Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo"

Transcript

1 Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore mercoledì ore (Dipartiment 1 / 42

2 Cenni di calcolo delle probabilità Il Calcolo delle probabilità è una disciplina che ci insegna a controllare la correttezza dei nostri ragionamenti allora che, per carenza d informazione, ci troviamo in condizioni di incertezza. In tal senso esse appare come una logica, e precisamente come la logica del possibile, che amplia, con l introduzione di una valutazione di probabilità basata sull informazione di cui si dispone, la logica del certo. (Dipartiment 2 / 42

3 Definizioni Un esperimento il cui esito non può essere previsto con certezza è definito esperimento casuale o aleatorio. L insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento casuale viene definito spazio campionari ed è denotato con Ω. Esempi Si consideri l esperimento casuale lancio di una moneta. In questo caso lo spazio campionario Ω è l insieme dei possibili esiti Testa, Croce, formalmente Ω = {Testa, Croce}. (Dipartiment 3 / 42

4 Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado. Definire lo spazio campionario Ω. Poiché lo spazio campionari è l insieme di tutti i possibili esiti, si ricava che Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Si consideri l esperimento casuale lancio di due dadi. Definire lo spazio campionario Ω. Poiché lo spazio campionari è l insieme di tutti i possibili esiti, si ricava che Ω = {(i, j) : i, j = 1,..., 6} ovvero Ω è l insieme di tutte le possibili coppie (i, j), dove il primo indice indica che il numero i compare nel primo dado mentre il secondo indice indica che il numero j compare nel secondo dado. (Dipartiment 4 / 42

5 Definizione Un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario Ω è definito evento casuale o aleatorio. Nel seguito indicheremo con E un generico evento casuale. Si consideri l esperimento casuale lancio di una moneta. In questo caso lo spazio campionario è l insieme Ω = {Testa, Croce}, il quale è definito come unione degli eventi elementari E 1 = {Testa} e E 2 = {Croce}. Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado. In questo caso lo spazio campionario è l insieme Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ed è definito come unione degli eventi elementari E 1 = {1}, E 2 = {2},..., E 6 = {6}. Si consideri l esperimento casuale consistente nel misurare il tempo di vita di un transistor. In questo caso lo spazio campionari è l insieme Ω = {x : 0 x < + }, ovvero l insieme di tutti i valori reali non negativi. (Dipartiment 5 / 42

6 Operazioni logiche sugli eventi Definizione Dato un evento E si definisce negato di un evento, denotato con Ē, l evento il cui valore logico è l opposto di quello di E. Esempio: Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado e l evento E descritto dall enunciato uscita della faccia con il numero due. Il negato dell evento E, denotato con Ē, è l evento descritto dall enunciato uscita della faccia con un numero diverso da due. Esempio: Si consideri l esperimento casuale consistente nel misurare il tempo di vita di un transistor e l evento E descrito dall enunciato il tempo di vita di un transistor non è superiore a 5 ore. In questo caso E = { x : 0 x 5}. Dalla descrizione dell evento E si ricava che l evento negato Ē è descritto dall enunciato il tempo di vita di un transistor è superiore a 5 ore, ovvero E = { x : 5 < x}. (Dipartiment 6 / 42

7 Unione o Somma logica Dati due eventi E 1, E 2, definiamo unione o somma logica degli eventi E 1, E 2, l evento, denotato con E 1 E 2, che è vero se almeno uno dei due eventi è vero. Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado e i singoli eventi aleatori E 1 = { esce la faccia con il numero 1 }; E 2 = { esce la faccia con il numero 2 }. Definire l insieme unione E 1 E 2. Dalla descrizione degli eventi E 1 ed E 2 si deduce che l evento unione è descritto dall enunciato esce un numero inferiore o uguale a 2. uigi Augugliaro (Dipartiment 7 / 42

8 Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado e i singoli eventi aleatori E 1 = { faccia 2 } E 2 = { faccia 4 } E 3 = { faccia 6 }. Definire l evento unione E 1 E 2 E 3. Dalla descrizione degli eventi E 1, E 2 ed E 3 si deduce che l evento unione è descritto dall enunciato esce un numero pari. Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado e i singoli eventi aleatori E 1 = { faccia 1 } E 2 = { faccia 3 } E 3 = { faccia 5 }. Definire l evento unione E 1 E 2 E 3. Dalla descrizione degli eventi E 1, E 2 ed E 3 si deduce che l evento unione è descritto dall enunciato esce un numero dispari. (Dipartiment 8 / 42

9 Intersezione o Prodotto logico Dati due eventi E 1, E 2, definiamo intersezione o prodotto logico degli eventi E 1, E 2, l evento, denotato con E 1 E 2, che è vero se sono veri gli eventi E 1 ed E 2. Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado e gli eventi aleatori descritti dagli enunciati E 1 = { uscita di un numero inferiore a 4 } E 2 = { uscita di un numero dispari } Definire l evento unione E 1 E 2. Dalla descrizione degli eventi si ricava che E 1 = {1, 2, 3}, E 2 = {1, 3, 5}. da cui discende che l evento intersezione è definito nel seguente modo E 1 E 2 = {1, 3} (Dipartiment 9 / 42

10 Con riferimento all esperimento casuale consistente nel misurare il tempo di vita di un transistor, si considerino gli eventi casuali descritti dagli enunciati E 1 = { il tempo di vita è inferiore a 4 ore } E 2 = { il tempo di vita è superiore a 5 ore } E 3 = { il tempo di vita è compreso tra 2 e 7 ore } Definire gli eventi E 1 E 2, E 2 E 3. Soluzione Dalla descrizione degli eventi si ricava che E 1 E 2 = (evento impossibile) E 2 E 3 = {x : 5 < x < 7} (Dipartiment 10 / 42

