Montante (C n ) La somma di capitale ed interesse, disponibile alla fine dell'anno, viene chiamata montante:

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1 NOZIONI DI CALCOLO FINANZIARIO: a cura del dr. Renato Fucito 1 Introduzione La matematica finanziaria studia i problemi relativi al trasferimento nel tempo di valori. In particolare essa si occupa dei problemi relativi all'interesse, allo sconto e ai valori periodici. Infatti, se i dati economici relativi a un bene si riferiscono a tempi diversi, per valutare la loro consistenza, e soprattutto per confrontarli, è necessario riportarli tutti allo stesso momento. Questo è necessario poiché il valore attuale del denaro varia in base agli effetti del tempo e del tasso d interesse ovvero per la capacità del denaro di generare altro denaro col passare del tempo (il denaro nel tempo lavora!). Così se un valore è disponibile in un tempo futuro, per accertare la sua entità in un dato istante, bisogna trasferirlo al momento considerato. Interesse (I) È il frutto che percepisce chi cede in prestito un capitale indifferenziato oppure è il costo d'uso di chi prende a prestito un capitale indifferenziato. L'unità di misura è il saggio (o tasso o ragione) d'interesse (r) che esprime il costo d'uso o il frutto di una unità di moneta (1 it) nella unità di tempo (generalmente l'anno). L'interesse maturato dopo un anno su un capitale iniziale C 0, con un tasso d'interesse pari ad r è dato da: (1) I = C 0 * r Dalla (1) si derivano le formule inverse: (2) C 0 = _I_ r (3) r = _I_ C 0 La (2) è detta formula di capitalizzazione che consente di determinare il capitale che investito ad un certo tasso r, fornisce annualmente un interesse I. Montante (C n ) La somma di capitale ed interesse, disponibile alla fine dell'anno, viene chiamata montante: (4) C 1 = C 0 * I = C 0 + C 0 * r = C 0 ( 1 + r) = C 0 q Il fattore (1+ r) è definito binomio d'interesse e rappresenta il montante corrispondente ad una lira investita per un anno. Esso viene indicato con q. Anche dalla formula (4) si ricavano formule inverse di una certa importanza: (5) C 0 = C 1 = C 1 _1_ 1 + r q

2 NOZIONI DI CALCOLO FINANZIARIO: a cura del dr. Renato Fucito 2 (6) r = (C 1 / C 0 ) - 1 esercizi es.1 Carlo deposita presso un ufficio postale in Buoni Fruttiferi al tasso netto del 3%. Qual è l ammontare degli interessi che Carlo riscuoterà dopo un anno? I = C 0 r = x 0,03 = es.2 Mario vorrebbe conoscere quanto dovrebbe depositare in Buoni Fruttiferi al tasso netto del 3% per garantirsi un prelievo annuo di C 0 = I / r = / 0,03 = es.3 Si vorrebbe conoscere il saggio di interesse che su un capitale di dà di interessi annui. r = I / C 0 = / = 0,025 = 2,5 % es.4 Carlo vuole sapere alla fine del primo anno di quanto dispone presso l ufficio postale presso il quale ha fatto un deposito in Buoni Fruttiferi. I dati sono quelli dell es.1 C 1 = C 0 (1 + r) = x (1 + 0,03) = Finora nei calcoli si è fatto riferimento ad una unità di tempo, cioè un anno. Però di frequente il capitale viene impiegato per più anni e quindi in questo caso è necessario disporre di formule che si riferiscano ad un periodo di tempo più lungo anziché ripetere i calcoli per i singoli anni. Distinguiamo in questo ambito due situazioni: a) l'interesse maturato alla fine del periodo si aggiunge al capitale diventando a sua volta fruttifero interesse composto b) l'interesse maturato non si aggiunge al capitale che rimane costante negli anni. interesse semplice Interesse semplice La formula dell'interesse semplice è la seguente: (7) I = C 0 * r * n

