Progressioni numeriche Successione di Fibonacci e sezione aurea
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- Gildo Pinto
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1 Progressioni numeriche Successione di Fibonacci e sezione aurea Progetto Matematica e Statistica - Progetto Lauree Scientifiche Loredana Caso 1
2 Successioni numeriche 2 Una successione numerica è una sequenza ordinata di numeri. Più precisamente una successione è una funzione con dominio N. Esempi: i numeri pari: 2, 4, 6, 8, 10, = { 2n n N } i numeri dispari: 1, 3, 5, 7, 9, 11, = { 2n 1 n N } i numeri quadrati perfetti: 1, 4, 9, 16, 25, = { n 2 n N } i reciproci dei naturali: 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 { 1 } 5, = n n N
3 3 Alcune successioni importanti: Progressioni aritmetiche Progressioni geometriche Successione di Fibonacci
4 4 Progressioni aritmetiche Una progressione aritmetica è una successione nella quale la differenza tra due termini consecutivi è costante. Tale differenza viene chiamata ragione della progressione aritmetica. Esempi: - 5, 8, 11, 14, 17, - 2, 6, 10, 14, 18, I termini successivi di una progressione possono essere indicati così: a 1, a 2, a 3,, a n, dove a 1 è il primo termine della successione.
5 5 Se q è la ragione della progressione aritmetica, allora si ha a n+1 a n = q per ogni naturale n Dunque, noto il primo termine della progressione (o valore iniziale), la successione può essere così descritta: a 1 = valore iniziale a n+1 = a n + q
6 Proprietà - L ennesimo termine della progressione può essere ricavato immediatamente, senza dover scorrere tutta la successione fino a quel punto: a n = a 1 + (n 1) q Infatti risulta a 1 = a q a 2 = a q a 3 = a 2 + q = a 1 + q + q = a q a 4 = a 3 + q = a q + q = a q a 5 = a 4 + q = a q + q = a q 6
7 - Se si vuole calcolare la somma S n dei primi n termini della progressione non è necessario calcolare ogni singolo valore e addizionarlo, si può usare la formula Infatti risulta S n = a 1 + a n 2 n 7 S n = a 1 + a 1 + q + + a 1 + (n 2) q + a 1 + (n 1) q S n = a 1 + (n 1) q + a 1 + (n 2) q + + a 1 + q + a 1 2 S n = 2 a 1 + (n 1) q + } 2 a 1 + (n 1) q + + {{ 2 a 1 + (n 1) q + 2 a 1 + (n 1) q } n addendi S n = 2 a 1 + (n 1) q 2 n = a 1 + a 1 + (n 1) q 2 n = a 1 + a n 2 n
8 8 Progressioni geometriche Una progressione geometrica è una successione nella quale il rapporto tra due termini consecutivi è costante. Tale rapporto viene chiamato ragione della progressione geometrica. Esempi: 5, 10, 20, 40, 80, 2, 6, 18, 54, 162, I termini successivi di una progressione geometrica possono essere indicati così: a 1, a 2, a 3,, a n, dove a 1 è il primo termine della successione.