11 Le operazioni logiche tra gli eventi, introdotte in precedenza, possono essere rappresentate graficamente mediante l utilizzo dei diagrammi di Venn. L area ombreggiata identifica l evento A B (Dipartiment 11 / 42

12 L area ombreggiata identifica l evento A B (Dipartiment 12 / 42

13 L area ombreggiata identifica l evento Ē (Dipartiment 13 / 42

14 Le operazioni di unione logica ed intersezione logica soddisfano le seguenti proprietà Commutativa Associativa E 1 E 2 = E 2 E 1 E 1 E 2 = E 2 E 1 (E 1 E 2 ) E 3 = E 1 (E 2 E 3 ) = E 1 E 2 E 3 (E 1 E 2 ) E 3 = E 1 (E 2 E 3 ) = E 1 E 2 E 3 Distributiva E 1 (E 2 E 3 ) = (E 1 E 2 ) (E 1 E 3 ) E 1 (E 2 E 3 ) = (E 1 E 2 ) (E 1 E 3 ) (Dipartiment 14 / 42

15 Con riferimento ad un certo stato d informazione, un evento si dice certo, rispettivamente impossibile, quando dai dati è possibile dedurre logicamente la verità, rispettivamente la falsità dell evento. Diremo che un evento è possibile quando non è possiamo dedurre logicamente la verità o falsità dell evento. Due eventi si dicono incompatibili (compatibili nel caso opposto) quando la loro intersezione logica è uguale all evento impossibile. In altri termini, E 1 ed E 2 sono incompatibili quando il verificarsi di uno di essi implica il non verificarsi dell altro, formalmente E 1 E 2 =. Si considerino l esperimento casuale lancio di due dadi e gli eventi definiti dagli enunciati: E 1 = { al primo e al secondo lancio di un dado esce un punto pari }, E 2 = { la somma dei punti realizzati col primo e il secondo lancio di un dado è dispari }. (Dipartiment 15 / 42

16 Evoluzione storica della definizione di probabilità Come ottenere una valutazione di probabilità degli eventi? Per rispondere a questa domanda è necessario considerare lo sviluppo storico del concetto di probabilità. Storicamente il calcolo delle probabilità nasce con lo studio del gioco di azzardo. Le prime valutazioni di probabilità sono rivolte ad un ristretto campo di applicazione dove la schematizzazione dei fenomeni si ottiene con l enumerazione di un ridotto numero di casi, assunti tutti ugualmente possibili. Definizione classica di probabilità La probabilità di un evento E, denotata con P(E), è il rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi dell evento E e il numero di casi possibili, supposti tutti ugualmente possibili. (Dipartiment 16 / 42

17 Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi casuali: Soluzione E 1 = {si ottiene la faccia con il numero 3}; E 2 = {si ottiene una faccia con un numero pari}; E 3 = {si ottiene un faccia con un valore inferiore o uguale a 4}. Lo spazio campionario Ω è l insieme Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Applicando la definizione classica di probabilità si ricava che P(E 1 ) = 1 6 P(E 2 ) = 3 6 = 0, 5 P(E 3) = 4 6 0, 67 (Dipartiment 17 / 42

18 Si consideri l esperimento casuale lancio di due dadi. Determinare la probabilità che il punteggio ottenuto sia 9. Determinare il punteggio più probabile. Soluzione Tutte le possibili coppie sono 6 6 = 36, quindi la probabilità di estrarre una qualsiasi coppia è , 028. Il numero di casi favorevole è uguale al numero di coppie la cui somma è uguale a 9, ovvero (3, 6) (4, 5) (5, 4) (6, 3) da cui si ricava, applicando la definizione classica di probabilità, che la probabilità di ottenere una coppia la cui somma è uguale a 9 è 4 36 = 1 9. uigi Augugliaro (Dipartiment 18 / 42

19 Analogamente a quanto fatto in precedenza si ricava x p 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/ / / /36 Da cui si ricava che 7 è il punteggio più probabile. (Dipartiment 19 / 42

20 Da un mazzo di 52 carte vengono estratte successivamente due carte, senza che la prima venga reinserita. Calcolare la probabilità che le due carte estratte siano due assi. Soluzione Gli eventi elementari sono tutti le possibili coppie estraibili da un mazzo di 52 carte in cui la prima carta estratta non e reinserita nel mazzo. Si deduce che il numero di eventi elementari è = La probabilità 1 di estrarre una data coppia è. Poiché esistono 4 3 = 12 possibili 2652 coppie ordinate di assi, la probabilità di estrarre una coppia di assi è uguale 0, 005. a Calcolare la probabilità richiesta in precedenza assumendo che la prima carta venga reinserita nel mazzo. (Dipartiment 20 / 42

21 Nel gioco del domino si usano tessere rettangolari divise in due parti, in ciascuna delle quali è rappresentato un numero intero da 0 a 6. Determinare la probabilità di estrarre una tessera il cui punteggio totale sia 9. Determinare la probabilità di estrarre una tessera le cui due parti rechino lo stesso numero. Soluzione Differentemente dall esercizio precedente, il totale dei casi possibili è costituito da tutte le possibili coppie non ordinate. Ne consegue che esistono soltanto due tessere in cui la somma dei numeri riportati è uguale a 9. Poiché tutte le possibili tessere sono 28, si ricava che la probabilità di estrarre una tessera il cui punteggio totale sia 9 è 2 28 = 0, 071. Poiché vi sono soltanto 7 tessere con il punteggio uguale, si ricava che la probabilità di estrarre una tessera le cui due parti rechino lo stesso numero è = 0, (Dipartiment 21 / 42

22 Determinare: la probabilità di estrarre un 8 di picche da un mazzo di 52 carte, la probabilità di estrarre una figura (F,Q,P), la probabilità di estrarre un asso o una carta di fiori, la probabilità di estrarre una carta con un numero pari oppure una carta che non sia di fiori, la probabilità che, lanciando due dadi, la somma dei valori ottenuti sia sette. (Dipartiment 22 / 42