3 NOZIONI DI CALCOLO FINANZIARIO: a cura del dr. Renato Fucito 3 dove C 0, capitale impiegato r, saggio d'interesse n, tempo impiegato Il calcolo dell interesse semplice si usa normalmente negli impieghi di capitale per frazioni di anno. In questo caso ad n va sostituito m/12 (se il tempo è espresso in mesi), o g/360 ( se il tempo è espresso in giorni). Il problema più interessante è quello relativo al calcolo del montante semplice dopo n anni. Dopo il primo anno il montante è dato dalla (4), cioè : C 1 = C 0 ( 1 + r), dopo il secondo anno : C 2 = C 1 + C 0 r = C 0 ( 1 + 2r) dopo il terzo anno : C 3 = C 2 + C 0 r= C 0 ( 1 + 2r) + C 0 r = C 0 (1 + 3r) e così di seguito. Generalizzando: C n-1 = C n-2 + C 0 r = C 0 [ 1 + (n - 2) r ] +C 0 r = C 0 [ 1 + (n-1)r] anno n-1 C n = C n-1 + C 0 r = C 0 [ 1 + (n - 1) r ] +C 0 r = C 0 ( 1 + nr) anno n. Quindi, il montante semplice dopo n anni è dato dalla formula: (8) C n = C 0 ( 1 + nr). Il fattore ( 1 + nr) è detto fattore di posticipazione ad interesse semplice. L interesse maturato in n anni è dato dalla differenza tra il montante (C n ) ed il capitale iniziale (C 0 ) e può essere ottenuto da formule che siano o solo funzioni dell uno o solo funzione dell altro: (9) I = C n - C 0 = C n - C n / (1 +nr) = C n [ 1-1 / (1+nr)] (10) I = C n - C 0 = C 0 ( 1 +nr) - C 0 = C 0 nr es.5 Giovanni deposita in banca al tasso del 4% per quattro mesi. Quale sarà l interesse maturato alla fine di quel periodo? I = C 0 r n/12 = x 0,04 x 4/12 = es.6 Qual è il montante di un capitale di per 90 giorni al saggio d interesse del 5% C n = C 0 (1+ r g/360) = x (1+ 0,05 x 90/360) = Problemi dello Sconto e del Valore scontato Sconto semplice(sc) Rappresenta il valore che si detrae dal montante (C n ) per ottenere il capitale iniziale (C 0 ). In termini finanziari costituisce il prezzo da pagare per rendere oggi disponibile un capitale futuro. Nella pratica si usa lo sconto commerciale che è dato dalla formula:

4 NOZIONI DI CALCOLO FINANZIARIO: a cura del dr. Renato Fucito 4 (10.1) Sc = C n r n A parità di capitale, di tempo e di saggio, lo sconto commerciale è matematicamente uguale all interesse. Le due formule relative sono infatti: Sc = C n r n I = C 0 r n L apparente differenza si verifica perché, mentre lo sconto si calcola in base ad un capitale futuro C n (montante) dal quale esso va detratto per ottenere quello presente C 0, l interesse invece si calcola in base ad un capitale presente C 0 al quale esso va aggiunto per ottenere il corrispondente capitale futuro C n. Riassumendo: C n - Sc = C 0 C 0 + I = C n es. 7 Una cambiale di con scadenza fra sette mesi viene scontata oggi in banca al tasso del 6%. Si vuol sapere a quanto ammonta lo sconto effettuato. Adottando la formula dello sconto commerciale: Sc = C n r n Sc = x 0,06 x 7/12 = Valore scontato È il problema inverso del montante. Avendo un capitale (C n ) disponibile tra n giorni, e volendo calcolare quale sarebbe oggi il relativo capitale C 0 con l operazione dello sconto semplice si ha che: valore scontato C 0 = C n 1 + rn es.8 Un possessore di una cambiale di che scade fra 5 mesi vuole scontarla in banca al saggio dell 8%. A quanto ammonta la somma che riscuoterebbe? C 0 = C n = / (1 + 0,08 x 5/12) = rn Interesse composto Si ha quando l interesse maturato si aggiunge al capitale( cioè si capitalizza come si dice in termini commerciali) e diventa con esso fruttifero nel periodo successivo. Quindi gli

