3.1 Successioni. R Definizione (Successione numerica) E Esempio 3.1 CAPITOLO 3

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1 CAPITOLO 3 Successioni e serie 3. Successioni Un caso particolare di applicazione da un insieme numerico ad un altro insieme numerico è quello delle successioni, che risultano essere definite nell insieme dei numeri naturali ed assumono valori nell insieme dei numeri reali: esse possono anche essere chiamate funzioni reali di variabile intera. Più precisamente: R Definizione (Successione numerica) La funzione a : N R si chiama successione. L immagine di n N si indicherà con il simbolo a n e si chiamerà termine generale della successione. E Esempio 3. La legge a n = n 2 individua una successione che ad ogni intero n associa il suo quadrato n 2. an n Figura 3. Grafico della successione a n = n 2. 83

2 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 84 E Esempio 3.2 Si consideri la legge a n = n. Essa è una successione, definita per ogni intero n 0 : a : N + R. an n Figura 3.2 Grafico della successione a n = n. 3.. Limite di una successione Si consideri la successione a n = n. Al crescere di n, essa tende ad assumere valori man mano più piccoli, e sempre più vicini allo zero. Più precisamente, non appena n è sufficientemente grande lo scarto tra a n e l = 0 è molto piccolo. Si dice in tal caso che la succesione a n tende a l = 0 per n o che, in altre parole, il ite per n di a n è pari a zero. Per rendere rigorosa tale nozione intuitiva occorre tuttavia specificare cosa si intende con sufficientemente grande, scarto e molto piccolo : n sufficientemente grande può essere espresso matematicamente come n > n, dove n è un intero opportuno, per quantificare lo scarto o, meglio, la distanza tra la successione a n e il suo ite si può utilizzare la funzione modulo: la grandezza a n l rappresenta la distanza (euclidea) tra a n e l,

3 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 85 l affermazione scarto molto piccolo tra a n e l può essere tradotta matematicamente come distanza tra a n e l minore di un numero ɛ arbitrariamente fissato : a n l < ɛ ɛ > 0. A questo punto si può enunciare la nozione di ite (finito) di una successione: R Definizione (Limite finito di una successione) Sia a n : N R una successione. Si dice che a n = l se ɛ > 0 n ɛ N n > n ɛ a n l < ɛ. an l + ǫ l l ǫ an l < ǫ nǫ x Figura 3.3 Un esempio di successione a n con a n = l. Si consideri ora la successione a n = n 2. Chiaramente, all aumentare di n, i valori che assume la successione divengono via via più grandi. In particolare, non appena n è sufficientemente grande i valori che assume la successione sono molto grandi. Si dice in tal caso che il ite per n che tende all infinito di a n è infinito. Dal punto di vista formale dire che i valori che la successione assume sono molto grandi equivale a dire che M > 0 a n > M. E possibile a questo punto dare la seguente L espressione seguente si legge il ite per n che tende all infinito di a n è uguale a l.

4 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 86 R Definizione (Limite infinito di una successione) Sia a n : N R una successione. Si dice che se a n = + M > 0 n M N n > n M = a n > M. an M n M n Figura 3.4 Un esempio di successione con ite per n + pari a +. Analogamente si dice che a n = se M > 0 n M N n > n M = a n < M.

5 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 87 an n M n M Figura 3.5 Un esempio di successione con ite per n + pari a. " Osservazione Nella definizione di ite (finito o infinito) si è assunto che a n l < ɛ (oppure a n > M o a n < M) non appena n > n ɛ (o n > n M ). Che l intero n ɛ (n M ) dipenda, in generale, dalla scelta di ɛ (M) è evidente osservando le figure 3.3, 3.4 e 3.5. R Definizione (Successioni convergenti, divergenti e indeterminate) Una successione convergente o divergente (cioè tendente a ± ) si dice regolare Una successione che non ammette ite si dice indeterminata E Esempio 3.3 La successione a n = ( ) n è indeterminata. In effetti tale successione oscilla tra i valori e. In particolare se n è pari risulta a n = mentre se n è dispari si ha a n =. E Esempio 3.4 La successione è indeterminata. Infatti: a n = ( ) n n 2 per n pari si ha a n = n 2, che tende a + al crescere indefinito di n per n dispari si ha a n = n 2 che tende a al crescere indefinito di n