23 La concezione frequentista di probabilità deriva dalla constatazione di un fatto sperimentale. Consideriamo un evento ripetibile E. Definiamo frequenza relativa di successo dell evento E il rapporto tra il numero di volte che si verifica un evento e il numero totale delle prove effettuate. Si osserva che al crescere del numero delle prove la frequenza relativa di successo tende a stabilizzarsi verso un valore costante. Sulla base di tale constatazione, nel 1918 si perviene con R. von Mises a quella che è nota come definizione frequentista di probabilità. Definizione frequentista di probabilità La probabilità di un evento ripetibile E è il limite cui tende la frequenza relativa di successo dell evento considerato, al divergere del numero delle prove (n + ). (Dipartiment 23 / 42

24 Sia la definizione classica che frequentista conferiscono alla probabilità un contenuto oggettivo. La concezione soggettiva di probabilità conduce invece ad una definizione di probabilità basata sulla valutazione soggettiva. La definizione che segue è dovuta a de Finetti, uno dei principali fautori della teoria soggettiva della probabilità. Definizione soggettivista di probabilità La probabilità di un evento E, secondo l opinione di un dato individuo, è il prezzo p che egli stima equo attribuire ad un importo unitario esigibile al verificarsi di E. Dalla definizione discende che la probabilità di un evento E è interpretabile come la quota di una scommessa che un individuo, sulla base delle sue esperienze passate ed opinioni, giuduca equo pagare per riscuotere l importo unitario dovuto se si verifica l evento E. (Dipartiment 24 / 42

25 L impostazione assiomatica si differenzia dalle precedenti definizioni dato che non fonda la definizione di probabilità ne sul significato di probabilità ne su quello di evento. Definizione assiomatica di probabilità Sia E l evento di cui si vuole determinare una valutazione di probabilità. La probabilità dell evento E, denotata con P(E), è quel numero reale che soddisfa i seguenti tre assiomi: P(E) 0 (non negatività) P(Ω) = 1 (normalizzazione) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) se e solo se E 1 ed E 2 sono incompatibili (additività). Il terzo assioma è noto come teorema delle probabilità totali per eventi incompatibili. (Dipartiment 25 / 42

26 Utilizzando i tre assiomi è possibile dimostrare i seguenti teoremi. Teorema 1. La probabilità dell evento impossibile è zero, in altri termini P( ) = 0. Dimostrazione Osserviamo che lo spazio degli eventi elementari può essere definito come Ω = Ω, da cui discende che 1 = P(Ω) = P(Ω ). Dato che Ω e sono incompatibili, per il terzo assioma si ricava 1 = P(Ω) = P(Ω ) = P(Ω) + P( ) = 1 + P( ), da cui si deduce che P( ) = 0. (Dipartiment 26 / 42

27 Teorema 2. Sia E un evento ed Ē il suo negato. La probabilità di Ē è il complemento ad uno della probabilità di E, in altri termini P(Ē) = 1 P(E). Dimostrazione Osserviamo che sono verificate le relazioni Ω = E Ē e E Ē =. Attraverso l utilizzo degli assiomi introdotti in precedenza si ricava 1 = P(Ω) = P(E Ē) = P(E) + P(Ē), da cui si ricava che P(Ē) = 1 P(E). (Dipartiment 27 / 42

28 Teorema 3. Siano E 1 ed E 2 due eventi. Si dimostra che P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) P(E 1 E 2 ). Dal teorema 3 discende che in generale P(E 1 E 2 ) P(E 1 ) + P(E 2 ) con l uguaglianza che sussiste se e solo se gli eventi E 1 ed E 2 sono incompatibili. (Dipartiment 28 / 42

29 Uno studente ha programmato di sostenere gli esami A e B in una determinata sessione. In base alla sua preparazione ritiene che la probabilità di superare l esame A sia pari a 0.7, la probabilità di superare l esame B sia 0.5, mentre la probabilità di superarli entrambi sia 0.4. Qual è la probabilità che lo studente superi almeno uno dei due esami? (Dipartiment 29 / 42

30 Siano E 1 ed E 2 due eventi. La probabilità condizionata dell evento E 2 dato l evento E 1, denotata con P(E 2 E 1 ), è definita come analogamente Legge delle probabilità composte P(E 2 E 1 ) = P(E 1 E 2 ), P(E 1 ) P(E 1 E 2 ) = P(E 2 E 1 ). P(E 2 ) P(E 1 E 2 ) = P(E 2 E 1 )P(E 1 ). Definizione Diremo che due eventi sono indipendenti quando il verificarsi di un evento non modifica la probabilità di verificarsi del secondo P(E 2 E 1 ) = P(E 2 ). (1) (Dipartiment 30 / 42

31 Data una famiglia con due figli, calcolare la probabilità che entrambi siano maschi sapendo che almeno uno sia maschio. Soluzione Indicato con m il sesso maschio e con f il sesso femmina, l insieme degli eventi elementari è {(m, m), (m, f ), (f, m), (f, f )}, da cui si ricava, applicando la definizione classica di probabilità, che la probabilità richiesta è 1/3. (Dipartiment 31 / 42

32 Indichiamo con E 1, l evento condizionante ovvero E 1 = {almeno un figlio è maschio}. Poiché vi sono 3 casi favorevoli, si ricava che P(E 1 ) = 3 4. Indichiamo con E 2 l evento descritto dall asserzione {entrambi i figli sono maschi}. Poiché E 1 = {(m, m), (m, f ), (f, m)}, E 2 = {(m, m)} si deduce che E 1 E 2 = {(m, m)} quindi P(E 1 E 2 ) = 1 4. Applicando il teorema delle probabilità condizionate si ricava P(E 2 E 1 ) = P(E 1 E 2 ) P(E 1 ) = 1/4 3/4 = 1 3 (Dipartiment 32 / 42

