Lezione 5. Analisi a tempo discreto di sistemi ibridi. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 5 1

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1 Lzion 5. nalisi a tmpo discrto di sistmi ibridi F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5

2 Schma dlla lzion. Introduzion 2. nalisi a tmpo discrto di sistmi ibridi 3. utovalori di un sistma a sgnali campionati 4. Zri di un sistma a sgnali campionati 5. Guadagno di un sistma a sgnali campionati F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 2

3 . Introduzion Lo schma a campionamnto dll uscita contin un sottosistma ibrido. w(t) w(k) + _ (k) y(k) R(z) u(k) D/ u(t) G(s) y(t) u(k) D/ u(t) G(s) y(t) y(k) Dal punto di vista I/O sso è prò un sistma a tmpo discrto. u(k) G(z) y(k) F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 3

4 2. nalisi a tmpo discrto di sistmi ibridi L obittivo è analizzar il sgunt sistma ibrido, dfinndo qual rlazion intrcorr tra il suo ingrsso u(k) la sua uscita y(k) u(k) D/ u(t) Il sistma a tmpo continuo comprso tra i du convrtitori è compltamnt raggiungibil d ossrvabil d è dscritto dall sgunti quazioni: x& y G(s) y(t) ( t) x( t) + Bu( t) ( t) Cx( t) + Du( t) y(k) I convrtitori sono idali, priodici, oprano alla mdsima frqunza sono sincronizzati. In particolar, si utilizza uno ZOH pr la convrsion D/. Il movimnto dllo stato a partir dall istant inizial t é: x t t t t ξ x t + Bu ξ d t F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 4 ( ) ( ) ( t) ( ) ( ) ξ

5 Si ponga ora t k tk+. Qual è l andamnto di u(t) in qusto intrvallo di tmpo? l tmpo t k l ingrsso al mantnitor è u k. L uscita dl mantnitor è quindi: Si ha quindi: x ( ) u ( ξ) u( k ) u ( k) pr ξ [ k, k + ] k + ( k + k ) ( k + ξ) ( k ) x( k ) + Bu( k ) dξ x + + k k + ( k + ξ) ( k ) x( k ) + Bdξ u( k ) k F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 5

6 Si ponga η t ξ k + ξ k + k ( k + ξ) Bdξ dξ ξ ξ k k + dη η η η Bdη Si ha quindi, dfinndo x x x ( k) x( k ) + η ( k ) x( k ) + Bdη u( k ) ( k + ) x ( k) + B u ( k) F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 6

7 Ricordando ch, pr fftto dl campionator, y ( k) y( k ) x y ( k +) x ( k) + B u ( k) ( k) Cx ( k) + Du ( k) B η Bdη Qusto sistma a tmpo discrto, dtto modllo stroboscopico o sistma a sgnali campionati, dscriv il comportamnto dl procsso di convrtitori ngli istanti di campionamnto. Esso non fornisc alcuna informazion sull andamnto dllo stato dll uscita dl procsso tra du istanti di campionamnto. L su matrici B dipndono dall matrici B dl procsso a tmpo continuo sarà intrssant studiar l loro proprità. F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 7

8 Esmpio Si considri il sistma dscritto dalla sgunt quazion di stato: x& ( t) αx( t) + βu( t) Il sistma a sgnali campionati ad sso associato ha l sgunti matrici: α αη αη β β η β ( α B d ) α α L quazion di stato dl sistma a sgnali campionati è quindi: α β ( ) ( ) ( α x k x k ) + + u ( k) α F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 8

9 3. utovalori di un sistma a sgnali campionati Campionando il sgunt sistma con priodo di campionamnto x y x& y ( t) x( t) + Bu( t) ( t) Cx( t) + Du( t) si ottin il sgunt sistma a tmpo discrto con B η Bdη ( k +) x ( k) + B u ( k) ( k) Cx ( k) + Du ( k) Qusto sistma dscriv il comportamnto dl sistma a tmpo continuo originario a tmpi multipli dl priodo di campionamnto. F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 9