6 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE Successioni monotòne In modo analogo a quanto visto per le funzioni reali di variabile reale, è possibile dare per le successioni la definizione di monotonia. In particolare: R Definizione Se n N si ha a n+ > a n la successione a n si dice monotòna crescente se n N si ha a n+ a n la successione a n si dice monotòna non decrescente (o crescente in senso largo) se n N si ha a n+ < a n la successione a n si dice monotòna decrescente se n N si ha a n+ a n la successione a n si dice monotòna non crescente (o decrescente in senso largo) " Osservazione Le successioni crescenti (decrescenti) si dicono anche strettamente crescenti (decrescenti). E Esempio 3.5 La successione a n = n 2 + è crescente. In effetti risulta: a n+ = (n + ) 2 + = n 2 + 2n + 2 = (n 2 + ) + 2n + = Essendo 2n + > 0 si ha, quindi, a n+ = a n + 2n +. E Esempio 3.6 Sia a n la successione a n+ > a n. a n = [ n + 2 ], dove [x] è la funzione parte intera di x, definita come il più grande numero relativo minore o uguale a x. Tale successione è crescente in senso largo. Infatti si ha: E Esempio 3.7 La successione a n = ( 3 )n a n+ = [ n ] [ n + 2 ] a n.

7 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 89 è strettamente decrescente. Si ha, infatti a n+ = ( 3 )n+ = ( 3 )n 3 = a n 3 < a n. Per le successioni monotòne sussiste il seguente w Teorema (Regolarità delle successioni monotòne) Ipotesi) La successione a n è monotòna Tesi) a n è regolare In particolare se a n è una successione crescente in senso stretto o in senso largo risulta a n = sup{a n } n N mentre se a n è decrescente in senso stretto o largo, si ha: a n = inf {a n} n N Dimostrazione Si supponga, ad esempio, che la successione a n sia crescente o non decrescente e itata, e sia S = sup{a n }. n N Per definizione di estremo superiore si ha: S a n, n N e ɛ > 0 n ɛ S ɛ < a nɛ, relazioni che possono essere riscritte nel seguente modo: ɛ > 0 n ɛ S ɛ < a nɛ S Siccome la successione è crescente o non decrescente risulta che, fissato un arbitrario ɛ > 0 si ha, per n > n ɛ, Si è provato quindi che S ɛ < a nɛ a n < S + ɛ. ɛ > 0 n ɛ n > n ɛ = S ɛ < a n < S + ɛ.

8 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 90 Visto che la relazione S ɛ < a n < S + ɛ è equivalente alla relazione a n S < ɛ, si è provato che coincidente con la definizione di ɛ > 0 n ɛ n > n ɛ = a n S < ɛ, a n = S. Esercizio 3. Si dimostri che una successione itata decrescente o non crescente ammette il ite a n = inf {a n}. n N 3..3 Verifiche di iti Per dimostrare che il ite di una successione esiste occorre, ovviamente, far vedere che risulta verificata la definizione di ite. In particolare occorrerà dimostrare l esistenza di n ɛ nel caso di ite finito e di n M nel caso di ite infinito. E Esempio 3.8 Si dimostri che Fissato un arbitrario ɛ > 0 si ha 2n n + 2 = 2. 2n n < ɛ 4 n + 2 < ɛ 4 n + 2 < ɛ n + 2 > 4 ɛ. Dall ultima relazione si deduce che 2n n+2 2 < ɛ non appena n + 2 > 4 ɛ n > 4 ɛ 2. Ponendo quindi n ɛ = [ 4 ɛ 2] si è provato che, non appena n > n ɛ risulta 2n n+2 2 < ɛ, per ogni ɛ > 0, coincidente con la definizione di ite finito. E Esempio 3.9 Si dimostri che ( 2 ) n = +.

