8. Successioni di numeri reali

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1 8. Successioi di umeri reali 8. Progressioi umeriche Prerequisiti I umeri aturali e le operazioi su di essi Cocetto di applicazioe Cocetto di isieme ifiito Isiemi umerabili Obiettivi Compredere il cocetto di progressioe Cooscere le più importati proprietà delle progressioi Sapere applicare le formule delle progressioi a problemi pseudo reali Coteuti Progressioi aritmetiche Progressioi geometriche Parole Chiave Progressioe Ragioe

2 Carmelo Di Stefao, Dal problema al modello matematico Volume Capitolo 8 Uità Progressioi aritmetiche Sai sommare? chiese la Regia Biaca. Allora quato fa uo più uo più uo più uo più uo più uo più uo più uo? No lo so, rispose Alice Ho perso il coto Lewis Carroll, Attraverso lo specchio Vogliamo studiare dei particolari isiemi umerabili. Comiciamo a porre qualche defiizioe. Defiizioe Diciamo successioe umerica u isieme ordiato di umeri reali. Notazioe Ua successioe si idica co { a}, o, se o vi è possibilità di equivoco, semplicemete co {a N }. Il suo geerico elemeto che ell isieme occupa la posizioe umero si idica co a. Esempio + 7 : N è ua successioe, i cui primi elemeti soo: , +, + = = =, Fra le successioi ve e soo alcue che meritao di essere evideziate. Defiizioe Diciamo progressioe aritmetica ua successioe umerica i cui la differeza tra due elemeti cosecutivi è costate. I simboli a + a = d, N; d si chiama ragioe della progressioe. Esempio La successioe a = { } N, rappreseta i umeri pari. E poiché ogi umero pari è uità più grade del precedete, questa è ua progressioe aritmetica di ragioe. Si ha: a + a = ( + ) =. Ivece a = { + + } N o è ua progressioe aritmetica perché a + a = ( + ) + ( + ) + ( + + ) = +. Proprio per la loro stessa defiizioe possiamo otteere semplici relazioi fra gli elemeti di ua stessa progressioe aritmetica. Esempio Data la progressioe aritmetica {4, 7, 0,, }, di ragioe, possiamo trovare facilmete il suo 0 termie seza bisogo di calcolare i precedeti 9. Ifatti si può scrivere: {4, 4 +, 4 +, 4 +, }. Cioè i geerale a = 4 + ( ). Quidi a 0 = 4 + (0 ) = = 6. Il precedete risultato permette di euciare la seguete legge geerale. Teorema Fra due distiti elemeti di ua stessa progressioe aritmetica di ragioe d, a p e a t, co p > t, vale la seguete relazioe: a p = a t + (p t) d. Dimostrazioe Per la defiizioe di progressioe aritmetica si ha: a p = a p + d = a p + d + d = = a + (p ) d (*) e ache a t = a + (t ) d, ma allora avremo ache a = a t (t ) d, quidi sostituedo ella (*) si ha: a p = a t (t ) d + (p ) d = a t + (p t + ) d = a t + (p t) d, che è proprio la tesi. 47

3 Vediamo u applicazioe. Carmelo Di Stefao, Dal problema al modello matematico Volume Capitolo 8 Uità Esempio 4 Data la progressioe i cui il primo termie a = 7 e la ragioe d = 5, il suo 5 elemeto è, i base al teorema precedete: a 5 = 7 + (5 ) 5 = 77. Nella progressioe aritmetica i cui, a 4 = e d =, a = + ( 4) = 6. Vediamo u altra questioe. Esempio 5 Di ua progressioe aritmetica coosciamo a =, e a 5 =, vogliamo determiare i rimaeti termii. Basta determiare la ragioe, ma ciò si fa facilmete, teedo coto del Teorema, ifatti: a 5 = a + 4 d = + 4d d = =. Trovata la ragioe, i termii macati soo:,,,,...,,, Ache il