33 Si consideri l esperimento casuale lancio di due dadi. Si calcoli la probabilità che la somma dei valore ottenuti sia uguale a 3 sapendo che il primo dado lanciato ha fornito il valore 1. Come cambia la probabilità calcolata in precedenza se al primo lancio si ottiene il valore 3? (Dipartiment 33 / 42

34 Da un mazzo di 52 carte vengono estratte 3 carte senza reinserimento. Calcolare la probabilità di estrarre tre assi. Soluzione Sebbene la probabilità richiesta possa essere calcolata mediante la nozione classica di probabilità, risulta più agevole il calcolo attraverso la nozione di probabilità condizionata. Consideriamo i tre eventi E 1 = {la prima carta estratta è un asso} E 2 = {la seconda carta estratta è un asso} E 2 = {la terza carta estratta è un asso} (Dipartiment 34 / 42

35 La probabilità richiesta può essere espressa come P(E 3 E 2 E 1 ), la quale, applicando le formule precedenti si ricava che P(E 3 E 2 E 1 ) = P(E 3 E 2 E 1 ) P(E 2 E 1 ) = = P(E 3 E 2 E 1 ) P(E 2 E 1 ) P(E 1 ) Applicando la nozione classica di probabilità si ricava P(E 1 ) = 4 52 P(E 2 E 1 ) = 3 51 P(E 3 E 2 E 1 ) = 2 50 quindi P(E 3 E 2 E 1 ) = (Dipartiment 35 / 42

36 Un risultato teorico legato alla probabilità condizionata di due eventi E 1 ed E 2 è il teorema di Bayes. Consideriamo la probabilità dell evento condizionato E 2 E 1, ovvero P(E 2 E 1 ) = P(E 1 E 2 ). P(E 1 ) Applicando la legge delle probabilità composte si racava P(E 1 E 2 ) = P(E 1 E 2 )P(E 2 ) P(E 2 E 1 ) = P(E 1 E 2 ) P(E 2) P(E 1 ). La relazione appena introdotta è nota in letteratura come regola di Bayes, la quale consente di calcolare la probabilità condizionata di due eventi nota la probabilità dei singoli eventi e la probabilità condizionata nella quale gli eventi scambiano i propri ruoli. (Dipartiment 36 / 42

37 Una azienda di credito deve decidere se concedere un finanziamento ad un proprio cliente. I clienti vengono ripartiti in due categorie: solvente e insolvente. Sulla base delle esperienze passate è noto che la probabilità che un soggetto appartenga alla categoria insolvente dato che ha ottenuto il finanziamento è dello 0.2. Supponendo che la probabilità che l azienda di credito conceda il finanziamento sia dello 0.4 e che la probabilità che un cliente appartenga alla categoria insolvente sia dello 0.1, calcolare la probabilità che l azienda di credito conceda erroneamente il finanziamento al proprio cliente ovvero la probabilità che venga concesso il finanziamento dato che il soggetto appartiene alla categoria insolvente. (Dipartiment 37 / 42

38 Soluzione Per calcolare la probabilità richiesta definiamo gli eventi E 1 = { il cliente è di tipo insolvente } E 2 = { l azienda di credito concede il finanziamento } Sulla base della descrizione si ricava che P(E 1 E 2 ) = 0.2 P(E 2 ) = 0.4 P(E 1 ) = 0.1. Per calcolare la probabilità richiesta, ovvero P(E 2 E 1 ), applicando il teorema di Bayes si ricava P(E 2 E 1 ) = P(E 1 E 2 ) P(E 2) 0.4 = 0.2 P(E 1 ) 0.1 = 0.8 (Dipartiment 38 / 42

39 Una compagnia assicurativa divide i clienti in due gruppi: il primo gruppo comprende i clienti che sono propensi agli incidenti mentre il secondo gruppo comprende quelli che non lo sono. Le statistiche della compagnia assicurativa mostrano che la probabilità che un assicurato abbia un incidente, dato che appartiene al primo gruppo, è 0,4 mentre la probabilità si riduce a 0,2 se il cliente appartiene al secondo gruppo. Si assuma che probabilità che un nuovo cliente appartenga al primo gruppo sia 0,3. Calcolare la probabilità che un nuovo assicurato abbia un incidente. Assumendo che il nuovo cliente abbia un incidente, determinare la probabilità che si tratti di un cliente del primo gruppo. (Dipartiment 39 / 42

40 Soluzione Per calcolare le probabilità richieste, definiamo gli eventi E 1 = { il cliente ha un incidente } E 2 = { il cliente appartiene al primo gruppo } Ē 2 = { il cliente appartiene al secondo gruppo } Sulla base delle informazioni fornite è noto che P(E 1 E 2 ) = 0, 4 P(E 2 ) = 0, 3 P(E 1 Ē 2 ) = 0, 2 P(Ē 2 ) = 1 P(E 2 ) = 0, 7 Il primo quesito richiede il calcolo di P(E 1 ). (Dipartiment 40 / 42

41 Osservando che Ω = E 2 Ē2 si ottiene E 1 = E 1 Ω = E 1 (E 2 Ē2) = (E 1 E 2 ) (E 1 Ē2) si ricava che la probabilità richiesta può essere espressa come ( ) P(E 1 ) = P (E 1 E 2 ) (E 1 Ē2) Poiché gli eventi (E 1 E 2 ) e (E 1 Ē2) sono incompatibili possiamo scrivere P(E 1 ) = P(E 1 E 2 ) + P(E 1 Ē 2 ). (Dipartiment 41 / 42