9 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 9 Fissato un arbitrario M > 0 si ha: ( 2 ) n > M n ln 2 > ln M n ln2 > ln M n > ln M ln2. Ponendo n M = [ ln M ln2 ] si è provato che, non appena n > n M risulta ( 2 ) n > M, per ogni M > 0, coincidente con la definizione di ite a + per la successione ( 2 ) n Calcolo dei iti Il calcolo del ite di una successione, quando esiste, è particolarmente semplice nei casi seguenti:. L insieme {a n,n N} ammette un unico punto di accumulazione. In tal caso il ite della successione a n, che è supposto esistere, coincide con tale punto di accumulazione. In effetti, se il ite della successione esiste, ciò vuol dire che da un certo n in poi tutti i punti della successione saranno molto vicini al valore ite l. Ciò vuol dire però che l è anche un punto di accumulazione dell insieme {a n,n N}. Pertanto il ite della successione a n potrà essere identificato con il punto di accumulazione dell insieme {a n,n N}. Ad esempio, la successione a n = n ammette un unico punto di accumulazione, pari a zero: risulterà pertanto n = 0 2. La successione a n è monotòna. In tal caso il ite di a n può essere ottenuto come estremo superiore o estremo inferiore dell insieme {a n,n N}. Ad esempio, si può pertanto concludere che, per α > 0, n α = 0, visto che la successione è monotòna e l = 0 è l unico punto di accumulazione dell insieme { n α,n N + } e che nα = + visto che la successione è monotòna crescente e che sup{n α,n N} = La successione a n è un polinomio di grado k nella variabile n : In tal caso risulta: a n = c 0 + c n + c 2 n c k n k. c 0 a n = c kn k ( c k n k + c c k n k + c ). c k nk 2

10 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 92 Siccome gli addendi in parentesi tonda dipendenti da n tendono a zero, risulta { + se a ck > 0 n = se c k < 0 4. La successione a n è un rapporto tra due polinomi nella variabile n: a n = c 0 + c n + c 2 n c p n p d 0 + d n + d 2 n d q n q = c pn p d q n q Si ha, quindi, c p d q se p = q a n = 0 se p < q ± se p > q c 0 c p n p + c c p n p + c 2 c p n p d 0 d p n p + d d p n p + d 2 d p n p Si osservi che nel caso p > q il risultato del ite è + se c p e d q hanno segno concorde mentre è se tali coefficienti hanno segno discorde. 5. La successione a n è data da a n = q n. In tal caso risulta (il simbolo si legge non esiste ) se q 0 se < q < qn = se q = + se q >. 6. La successione a n è una successione di Nepero: a n = ( + n )n. Siccome tale successione è monotòna e itata, in base al teorema sulle successioni monotòne, essa ammette ite, indicato con e e noto come numero di Nepero: ( + n )n = e. Scegliendo ad esempio n = 00 si ottiene il valore approssimato del numero di Nepero ( + 00 )00 = mentre con n = si ottiene ( )00000 = 2, Calcoli più accurati mostrano che e = 2, E possibile dimostrare anche che ( + α n )n = e α

11 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 93 e che, se a n e b n sono successioni divergenti, risulta E Esempio 3.0 Si calcoli il ite (n3 + 5n 2 3n + 2) ( + ) b n = a e bn an. n Si ha: n 3 + 5n 2 3n + 2 = n 3 ( + 5 n 3 n n 3 ) e, siccome i termini tra parentesi tonde tendono a, si ottiene: E Esempio 3. Si calcoli il ite n3 + 5n 2 3n n 4. (n3 + 5n 2 3n + 2) = +. Si ha: n 3 + 5n 2 3n n 4 = n 4 ( n 5 n n 3 ). I termini tra parentesi tonde tendono a e, pertanto, E Esempio 3.2 Si calcoli il ite 2n 2 3n + 5 3n 2. + n3 + 5n 2 3n n 4 =. Si ha: 2n 2 3n + 5 3n 2 = 2n2 + 3n 2 ( 3 2n + 5 2n 2 + 3n 2 ) = 2 3 ( Siccome i termini tra parentesi tonde tendono a, si ottiene: 2n 2 3n + 5 3n 2 = n + 5 2n 2 + 3n 2 ).