calcolo dei termii di ua progressioe aritmetica risulta facilitato. Esempio 6 Vogliamo calcolare velocemete la somma dei primi 50 umeri iteri cosecutivi, che costituiscoo ua progressioe aritmetica di ragioe. Osserviamo che possiamo accoppiare i 50 umeri el seguete modo: ( + 50) + ( + 49) + ( + 48) + + (5 + 6) = Gli addedi soo tutti uguali e soo i umero di 5, quidi la somma cercata è 5 5 = 75. Teuto coto del precedete esempio si ottiee il seguete risultato. Teorema ( + ) La somma dei primi umeri aturali è data da =. Dimostrazioe Distiguiamo due casi. pari, quidi = k, allora possiamo accoppiare gli addedi el seguete modo: (k ) + k = ( + k) + ( + k ) + ( + k ) + + (k + k + ). Otteedo così k addedi tutti uguali a (k + ), quidi la somma è k (k + ), ma k = e k + = +, quidi la somma è ( + ), che coicide co la tesi. Se é dispari, cioè = k +, accoppieremo lasciado il termie cetrale: k + (k + ) = ( + k + ) + ( + k) + ( + k ) + + (k + k + ) + (k + ). Stavolta abbiamo k addedi uguali a k +, quidi la somma è k (k + ) + (k + ) = (k + ) (k + ). E dato che si + ha: = k +, k + =, otteiamo acora ua volta la somma voluta. Adesso euciamo u risultato che riguarda la somma di alcui termii cosecutivi di ua progressioe a- ritmetica. Teorema I ua progressioe aritmetica di ragioe d, la somma dei primi elemeti è data dalla formula: a + ( ) d a + a S = ak = = k= Dimostrazioe Vogliamo calcolare a + a + + a, se ricaviamo tutti gli addedi, trae il primo, mediate il primo, a- vremo: a + (a + d) + (a + d) + + [a + ( ) d] = a + ( ) d. Sostituiamo la 48

4 Carmelo Di Stefao, Dal problema al modello matematico Volume Capitolo 8 Uità ( ) ( ) ( ) d a + d somma i paretesi co il risultato del teorema : a + d = a + = Del resto si ha: a = a + ( ) d, quidi la precedete si può ache scrivere el modo seguete: a + ( a + ( ) d ) a + a =. Esempio 7 Data la progressioe aritmetica di ragioe, il cui quito termie è, vogliamo determiare la somma dei 4 termii che vao dal terzo al decimo iclusi. La formula stabilita dal teorema precedete può applicarsi a5 + 5 d cosiderado a 5 come primo termie: a5 + a a0 = 6 = + 5 =. Per la somma 4 voluta ci serve a + a 4 = a + d = (a 5 d) + d = a 5 d = 4 = 0. Quidi la somma è. 49

5 Verifiche Carmelo Di Stefao, Dal problema al modello matematico Volume Capitolo 8 Uità Dopo avere determiato quali fra le segueti successioi soo progressioi aritmetiche, per quelle che lo soo calcolare la ragioe Livello. { + } ; {7 } ; { + } ; { 5} ; { + } ; [; 7; No; 5; No] Livello. {si()} ;{si( π)} ; { + si( π)} ; {k + m} ; {cos( π)} ;{ + ( ) cos( π)} [No; 0; ; k; No; ] Lavoriamo isieme Filippo firma u cotratto co il suo datore di lavoro el quale si stabilisce che il suo stipedio iiziale è di 000,00 mesili e ogi ao riceverà u aumeto pari al % dello stipedio vigete. Quato sarà il suo stipedio mesile dopo 0 ai, cioè l udicesimo ao? Abbiamo a che fare co ua progressioe aritmetica? Vediamo i primi termii di questa successioe: {000; 00; 040,40} o è ua progressioe aritmetica, poiché la differeza fra due termii successivi o è costate, 0,00 la prima differeza e 0,40 la secoda. Quidi possiamo rispodere alla domada o elecado tutti gli stipedi o cercado ua regola geerale. Vediamo il secodo procedimeto. Si ha {000; ,0 000 = 000 (,0) = 00; ,0 00 = 00 (,0)= 000,0 }, o è difficile capire che i geerale, dopo ai lo stipedio sarà 000,00,0, quidi dopo 0 ai sarà divetato 000,00,0 0 8,99. Se ivece l aumeto fosse stato sempre del % del primo stipedio avremmo avuto ua progressioe aritmetica, di ragioe 0 e quidi dopo 0 ai avremmo avuto 000,00 + 0,00 0 = 00,00. Livello. Giada firma u cotratto co il suo datore di lavoro el quale si stabilisce che il suo stipedio iiziale è di 00 euro mesili e ogi ao riceverà u aumeto pari al % dello stipedio iiziale. Quato sarà il suo stipedio mesile dopo 0 ai, cioè il vetuesimo ao? [90] 4. Co riferimeto al precedete quesito, dopo quati ai lo stipedio raggiugerebbe o supererebbe i 000 euro la prima volta? Se raggiuge i 000 euro dopo 5 ai, quata percetuale di aumeto si ha rispetto allo stipedio iiziale? [; 4,45%] Delle segueti progressioi aritmetiche, sulla base dei dati, determiare quato richiesto 5. a =, d = 4, a 40 =? ; a7 =, d =, a 8 =? ; a 6 = 4, a 8 = 5, d =? ; a = 5, a 0 = 7, d =? , 57; ; ; a7 =, a4 =, d =? ; a =, d =, a 47 =? ; a = 0, a =, d =, =? ; ; a = 7, a =, 8. a = 0, a = 6, 4 d =, =? ; a = 7, a = 4, d =, =? ; a 0 =, a = 40, 40 7 d =, =? ; a = 4, a 7 =, 6 7 d =, =? [; 9; 4] d =, =? [9; ] Livello 9. I umeri {x, x +, x + } soo i progressioe aritmetica determiare x. [0] 0. I umeri {x, x +, 4x} soo i progressioe aritmetica determiare x. [ ]. Devo partire da A per arrivare a B, che distao 86 km e ho u motorio che co u pieo fa 8 Km. Quati distributori almeo, devoo esserci sulla strada AB ed a che distaza miima devoo essere posti l'uo dall'altro, perché io possa essere sicuro di raggiugere B? [4; 7]. U cerchio la cui area misura x è itero ad u altro cerchio di area x + y. Se il raggio del cerchio più grade misura cm, e se (x, y, x + y) formao ua progressioe aritmetica, quato misura il raggio del

6 Carmelo Di Stefao, Dal problema al modello matematico Volume Capitolo 8 Uità cerchio più piccolo? cm Lavoriamo isieme Vogliamo calcolare la somma di tutti i umeri aturali compresi fra 75 e 789 e divisibili per. I umeri divisibili per costituiscoo, ovviamete, ua progressioe aritmetica di ragioe, quidi dobbiamo calcolare la somma degli elemeti di tale progressioe. Ora a = 77 = 7, e a 65 = 78 = 7. Quidi si ha: ( ) 65 S7,65 = = Livello Calcolare la somma di tutti i umeri aturali compresi fra h e k e divisibili per. (h = 5, k = 684, = 5) ; (h = 5, k = 84, = ) ; (h = 4, k = 789, = 7) ; (h = 75, k = 789, = ) [46565; 8665; 5480 ; 7885] Livello La somma dei aturali divisibili per h compresi fra e k è S, determiare 4. (h = 4, k = 54, S = 8656) ; (h = 6, k =, S = 50) [64 67; 0 5] 5. (h = 8, k = 0, S = 848) ; (h =, k = 50, S = 05) [ ; 4 6] Delle segueti progressioi aritmetiche, sulla base dei dati, determiare quato richiesto Livello (S 5 = 4, a = 7, d =?) ; (S = 7, a =, d =?) ; (S 5 = 40, a =?, d = ) ; ; (S 8 = 5, a =?, d = ; (S = 00, a =, d =, =?) ; S =, a = 4, d =, =? ; ; (S 0 = 48, a =, a 0 =?) ; (S = 57, a = 5, a =?) ; (S =, a = 4, a =, =?) ; (S = 50, a = 7, a =, =? [ ; 7] 7 Lavoriamo isieme La somma dei primi dieci termii di ua progressioe aritmetica è quattro volte la somma dei primi cique 0 a + 9 d termii. Se a =, quato vale d? Abbiamo ak = 0 = 0a + 45d = d; metre k = 5 a + 4 d ak = 5 = 5a + 0d = 5 + 0d, quidi i dati del problema affermao che si ha: k = d = 4 (5 + 0d) 45d 40d = d = 0 d = 6. Livello 0. Determiare la somma dei primi umeri + aturali pari ; aturali dispari ; multipli di 4 ; multipli di h + ; ; + ; h. Cosideriamo la somma S dei primi umeri pari, qual è il miimo per cui S > 0 6? [000] Semplificare ( ). 4