42 Utilizzando la legge delle probabilità composte si ricava P(E 1 E 2 ) = P(E 1 E 2 ) P(E 2 ) = 0, 4 0, 3 = 0, 12 P(E 1 Ē 2 ) = P(E 1 Ē 2 ) P(Ē 2 ) = 0, 2 0, 7 = 0, 14 quindi P(E 1 ) = 0, , 14 = 0, 26. Il secondo punto richiede il calcolo della probabilità P(E 2 E 1 ). Applicando il teorema di Bayes si ricava P(E 2 E 1 ) = P(E 1 E 2 ) P(E 2) 0, 3 = 0, 4 0, 462 P(E 1 ) 0.26 (Dipartiment 42 / 42

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Corso di Laurea Specialistica in SCIENZE DELLE PROFESSIONI SANITARIE DELLA RIABILITAZIONE Corso di Laurea Specialistica in SCIENZE DELLE PROFESSIONI SANITARIE AREA TECNICO ASSISTENZIALI

Dettagli

Capitolo 4 Probabilità

Capitolo 4 Probabilità Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 4 Probabilità Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara Docenti: Dott.

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

(concetto classico di probabilità)

(concetto classico di probabilità) Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Teoria ed esempi Introduzione Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi

Dettagli

Probabilità e statistica

Probabilità e statistica Indice generale.probabilità ed eventi aleatori....come si può definire una probabilità....eventi equiprobabili....eventi indipendenti, eventi dipendenti....eventi incompatibili....eventi compatibili....probabilità

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7 CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Incompatibilità ed indipendenza stocastica. Probabilità condizionate, legge della probabilità totale, Teorema

Dettagli

Test sul calcolo della probabilità

Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità 2 Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità. La probabilità p di un evento E, quando si indica con E il suo complementare, è : a) 0 se E è

Dettagli

Matematica Applicata. Probabilità e statistica

Matematica Applicata. Probabilità e statistica Matematica Applicata Probabilità e statistica Fenomeni casuali Fenomeni che si verificano in modi non prevedibili a priori 1. Lancio di una moneta: non sono in grado di prevedere con certezza se il risultato

Dettagli

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo.

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo. Corso di Matematica Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Pisa Maria Luisa Chiofalo Scheda 18 Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità I testi degli esercizi sono

Dettagli

Calcolo delle probabilità (riassunto veloce) Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006

Calcolo delle probabilità (riassunto veloce) Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Calcolo delle probabilità riassunto veloce Laboratorio di Bioinformatica Corso aa 2005-2006 Teoria assiomatica della probabilità S = spazio campionario = insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento

Dettagli

OSSERVAZIONI TEORICHE Lezione n. 4

OSSERVAZIONI TEORICHE Lezione n. 4 OSSERVAZIONI TEORICHE Lezione n. 4 Finalità: Sistematizzare concetti e definizioni. Verificare l apprendimento. Metodo: Lettura delle OSSERVAZIONI e risoluzione della scheda di verifica delle conoscenze

Dettagli

PROBABILITA CONDIZIONALE

PROBABILITA CONDIZIONALE Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,

Dettagli

LEZIONE 3. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010

LEZIONE 3. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010 LEZIONE 3 "Educare significa aiutare l'animo dell'uomo ad entrare nella totalità della realtà. Non si può però educare se non rivolgendosi alla libertà, la quale definisce il singolo, l'io. Quando uno

Dettagli

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado) L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello

Dettagli

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che:

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che: Esercizi Esercizio 4. Un urna contiene inizialmente 2 palline bianche e 4 palline rosse. Si effettuano due estrazioni con la seguente modalità: se alla prima estrazione esce una pallina bianca, la si rimette

Dettagli

Un gioco con tre dadi

Un gioco con tre dadi Un gioco con tre dadi Livello scolare: biennio Abilità interessate Costruire lo spazio degli eventi in casi semplici e determinarne la cardinalità. Valutare la probabilità in diversi contesti problematici.

Dettagli

Cosa dobbiamo già conoscere?

Cosa dobbiamo già conoscere? Cosa dobbiamo già conoscere? Insiemistica (operazioni, diagrammi...). Insiemi finiti/numerabili/non numerabili. Perché la probabilità? In molti esperimenti l esito non è noto a priori tuttavia si sa dire

Dettagli

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.unige/pls_statistica Responsabili scientifici M.P. Rogantin e E. Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) PROBABILITÀ -

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I)

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) 1. Si supponga di avere un urna con 15 palline di cui 5 rosse, 8 bianche e 2 nere. Immaginando di estrarre due palline con reimmissione, si dica con quale probabilità:

Dettagli

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

TEOREMI SULLA PROBABILITÀ

TEOREMI SULLA PROBABILITÀ TEOREMI SULLA PROBABILITÀ o Probabilità totale oprobabilità contraria oprobabilità condizionata odipendenza stocastica oprobabilità composta oformula di Bayes oproblemi di riepilogo Probabilità di eventi

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità ha avuto origine nel Seicento in riferimento a questioni legate al gioco d azzardo e alle scommesse. Oggi trova tante applicazioni in ambiti anche

Dettagli

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe

Dettagli

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita NOTA 1 Gli esercizi sono presi da compiti degli scorsi appelli, oppure da testi o dispense di colleghi. A questi ultimi

Dettagli

matematica probabilmente

matematica probabilmente IS science centre immaginario scientifico Laboratorio dell'immaginario Scientifico - Trieste tel. 040224424 - fax 040224439 - e-mail: lis@lis.trieste.it - www.immaginarioscientifico.it indice Altezze e

Dettagli

Università degli Studi di Cassino, Anno accademico 2004-2005 Corso di Statistica 2, Prof. M. Furno

Università degli Studi di Cassino, Anno accademico 2004-2005 Corso di Statistica 2, Prof. M. Furno Università degli Studi di Cassino, Anno accademico 2004-2005 Corso di Statistica 2, Prof. M. Furno Esercitazione del 18/1/2005 Dott. Claudio Conversano Esercizio 1 (non svolto in aula) Vengono lanciati

Dettagli

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }.