12 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 94 E Esempio 3.3 Si calcoli il ite Si ha: 5n 2 + 2n + = 5n2 n n ( + n 5n 2 + 2n +. n 2 5n + 5n 2 ) = 5n( + 2 5n + 5n 2 ). n I termini tra parentesi tonde tendono a e, pertanto, si ottiene: E Esempio 3.4 Si calcoli il ite n 2 n + n n 2 + 2n + =. n Si ha: n 2 n + n 3 + = n2 n 3 ( n + n 2 + n 3 ) = I termini tra parentesi tonde tendono a e, quindi, n ( n + n 2 + n 3 ). E Esempio 3.5 Si calcoli il ite ( 4 n )n. n 2 n + n 3 = 0. + Per il calcolo del ite si può applicare la relazione con α = 4. Si ottiene, quindi, ( + α n )n = e α ( 4 n )n = e 4.

13 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 95 E Esempio 3.6 Si calcoli il ite ( + 2 3n )n. Anche in tal caso si può utilizzare la relazione con α = 2 3. Si ottiene perciò ( + α n )n = e α E Esempio 3.7 Si calcoli il ite ( + n )n2 +n. ( + 2 3n )n = e 2 3. Per calcolare tale ite si può utilizzare la relazione con a n = n e b n = n 2 + n. Si ottiene: ( + ) b n = a e bn an n E Esempio 3.8 Si calcoli il ite ( +n n )n2. ( + +n n )n2 = e n2+n n = en+ = +. Per calcolare tale ite si può utilizzare la relazione con a n = n e b n = n 2 + n. Si ottiene: ( + ) b n = a e bn an n ( n )n2 +n = e n2+n n = e n = 0.

14 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 96 E Esempio 3.9 Si calcoli il ite ( n 2 )3n+. Per calcolare tale ite si può utilizzare la relazione con a n = n 2 e b n = 3n +. Si ottiene: ( + ) b n = a e bn an n ( n 2 )3n+ = e 3n+ n 2 = = e 3n n 2 (+ 3n ) = 3 e n (+ 3n ) =. 3.2 Serie numeriche Nel Capitolo si è introdotto il simbolo di sommatoria per scrivere in modo compatto la somma di n termini. Si consideri ad esempio la somma S n = n a k. Si osservi che la grandezza S n può essere vista come una successione i cui elementi sono S = a, S 2 = a + a 2, S 3 = a + a 2 + a 3,... S n = a + a a n, S n+ = a + a a n + a n+ : in altre parole la successione S n risulta essere la somma degli n addendi a, a 2,..., a n.

15 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 97 Siccome S n è una successione, è sensato chiedersi se essa ammette un valore ite S n = n a k. E chiaro che studiare l esistenza di un valore ite per la successione S n è equivalente a studiare l esistenza della somma degli infiniti addendi {a, a 2,..., a n,...}. R Definizione (Serie) Si dice serie di termine generico a k il valore ite delle somme parziali S n, cioè n a k. In termini più compatti il precedente ite sarà indicato con il simbolo Per come si è impostato il problema, è chiaro che studiare il carattere della serie (cioè se converge ad un numero, se diverge all infinito o se non esiste) è equivalente allo studio dell esistenza del ite delle somme parziali S n. Si avrà, pertanto: a k. se la serie converge al valore S, S n = S a k se la serie è divergente e risulterà S n = ± a k a k = ± se S n non esisterà nemmeno la somma infinita a k. In tal caso la serie è detta indeterminata.