7 Carmelo Di Stefao, Dal problema al modello matematico Volume Capitolo 8 Uità. La somma dei primi umeri aturali supera di 50 la somma dei primi aturali. Quato è? [6] ak ak = 0, a =, d =? ; k = k = 8 ak + 5 = ak, d = 5, a =? [; ] k = k = 6 Date le due progressioi aritmetiche di cui soo dati il primo elemeto e la ragioe, determiare, se esiste, u umero aturale, per cui valgoo le date uguagliaze ak = b k ; a = 4, d =, b = 7, d =, ak = bk [7; 57] k = k = 4 k = k = k ; a = 5, d =, b =, d =, ak = bk [ ;5] k = k = 4 k= k = 5. (a =, d = ), (b = 5, d = ), 6. a = 8, d =, b =, d =, ak = b 4 Lavoriamo isieme Date due progressioi aritmetiche a, a,, a ; b, b,, b, si costruisca ua uova progressioe aritmetica sommado le due progressioi termie a termie, a + b, a + b,, a + b. Sapedo che si ha: a = 5, b = 75, a 00 + b 00 = 00, determiare la somma dei primi 00 termii della uova progressioe. Dobbiamo ( a + b ) + ( a00 + b00 ) ( ) + 00 calcolare ( a + b ) ( a00 + b00 ) = 00 = 00 = Livello 7. La somma di tre umeri i progressioe aritmetica è 0, metre la somma dei loro quadrati è 7, determiare i tre umeri. Suggerimeto: idicare i umeri co (x d, x, x + d). [{4, 0, 6}] 8. La somma di tre termii di ua progressioe aritmetica è 5, metre la somma dei loro reciproci è 7 0, determiare i termii. 5,, 9. Di ua progressioe aritmetica si sa che la somma dei primi 0 termii vale 00, metre quella dei primi 00 termii vale 0. Quato vale la somma dei primi 0 termii? [ 0] 0. Provare che se {a, a,, a, a +,, a } è ua progressioe aritmetica decrescete di ragioe d, allora si ha: a + a + + a (a a ) = d.. Provare che se {a, a,, a, a +,, a } è ua progressioe aritmetica decrescete di ragioe d, allora si ha: a + a + + a = ( ) a.. Provare che se {a, a,, a, a +,, a } è ua progressioe aritmetica decrescete di ragioe d, allora si ha: (a + a ) = (a + a ) = = (a + a + ). k p ( ) +. Provare che ua successioe p() che verifica la seguete proprietà p( + ) =, co k umero reale o ullo è ua progressioe aritmetica. Quato vale la ragioe? [k] k 4. Idichiamo co p() ua geerica progressioe aritmetica di 40 termii, co a = e d =. Determiare la somma di tutti i 400 termii delle progressioi da p() a p(0). [8000] 4

8 Carmelo Di Stefao, Dal problema al modello matematico Volume Capitolo 8 Uità Progressioi geometriche Cosideriamo u altro geere di successioi umeriche, affii alle progressioi aritmetiche. Defiizioe Diciamo progressioe geometrica ua successioe umerica i cui il rapporto tra due elemeti cosecutivi a è costate. I simboli + = q 0, N, il rapporto costate q si chiama ragioe. a Esempio 8 Le successive poteze di u umero, per esempio di, soo progressioi geometriche di ragioe la base comue. Ifatti la legge geerale è a = { + a }, quidi + = =. a Ache per le progressioi geometriche possiamo determiare semplici formule per determiare u elemeto cooscedoe u altro e la sua posizioe. Esempio 9 Data la progressioe geometrica di ragioe, il cui quarto elemeto è 4, vogliamo trovare il suo decimo e- lemeto. Comiciamo a costruire il quito elemeto a partire dal quarto: 4 =. Il sesto è =. Ma è ache 4 = 4. Quidi facilmete si ha che il settimo elemeto, a partire dal quarto è pertato il decimo elemeto sarà: 6 4 =. 