5 NOZIONI DI CALCOLO FINANZIARIO: a cura del dr. Renato Fucito 5 interessi maturano anche sugli interessi fruttati nel periodo precedente. L interesse composto può essere discontinuo, quando si aggiunge al capitale alla fine di un determinato periodo, oppure continuo, quando cioè ad ogni istante l interesse si aggiunge al capitale diventando con esso fruttifero. Nella pratica trova molta applicazione l interesse composto discontinuo annuo dove l interesse maturato alla fine di ogni anno si somma al capitale che lo ha fornito. Il calcolo del montante dopo n anni lo si può ricavare in maniera analoga a quanto fatto per l interesse semplice: Alla fine del primo anno C 1 = C 0 (1+r) Alla fine del secondo anno C 2 = C 1 + C 1 r = C 1 (1+r) = C 0 (1+r) (1+r) = C 0 (1+r) 2 C 3 = C 2 +C 2 r = C 2 (1+r) = C 0 (1+r) 2 (1+r) = C 0 (1+r) 3 alla fine del terzo anno... C n = C n-1 (1+r) = C 0 (1+r) n-1 (1+r) = C 0 (1+r) n alla fine dell n-esimo anno. Quindi : (11) C n = C 0 ( 1 + r ) n Il fattore (1 + r ) n indicato anche con q n è il fattore di posticipazione ad interesse composto discontinuo. Questa formula infatti consente di determinare il valore che un capitale investito ad interesse composto annuo assume dopo un certo numero di anni. Esso cioè consente il trasferimento dei valori nel tempo. Dalla (11) si deriva la formula inversa che consente il calcolo del valore di un capitale C 0, il cui montante composto è, dopo n anni, Cn : (12) C 0 = Cn = _Cn_ ( 1 + r ) n q n Il fattore 1 indicato anche con _1_ è detto fattore di anticipazione o fattore di sconto (1 + r ) n q n Infatti esso moltiplicato per il valore di un capitale disponibile solo dopo n anni, consente di conoscere il valore attuale; quindi consente lo sconto o l anticipazione di valori futuri. Es.9 A quanto ammonterà fra 10 anni un capitale di depositato oggi in banca al saggio d interesse del 4% (supposto che esso rimanga costante nei 10 anni)? C n = C 0 q n = x 1,04 10 = x 1,4802 = es.10 Scontando all attualità una cambiale di che scade tra tre anni e quattro mesi, quale somma si può realizzare, adottando il tasso del 15%? Per il periodo di tre anni si sconta con l interesse composto e per il periodo di quattro mesi con l interesse semplice:

6 NOZIONI DI CALCOLO FINANZIARIO: a cura del dr. Renato Fucito 6 C 0 = C n 1 1 = = q n (1 + r m/12) 1,15 3 (1 + 0,15 x 4/12) = x 0,6575 x 1/1,05 = Le annualità Generalità Nella realtà pratica si incontrano con frequenza valori che si ripetono ad intervalli regolari di tempo, ad esempio: interessi su titoli pubblici, canone di fitto, rate di mutui, ecc. Questi sono detti valori periodici. Nell ambito dei valori periodici si distinguono le annualità se il tempo intercorrente tra la realizzazione di un valore e l altro è di un anno. Le annualità, ma in genere tutti i valori periodici, si possono distinguere in: Costanti e variabili, se si ripetono con valori uguali o disuguali ; noi ci occuperemo dei problemi inerenti le annualità costanti Posticipate e anticipate, se i valori si realizzano alla fine del periodo considerato (l anno per le annualità) o all inizio Limitate e illimitate, se si ripetono per un tempo limitato ( n anni per le annualità) o illimitato ( anni). Annualità posticipate limitate Accumulazione finale(s n ) Si tratta di determinare la sommatoria alla fine di n anni (S n ) delle annualità posticipate limitate. Graficamente il problema si può così rappresentare: a a a a a a n-2 n-1 n analiticamente il problema si risolve in una serie di posticipazioni di valori delle annualità accumulate fino all anno n: 11 S n = a + aq + aq 2 + aq aq n-2 + aq n-1 che può essere riformulata nel modo seguente: 12 S n = a (1 + q + q 2 + q q n-2 + q n-1 ) gli elementi all interno della parentesi costituiscono una serie geometrica di ragione q. La loro somma è quindi data da una frazione avente al numeratore il prodotto dell ultimo

