Lavoro, Energia e stabilità dell equilibrio II parte

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1 Lavoro, Energa e stabltà dell equlbro II parte orze conservatve e non conservatve Il concetto d Energa potenzale s aanca per mportanza a quello d Energa cnetca, perché c permette d passare dallo studo delle orze e della loro azone puntuale, al solo esame della loro azone globale, coè con quanttà che tengono conto solo del prma e del dopo. Molte orze possono essere renterpretate n termn d una approprata unzone Energa potenzale, anz nella descrzone d ogn enomeno sco s tenta d ndvduare, puttosto che le orze agent, le Energe potenzal ad esse collegate, n modo che valga la legge lavoro della orza = dmnuzone d Energa potenzale tra punt nzale e nale ovvero n ormula: W = = ( (15 Non per tutte le orze è però possble denre una unzone Energa potenzale. L esempo pù semplce è dato dalla orza applcata per muovere un oggetto sottoposto ad attrto dnamco, ad esempo un oggetto appoggato su un tavolo. Per spostare l oggetto dal punto nzale A al punto nale B, è possble segure percors d lunghezza dversa; l lavoro per ogn percorso sarà dverso perché la orza d attrto è costante e uguale a µ d N, ma lo spostamento totale è dverso su percors dvers. Non s realzza qund la propretà ondamentale dell Energa potenzale, e coè che la sua varazone deve essere ndpendente dal percorso. Vene naturale qund suddvdere le orze n due categore, chamando conservatve quelle orze, come la gravtà o la orza elastca, per le qual s realzzano le propretà vste ne paragra precedent, e non conservatve le altre: orze conservatve orze non conservatve Esemp: orze gravtazonal, elastche, Esemp: orze centrpete, d attrto, elettrche, nuclear, d legame chmco etc. magnetche etc. Esste una Energa potenzale, unzone solo Non esste una unzone Energa potenzale della poszone W = θ cos ds = = ( W = cosθ ds W non dpende dal percorso W dpende dal percorso W è uguale alla dmnuzone d Energa W deve essere calcolato volta per volta potenzale tra lo stato nale e lo stato nzale W su un percorso chuso è uguale a zero dr W su un percorso chuso può essere dverso da zero W=0 L ultma rga esprme n modo dverso la propretà ondamentale delle orze conservatve. Se l corpo eettua un percorso chuso deve rsultare W = 0 poché lo stato nale concde con quello nzale e ovvamente = 0, come schematzzato ad esempo nel dsegno: un corpo sottoposto solo ad una orza conservatva, parte da A per arrvare ad A. na stuazone del genere s ha ad esempo con una molla che esegue una oscllazone completa tornando al punto d partenza. A r θ s

2 Questa propretà spega l nome d orze conservatve: l energa potenzale persa n una parte del percorso vene recuperata n un altra parte n modo che alla ne del percorso chuso l blanco sa n pareggo. G Legge d conservazone dell Energa meccanca Rassumamo qua due mportant rsultat (10 e (15: Per qualsas orza: Solo per orze conservatve: teorema dell Energa cnetca esste una unzone Energa potenzale Se W è l lavoro delle orze total: Se W è l lavoro d una orza conservatva: W = K = K K W = = ( dove K = ½ m v 2 dove è unzone della sola poszone, e assume orme dverse per orze dverse Dato che la seconda espressone s può scrvere solo se le orze appartengono alla categora delle orze conservatve, consderamo un sstema n cu v sano solo orze d questo tpo (n genere un sstema meccanco solato, senza ntervento dall esterno e senza attrt e supponamo che sa l totale delle Energe potenzal relatve alle sngole orze. Allora vale: W = K K = ( da cu rsstemando la ormula: K + = K + (16 e denendo l Energa meccanca totale E come somma della Energa cnetca e della Energa potenzale, s arrva a: E = K + E = E Questa è la ondamentale legge d conservazone dell Energa: n un sstema n cu agscono solo orze conservatve, l energa meccanca totale s conserva (coè l Energa meccanca nale è uguale a quella nzale; v possono essere soltanto degl scamb tra Energa cnetca e potenzale, ma n modo che l totale rmanga costante. La legge d conservazone dell Energa è una potente sntes d var aspett de enomen meccanc: essa c dce che ndpendentemente da dettagl d un enomeno (orze, temp, traettore, vncol etc. v è una grandezza scalare, l Energa meccanca totale, che rmane costante. L utltà concettuale e pratca d poter nterpretare enomen alla luce d una legge d conservazone porterà po alla progressva estensone del concetto d Energa ad altre grandezze (l calore n Termodnamca, la pressone ne lud, la massa