Il problema del commesso viaggiatore

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1 ITTS Vito Volterra Progetto ABACUS Ottimizzazione combinatoria Il problema del commesso viaggiatore Studente: Davide Talon Esame di stato 2013 Anno scolastico

2 Indice 1. Introduzione Presentazione del problema Obiettivo Il problema 2.1 Concetti chiave della teoria dei grafi Modello matematico ATSP NP-Completezza Branch and bound 3.1 Idea di base Il branching Il bounding Il fathoming L esplorazione dell albero Branch and bound per ATSP La web-app 4.1 Ottimizziamo il nostro percorso La realizzazione

3 1. Introduzione 1.1 Presentazione del problema Il problema del commesso viaggiatore, noto anche come Travelling Salesman Problem (TSP), è un problema della teoria dei grafi legato all ottimizzazione combinatoria. Oggetto di innumerevoli studi, il problema ha grande importanza dal punto di vista pratico per le sue applicazioni nella minimizzazione dei percorsi. Utile nella logistica e nei trasporti, la soluzione di questo problema porterebbe alle imprese vantaggi economici, organizzativi e qualitativi, in termini di tempi e spazi. Nella sua tradizionale formulazione, dato un insieme di città, si trovi il percorso minore che il commesso viaggiatore deve percorrere per visitarle tutte una ed una sola volta e tornare alla città di partenza. Tale problema però, apparentemente semplice, è stato classificato come NP-completo in quanto le sue soluzioni assumono complessità esponenziale. La soluzione esatta consisterebbe, infatti, nell enumerazione di tutti i possibili percorsi e nella sucessiva scelta di quello migliore ma la complessità n! del problema rende tale operazione impraticabile. Nasce dunque la necessità di trovare procediementi matematici efficienti capaci di risolvere il problema in tempi ragionevoli. 1.2 Obiettivo Dopo una breve introduzione relativa ad alcuni concetti chiave nella teoria dei grafi, l elaborato si ripropone di esaminare l Asymmetric Travelling Salesman Problem (ATSP) in cui la distanza tra due città I e J non corrisponde alla distanza tra J e I. Viene quindi proposto un approccio risolutivo di tipo branch and bound in cui il problema viene diviso in sotto-problemi (branch) a cui sono associati delle stime ottimistiche (bound). Infine vi sarà una piccola presentazione della web-app realizzata con l intento di risolvere reali problemi relativi all ottimizzazione dei percorsi. 2

4 2. Il problema 2.1 Concetti chiave della teoria dei grafi Per comprendere la teoria relativa al problema del commesso viaggiatore vi è la necessità di capire alcuni concetti chiave della teoria dei grafi, perno fondamentale nella formulazione matematica del problema. Pertanto: Grafo diretto: si definisce grafo diretto una coppia D(V,A) in cui V è l insieme dei vertici di D mentre A è l insieme degli archi orientati (aventi una direzione). Grafo completo: si definisce grafo completo un grafo in cui ogni vertice è collegato a tutti gli altri vertici rimanenti. Ciclo hamiltoniano: dato un grafo, si definisce ciclo hamiltoniano un cammino che tocca tutti vertici del grafo una e una sola volta, tornando al vertice di partenza. 2.2 Modello matematico ATSP Il problema del commesso viaggiatore è definito su un grafo orientato D(V, A) in cui V rappresenta l insieme dei nodi (città) mentre A corrisponde all insieme degli archi (strade). Dunque ad ogni arco (i, j) A è associato un costo c ij espresso nella matrice dei costi. Definendo x ij come variabile binaria decisionale: (i, j) A, xij = 1, se (i, j) appartiene al ciclo 0, altrimenti 3