6 Geeralizzado l esempio precedete otteiamo il seguete risultato. 4. E Teorema 4 Dati due distiti elemeti a p e a t di ua stessa progressioe geometrica di ragioe q, si ha: a p = a t q p t. Dimostrazioe Per esercizio sulla falsariga dell esempio 9. La precedete vale idipedetemete dalle relative posizioi dei due elemeti. Esempio 0 Co riferimeto all esempio 9: a = a =, ma ache 6 a = a = = = 6 6. Vediamo ua questioe aaloga a quella già vista per le progressioi aritmetiche. Esempio Di ua progressioe geometrica coosciamo a = e a 0 = 5, vogliamo determiare i rimaeti termii. 9 Troviamo q: a0 = a q 5 = q q =. Perciò si ha: ,,,,..., 7, 8,

9 Carmelo Di Stefao, Dal problema al modello matematico Volume Capitolo 8 Uità Ache per le progressioi geometriche possiamo trovare semplici regole per il calcolo delle somme. Esempio U atica leggeda arra che l ivetore degli scacchi volesse essere ricompesato co chicco di riso posto ella prima casella della scacchiera, co ella secoda, 4 ella terza e così via sempre raddoppiado fio a 6 chicchi ell ultima (la 64 a ). Già questo umero è eorme, vale circa 9 0 8, ma vogliamo calcolare quati chicchi i realtà erao richiesti. Dobbiamo cioè sommare i primi 64 termii della progressioe geometrica di ragioe e primo termie, ossia di S = Osserviamo che moltiplicado ciascu termie per otteiamo il doppio della somma richiesta: S = Questa somma è molto simile alla precedete, differedo da essa solo per due addedi, pertato se sottraiamo la prima dalla secoda troveremo facilmete la somma richiesta: S S = ( ) ( ) S = 64, Che è effettivamete u umero di chicchi di riso eorme, che eache il potetissimo re possedeva. Co la stessa procedura mostrata ell esempio precedete otteiamo il seguete risultato geerale. Teorema 5 La somma di k termii cosecutivi di ua progressioe geometrica di ragioe q, a partire da quello di posto p p+ k k+ q è: S p, k = am = ap. m= p q Dimostrazioe Per esercizio sulla falsariga dell esempio. 44

10 Carmelo Di Stefao, Dal problema al modello matematico Volume Capitolo 8 Uità Verifiche Lavoriamo isieme U capitale di 500,00 è ivestito al tasso fisso di iteresse auo i = %, i modo però che l iteresse maturato o vega liquidato ma vega aggiuto al capitale iiziale. Questo si chiama regime di capitalizzazioe composta. Qual è la progressioe co cui aumeta il capitale? Al primo ao il capitale diveta (500, ,00 0,0) = 500,00,0. Al secodo ao il capitale diveta [500,00,0 + (500,00,0) 0,0] = 500,00,0. No è difficile capire che al terzo ao sarà 500,00,0 e, i geerale, all ao, 500,00,0. Quidi abbiamo a che fare proprio co ua progressioe geometrica di ragioe,0 e di termie iiziale 500,00. Livello. Se i ua progressioe geometrica la ragioe è egativa i suoi termii che sego hao? [Alterato]. Co riferimeto al problema del box Lavoriamo isieme, dopo 0 ai quato varrà il capitale ivestito? [ 6,95]. Sempre co riferimeto al problema del box Lavoriamo isieme, se il tasso di iteresse fosse del,50%, quale sarebbe la risposta al precedete quesito? [ 5,0] 4. U capitale di x