10 Qual è la rlazion tra gli autovalori di gli autovalori di? La rlazion implica ch all autovalor s i di corrisponda si l autovalor z di (pr tutti gli i,...,n) i Gli autovalori sguono quindi la trasformazion di campionamnto s z tra i punti dl piano complsso S dov è dfinita la variabil s d il piano complsso Z dov è dfinita la variabil z. La trasformazion di campionamnto non è biunivoca. F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5

11 orma C2D Il sistma a sgnali campionati (, B, C, D) ottnuto dal sistma a tmpo continuo (, B, C, D) pr convrsion D/ ZOH dll ingrsso campionamnto idal dll uscita, ntrambi con priodo, è compltamnt raggiungibil ossrvabil s solo s: Il sistma (, B, C, D) è compltamnt raggiungibil ossrvabil. d ogni coppia di autovalori distinti di corrispond, attravrso la trasformazion di campionamnto, una coppia di autovalori distinti di. Cioè, non sistono autovalori di s m, s n tali ch + 2 k intro F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5

12 Esmpio u(k) D/ u(t) G(s) y(t) y(k) G ( s) s B C B η Bdη dη [ η] G ( ) ( ) z C zi B ( zi ) z Intgrator a tmpo discrto F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 2

13 Nota f ( t) sca( t) f(t) f ( k) f ( k) ( k) sca z z F( s) F ( z) s Campionando uno scalino a tmpo continuo si ottin uno scalino a tmpo discrto. u(k) G ( z) D/ u(t) G ( s) G(s) s y(t) y(k) G ( ) ( ) z C zi B ( zi ) Il sistma a sgnali campionati ottnuto da un intgrator a tmpo continuo è un intgrator a tmpo discrto. F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 3 z

14 ttnzion a non incorrr in cattiv intrprtazioni. Infatti: sca(t) sca(k) è ugual a imp(t) G(s) ma è divrso da imp(k) G ( z) D/ u(t) ( ) G ( s) G(s) G s ( s) y(t) s y(k) sca(k) z z La funzion di trasfrimnto G z è la trasformata Z dlla risposta impulsiva dl sistma a sgnali campionati. Essa non coincid con la trasformata Z dl sgnal ch si ottin campionando la risposta impulsiva dl sistma a tmpo continuo dscritto da G s ( ) z F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 4

15 F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 5 Esmpio y(t) u(t) G(s) D/ u(k) y(k) ( ) 2 s s G η η Bd B η η η η d d 2 2 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) z z zi B zi C z G B [ ] C

16 Esmpio u(k) D/ u(t) G(s) y(t) y(k) G ( s) s a + a B C a a a B η Bdη [ ] aη aη a adη G z a ( ) ( ) ( a ) ( a z C zi B zi ) a F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 6

17 4. Zri di un sistma a sgnali campionati Non c è una rgola gnral com pr i poli. In particolar, accad ch, pr fftto dl campionamnto, si abbiano più zri nl sistma a sgnali campionati ch non nl sistma a tmpo continuo di partnza (nascono gli zri di campionamnto). Pr la dtrminazion dgli zri di un sistma campionato ottnuto pr campionamnto di un sistma a tmpo continuo ci si affida alla sgunt rgola. F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 7

18 Proposizion Sia vn m il grado rlativo di G(s), dov n è il numro di poli m è il numro di zri. llora, nl limit pr : gli m zri sguono la trasformazion di campionamnto; quando n m> nascono n m zri, dtti zri di campionamnto ch sono l radici dl polinomio riportato in tablla n m n m radici 2 z + ( z) 2 3 z + 4z +.268, z 3 + z 2 + z +.,, z 4 ( z) n m z + 66z + 26z +.43,.43, 2.322, 23.2 F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 8

19 5. Guadagno di un sistma a sgnali campionati S G(s) è di tipo zro (g) risulta: S G(s) è di tipo g> risptta l ipotsi dl torma C2D, allora G ( z) è anch ssa di tipo g>. Inoltr, siano µ lim s µ z ( ) ( ) G G s g G( s) g ( z ) G ( z) lim g Si ha µ µ F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 9