5 Pertanto il modello matematico del problema: min! cij xij (i,j) A funzione obiettivo xiv = 1 (i,v) A v N (1) xvj = 1 v N (2) (v,j) A (i,j) C xij C 1 C: C sottociclo in G (3) La funzione obiettivo, quindi, consiste nel minimizzare la somma degli archi selezionati. Il primo vincolo garantisce che gli archi entrino una ed una sola volta in ogni nodo mentre il secondo assicura che gli archi escano una e una sola volta da ogni nodo. L ultimo vincolo, infine assicura l assenza di soluzioni che contengono sotto-cicli dato che, per ogni insieme proprio di nodi, non è possibile selezionare un numero di archi interni pari o maggiore al numero dei nodi stessi. 2.3 NP-Completezza Classificando i problemi in base alle risorse necessarie per la loro risoluzione (generalmente tempo o spazio) emergono tre categorie: 1. I problemi che ammettono algoritmi di risoluzione efficienti; 2. I problemi che non possono essere risolti con algoritmi efficienti 3. I problemi per cui non sono stati trovati algoritmi efficienti ma per cui nessuno ha mai dimostrato che questi algoritmi non esistono La suddivisione ci porta alla definizione della classi di complessità, ovvero gruppi di problemi risolubili utilizzando una certa quantità di risorse. Pertanto, tale classificazione ci permette di esprimere la difficoltà dei problemi, confrontandoli. In particolar modo, esprimendo la complessità in funzione del tempo di calcolo, ci imbattiamo nelle classi P e NP contenenti i principali problemi dell informatica teorica. I problemi della classe P sono problemi risolubili in tempo polinomiale, ovvero ammettono algoritmi risolutivi il cui tempo massimo corrisponde a un polinomio dalle dimensioni dell input. Perciò i problemi di questa classe sono considerati trattabili in quanto ammettono algoritmi efficienti. La classe NP, invece, contiene problemi che non possono essere risolti in tempi polinomiali e si può dimostrare che ogni algoritmo richiede un tempo esponenziale o comunque asintoticamente superiore a ogni polinomio. Questi problemi vengono, dunque, considerati intrattabili in quanto richiedono un tempo di calcolo talmente elevato da essere inutilizzabili anche per problemi di piccole dimensioni. 4

6 Queste classi complementari, però, non contengono tutte le categorie di problemi. Esistono, infatti, dei problemi, classificati come NP-Completi, per cui non sono stati trovati algoritmi risolutivi dal tempo polinomiale ma non è neppure stato dimostrato che tali algoritmi non esistano. I problemi NP-Completi sono, quindi, problemi di decisione definiti attraverso il concetto di macchina non deterministica ed essi sono computazionalmente equivalenti, perciò trovare un algoritmo polinomiale per uno di questi problemi comporterebbe l esistenza di un algoritmo efficiente per tutti gli altri. L impossibilità di questa procedura ha portato alla congettura che i problemi NP-Completi non siano risolvibili in tempo polinomiale, perciò non sono contenuti nella classe P (a meno che P=NP). Teorema: Il problema del commesso viaggiatore è NP-completo. Dimostrazione: Supponiamo di avere un grafo G=(V, E) relativo a un istanza del problema del commesso viaggiatore. Costruiamo un grafo completo G =(V, E ) e una proposizione p p(e)=1 se e E altrimenti p(e)=2. Se n= V esiste un ciclo hamiltoniano in G ed esiste un tour in G di costo n. Se non esiste un ciclo hamiltoniano in G allora ogni tour in G deve includere almeno un arco il cui peso sia pari a 2. 5

7 3. Branch and bound 3.1 Idea di base L impossibilità di enumerare completamente le soluzioni e sceglierne la migliore ci spinge a un approccio risolutivo di tipo branch and bound che ci permette di enumerare in modo implicito ed esplicito tutte le soluzioni. Data la vastità della regione delle soluzioni ammissibili, in generale, l algoritmo consiste nel suddividere le soluzioni in sotto-insiemi e risolvere il problema su ciascuno di essi. L operazione, ripetuta ricorsivamente, porta alla generazione dell albero delle soluzioni in cui il problema P 0 rappresenta il problema iniziale. p P 0 P 1 p P 2 La ricostruzione completa delle soluzioni equivarrebbe all enumerazione di tutte le soluzioni possibili, perciò non praticabile. Dunque alla scomposizione del problema in nodi figli affianchiamo un metodo che ci permetta di esplorare esclusivamente le aree più promettenti (buone) della regione delle soluzioni. A tale scopo associamo ad ogni nodo dell albero delle soluzioni un valore ottimistico, noto come lower bound, che rappresenta il valore minimo che la funzione obiettivo può assumere nelle soluzioni del nodo stesso. Perciò, questo meccanismo ci permette di eliminare, attraverso l operazione di fanthoming, sottoalberi che sicuramente non contengono la soluzione ottima. Dato un problema di ottimizzazione combinatoria z = min/max f(x) con x appartenente alla regione delle soluzioni ammissibili: P 0 : problema iniziale completo; L: lista dei nodi aperti con (P i, B i ) in cui P i rappresenta il problema mentre B i il relativo bound; z: valore della migliore soluzione ammissibile; x: migliore soluzione possibile L algoritmo può essere così schematizzato: 1. Si esegue una stima ottimistica sul problema completo e si pone L={(P 0, B 0 )}, x =, z = + ; 2. ARRESTO: se L=, allora x è ottima; 3. BRANCHING: partizioniamo P i in sotto-problemi P ij ; 4. BOUNDING: valuto la stima ottimistica B ij per ogni sotto-problema generato; 5. FANTHOMING: se P ij non ammissibile o B ij non migliore di z, torno a 2; se Pij è ammissibile e migliore di z pongo z P ij e x B ij, elimino tutti i nodi di L aventi bound maggiore di B ij e torno a 2; Altrimenti aggiungo a L (P ij, B ij ) e torno a 1. 6

