione è s = (1 0) T Si ha µ 2250 A è mal condizionata

20 Algebra lineare numerica 139 Perturbando il vettore dei termini noti con b = (0.01 0) T si ha, in aritmetica a precisione infinita, s + s = ( ) T l errore relativo su b b b = 0.1% ha provocato nella soluzione un errore relativo s s 0.97 = 97%

21 Algebra lineare numerica 140 Esempio si ha che A = A 1 = A = , A 1 = µ(a) A mal condizionata!

22 Algebra lineare numerica 141 In un sistema aritmetico floating-point con β = 10 e t = 4, A diventa A + A = SINGOLARE! (det(a + A) = 0) la perturbazione su A, introdotta dalla sua rappresentazione in un sistema aritmetico f.p. a precisione finita, può trasformare A in una matrice singolare!

23 Algebra lineare numerica 142 Consideriamo la distanza (errore relativo) di A dalla matrice singolare A + A: A + A A A e consideriamo: Si ha: = A A = = µ(a) /µ(A) A / A = distanza di A dalla matrice singolare A + A

24 Algebra lineare numerica 143 In generale si ha: A quasi singolare (numericamente singolare) 1 µ(a) 0 A quasi singolare µ(a) 1 A malcondizionata

25 Algebra lineare numerica 144 A singolare det(a) = 0 Se det(a) = 0 si pone µ(a) = + Osserviamo che: A quasi singolare / det(a) 0 A quasi singolare µ(a) 1 A malcondizionata

26 Algebra lineare numerica 145 Infatti: 1. A n = det A n = 10 n e µ 2 (A n ) = 1, n N det(a) 0 / A quasi singolare

27 Algebra lineare numerica A n = det A n = 1 e µ (A n ) = n2 n 1, n N det(a) 0 / A ben condizionata

28 Algebra lineare numerica 147 Calcolo di µ(a) µ(a) = A A 1 il calcolo di µ(a) richiede il calcolo di A 1 complessità computazionale elevata (paragonabile a quella della risoluzione di un sistema lineare con matrice A) utilizzo di particolari algoritmi per stimare µ(a) presenti nelle librerie di software matematico (Linpack, NAg, IMSL, Matlab,...)

29 Algebra lineare numerica 148 PROBLEMA Assegnato il sistema: Ax = b e trovata una soluzione ˆx, come verificare la bontà della soluzione? SOLUZIONE Calcolare Aˆx e vedere quanto questo valore si scosta da b Calcolare il residuo: r = b Aˆx

30 Algebra lineare numerica 149 In teoria, se A è non singolare x = x ˆx = 0 r = 0 Infatti r = Aˆx b = Aˆx Ax = A(ˆx x) = A x In pratica, il residuo piccolo in generale non assicura che l errore sulla soluzione è piccolo.

31 Algebra lineare numerica 150 Consideriamo ora la quantità: r A ˆx (residuo relativo) e cerchiamo di legarla all errore relativo sulla soluzione. Tenuto conto che: risulta: x = A 1 r A 1 r x ˆx A 1 r A ˆx A = µ(a) r A x r A ˆx piccolo x ˆx piccolo se e solo se A è ben condizionata

32 Algebra lineare numerica 151 Consideriamo il sistema: x 1 x 2 = Applicando due diversi metodi otteniamo due differenti soluzioni: x (1) = , x (2) = Quale soluzione è preferibile?

33 Algebra lineare numerica 152 Confrontiamo i residui: b Ax (1) = , b Ax (2) = Su questa base è preferibile x (1)

34 Algebra lineare numerica 153 Ma è facile verificare che la soluzione esatta è: x = 1 1 x (2) è molto più accurata La matrice A è quasi singolare, nel senso che la matrice: Ã = è singolare. Il sistema è mal condizionato.