7 NOZIONI DI CALCOLO FINANZIARIO: a cura del dr. Renato Fucito 7 termine per la ragione detratto del primo termine; mentre il denominatore è costituito dalla ragione meno l unità: Quindi (14) S n = a _q n 1_ r S n = a q n-1 *q 1_ = a q n 1 q r 1 es.11 Depositando presso una banca alla fine di ogni anno e per dieci anni consecutivi una somma di , quale capitale si costituirà alla fine del tempo considerato, adottando il tasso del 10%? Sn = _1, _ x 15,9374 = ,10 Accumulazione iniziale (S 0 ) Il valore dell accumulazione iniziale può essere ottenuto con procedimento analogo a quello visto con l accumulazione finale. Più semplicemente nota la formula dell accumulazione finale per avere l accumulazione iniziale basta anticipare questa di n anni moltiplicandola per il coefficiente _1_ : q n (15) S 0 = S n _1_ = a _q n 1 1_ q n r q n Quindi la formula dell accumulazione iniziale delle annualità costanti posticipate limitate è S 0 = a _q n 1_ (16) r q n Graficamente il problema si può così rappresentare:

8 NOZIONI DI CALCOLO FINANZIARIO: a cura del dr. Renato Fucito 8 a a a a a a n-2 n-1 n 1 / q n es.12 Mario deve pagare dieci cambiali da e ciascuna scade alla fine di ogni anno, a partire da oggi. Volendo estinguere oggi tutte le cambiali, dato un tasso del 15%, quanto bisognerebbe versare? S 0 = , = x 5,0187 = ,15 x 1,15 10 Annualità anticipate Sono valori che si realizzano ad inizio dell anno. Graficamente si ha: a' a a a a a n-2 n-1 n tenendo presente che i valori anticipati a possono essere posticipati moltiplicandoli per q, le formule di accumulazione iniziale (S 0 ) e finale (S n ) sono analoghe alla (14) e (16): (17) S n = a q _q n 1_ accumulazione finale r (18) S 0 = a q _q n 1_ accumulazione iniziale r q n Accumulazione in un anno intermedio (S m ) L accumulazione delle annualità in un anno intermedio del ciclo m può essere fatta utilizzando formule derivate da quelle indicate finora: (19) S m = S n q m-n = a _q n 1_ q m-n r

9 NOZIONI DI CALCOLO FINANZIARIO: a cura del dr. Renato Fucito 9 (20) S m = S 0 q m = a _q n 1_ q m r q n per le annualità posticipate, (21) S m = S n q m-n = a q _q n 1_ q m-n r (22) S m = S 0 q m = a q _q n 1_ q m r q n per le annualità anticipate. Formule inverse dell accumulazione (quota di ammortamento) Dalle formule (14) e (16) derivano due formule inverse che consentono di calcolare le annualità corrispondenti ad una somma riferita rispettivamente all inizio e alla fine di un ciclo: a = S n r q n 1 a = S 0 r q n q n 1 La (23) è largamente utilizzata per il calcolo delle quote di ammortamento dei fattori a logorio parziale, essa cioè consente di calcolare l annualità che occorre accantonare alla fine di ogni anno per disporre alla fine dell anno n di una somma pari a S n. La (24) è utilizzata nel calcolo delle rate annue per l ammortamento dei mutui, essa cioè consente di calcolare l annualità che occorre accantonare annualmente per estinguere un debito in un determinato numero di anni. Le annualità così calcolate sono comprensive del rimborso del capitale (quota capitale) e degli interessi maturati (quota interessi). Piano di ammortamento La quota di ammortamento dei capitali è la rata annua che si versa per estinguere un debito in un determinato numero di anni. Per calcolarla bisogna conoscere il capitale da estinguere (A 0 ), il numero di anni in cui esso si deve estinguere (n), il saggio d interesse adottato (r) e se è posticipata o anticipata.

