Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica 1-2 Dott.ssa Sandra Lucente 1 Funzioni potenza ed esponenziale.

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1 Corso di laurea i Matematica Corso di Aalisi Matematica -2 Dott.ssa Sadra Lucete Fuzioi poteza ed espoeziale. Teorema. Teorema di esisteza della radice -esima. Sia N. Per ogi a R + esiste uo ed u solo b R + tale che b = a. Corollario. Se è dispari, per ogi a R esiste uo ed u solo b R tale che b = a. Defiizioe. Si chiama radice -esima di a il valore b dato dal teorema se a 0 e dal corollario se è dispari e a < 0. Lemma. Sia N. Risulta ( ) = se è pari, ( ) = se è dispari. Teorema 2. Fuzioe poteza eesima. Sia assegato N. La fuzioe poteza -esima f : R R f () = gode delle segueti proprietà () Il domiio di f () = è R. (2) Se è pari, f () = è pari. Se è dispari f () = è dispari. (3) La fuzioe f () = si aulla i = 0. (4) Se è pari, f () = è strettamete positiva i R. Se è dispari f () = è strettamete positiva i R +, strettamete egativa i R. (5) Se è pari, f () = è strettamete decrescete i R, strettamete crescete i R +. Se è dispari f () = è strettamete crescete i R. (6) Per ogi N risulta f ([0, + )) = [0, + ). Se è pari f (R) = R +. Se è pari f ([, 0)) = [0, + ). Se è dispari f (R) = R. Se è dispari f ([, 0)) = [, 0). (7) Se è pari f ha u uico miimo ullo i = 0 e o è limitata superiormete Se è dispari f o è limitata è iferiormete è superiormete. Esercizio fodametale. Saper disegare i grafici di f al variare di sullo stesso riferimeto cartesiao. Teorema 3. Fuzioe radice eesima. Sia assegato N. La fuzioe iversa della poteza -esima si deota co f / e il suo valore i a coicide co la radice -esima di a. () Se è pari, il domiio di f / è R +. Se è dispari, il domiio di f / è R. (2) Se è dispari f / è dispari. (3) La fuzioe f / si aulla i = 0. (4) Se è pari, f / è strettamete positiva Se è dispari f / è strettamete positiva i R +, strettamete egativa i R. (5) f / è strettamete crescete el suo domiio. (6) Se è pari f / (R + ) = R +. Se è dispari f / (R) = R. (7) Se è pari f / ha u uico miimo ullo i = 0 e o è limitata superiormete Se è dispari f / o è limitata è iferiormete è superiormete. Questi apputi potrebbero coteere sviste ed errori, vi prego di segalarmeli, ad esempio via . Versioe del 4--0

2 2 (8) Per ogi, y Dom(f / ), ed N risulta = y = y k = ( ) k k = k { pari = dispari Esercizio fodametale 2. Saper disegare i grafici di f / al variare di sullo stesso riferimeto cartesiao. Teorema 4. Fuzioe reciproca della fuzioe poteza eesima. Sia assegato N. Si cosidera la fuzioe poteza f : R R f () = :=. Essa gode delle segueti proprietà () Il domiio di f () = è R. (2) Se è pari, f () = è pari. Se è dispari f () = è dispari. (3) Se è pari, f () = è strettamete positiva i R. Se è dispari f () = è strettamete positiva i R +, strettamete egativa i R. (4) Se è pari, f () = è strettamete crescete i R, strettamete decrescete i R +. Se è dispari f () = è strettamete decrescete sulle semirette R ed R +. (5) Se è pari, f (R ) = R +. I particolare la fuzioe è limitata iferiormete, ha if ullo ma o ha miimo, o è limitata superiormete Se è dispari f (R ) = R, quidi o è limitata è iferiormete è superiormete. Esercizio fodametale 3. Saper disegare i grafici di f al variare di sullo stesso riferimeto cartesiao. Proposizioe. Siao, 2 Z, d, d 2 N tali che d = 2 d 2. Per ogi 0 risulta f d f () = f d 2 f 2 (). Proposizioe 2. Proprietà delle poteze ad espoete razioale. Sia a 0, si ha a 0 =, a = a a q = a q, per ogi p Q a q a p = a q+p, per ogi p, q Q (a q ) p = a pq, per ogi p, q Q a p b p = (ab) p, per ogi p Q, a, b R +. Problema Come defiire la poteza ad espoete reale? Quale sarà il suo domiio?