nella sca relatvstca, camp elettrc e magnetc n elettromagnetsmo etc., e alla ormulazone d legg d conservazone dell Energa sempre pù general. H Azone delle orze non conservatve Alla luce della ormulazone della legge d conservazone dell Energa meccanca, s comprende anche l sgncato del termne non conservatva applcato a certe orze, come le orze d attrto; s dce comunemente che le orze non conservatve possono dsspare energa, o mmettere energa nel sstema. Ad esempo, consderamo un sstema n cu agscano, oltre a orze conservatve, anche orze d attrto che s oppongono al moto; un eetto noto delle orze d attrto è quello d ar dmnure le veloctà de corp, eventualmente no a ermars. In altre parole, nel caso

3 degl attrt la orza e lo spostamento sono n drezon opposte e qund s ha un lavoro negatvo: questo corrsponderà a una dmnuzone dell Energa cnetca, che però non può essere compensata da un corrspettvo aumento d Energa potenzale. Pù n generale, detto W l lavoro d tutte le orze, uguale alla somma d W con, lavoro delle sole orze conservatve, e d W no, lavoro d quelle non conservatve, dalle ormule n tabella abbamo: W = W + W con no W = K = K K ; Wcon = = ( da cu rcavando W no : W = W W = K + = E (18 essendo no con E = E E la varazone d energa meccanca. Ma le orze d attrto hanno lavoro negatvo (W no < 0 per cu rsulta E < 0, n altre parole l Energa meccanca dmnusce! In realtà s osserverà po, n altre part della sca, che l Energa meccanca vene dsspata n calore, suono, luce o deormazone de corp, e se quest enomen vengono opportunamente descrtt come altre orme d Energa, come s arà n Termodnamca, è possble denre una legge d conservazone dell Energa pù generale. Concludendo, abbamo dalla ormula (18 l rsultato che l lavoro delle orze d tpo non conservatvo è uguale alla varazone dell Energa meccanca totale del sstema. I Relazone tra orza conservatva ed Energa potenzale Abbamo vsto che per una orza conservatva l lavoro è uguale alla dmnuzone d Energa potenzale, n ormula W =. Consderamo l caso specale d un sstema n una dmensone, coè consderamo un oggetto che s muove sull asse X ed è sottoposto ad una orza dretta parment sull asse X, e unzone della poszone ( (ad esempo è l caso della orza elastca; l Energa potenzale sarà allora una unzone d, (. Per uno spostamento nntesmo l lavoro nntesmo sarà dato dalla (1 con θ = 0, coè dw = ; ma essendo la orza conservatva questo lavoro sarà anche uguale alla dmnuzone nntesma d Energa potenzale d. Concludamo qund che: d d = ( ( = (19 ovvero la orza conservatva ( è l opposto della dervata della unzone Energa potenzale rspetto alla coordnata. A questa conclusone s poteva arrvare anche notando che dalla (3 e dalla (15, con evdent passagg, s ha: = ( (20 = che non è altro che un ntegrale dento d ( ( che c mostra subto che ( è una sua unzone prmtva; d conseguenza dervando ( s trova, coè la (19. S ha così un mportante ormula che consente d passare dall anals delle orze agent n un sstema sco, allo studo delle Energe potenzal, da cu possono essere rcavate numerose normazon senza dover rsolvere esplctamente le equazon della seconda legge della dnamca; s tende coè a descrvere l comportamento d un sstema sco n termn d Energe e scamb d Energa, puttosto che d orze, che è anche la vsone pù moderna de enomen sc. Nel caso s sta studando un sstema n due o pù dmenson, l Energa potenzale è una unzone d tutte le coordnate (,y,z, e s possono scrvere tre dervate analoghe alla (19 per le component del vettore orza (,,, dette dervate parzal. y z

4 J Equlbro e stabltà dell equlbro Per comprendere qual normazon possono essere rcavate analzzando enomen sc n termn d Energe, consderamo un graco delle Energe n unzone della poszone, e n partcolare rappresentamo l Energa potenzale ( (c lmtamo a cas n una dmensone. Come prmo esempo prendamo l Energa potenzale elastca (13: m = k Il graco è quello d una parabola col vertce n 0, che è anche l punto d mnmo del potenzale e l d punto d equlbro della molla; natt n questo punto s verca subto che ( 0 = = 0, la orza s annulla. Se consderamo un punto a destra dello zero ( postvo, vedamo che la pendenza della curva d m ( è postva (la curva sale; questo vuol dre che la sua dervata rspetto a è parment postva, e nne dalla (17 abbamo che d m ( ( = < 0, coè la orza eserctata è negatva, e qund dretta nel verso negatvo dell asse X (esattamente s verca che è ( = k. Vceversa, se consderamo un punto a K snstra dello zero, la pendenza d m ( è negatva, per cu o E ( > 0, e qund dretta nel verso postvo dell asse X. I due cas sono rappresentat nel dsegno: è charo che se la molla o vene spostata dalla condzone d equlbro (lo zero le orze o agscono come orze d rchamo che tendono a rportare la -a 0 +a molla nella condzone precedente; s dce che lo zero è una condzone d equlbro stable! Il graco d m ( consente anche d studare qualtatvamente l moto del sstema. Supponamo che la molla sa nzalmente dotata d una Energa totale E > 0, che possamo rappresentare sul graco con una lnea tratteggata orzzontale, poché sappamo che l Energa totale rmane costante durante l moto. Inoltre E = K + m, e l Energa cnetca K è per denzone sempre postva, o zero. Ne consegue che s ha ( E, e qund l moto s può svolgere soltanto m nella regone delle coordnate che vanno da a a + a, dove la curva d m ( sta sotto E. Inoltre, per ogn punto ntermedo del moto, possamo leggere drettamente dal graco come s trasormano tra loro le Energe cnetca e potenzale; esse sono rappresentate da due segment (colorat n gura per charezza n cu la curva d m ( dvde l segmento d altezza E. S osserva che nel punto + a s ha K = 0 e m = E, coè tutta l energa è potenzale, mentre n 0 s ha K = E e m = 0, tutta l energa è cnetca. Ne punt ntermed, come quello n gura, l energa s dstrbusce n varo modo (secondo unzon d tpo snusodale, come s è vsto studando le legg del moto oscllatoro armonco Consderamo ora un sstema dverso: un corpo è sottoposto ad una orza tale che la sua unzone Energa potenzale è come n gura. In questo caso ( assume l valore massmo n = a, dove la sua dervata è zero, e qund anche la orza è zero. Questo punto è qund un punto d ( equlbro per l corpo, se esso v vene poszonato da ermo. Ma se la poszone del corpo s dscosta d poco da a, rpetendo l dscorso del caso precedente (l segno della a dervata d ( trovamo che v saranno delle orze applcate al corpo che hanno la drezone ndcata n gura, coè tenderanno ad allontanare l corpo dalla poszone nzale a. Qund samo

5 n una stuazone d equlbro nstable! n corpo poszonato ermo sul punto d equlbro nstable, se vene perturbato tenderà ad allontanarsene dentvamente. Da quest esemp s comprende come, n generale, punt d mnmo e d massmo della unzone Energa potenzale sono punt d equlbro del sstema: v la orza applcata è zero e un oggetto ermo n quest punt v può rmanere n eterno. Ma se vene scostato anche d poco, nel prmo caso ( ( mnmo l equlbro è stable e l oggetto vene rchamato ndetro, mentre nel secondo caso ( ( massmo l equlbro è nstable e l oggetto se ne allontana. V può essere anche un caso ntermedo, detto d equlbro nderente, quando su una lnea, o n un ampa regone d spazo, ( è costante, e qund ha dervata nulla. In questo caso non v sono orze che agscono sull oggetto e non v sono scamb d energa anche se l oggetto s muove. Lo studo graco della unzone Energa potenzale, la rcerca de suo massm e mnm e l anals qualtatva del moto con l metodo energetco vsto nel caso della molla, sono strument molto usat n var camp, non solo n sca, per l nterpretazone e la comprensone d dvers enomen. Vedamo ancora qualche esempo. J1 Esste un punto d equlbro stable per un corpo sottoposto alla orza d gravtà? Anche se non è del tutto corretto, consderamo l espressone (11 per l Energa potenzale gravtazonale n una dmensone: g ( y = m g y valda se s è scelto l valore zero dell Energa al lvello del suolo (y = 0. Come s vede dal graco, la pendenza è ovvamente sempre postva e la orza applcata tende a ar cadere l corpo. Non v è nessuna poszone d equlbro (se non c osse l suolo s arrverebbe al centro della Terra e oltre!. Questa conclusone non è però valda nelle tre dmenson (v sono altre grandezze sche che ntervengono. J2 Le montagne russe y Il popolare dvertmento da era detto montagne russe è struttvo sull uso de concett ora svluppat. Il graco mostra un pezzo del traccato seguto dal carrello, e la quota y raggunta dal carrello è anche proporzonale al lvello d Energa potenzale gravtazonale (sempre la ormula (11. S vede subto che punt a e c sono punt d equlbro stable: se un carrello vene poszonato ermo n quest punt non può muovers (senza ntervento esterno. g (y 0 y All opposto punt b e d sono d equlbro nstable: se un carrello è v poszonato da ermo, o v arrva con veloctà pratcamente nulla, basta una pccola perturbazone (spnta per arlo cadere. Se al carrello vene ornta Energa meccanca nzale E corrspondente a quella della lnea tratteggata orzzontale n gura, esso può muovers n tutta la