euro è ivestito i regime di capitalizzazioe composta per ai, al tasso del,75%. Se il capitale fiale maturato è di 66,74, quato è x? [ 00,00] 5. U capitale di 000 euro è ivestito i regime di capitalizzazioe composta per 0 ai, al tasso del x%. Se il capitale fiale maturato è di 48,5, quato è x? [4] 6. Dopo aver provato che i umeri 6,, soo i progressioe geometrica, determiare il quarto termie di tale progressioe. [] Delle segueti progressioi geometriche, sulla base dei dati, determiare quato richiesto 7. a =, q =, a 5 =? ; a =, q =, a 6 =? ; a5 =, q =, a =? a7 =, q =, a =? ; ; ; a =, a7 =, q =? ; a =, a7 =, q =? ; a =, a 0 = 0, q =? ; a =, a =, q =, =? ; ; 9 ± 60;8 Livello 9. Affiché i termii di ua progressioe geometrica siao ordiati i modo crescete, quato deve essere la ragioe? [Maggiore di ] 0. Affiché i termii di ua progressioe geometrica siao ordiati i modo decrescete, quato deve valere la ragioe? [Positiva e miore di ]. Fra i umeri 8 e 58 soo iseriti cique umeri che co i precedeti formao ua progressioe geometrica, quato vale il quito di questi umeri? [±944]. Dati i umeri 0, 50, 00 aggiugiamo a ciascuo di essi u uguale umero, otteedo così ua progressioe geometrica. Quato vale l addedo costate? Quato la ragioe? 5 5; Livello. Provare che le circofereze i figura, che soo tageti fra loro e co le due rette, hao i raggi i progressioe geometrica. 45

11 Carmelo Di Stefao, Dal problema al modello matematico Volume Capitolo 8 Uità 4. Dimostrare che se il secodo termie di ua progressioe geometrica il cui primo termie è, è u quadrato o u cubo, allora tutti gli altri termii soo quadrati o cubi. 5. Dimostrare che se il secodo termie di ua progressioe geometrica il cui primo termie è, o è u quadrato, allora i soli quadrati della progressioe possoo essere quelli di posto dispari. 6. Dimostrare che se il secodo termie di ua progressioe geometrica il cui primo termie è, o è u cubo, allora i soli cubi della progressioe possoo essere quelli che occupao i posti 4, 7, 0, Lavoriamo isieme I ua progressioe geometrica la differeza fra il quito ed il quarto termie è 576 e la differeza fra il secodo ed il primo termie è 9. Quato vale la somma dei primi cique termii? a5 a4 = 576 Le codizioi del problema equivalgoo al sistema seguete:, che ha 4 icogite, perciò ri- a a = 9 46 ( q ) ( q ) a4 q a4 = 576 a4 = 576 a4 576 a4 coduciamo tutto a due sole icogite: = = 64. a q a = 9 a = 9 a 9 a D altro cato sappiamo pure che a 4 = a q a4 a q, quidi avremo: = 64 = 64 q = 64 q = 4. a a 9 a q = 9 a = =.Si ha perciò: 4 Quidi ( ) q ak = a = = 4 = 0 k = q 4. Livello Delle segueti progressioi geometriche, sulla base dei dati, determiare quato richiesto 7. a =, q =, S 8 =? ; a =, q =, S 8 =? ; a 5 =, q =, S =? ; ; 9 8. a4 =, q =, S 0 =? ; q =, S 4 = 80 9, a =? ; q =, S7 =, a =? ; ; a =, q =, S =, =? ; a =, q, S = =? [9 ; 6] a = 4, q =, S =, =? ; a4 =, q =, S =, =? [6; ] 8 7. Determiare ua formula per calcolare la somma delle prime poteze di. [ + ] + k. Determiare ua formula per calcolare la somma delle prime poteze di k. k. I ua progressioe geometrica formata da sei termii la somma fra i termii di posto dispari è 84 e quella fra i rimaeti termii è 68, determiare tutti i termii. [{4, 8, 6,, 64, 8}] Livello 4. I ua progressioe geometrica