3 3 Proposizioe 3. Sia assegato a R +. Si cosidera la fuzioe f a,q : Q R tale che per ogi q Q, q = d risulta f a(q) = a q := d a. Per la Proposizioe tale defiizioe è be posta perchè o dipede dalla rappresetazioe di q come frazioe. Per a = si tratta della fuzioe costate di valore ristretta a Q. (i) La fuzioe f a,q è strettamete positiva. (ii) Se a > allora f a,q è strettamete crescete Se 0 < a < allora f a,q è strettamete decrescete (iii) f a,q è limitata iferiormete co if f a,q = 0 o raggiuto, e o limitata superiormete. (iv) Se a > allora f a,q (q 0 ) = sup f a,q (q) = if f a,q(q) q<q 0 q 0 <q Se 0 < a < allora f a,q (q 0 ) = sup q 0 <q f a,q (q) = if q<q 0 f a,q (q) Problema. Si cosiderio i gruppi (R, +) e (R +, ). Esiste u applicazioe ivertibile che mada la somma el prodotto e lo zero ell uità? Tale applicazioe è uica? Fissato a > 0 la fuzioe f a,q : Q R ha queste proprietà ma o è defiita su tutto R. Ovviamete per a = si ha ua fuzioe che mada la somma el prodotto e lo zero ell uità ma o ci cosete di torare da (R +, ) a (R, +). Possiamo allora riformulare il problema el seguete modo. Fissato a > 0, a =, esiste ua fuzioe f a : R R tale che (f a ) Q = f a,q ed ache f a ( + y) = f a ()f a (y)? Il successivo teorema dice che ua tale fuzioe esiste, azi è uica ua volta che fissiamo a > 0. Ne cosegue che per ogi a > 0, a = esiste u uico isomorfismo da (R, +) e (R +, ) che mada i a. Teorema 5. Fuzioe espoeziale. Sia assegato a R + {}. Si cosidera la fuzioe f a : R R tale che f a () := sup q< f a () := sup <q La fuzioe f a gode delle segueti proprietà a q = if a q se a > <q a q = if a q se 0 < a < q< () Il domiio di f a è R, i valori si deotao ache co i simboli: f a () = a = ep a (). (2) (f a ) Q = f a,q (3) Se a > allora f a è strettamete crescete Se 0 < a < allora f a è strettamete decrescete (4) Per l immagie si ha f a (R) = R +. I particolare f a è limitata iferiormete co if f a = 0 o raggiuto, e o limitata superiormete. (5) a = a, per ogi R, a > 0, a =, a a y = a +y, per ogi, y R, a > 0, a =, (a ) y = a y, per ogi, y R, a > 0, a =, a b = (ab), per ogi R, a > 0, a =, b > 0, b =. Esercizio fodametale 4. Saper disegare i grafici di f a al variare di 0 < a < sullo stesso riferimeto cartesiao Saper disegare i grafici di f a al variare di a > sullo stesso riferimeto cartesiao.