regone a snstra del punto e, o anche a destra del punto corrspondente oltre la gobba. Non può però passare da una regone all altra perché dovrebbe salre sulla gobba, e qund assumere una Energa potenzale gravtazonale superore a E; questo é vetato dal atto che l Energa cnetca K dovrebbe dventare negatva, l che è ovvamente mpossble!. Il vaggo completo del carrello è permesso solo se gl vene ornta Energa meccanca nzale superore al valore d ( y nel punto d altezza massma. E sempre vera questa aermazone? Nella sca classca, quella che s basa sulle legg d Newton, è sempre vero. Nella sca moderna, n partcolare nella sca Quantstca, nata ucalmente nel 1913 per spegare enomen stran osservat al lvello submcroscopco degl atom e delle molecole (< 1 nm questo non è pù vero: esste un enomeno noto come eetto tunnel che permette a partcelle come gl elettron d oltrepassare le gobbe anche se possedono (E 0 a b c e d

6 Energa nerore a quella apparentemente necessara. Questo enomeno ha anche applcazon pratche, ad esempo è usato ne processor de computer e ne laser a semconduttore de lettor CD. Ma tutto questo è un altra stora! J3 Le vbrazon d una molecola I legam chmc tra le molecole sono orze d tpo ( conservatvo, e come tal v è una unzone Energa potenzale, che tpcamente ha una orma come nel graco, dove lo zero dell Energa è scelto quando gl atom che comporrebbero la molecola sono a dstanza nnta (. r 0 Come s vede dal graco n questa stuazone ( è crca costante, per cu la orza tra gl atom è crca zero, come è E ovvo. Se gl atom sono a dstanze corrspondent alla zona destra del graco, dalla pendenza della curva s vede che la orza sarà dretta verso = 0, coè sarà attrattva, e qund gl atom tendono ad avvcnars. All opposto, se gl atom sono troppo vcn ( molto vcno a 0 la orza è repulsva e tende a tenere gl atom pù lontan. Il punto ntermedo = r 0 n cu ( è mnmo è l punto d equlbro stable, che prende l nome d dstanza d legame, ed è la dstanza alla quale s trovano gl atom nella molecola, nel caso sano erm. Il valore corrspondente dell Energa potenzale, e coè ( r 0, è detto energa d legame, e anche questo dato, come l precedente, è un parametro caratterstco delle molecole. Se s vuole dssocare una molecola è necessaro ornre una Energa par o superore a r n modo che gl atom possano allontanars a grand dstanze. ( 0 Osservamo nne che n condzon normal, a temperatura ambente, le molecole possedono sempre una certa quanttà d Energa meda d tpo termco (come verrà dscusso n Termodnamca. Ammettamo qund che la molecola posseda l Energa E segnata nel graco; come s vede subto, la curva dell Energa potenzale nella zona ntorno a r 0 è molto smle alla curva dell Energa potenzale elastca (concetto che s può anche precsare matematcamente, per cu deducamo mmedatamente che l moto degl atom nella molecola sarà d tpo oscllatoro, o n altre parole gl atom vbrano ntorno alla poszone d equlbro (la dstanza d legame con delle requenze caratterstche, legate alla orza del legame con le note ormule del moto oscllatoro armonco, e che sono n genere dell ordne d Hz. E mportante osservare che queste requenze sono nella regone delle onde elettromagnetche dette ragg nraross, che sono anche la parte preponderante dell Energa emessa dal Sole. S comprende qund perché l Sole scalda! ; le molecole s comportano come pccol oscllator armonc orzat da queste onde provenent dal Sole, e qund acqustano energa cnetca aumentando la loro ampezza d vbrazone, o n altre parole acqustano Energa termca. n enomeno analogo vene sruttato ne orn a mcroonde che quas tutt orma abbamo nelle nostre cucne. J4 Reazon chmche In gura vedamo una rappresentazone d tpo energetco molto usata per llustrare e studare una reazone chmca; l asse orzzontale è la coordnata d reazone, a snstra abbamo Reagent (R, a destra Prodott (P. La reazone procede da snstra a destra: a Reagent vene ornta provvsoramente una Energa mnma E a detta Energa d attvazone, termcamente o con catalzzator, n modo che possano superare la barrera e trasormars ne Prodott, che hanno Energa totale nerore a quella de Reagent (nel caso delle reazon esotermche, le pù comun e che s assestano lberandos dell Energa n eccesso. Ad esempo l metodo pù comune per ornre E a è quello d scaldare, n modo da aumentare l ampezza delle oscllazon propre delle molecole, e portarle alla rottura de legam. Nel nostro lnguaggo sco s tratta d un passaggo tra due dvers stat d equlbro stable, medato da un ntervento esterno. R E a P coord.