16 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 98 Per lo studio del carattere di una serie è rilevante il seguente w Teorema (Condizione necessaria per la convergenza di una serie) Se una serie converge allora il ite per k del termine generico a k è nullo. In termini più formali (con S R) a k = S = k + a k = 0. Dimostrazione Si ha: e da cui si deduce che S k = a + a a k S k = a + a a k, S k S k = a k. Prendendo il ite per k + dell ultima relazione si ottiene, tenendo conto che per ipotesi la successione S k (e quindi anche la successione S k ) tende a S, a k = S k S k = S S = 0. k + k + k + " Osservazione Il teorema precedente fornisce una condizione necessaria per la convergenza di una serie. Tale condizione non è comunque sufficiente: come si vedrà nel seguito esistono serie con termine generico a k tendente a zero ma che non sono convergenti. " Osservazione Il teorema precedente può essere usato per dimostrare che una serie non converge: in effetti se il termine generico a k ammette un ite non nullo allora, necessariamente, la serie corrispondente non potrà essere convergente. E Esempio 3.20 Studiare il carattere della serie k k +. Siccome risulta la serie data non converge. k + k k + = 0

17 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 99 Il seguente teorema fornisce invece una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una serie: w Teorema (Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una serie: criterio di Cauchy) Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza della serie a k è che ɛ > 0 n ɛ p N a nɛ + + a nɛ a nɛ +p < ɛ, cioè l esistenza di un intero n tale che la somma dei termini a n+, a n+2,..., a n+p sia molto vicina a zero, per ogni intero p. Tra le proprietà delle serie si ricordano Le serie k a k e k αa k, con α 0 hanno lo stesso carattere Se k a k = A e k b k = B allora k(a k + b k ) = A + B Modificando un numero finito di elementi di una serie il suo carattere non cambia 3.2. Serie geometrica La serie geometrica si ottiene come ite per n + della somma dei primi n termini di una progressione geometrica. Se per semplicità il primo termine della progressione geometrica è scelto pari a, la serie geometrica è k=0 Per lo studio del carattere di tale serie è sufficiente ricordare il valore della somma dei primi n termini di una progressione geometrica: n S n = k=0 q k = q k. { q n q se q n se q =. Siccome risulta se q qn = 0 se < q < + se q >

18 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 00 si avrà: k=0 se q q k = S n = q se < q < + se q Si è ottenuto quindi che la serie geometrica è indeterminata se la ragione q è q, diverge se q e converge a q se q <. E Esempio 3.2 Si determini il carattere della serie k=0 ( 3 5 )k. Siccome q = 3 5 <, la serie data converge al valore S dato da. E Esempio 3.22 Si determini il carattere della serie S = 3 = k=0 ( 2 3 )k. La ragione q della progressione geometrica associata a tale serie è q = 2 3 q <. La serie è pertanto convergente ed il suo valore è E Esempio 3.23 Si dimostri che 0.9 =. Si ha S = + 2 = = = n +... = 9 0 k=0 9 0 ( n +...) = 0 k = = = =.

19 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 0 E Esempio 3.24 (Il paradosso della corsa 2 ) Nel paradosso della corsa si afferma che per ragguingere un certo traguardo occorrerebbe prima percorrere la metà della distanza che separa la posizione iniziale da quella finale. Raggiunta tale metà occorrerà comunque percorrere, prima di arrivare al traguardo, la metà della metà, e così via. Siccome i tratti che devono essere percorsi sono in numero infinito, Zenone conclude che un corridore non arriverà mai al traguardo. A B Figura 3.6 Rappresentazione dei vari tratti che il corridore dovrà percorrere a partire dal punto A per arrivare al punto B. Si supponga che il corridore debba percorrere il tratto che va dall origine A al punto finale B e si supponga che la distanza tra A e B sia unitaria (si veda la figura 3.6). La soluzione di tale paradosso sta nel fatto che, visto che il primo tratto da percorrere è pari a /2, il secondo è pari a /4, il terzo è pari a /8, e così via, il tratto AB da percorrere è pari a che può essere riscritto come serie: AB = , AB = ( 2 )k. Siccome la serie precedente è una serie geometrica di ragione q = /2, essa è convergente (ovvamente al valore : lo si verifichi). EEsempio 3.25 (Creazione dal nulla) Il monaco Guido Grandi (67-742) cercò di dimostrare la possibilità di creare il mondo dal nulla utilizzando (in modo inappropriato) la serie geometrica. Il ragionamento era il seguente: siccome + q + q 2 + q = q 2 Tale paradosso è dovuto al filosofo greco presocratico Zenone (495 a.c. 430 a.c).