la somma dei primi due termii è 5, metre la somma dei primi sei termii è 655 8, quato è la somma dei termii dal terzo al settimo? I figura ci soo i primi tre passi di ua costruzioe, ota come triagolo di Sierpiski, otteuta costruedo triagoli equilateri i cui estremi soo puti medi dei lati precedeti. Dopo cique passi 8 quata parte del triagolo origiale è o colorata? I figura ci soo i primi tre passi di ua costruzioe, ota come curva fiocco di eve di vo Koch, otteuta a partire da u segmeto lugo ua uità, che viee diviso i parti uguali, quidi si elimia la parte cetrale e si sostituisce co due segmeti che formao co il segmeto elimiato u triagolo equilatero. Se cotiuiamo questa costruzioe per altri 7

12 Carmelo Di Stefao, Dal problema al modello matematico Volume Capitolo 8 Uità passi, quato sarà luga la spezzata fiale? 7. I figura ci soo i primi tre passi di ua costruzioe, ota come tappeto di Sierpiski, otteuta a partire da u quadrato, che viee diviso i 9 quadrati uguali e poi si elimia il quadrato cetrale, e così via. Se cotiuiamo questa costruzioe per u totale di 8 passi, quata sarà l area elimiata? Risolvere i segueti problemi preseti i alcui atichi testi matematici 8. (Zhag Qiujia Sua Jig) U cavallo ha percorso 700 miglia i 7 giori, dimezzado la sua velocità ogi gioro. Quate miglia ha percorso ogi gioro? [ 5,76] 9. (Fiboacci, 0) U uomo possiede iizialmete 00 deari e spede ogi gioro di ciò che ha. 0 Co quati deari rimae dopo giori? [ 8,4] 0. (Chuquet, 484) U uomo percorre,, 9,... leghe i giori successivi. Cotiuado a questo ritmo, quate leghe percorrerà i 5 giori e mezzo? [4,5]. (Chuquet, 484) Ua botte cotiee ua quatità di vio pari a 9,5 barili. Il suo coteuto viee trasferito ei barili i modo tale che: il primo barile si riempie i ora; il secodo barile si riempie i ore; il terzo barile si riempie i 4 ore; e così via, raddoppiado ogi volta il tempo. Quate ore soo ecessarie per svuotare la botte? [ 7,077]. (Ozaam, 778) U villaggio ha 0 persoe; ogi 5 ai, la popolazioe triplica. Quate persoe ci sarao el villaggio dopo 5 ai? [7780] La sfida Qui riportiamo alcui quesiti particolarmete impegativi.. Defiiamo differeze fiite di ordie k di ua successioe a le segueti quatità: (a ) = a + a, (a ) = (a + ) (a ),..., k (a ) = κ (a + ) κ (a ). dimostrare che se a è u poliomio di grado k, allora tutte le differeze fiite di ordie maggiore di k soo ulle.. Determiare la somma dei primi umeri aturali sapedo che è u quadrato perfetto miore di 00. [Soo possibili tre soluzioi:, 8, 49]. Determiare il miimo per cui la somma dei primi umeri pari sia maggiore di k, co k umero itero fissato. > 4. Determiare ua regola determiare quata parte del triagolo di Sierpiski (vedi esercizio 7) è o + 4k + colorata dopo passi Determiare ua regola per calcolare la lughezza della curva fiocco di eve di vo Koch (vedi esercizio 8), dopo passi Determiare ua regola determiare quata parte del tappeto di Sierpiski (vedi esercizio 7) è elimiata, dopo passi 4 7. Dimostrare che u umero del tipo ( ) è u umero perfetto se ( ) è u umero primo. Ricordiamo che u umero si dice perfetto se è uguale alla somma di tutti i suoi divisori escluso il 47