4 Teorema 6. Fuzioe logaritmo Sia a > 0, a =. Essedo l espoeziale ua fuzioe strettamete crescete, possiamo ivertirla sul suo codomiio. L iversa della ridotta di f a () = a alla semiretta ]0, + [ e si chiama fuzioe logaritmo i base a e si idica co (f a ) () = log a (). () a > se e solo se log a > 0 i ], + [ 0 < a < se e solo se log a > 0 i ]0, [ (2) Se a > allora la fuzioe log a : R + R è strettamete crescete Se 0 < a < allora la fuzioe log a : R + R è strettamete decrescete (3) lg a () o è limitata su ]0, + [ ioltre lg a (R +) = R. (4) Valgoo le segueti proprietà (a) log a (y) = log a () + log a (y) per ogi, y R + (b) log a ( b ) = b log a () per ogi R + e b R (c) log a () = log b () log b (a) per ogi R +, b R + {}. Covezioe. Tra le basi per la fuzioe espoeziale e logaritmo, è privilegiata la base 0, i tal caso si scrive log 0 = Log e si parla di Logaritmo decimale ed il umero di Nepero e = I particolare log e () si può scrivere l() oppure L cioè logaritmo aturale. Soo ivece ambigue le otazioi lg come logaritmo decimale oppure biario (base 2), e la otazioe log che su alcui testi sta per log 0 i altri per log e, verificare el testo a cosa ci si riferisce. Esercizio. Completare le segueti formule co a > 0, a = log a =... log a (y) =... per ogi, y R tali che y > 0 log a =... y per ogi y > 0 log a =... y, y R tali che y > 0 Esercizio fodametale 5. Saper disegare i grafici di lg a () al variare di a > 0, a = sullo stesso riferimeto cartesiao. Teorema 7. La fuzioe poteza ad espoete reale Si fissi α R e si cosidera la fuzioe f α : R + R tale che f α () = α := ep(α lg ). () Se α N allora f α è la restrizioe a R + della fuzioe poteza. Se α N allora f α è la restrizioe a R + della fuzioe reciproca della fuzioe poteza. Se α = 0 allora f α è la restrizioe a R + della fuzioe costate di costate valore. Se α = co N allora f α è la restrizioe a R + della fuzioe f f Se α Q, α = d, allora f α è la restrizioe a R + della fuzioe f d Se α I +, allora possiamo prolugarla per = 0 facedo assumere al prolugameto il valore f α (0) = 0. (2) Siao α, β R. Allora f α+β = (f α ) (f β ). (3) Se α > 0 allora la fuzioe f α è strettamete crescete Se α < 0 allora la fuzioe f α è strettamete decrescete (4) Per l immagie si ha f α (R +) = R +. I particolare f α o è limitata superiormete ma è limitata iferiormete co if f α = 0 o raggiuto a meo di cosiderare i prolugameti per α > 0. Esercizio fodametale 6. a = Saper disegare i grafici di α al variare di α R ello stesso riferimeto cartesiao. 4

5 5 Teorema 8. Le fuzioi iperboliche Si defiiscoo le segueti fuzioi Fuzioe seo-iperbolico: seh : R R tale che seh() = e e 2 Fuzioe coseo-iperbolico: cosh : R R tale che cosh() = e +e 2 Fuzioe tagete-iperbolico: tgh : R R tale che tgh() = e e e +e Si hao le segueti proprietà () Il domiio delle fuzioi iperboliche è R (2) Le fuzioi iperboliche soo simmetriche (che tipo di simmetria?) (3) cosh 2 () seh 2 () =... (4) tgh 2 () = cosh 2 () (5) cosh( + y) =... seh( + y) =... (6) La fuzioe seo-iperbolico è strettamete mootoa (che tipo di mootoia?) La fuzioe tagete-iperbolico è strettamete mootoa (che tipo di mootoia?) La fuzioe coseo-iperbolico ristretta a [0, + [ è strettamete crecete, ristretta a ], 0] è strettamete decrecete. (7) Riguardo alle immagii si ha: seh(r) = R cosh(r) = [, + ), cosh([0, + [) = [, + ), cosh(], 0]) = [, + ) tgh(r) =], [ (Dedurre di cosegueza il sup e l if di tali fuzioi) (8) Esiste l iversa della fuzioe seh e si chiama fuzioe sett seh : R R, essa ha la seguete espressioe aalitica: sett seh() = lg( ) Esiste l iversa della ridotta restrizioe fuzioe cosh a [0, + [ e si chiama fuzioe sett cosh : [, + [ R, essa ha la seguete espressioe aalitica: sett cosh() = lg( + 2 ) Esiste l iversa della fuzioe tgh e si chiama fuzioe sett tgh :], [ R, essa verifica: sett tgh() = + lg 2. Esercizio fodametale 7. Saper disegare i grafici delle fuzioi iperboliche e delle loro iverse. Esercizio fodametale 8. Trovare il domiio aturale delle fuzioi y = f() g(), y = log f() (g()).