20 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 02 si avrà, ponendo 3 q =, = + = ( ) + ( ) +... = 2 = 0 = 2 : dal nulla (lo 0 a primo membro) si è quindi creato un qualcosa ( 2 a secondo membro) Serie di Mengoli Si dice serie di Mengoli la serie k(k + ). Il termine generico di tale serie può essere riscritto come a k = k(k + ) = k k +. Con tale accorgimento è possibile valutare la somma parziale S n dei primi n termini: S n = n n k(k + ) = [ k k + ] = = [ 2 ] + [ 2 3 ] + [ 3 4 ] [ n n + ]. Si osservi che il secondo addendo della prima parentesi quadrata ( /2) si cancella con il primo termine della seconda parentesi quadrata (/2) e che ciò accade anche per gli altri addendi. Si conclude che S n = n +. Nota l espressione della somma parziale dei primi n termini si può calcolare il valore della serie stessa: k(k + ) = n k(k + ) = ( n + ) = : 3 E in questo assunto che, in particolare, risiede l errore del ragionamento del Grandi, visto che la serie geometrica converge se e solo se q <.

21 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 03 la serie di Mengoli è, pertanto, convergente al valore. E Esempio 3.26 Determinare il valore della serie 2 3k(k + ). La serie data si può scrivere, utilizzando la proprietà di omogeneità della sommatoria, come 2 3 k(k + ) = 2 3 = 2 3, essendo la serie di Mengoli convergente a Serie armonica Con serie armonica si intende la serie Tale serie non è convergente in quanto non soddisfa la condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una serie. Si supponga infatti di aver fissato un certo ɛ > 0 e si consideri la somma dei termini che vanno da k = n ɛ a k = n ɛ + p. Siccome il criterio di Cauchy deve essere soddisfatto per ogni p si assuma in particolare p = n ɛ. Si dovrebbe avere, per la convergenza della serie, la validità della relazione seguente: n ɛ + + n ɛ < ɛ. n ɛ + n ɛ Ciascun addendo della somma precedente è, comunque, maggiore o pari a 2n ɛ : k. n ɛ + > =, n ɛ + n ɛ 2n ɛ n ɛ + 2 > n ɛ + n ɛ = 2n ɛ,... n ɛ + n ɛ = 2n ɛ,

22 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 04 per cui n ɛ + + n ɛ > = n ɛ n ɛ + n ɛ 2n ɛ 2n ɛ 2n ɛ Non potrà quindi risultare per un arbitrario ɛ > 0. " Osservazione n ɛ + + n ɛ n ɛ + n ɛ < ɛ = 2n ɛ 2. Il criterio necessario per la convergenza delle serie non può essere utilizzato per provare che la serie armonica diverge in quanto k + k = 0. E Esempio 3.27 Studiare il carattere della serie 3k. La serie data può essere riscritta come 3 essendo la serie armonica divergente. k = (+ ) = +, Serie armonica generalizzata Si dice serie armonica generalizzata la serie k α, α > 0. In modo analogo a quanto visto per la serie armonica, si può provare che: { + se 0 < α k α = S se α > } cioè la serie armonica generalizzata converge se e solo se risulta α >.