9 9 Se q è la ragione della progressione geometrica, allora si ha a n+1 a n = q per ogni naturale n Dunque, noto il primo termine della progressione (o valore iniziale), la successione può essere così descritta: a 1 = valore iniziale a n+1 = a n q
10 10 Proprietà - L ennesimo termine della progressione può essere ricavato immediatamente, senza dover scorrere tutta la successione fino a quel punto: a n = a 1 q n 1 Infatti risulta a 1 = a 1 q 0 a 2 = a 1 q 1 a 3 = a 2 q = (a 1 q) q = a 1 q 2 a 4 = a 3 q = (a 1 q 2 ) q = a 1 q 3 a 5 = a 4 q = (a 1 q 3 ) q = a 1 q 4
11 - Se si vuole calcolare la somma S n dei primi n termini della progressione non è necessario calcolare ogni singolo valore e addizionarlo, si può usare la formula Infatti risulta S n = a 1 qn 1 q 1 S n = a 1 + a 2 + a a n = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q a 1 q n 1 S n q = a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q a 1 q n 1 + a 1 q n 11 S n q S n = a 1 q n a 1 = a 1 (q n 1) S n = a 1 qn 1 q 1
12 12 Successione di Fibonacci La successione di Fibonacci è una successione di numeri naturali che si definisce assegnando i primi due termini F 1 = 1, F 2 = 1 e chiedendo che per ogni successivo termine (n 3) sia F n = F n 1 + F n 2. Dunque F 1 = 1, F 2 = 1, F n = F n 1 + F n 2 per ogni n 3 Così, ad esempio, i primi 20 termini della succesione sono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765
13 Curiosità La sequenza prende il nome dal matematico pisano del XII secolo Leonardo Fibonacci. L intento di Fibonacci era quello di trovare una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli. Assumiamo che: - la prima coppia diventi fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova coppia al compimento del secondo mese; - le nuove coppie nate si comportino in modo analogo; - le coppie fertili, dal secondo mese di vita, diano alla luce una coppia di figli al mese. 13
14 Partendo da una singola coppia, dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile, e dopo due mesi avremo due coppie di cui una sola fertile; nel mese seguente avremo 2+1=3 coppie perché solo la coppia fertile ha partorito; di queste tre ora saranno due le coppie fertili quindi nel mese seguente ci saranno 3+2=5 coppie; in questo modo il numero di coppie di conigli di ogni mese descrive la successione dei numeri di Fibonacci. 14
15 Proprietà - Per il massimo comune divisore tra due qualsiasi numeri di Fibonacci vale la formula MCD (F n, F m ) = F MCD(n, m) 15 Dunque F n è divisibile per F m se e solo se n è divisibile per m. - Dati quattro numeri di Fibonacci consecutivi, il prodotto del primo e del quarto è uguale al prodotto del secondo e del terzo aumentato o diminuito di 1.
16 - Ogni numero di Fibonacci corrisponde alla somma dei numeri che lo precedono eccetto l ultimo, aumentata di Il rapporto F n+1 F n per n che diventa molto grande tende ad un numero irrazionale chiamato sezione aurea o numero di Fidia. Tale numero si indica con ϕ e risulta ϕ = = 1,
17 17 Numeri di Fibonacci e sezione aurea Sappiamo che il rapporto F n+1 F n F n ϕ. Ne segue che il rapporto F n+1 1 ϕ dove 1 ϕ = = 0, Attraverso il numero di Fidia si vede che l ennesimo termine della successione di Fibonacci si può esprimere tramite la formula F n = ϕn (1 ϕ) n 5
18 I numeri di Fibonacci nelle scienze Esaminando in maniera più approfondita la forma di fiori come la margherita, il girasole o una comune pigna notiamo che esiste una stretta relazione con i numeri di Fibonacci. Sulla testa di un tipico girasole, costituita da due serie di spirali, una in un senso ed una in un altro, il numero delle spirali rientra molto spesso in questo schema. Il numero di spirali di senso diverso differisce per 21 e 34, 34 e 55, 55 e 89, o 89 e 144 semi e lo stesso avviene per le pigne, per le conchiglie, per l ananas. Questi sono tutti numeri che appartengono alla sequenza di Fibonacci! 18
19 19 Così in molte specie vegetali, prime fra tutte le Astaracee (girasoli, margherite, ecc.), il numero dei petali di ogni fiore è di solito un numero di Fibonacci, come 5, 13, 55 o perfino 377, come nel caso della diaccola. Le brattee delle pigne si dispongono in due serie di spirali dal ramo verso l esterno - una in senso orario e l altra in senso antiorario. Uno studio di oltre 4000 pigne di dieci specie di pino rivelò che oltre il 98 per cento di esse conteneva un numero di Fibonacci nelle spirali che si
20 diramavano in ogni direzione. Inoltre, i due numeri erano adiacenti, o adiacenti saltandone uno, nella sequenza di Fibonacci - per esempio 8 spirali in un senso e 13 nell altro, o 8 spirali in un senso e 21 nell altro. Le scaglie degli ananas presentano un aderenza ancora più costante ai fenomeni di Fibonacci: non una sola eccezione fu trovata in un test compiuto su 2000 ananas. 20