8 3.2 Il branching Il branching ci permette di ottenere l albero delle soluzioni attraverso la partizione del problema in sotto-problemi. In particolar modo le regole di branching devono garantire la completezza delle soluzioni (ossia che non ne vengano perse) i Pi = P e che, per migliorare l efficienza computazionale, non si duplichino nei figli generati, perciò P i P j =. Emerge che: per la prima condizione la soluzione ottima si trova sempre in uno dei due figli; ciascun nodo figlio eredita i vincoli del nodo padre (scendendo di livello nell albero delle soluzioni i nodi presentano un numero sempre maggiore di vincoli) Generalmente il branching viene stabilito attraverso una o più variabili decisionali per ogni nodo. 3.3 Il bounding Ottenuto un nodo attraverso il branching, vi è la necessità di associarvi una valutazione ottimistica che rappresenta il valore minimo (lower bound) che la funzione obiettivo può assumere nello sviluppo del sotto-albero del nodo stesso. Nel caso peggiore, il numero di nodi generati è esponenziale rispetto alla dimensione dell input, perciò l algoritmo relativo al calcolo del bound, che deve essere eseguito per ogni nodo, dovrà essere piuttosto rapido, in termini di tempo d esecuzione, ed efficiente. Inoltre il lower bound dovrà essere il più stringente possibile in quanto dovrà permetterci di scremare dalla lista dei nodi aperti il numero più alto possibile di nodi aventi bound più elevato 7

9 3.4 Il fathoming Il bound di ogni nodo, confrontato con quello della soluzione ammissibile migliore corrente, ci permette di considerare implicitamente esplorati i sotto-alberi del nodo, in quanto siamo sicuri che la soluzione migliore non sia presente in quella parte dell albero. Questi nodi, allora, vengono considerati chiusi e potati (fathomed). Ad ogni nodo, quindi corrisponde una condizione: N.A Soluzione non ammissibile: S.A Soluzione ammissibile: N.M Soluzione non migliorante: il problema non ammette soluzioni (solitamente nella discendenza dei nodi figli si generano dei conflitti nelle variabili decisionali ); avendo trovato una soluzione ammissibile con il relativo lower bound, non ha senso sviluppare il suo sotto-albero (le soluzioni del sotto-albero non saranno miglioranti). Pertanto, è possibile confrontare la soluzione con la soluzione migliore e, nel caso di miglioramento, chiudere eventuali nodi non miglioranti precedentemente aperti; soluzione che non migliora la soluzione corrente (il suo bound è inferiore rispetto a quello della soluzione migliore); 3.5 L esplorazione dell albero Per ottimizzare l algoritmo in funzione dei tempi di elaborazione e della memoria occupata dobbiamo stabilire una politica per l esplorazione dell albero, dunque dobbiamo trovare il nodo padre su cui effettuare il branching. Vi sono tre principali strategie di esplorazione: Best bound first: Depth first: si sceglie il nodo avente bound migliore, ovvero il nodo più promettente. Questa strategia ci permette di rimanere nei livelli poco profondi dell albero delle soluzioni e di esplorare esplicitamente un minor numero di nodi, risultando più efficiente. D altra parte, però, vi è un maggior numero di nodi aperti a discapito della memoria utilizzata. Generalmente viene implementata inserendo il nodo aperto in una lista ordinata. si sceglie il nodo di livello più profondo. Pur rischiando di far esplodere completamente l albero, visitandolo tutto, questo algoritmo ci permette di ottenere rapidamente della soluzioni ammissibili limitando l uso della memoria necessaria per i nodi contemporaneamente aperti. 8