23 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE Serie a termini positivi Si dice serie a termini positivi la serie a k in cui tutti i termini a k sono positivi. Si osservi che la successione delle somme parziali n S n = è monotòna crescente in quanto n+ S n+ = a k = a k n a k + a n+ = S n + a n+ > S n, essendo a n+ > 0. Ne segue che il ite delle somme parziali esiste sempre, finito o infinito, e che, pertanto, una serie a termini positivi o converge o diverge Criteri di convergenza per le serie a termini positivi Criterio del confronto Siano date due serie a termini positivi, a k e b k con a k b k k N +. Si può facilmente dedurre che a k b k, da cui segue che se b k converge = a k converge se E Esempio 3.28 a k diverge = b k diverge. Utilizzando il criterio del confronto si può dedurre che la serie armonica k 2

24 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 06 è convergente. In effetti, essendo k 2 + k < k 2 + k 2 = 2k 2, si ha: da cui k 2 + k < 2k 2 = k 2 < 2 k 2 + k k 2 < 2 k(k + ), essendo la serie di Mengoli k 2 < Criterio del confronto asintotico Date le due serie a termini positivi 2 k(k + ) = 2 k(k + ) =. k(k + ) = 2, a k e b k si supponga che k + a k b k = l 0. In tal caso, avendo i due termini generici lo stesso andamento per k +, le due serie hanno lo stesso carattere. a k e b k Se, invece, l = 0 ciò vuol dire che per k sufficientemente grandi risulta a k b k < ɛ, per un arbitrario ɛ > 0. Siccome entrambi i termini sono positivi, si avrà a k b k < ɛ = a k < ɛb k. Pertanto si ha: se b k converge = a k converge, se a k diverge = b k diverge. Se, infine, k + a k b k = +

25 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 07 ciò vuol dire che, per k sufficientemente grandi risulta a k b k > M, per ogni arbitrario M > 0, da cui segue che a k > Mb k. Quindi se b k diverge = a k diverge, se a k converge = b k converge. E Esempio 3.29 Si studi il carattere della serie 3 4k + 2. La serie data può essere confrontata con la serie armonica Si ha: k = +. 3/(4k + 2) = k + /k k + 3k 4k + 2 = 3 4 e, pertanto, le due serie hanno lo stesso carattere. Dalla divergenza della serie armonica segue quindi la divergenza della serie data. E Esempio 3.30 Studiare il carattere della serie k k 3 + 2k 2 +. La serie data può essere confrontata con la serie armonica generalizzata k 2,

26 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 08 che, come visto in precedenza, è convergente. Si ha: la serie data è convergente. Criterio della radice k/(k 3 + 2k 2 + ) k + /k 2 = Sia data la serie a termini positivi e si supponga che a k k + k ak = q. k + k 3 k 3 + 2k 2 + = : Se 0 q < la serie converge mentre se q > la serie diverge. Nel caso in cui q = la serie potrebbe divergere o convergere ed il criterio della radice è inapplicabile. " Osservazione Dire che k ak = q k + equivale a dire che, per k + o, come si suol dire, asintoticamente, ( il simbolo si legge circa uguale ) k ak q e, quindi, a k q k. Pertato confrontando la serie data con la serie geometrica si ottiene che essa è convergente se 0 q < e divergente se q >. E Esempio 3.3 Studiare il carattere della serie ( + 5 k )k2. Si ha k ak = = ( + 5 k + k + k )k = e 5 > : la serie data è divergente. E Esempio 3.32 Studiare il carattere della serie ( + 3k )k2.

27 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 09 Utilizzando il criterio della radice si ottiene: k k + la serie data è pertanto convergente. Criterio del rapporto Sia data la serie a termini positivi e si supponga che Si può dimostrare che: ( + 3k )k2 = k + ( + 3k )k = e 3 < : a k, a k+ = q. k + a k { converge se 0 q < a k = diverge se q > Se invece q = la serie data potrebbe essere divergente o convergente. " Osservazione Se si può dire che Da ciò segue che a k+ = q k + a k a k+ a k q k > k. a k+ qa k, a k+2 qa k+ = q 2 a k,. a k+3 qa k+2 = q 3 a k e, più in generale, a k+n q n a k. Ciò vuol dire che da un certo k in poi, k > k, il comportamento dei termini della serie è simile a quello di una serie geometrica di ragione q (si tenga conto che a k è un numero fissato). Da ciò segue che la serie data è convergente se 0 q < ed è divergente se q >. E Esempio 3.33 Studiare il carattere della serie k + k ( 3 4 )k.