21 21 Particolarità matematiche della sezione aurea - La sezione aurea è la radice positiva dell equazione x 2 x 1 = 0. L altra radice è 1 ϕ. - E l unico numero (non naturale) il cui reciproco e quadrato mantengono inalterata la propria parte decimale 1 ϕ = 1, ϕ = 0, ϕ2 = 2,
22 La sezione aurea nella geometria Dato un segmento AB si ottiene una sezione aurea quando il tratto tratto più lungo AC sta al più corto CB come il segmento intero AB sta al tratto più lungo AC, cioè AC : CB = AB : AC 22 A C B 0, ,
23 Il rettangolo aureo è un rettangolo le cui proporzioni sono basate sulla sezione aurea. Si costruisce dapprima un quadrato, il cui lato corrisponderà al lato minore del rettangolo. Sul punto medio di un lato si punta un compasso con apertura sino a un vertice non adiacente del quadrato. Il punto nel quale la circonferenza così determinata interseca il prolungamento del lato determina il secondo estremo del lato maggiore del rettangolo. 23 M
24 Un altra figura geometrica aurea è la spirale aurea (è una paricolare spirale logaritmica). La sua costruzione si fa attraverso il rettangolo aureo. Consideriamo un rettangolo aureo in cui il lato maggiore e il minore stanno tra loro in un rapporto pari a ϕ. Immaginiamo di sottrarre da questo rettangolo un quadrato di lato uguale al lato minore. Il risultato sarà un rettangolo più piccolo, che a sua volta è un rettangolo aureo di dimensioni minori del rettangolo iniziale di un fattore pari a ϕ. Andando avanti con questo procedimento si genera una serie di rettangoli aurei sempre più piccoli di dimensioni ridotte, ogni volta, di un fattore pari a ϕ. 24
25 25 Quello aureo è l unico rettangolo che consente, togliendo un quadrato dalla sua area, di ottenere un rettangolo simile al primo! Tracciamo un arco di circonferenza di centro il vertice del quadrato che si trova sul lato lungo del rettangolo e di estremi i due vertici adiacenti. Ripetendo l operazione per ogni quadrato si ottiene la spirale aurea.
26 26 La spirale logaritmica è chiamata anche spirale equiangola, in quanto tracciando una linea dritta dal polo a un punto qualunque della spirale, questa intercetta la curva formando sempre lo stesso angolo.
27 Curiosità I falconi usano questa proprietà durante la caccia. Il falcone, individuata la preda, vola tenendo la testa dritta seguendo una spirale logaritmica perchè grazie alle proprietà equiangolari di tale spirale, l uccello ha la possibilità di non perdere di vista la preda, e nel contempo di tenere la testa diritta massimizzando la velocità. 27
28 28 La sezione aurea è considerata come legge universale dell armonia, la giusta proporzione tra due elementi perchè essi appaiano armoniosi all occhio umano.
29 Esempi di sezione aurea in architettura L esempio più noto di edificazione secondo precise regole geometriche e razionali è il Partenone ad Atene di Fidia (V sec. a.c.); qui non solo la facciata è inscritta in un rettangolo aureo ma anche l altezza delle colonne, del timpano e del fregio stanno in rapporto aureo rispettivamente con l altezza totale, con la distanza tra il vertice del timpano e la sommità delle colonne e con l altezza dell intero architrave. 29
30 Sezione aurea nel corpo umano L uomo di Vitruvio di Leonardo: una persona è inscritta in un quadrato e in un cerchio. Nel quadrato, l altezza dell uomo AB è pari alla distanza BC tra le estremità delle mani con le braccia distese. La retta x y passante per l ombelico divide i lati AB e CD esattamente in rapporto aureo tra loro. 30
31 Lo stesso ombelico è anche il centro del cerchio che inscrive la persona umana con le braccia e gambe aperte. La posizione corrispondente all ombelico è infatti ritenuta il baricentro del corpo umano. Se misuriamo le dita della nostra mano mano, noteremo che i rapporti tra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare sono aurei. 31
32 La prova più evidente di come il rapporto aureo può influenzare in modo notevole il nostro occhio è data dal volto umano. Nella figura possiamo individuare numerosi rapporti aurei: A/a= tra l altezza e larghezza del viso B/b= posizione della linea degli occhi rispetto al mento ad alla fronte C/d= posizione della bocca rispetto al mento ed agli occhi D/d= altezza e larghezza del naso E/e= lunghezza ed altezza del profilo della bocca F/f= larghezza degli occhi e la loro distanza H/h= distanza degli occhi rispetto al centro di simmetria del viso 32
33 33
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