10 3.6 Branch and bound per ATSP Dopo aver descritto in generale il branch and bound dobbiamo parlare della sua applicazione nel problema del commesso viaggiatore asimmetrico che, solitamente, viene riassunto nella matrice dei costi in cui vi è la distanza tra ogni coppia di città. Alla radice dell albero delle soluzioni si considera, dunque, il problema completo e il suo relativo bound, si esegue il branching e, sui nodi figli generati, si risolve il problema di assegnamento relativo. Per eliminare i sottocicli, come previsto dal modello matematico, possiamo allora togliere un sottociclo alla volta ponendo x ij = 0 e c ij = + R. Pertanto l implementazione del branching segue questa regola: ottenuta una soluzione avente sotto-ciclo C, si sceglie un arco (i, j) C e si generano C nodi figli, un figlio con variabile decisionale x ij =0 e per ciascuno dei restanti C -1 figli x ij =1 e x uv =0 con (u,v) C (u,v) (i, j). Il bound, invece, può essere calcolato attraverso la risoluzione del problema d assegnamento relativo alla matrice dei costi del nodo stesso. Un esempio per la risoluzione del problema d assegnamento può sicuramente essere l algoritmo ungherese. 9

11 4. La web-app 4.1 Ottimizziamo il nostro percorso La web-app realizzata, disponibile nel sito nasce dall idea di voler applicare il problema del commesso viaggiatore a situazioni reali. Semplice ed intuitiva, l applicazione permette infatti, attraverso l integrazione di google maps, di ottimizzare i percorsi relativi ai luoghi a noi necessari. Essenziale ed accattivante, dunque, l obiettivo è quello di offrire all utente un potente mezzo per ottimizzare il proprio tempo e il proprio tragitto, organizzandolo ed ottendo le indicazioni necessarie. 4.2 La realizzazione Il cuore della web-app consiste nell integrazione di google maps, infatti, attraverso le sue API v3, è possibile utilizzare i servizi di geolocalizzazione e organizzazione dei percorsi (indicazioni) offerti dai server google. Essendo le api di google maps in javascript, l intero branch and bound è stato implementato in js, permettendo di rendere l applicazione estremamente veloce e lo svincola dalla necessità di dover ricaricare la pagina. Riportiamo qui un pezzo significativo del codice relativo al branching: 0 //Implementazione branching 1 function vincolifiglio(padre){ 2 var decisione=[]; 3 figlio=new Nodo(); //creazione oggetto nodo 4 figlio=clone(padre); //si copia l oggetto padre nel figlio 5 decisione[0]=padre.sottociclo[0]; 6 decisione[1]=padre.sottociclo[1]; 7 decisione[2]=0; 8 figlio.vardecisionali.push(decisione); //inserimento var decisionali 9 gestiscinodo(figlio); //gestione del nodo con calcolo del bound 10 for(var i=1;i<padre.sottociclo.length-1;i++){ 11 decisione=[]; 12 figlio=new Nodo(); 13 figlio=clone(padre); 14 decisione[0]=padre.sottociclo[0]; 15 decisione[1]=padre.sottociclo[1]; 16 decisione[2]=1; 17 figlio.vardecisionali.push(decisione); 18 decisione=[]; 19 decisione[0]=padre.sottociclo[i]; 20 decisione[1]=padre.sottociclo[i+1]; 21 decisione[2]=0; 22 figlio.vardecisionali.push(decisione); 23 gestiscinodo(figlio); 24 } 25 } 10

12 Invece si riporta una porzione relativa all integrazione di google maps che ci permette di ottenere le indicazioni relative al percorso da effettuare: 0 // Informazioni percorso 1 // Dichiarazione variabili google maps 2 var directionsdisplay; 3 var directionsservice=new google.maps.directionsservice(); 4 var directionsdisplay=new google.maps.directionsrenderer({'map':map}); 5 function calcroute() { 6 start = inizio; 7 end = fine; 8 var waypts = []; // Creo la lista per inserire i punti intermdi 9 for (var i = 2; i < arrayindirizzi.length ; i++) { 10 waypts.push({ 11 location:arrayindirizzi[i], 12 stopover:true}); 13 } var request = { // Creo la variabile che verrà passata come richiesta 16 origin: start, 17 destination: end, 18 waypoints: waypts, 19 travelmode: google.maps.travelmode.driving 20 }; directionsservice.route(request, function(response, status) { 23 if (status == google.maps.directionsstatus.ok) { 24 directionsdisplay.setdirections(response); //Verifico l esito 25 } 26 }); 27 } Dal punto di vista grafico, invece, è stato utilizzato un template in HTML5 responsive che si adatta ai dispositivi d utilizzo. 11