28 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 0 Utilizzando il criterio del rapporto si ottiene a k+ (k + 2)/(k + )(3/4) k+ k(k + 2) = k + a k k + (k + )/(k)(3/4) k = k + (k + ) 2 ( 3 4 ) = 3 4 < : la serie data è convergente. E Esempio 3.34 Studiare il carattere della serie k! k +. Utilizzando il criterio del rapporto si ha (si ricordi che (k + )! = (k + )k!) a k+ (k + )!/(k + 2) (k + ) 2 = = k + a k k + k!/(k + ) k + (k + 2) = + : la serie data è divergente Serie a segni alterni La serie con a k > 0, si dice serie a segni alterni. ( ) k a k, Per determinare il carattere di tale serie è rilevante il seguente w Teorema (Criterio di Leibniz) Sia data la serie a segni alterni ( ) k a k. Se la successione a k è decrescente (cioè se a k+ < a k k N + ) e se allora la serie data è convergente. a k = 0 k +

29 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE E Esempio 3.35 Studiare il carattere della serie La successione k è decrescente e k + ( ) k. k = 0. k Applicando il criterio di Leibniz si deduce, quindi, che la serie data è convergente Serie a termini di segno qualunque Sia data la serie a k, dove il termine generico a k può essere positivo o negativo. R Definizione (Serie assolutamente convergente) Se la serie converge, si dice che la serie è assolutamente convergente. a k a k Sussite il seguente w Teorema (Criterio di convergenza per le serie di segno qualunque) La convergenza assoluta di una serie implica la convergenza della serie stessa: se a k converge = a k converge.

30 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 2 " Osservazione Il teorema appena enunciato rappresenta una condizione sufficiente per la convergenza di una serie a segno qualunque. Tale condizione non è comunque necessaria. Si consideri infatti la serie ( ) k k : siccome /k è decrescente e k + k = 0, per il criterio di Leibniz tale serie è convergente. Tuttavia essa non è assolutamente convergente visto che la serie armonica è divergente. E Esempio 3.36 Studiare il carattere della serie La serie dei moduli k k k k 5 + 2k. k k2 + 3 k 5 + 2k è convergente. In effetti, applicando il criterio del confronto asintotico tra la serie dei moduli e la serie armonica generalizzata k 3 che si ricorda essere convergente, si ottiene: k k2 + 3 k + k 5 + 2k /(/k3 ) =, da cui si deduce che la serie dei moduli è convergente. La serie di partenza è pertanto assolutamente convergente e, quindi, convergente. " Osservazione Per lo studio del carattere della serie si può seguire il seguente schema: a k

31 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 3. Si studia il ite a k : k + se tale ite è diverso da zero la serie diverge. Nel caso in cui tale ite è pari a zero occorrerà studiare dettagliatamente il suo carattere. 2. Se la serie può essere ricondotta ad una serie di cui si conosce il comportamento (serie aritmetica, geometrica, di Mengoli, armonica e armonica generalizzata) si determina di conseguenza il suo carattere 3. Se la serie è a termini positivi si possono usare i criteri visti in precedenza. In generale, se il termine generico della serie a k contiene i fattoriali di k, oppure P(k) è della forma a k = b k Q(k), dove P e Q sono polinomi in k, è opportuno applicare il criterio del rapporto; se il termine generico della serie è della forma a k = (b k ) k è opportuno utilizzare il criterio della radice; se i criteri della radice o del rapporto sono inefficaci il carattere della serie può essere studiato utilizzando il criterio del confronto o il criterio del confronto asintotico 4. Se la serie è a segni alterni si può utilizzare il criterio di Leibniz o il criterio della convergenza assoluta (e si ritorna quindi al caso 3) 5. Se la serie è a termini di segno qualunque si può utilizzare il criterio della convergenza assoluta (e si ritorna quindi al caso 3)