10 NOZIONI DI CALCOLO FINANZIARIO: a cura del dr. Renato Fucito 10 Nel caso dell estinzione di un mutuo in n anni a rate annuali posticipate, la quota di ammortamento (Qam) si determina così: (25) Qam = A 0 r q n q n 1 che come si nota è analoga alla (24), cioè della risoluzione del problema inverso della accumulazione iniziale delle annualità costanti posticipate limitate (16). Es.13 Roberto contrae un prestito di da ammortizzare in 25 rate annue costanti posticipate al tasso del 4%. Si determini la quota annua d ammortamento. Qam = A 0 r q n = _0,04 (1,04) 30 _ = q n 1 (1,04) 30 1 = ,05783 = La quota annua è sempre posticipata quando si tratta di ammortizzare un debito acceso per prestito o mutuo, in quanto si paga la prima rata solo dopo un anno dalla data del prestito stesso. Nel caso, invece, di compravendita di un bene a totale pagamento rateale la quota è quasi sempre anticipata. In questo caso la quota annua di ammortamento viene calcolata come nella (25), ma verrà scontata, cioè anticipata, di un anno: (26) Qam = A 0 r q n 1_ q n 1 q La quota di ammortamento è costante nel periodo dell estinzione ed è comprensiva di due componenti: quota capitale, parte del capitale rimborsato (debito estinto) quota interessi, interesse annuo calcolato sul debito residuo. Infatti l estinzione rateale di un debito viene compiuta con quote costanti formate non solo da una parte del capitale che bisogna rimborsare (debito), ma anche da interessi annui calcolati via via sul capitale residuo da pagare. Quindi si ha che: Qam = Q capitale + Q interessi Col passare del tempo Q am resta costante, la quota capitale aumenta e la quota interessi diminuisce.

11 NOZIONI DI CALCOLO FINANZIARIO: a cura del dr. Renato Fucito 11 L andamento della quota di ammortamento si può mettere in evidenza con un semplice prospetto che si chiama piano di ammortamento. Esso è formato da più colonne riportanti da sinistra verso destra: il numero della rata l ammontare della rata annua costante (Qam) la quota capitale (Qcap) la quota interessi (Qint) il debito estinto il debito residuo Supposto che si voglia estinguere un capitale A 0 con rate annuali posticipate ad un saggio r e nel tempo di n anni si riportano di seguito i calcoli da eseguire per i primi tre anni per determinare Qam, Q capitale, Q interessi: come già detto Qam è costante per ogni anno ed è data dalla formula (25) nel primo anno abbiamo: Q interessi 1 anno = A 0 r Qam = + Q capitale 1 anno = A 0 r q n - 1 nel secondo anno abbiamo: Q interessi 2 anno = (A 0 - Qcap 1 anno) r Qam = + Q capitale 2 anno = (A 0 - Qcap 1 anno) r q n-1-1 nel terzo anno abbiamo: Q int 3 anno = (A 0 - Qcap 1 anno - Qcap 2 anno) r Qam = + Q cap 3 anno = (A 0 - Qcap 1 anno - Qcap 2 ) r q n-2-1 e così si continua per tutti gli anni successivi del periodo di ammortamento. Es.14 Come esempi si riportano i prospetti di due piani di ammortamento di un debito di da pagare con rate costanti posticipate in 10 anni ad un tasso del 6% e di un mutuo di da pagare con 12 rate annue al tasso del 3%.