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }. ESERCIZI ELEMENTARI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Teorema della somma 1) Giocando alla roulette, calcolare la probabilità che su una estrazione esca: a) Un numero compreso tra 6 e 12 (compresi) oppure maggiore

Dettagli

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Teoria della probabilità Assiomi e teoremi A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Esperimento casuale Esperimento

Dettagli

1 Probabilità condizionata

1 Probabilità condizionata 1 Probabilità condizionata Accade spesso di voler calcolare delle probabilità quando si è in possesso di informazioni parziali sull esito di un esperimento, o di voler calcolare la probabilità di un evento

Dettagli

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E). MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica

Dettagli

Si considerino gli eventi A = nessuno studente ha superato l esame e B = nessuno studente maschio ha superato l esame. Allora A c B è uguale a:

Si considerino gli eventi A = nessuno studente ha superato l esame e B = nessuno studente maschio ha superato l esame. Allora A c B è uguale a: TEST DI AUTOVALUTAZIONE - SETTIMANA 2 I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Metodi statistici per la biologia 1 Parte A 1.1 Si considerino gli

Dettagli

LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di

LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di STATISTICA LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di oggetti; cerca, attraverso l uso della matematica

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie

1. Distribuzioni campionarie Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie

Dettagli

E NECESSARIO RICORRERE ALLE VARIABILI CASUALI

E NECESSARIO RICORRERE ALLE VARIABILI CASUALI IL CONCETTO DI VARIABILE CASUALE Associare una misura di probabilità al verificarsi di un certo evento (come esito di un esperimento) non sempre è sufficiente a risolvere gran parte dei problemi reali

Dettagli

Probabilità Calcolo combinatorio, probabilità elementare, probabilità condizionata, indipendenza, th delle probabilità totali, legge di Bayes

Probabilità Calcolo combinatorio, probabilità elementare, probabilità condizionata, indipendenza, th delle probabilità totali, legge di Bayes Sessione Live #3 Settimana dal 7 all 11 marzo 2003 Probabilità Calcolo combinatorio, probabilità elementare, probabilità condizionata, indipendenza, th delle probabilità totali, legge di Bayes Lezioni

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 19 marzo 2007 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio 1 Un urna contiene due palle nere e una rossa. Una seconda urna ne contiene una bianca

Dettagli

PROBABILITA CONDIZIONALE

PROBABILITA CONDIZIONALE Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,

Dettagli

Probabilità discreta

Probabilità discreta Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che

Dettagli

Test d ipotesi. Statistica e biometria. D. Bertacchi. Test d ipotesi

Test d ipotesi. Statistica e biometria. D. Bertacchi. Test d ipotesi In molte situazioni una raccolta di dati (=esiti di esperimenti aleatori) viene fatta per prendere delle decisioni sulla base di quei dati. Ad esempio sperimentazioni su un nuovo farmaco per decidere se

Dettagli

Somma logica di eventi

Somma logica di eventi Somma logica di eventi Da un urna contenente 24 palline numerate si estrae una pallina. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) esce un numero divisibile per 5 o superiore a 20, b) esce un numero

Dettagli

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La definizione di probabilità che abbiamo finora considerato è anche nota come probabilità a priori poiché permette di prevedere l'esito di un evento

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Lezione 1. Gli Insiemi. La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme:

Lezione 1. Gli Insiemi. La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme: Lezione 1 Gli Insiemi La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme: degli iscritti ad un corso di laurea delle stelle in cielo dei punti di un piano

Dettagli

risulta (x) = 1 se x < 0.

risulta (x) = 1 se x < 0. Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente

Dettagli

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I TEORIA DELLA PROBABILITÀ I Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [2015-16] Indice 1 Probabilità 1 1.1 Introduzione............................................ 1 1.2 Eventi...............................................

Dettagli

1. PRIME PROPRIETÀ 2

1. PRIME PROPRIETÀ 2 RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,

Dettagli

Esercizi sul calcolo delle probabilità

Esercizi sul calcolo delle probabilità Esercizi sul calcolo delle probabilità Svolti e da svolgere (per MAR 13 marzo) Dati due eventi A e B dello spazio campionario Ω. Si sappia che P(A c )=0,3 P(B)=0,4 e P(A B c )=0,5 si determinino le probabilità

Dettagli

STATISTICA E PROBABILITá

STATISTICA E PROBABILITá STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano

Dettagli

Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni

Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni Analisi dei Dati 1/13 Esercizi proposti 3 soluzioni 0.1 Un urna contiene 6 palline rosse e 8 palline nere. Si estraggono simultaneamente due palline. Qual è la probabilità di estrarle entrambe rosse? (6

Dettagli

Corso di Statistica. Corso di Laurea in Ingegneria Edile. Ingegneria Tessile. Docente: Orietta Nicolis

Corso di Statistica. Corso di Laurea in Ingegneria Edile. Ingegneria Tessile. Docente: Orietta Nicolis Corso di Statistica Corso di Laurea in Ingegneria Edile ed Ingegneria Tessile Docente: Orietta Nicolis Orario del corso: Martedì: dalle 16.00 alle 18.00 Giovedì: dalle 9.30 alle 11.30 Ricevimento: Mercoledì:

Dettagli

Lezione 10. La Statistica Inferenziale

Lezione 10. La Statistica Inferenziale Lezione 10 La Statistica Inferenziale Filosofia della scienza Secondo Aristotele, vi sono due vie attraverso le quali riusciamo a formare le nostre conoscenze: (1) la deduzione (2) l induzione. Lezione

Dettagli

Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa.

Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa. Una sperimentazione Probabilità Si sta sperimentando l efficacia di un nuovo farmaco per il morbo di Parkinson. Duemila pazienti partecipano alla sperimentazione: metà di essi vengono trattati con il nuovo

Dettagli

PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI

PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI ESERCIZIO 1 Due giocatori estraggono due carte a caso da un mazzo di carte napoletane. Calcolare: 1) la probabilità che la prima carta sia una figura oppure una carta di

Dettagli

Sui concetti di definizione, teorema e dimostrazione in didattica della matematica

Sui concetti di definizione, teorema e dimostrazione in didattica della matematica Liceo Scientifico Statale P. Paleocapa, Rovigo XX Settimana della Cultura Scientifica e Tecnologica 19 marzo 2010 Sui concetti di definizione, teorema e dimostrazione in didattica della matematica Prof.

Dettagli

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

Concetti per il calcolo delle probabilità. Gli eventi: una classificazione

Concetti per il calcolo delle probabilità. Gli eventi: una classificazione Concetti per il calcolo delle probabilità "La prova genera l 'evento con una certa probabilità". Prova, evento, probabilità, sono concetti primitivi, nozioni intuitive. Comunque una loro qualificazione

Dettagli

Esempi di algoritmi. Lezione III

Esempi di algoritmi. Lezione III Esempi di algoritmi Lezione III Scopo della lezione Implementare da zero algoritmi di media complessità. Verificare la correttezza di un algoritmo eseguendolo a mano. Imparare a valutare le prestazioni

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 1

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 1 CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 1 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it A.Studio dell interdipendenza tra variabili: riepilogo Concetto relativo allo studio delle relazioni tra

Dettagli

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi

Dettagli

Aspetti probabilistici del gioco d azzardo

Aspetti probabilistici del gioco d azzardo Università degli Studi di Genova Scuola di Scienze Sociali Dipartimento di Economia Perché il banco vince sempre? Aspetti probabilistici del gioco d azzardo Enrico di Bella (edibella@economia.unige.it)

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

Alcune nozioni di base di Logica Matematica

Alcune nozioni di base di Logica Matematica Alcune nozioni di base di Logica Matematica Ad uso del corsi di Programmazione I e II Nicola Galesi Dipartimento di Informatica Sapienza Universitá Roma November 1, 2007 Questa é una breve raccolta di

Dettagli

IL CALCOLO DELLE PROBABILITA

IL CALCOLO DELLE PROBABILITA IL CALCOLO DELLE PROBABILITA 0. Origini Il concetto di probabilità sembra che fosse del tutto ignoto agli antichi malgrado si sia voluto trovare qualche cenno di ragionamento in cui esso è implicitamente

Dettagli

8. Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo di 40 carte napoletane una figura?

8. Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo di 40 carte napoletane una figura? www.matematicamente.it Probabilità 1 Calcolo delle probabilità Cognome e nome: Classe Data 1. Quali affermazioni sono vere? A. Un evento impossibile ha probabilità 1 B. Un vento certo ha probabilità 0

Dettagli

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita?

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 00 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Osserviamo che il valore della vincita dipende dal risultato dell esperimento

Dettagli

TEORIA DELLE DECISIONI. DOCENTE: JULIA MORTERA mortera@uniroma3.it

TEORIA DELLE DECISIONI. DOCENTE: JULIA MORTERA mortera@uniroma3.it TEORIA DELLE DECISIONI DOCENTE: JULIA MORTERA mortera@uniroma3.it 1 Decisioni in Condizioni di Incertezza Sia singoli individui che gruppi di individui (società, governi, aziende, sindacati ecc. si trovano

Dettagli

Ulteriori problemi di fisica e matematica

Ulteriori problemi di fisica e matematica Facoltà di Medicina e Chirurgia Università degli Studi di Firenze Agosto 2010 Ulteriori problemi di fisica e matematica Giovanni Romano Perché un raggio di luce proveniente dal Sole e fatto passare attraverso

Dettagli

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Prof. Francesco Tottoli Versione 3 del 20 febbraio 2012 DEFINIZIONE È una scienza giovane e rappresenta uno strumento essenziale per la scoperta di leggi e

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Calcolo delle probabilità Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si vuole studiare la distribuzione del sesso dei figli nelle famiglie aventi due figli

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 6

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 6 CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 6 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Riepilogo: Postulati del calcolo della probabilità (Kolmogorov): Dato un evento A Ω, dove è lo spazio degli

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

Appunti sulla Macchina di Turing. Macchina di Turing

Appunti sulla Macchina di Turing. Macchina di Turing Macchina di Turing Una macchina di Turing è costituita dai seguenti elementi (vedi fig. 1): a) una unità di memoria, detta memoria esterna, consistente in un nastro illimitato in entrambi i sensi e suddiviso

Dettagli

4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI

4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI 119 4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI Indice degli Argomenti: TEMA N. 1 : INSIEMI NUMERICI E CALCOLO

Dettagli

4. SERIE NUMERICHE FIGURALI

4. SERIE NUMERICHE FIGURALI 4. SERIE NUMERICHE FIGURALI Le serie numeriche figurali consistono in: - una successione di numeri collocati all interno di alcune figure, OPPURE - una serie di figure a cui è possibile associare un valore

Dettagli

5. La teoria astratta della misura.

5. La teoria astratta della misura. 5. La teoria astratta della misura. 5.1. σ-algebre. 5.1.1. σ-algebre e loro proprietà. Sia Ω un insieme non vuoto. Indichiamo con P(Ω la famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω. Inoltre, per ogni insieme

Dettagli

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 12-Il t-test per campioni appaiati vers. 1.2 (7 novembre 2014) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca

Dettagli

Sommario. Definizione di informatica. Definizione di un calcolatore come esecutore. Gli algoritmi.

Sommario. Definizione di informatica. Definizione di un calcolatore come esecutore. Gli algoritmi. Algoritmi 1 Sommario Definizione di informatica. Definizione di un calcolatore come esecutore. Gli algoritmi. 2 Informatica Nome Informatica=informazione+automatica. Definizione Scienza che si occupa dell

Dettagli

Prof. Silvio Reato Valcavasia Ricerche. Il piano cartesiano

Prof. Silvio Reato Valcavasia Ricerche. Il piano cartesiano Il piano cartesiano Per la rappresentazione di grafici su di un piano si utilizza un sistema di riferimento cartesiano. Su questo piano si rappresentano due rette orientate (con delle frecce all estremità

Dettagli

REGOLAMENTO DI VALUTAZIONE DEL PERSONALE DIPENDENTE

REGOLAMENTO DI VALUTAZIONE DEL PERSONALE DIPENDENTE REGOLAMENTO DI VALUTAZIONE DEL PERSONALE DIPENDENTE Approvato con Determinazione del Direttore Generale n. 244 del 20/07/2010 L importanza di un sistema operativo di valutazione comune e riconoscibile

Dettagli

Distribuzioni discrete

Distribuzioni discrete Distribuzioni discrete Esercitazione 4 novembre 003 Distribuzione binomiale Si fa un esperimento (o prova): può manifestarsi un certo evento A con probabilità p oppure no (con probabilità q = p). La distribuzione

Dettagli

Tasso di interesse e capitalizzazione

Tasso di interesse e capitalizzazione Tasso di interesse e capitalizzazione Tasso di interesse = i = somma che devo restituire dopo un anno per aver preso a prestito un euro, in aggiunta alla restituzione dell euro iniziale Quindi: prendo

Dettagli

REGOLAMENTO PER IL CONFERIMENTO DELLE BORSE DI STUDIO PER STUDENTI DEL PERCORSO FORMATIVO COMUNE DEL CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN MATEMATICA

REGOLAMENTO PER IL CONFERIMENTO DELLE BORSE DI STUDIO PER STUDENTI DEL PERCORSO FORMATIVO COMUNE DEL CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN MATEMATICA REGOLAMENTO PER IL CONFERIMENTO DELLE BORSE DI STUDIO PER STUDENTI DEL PERCORSO FORMATIVO COMUNE DEL CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN MATEMATICA Art. 1 - Finalità, durata, e modalità di assegnazione 1. La

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007 Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

Per poter affrontare il problema abbiamo bisogno di parlare di probabilità (almeno in maniera intuitiva). Analizziamo alcune situazioni concrete.

Per poter affrontare il problema abbiamo bisogno di parlare di probabilità (almeno in maniera intuitiva). Analizziamo alcune situazioni concrete. Parliamo di probabilità. Supponiamo di avere un sacchetto con dentro una pallina rossa; posso aggiungere tante palline bianche quante voglio, per ogni pallina bianca che aggiungo devo pagare però un prezzo

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 4 A. Si supponga che la durata in giorni delle lampadine prodotte

Dettagli

811.112.31 Ordinanza del DFI concernente la sperimentazione di un modulo speciale d insegnamento e d esame per la medicina dentaria

811.112.31 Ordinanza del DFI concernente la sperimentazione di un modulo speciale d insegnamento e d esame per la medicina dentaria Ordinanza del DFI concernente la sperimentazione di un modulo speciale d insegnamento e d esame per la medicina dentaria del 30 agosto 2007 (Stato 1 settembre 2007) Il Dipartimento federale dell interno,

Dettagli

ESAMI DI QUALIFICA PROFESSIONALE

ESAMI DI QUALIFICA PROFESSIONALE ESAMI DI QUALIFICA PROFESSIONALE La procedura per lo svolgimento degli esami di qualifica professionale, per le classi terze inizia nel primo Consiglio di classe successivo agli scrutini di febbraio, con

Dettagli

ESERCIZI EVENTI E VARIABILI ALEATORIE

ESERCIZI EVENTI E VARIABILI ALEATORIE ESERCIZI EVENTI E VARIABILI ALEATORIE 1) Considera la tabella seguente, che descrive la situazione occupazionale di 63 persone in relazione al titolo di studio. Occupazione SI NO Titolo Licenza media 5%

Dettagli

FREQUENZA TEORICA E FREQUENZA PERCENTUALE Lezione n. 13

FREQUENZA TEORICA E FREQUENZA PERCENTUALE Lezione n. 13 FREQUENZA TEORICA E FREQUENZA PERCENTUALE Lezione n. 13 Finalità: Enunciare le definizioni maturate attraverso l esercitazione pratica. Sistematizzare concetti e definizioni Metodo: Sperimentazione pratica

Dettagli

E LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A

E LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A L M T I D I P R O B A B I L I T A CI STORICI Il calcolo delle probabilità si è andato sviluppando piuttosto di recente, intorno al 500 e per lungo tempo solo come una branca della matematica Solo dal secolo

Dettagli

Statistica. Lezione 6

Statistica. Lezione 6 Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 6 a.a 011-01 Dott.ssa Daniela Ferrante

Dettagli

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x) 1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:

Dettagli

1 Giochi a due, con informazione perfetta e somma zero

1 Giochi a due, con informazione perfetta e somma zero 1 Giochi a due, con informazione perfetta e somma zero Nel gioco del Nim, se semplificato all estremo, ci sono due giocatori I, II e una pila di 6 pedine identiche In ogni turno di gioco I rimuove una

Dettagli

RICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova scritta del 22 marzo 2007

RICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova scritta del 22 marzo 2007 RICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova scritta del 22 marzo 2007 Rispondere alle seguenti domande marcando a penna la lettera corrispondente alla risposta ritenuta corretta (una sola tra quelle riportate). Se

Dettagli