13 Carmelo Di Stefao, Dal problema al modello matematico Volume Capitolo 8 Uità umero stesso. Per esempio 6 = + +, 8 = Temi assegati agli esami di stato I segueti soo adattameti dei temi assegati i alcui esami di stato degli ai scorsi, abbiamo variato solo la richiesta del problema, ma o i dati é lo spirito dei problemi I temi completi dei Licei Scietifici per gli ultimi ai soo scaricabili, co soluzioe, dal sito (Liceo scietifico PNI 994/95) I u piao riferito a u sistema di assi cartesiai ortogoali Oxy è dato il puto A 0 (, 0). Si costruisca il triagolo rettagolo OA o A avete il vertice A sull'asse delle ordiate e sia α l'agolo O Â 0 A. Si coduca per A la perpedicolare alla retta A o A che icotra l'asse delle ascisse i A ; si coduca per A la perpedicolare alla retta A A che icotra l'asse delle ordiate i A e così via, otteedo ua spezzata A o A A A... A A i cui vertici di idice dispari appartegoo all'asse delle ordiate e quelli di idice pari all'asse delle ascisse. Il cadidato dimostri che le lughezze dei lati della spezzata soo i progressioe geometrica e calcoli la lughezza l della spezzata. ta( α ) l = cos ( α ) si( α ). (Istituto magistrale PNI 994/95) Su ua semiretta di origie A 0 è dato il segmeto A 0 A di lughezza. Si cosiderio i segmeti adiaceti A A, A A,, A A tali che il rapporto tra ogi segmeto e il precedete sia k. Il cadidato dimostri che le aree dei cerchi aveti per diametro i suddetti segmeti soo i termii di ua progressioe geometrica e calcoli l area S della parte di piao delimitata dalla k successioe delle prime circofereze. π k Quesiti assegati i gare azioali e iterazioali Ciascu simbolo si riferisce a ua gara matematica. AHSME = Aual High School Mathematics Examiatio RICE = Rice Uiversity Mathematics Touramet HSMC = A&M Uiversity High School Mathematics Cotest Lavoriamo isieme Cosideriamo u quesito assegato agli HSMC del 006. Sia S la somma dei primi termii della progressioe 8,, 6,... Sia T la somma dei primi termii della progressioe 7, 9,,... Suppoiamo 0. Per quali valori di si ha S = T? La prima progressioe è formata dai multipli di 4 a partire da 4, così il termie esimo è 4 ( + ). Quidi S = ( + ) = 4 [ ( + )] = 4 ( ) + 4 = ( + ) = = + 6. La secoda progressioe è formata dai dispari a partire da 7 = 9, così e il termie esimo è (9 + ) = ( + 8). Quidi T = [( + 8) ] = ( 9 ) + ( 0 ) + + [ ( + 8) ] = [ ( + 8)] = [ ( + 8)] ( ) = ( + 8) ( + 9) 8 9 = = + 6. Allora S = T implica + 6 = = 0 = 0. Ovviamete la soluzioe ulla o si accetta.. (AHSME 958) Il primo termie di ua successioe di umeri aturali cosecutivi è k +, determiare la somma dei primi k + elemeti di tale successioe. [k + (k + ) ]. (AHSME 959) Diciamo progressioe armoica ua successioe di umeri i cui reciproci soo i progressioe aritmetica, per esempio,,,.... I primi tre termii di ua progressioe armoica 4 48

14 Carmelo Di Stefao, Dal problema al modello matematico Volume Capitolo 8 Uità soo, 4, 6. Determiare la somma dei primi quattro termii di tale progressioe. [5]. (AHSME 960) Data ua progressioe aritmetica di primo termie a e ragioe d, sommiamo i suoi primi termii, i suoi primi termii e i suoi primi termii. Idichiamo co s, s e s le tre somme. Quato vale s s s? [ d] 4. (AHSME 96) La somma dei primi 50 termii di ua progressioe aritmetica è 00, la somma dei successivi 50 termii è 700. Quato vale a? [ 0,5] 5. (AHSME 96) Tutti gli agoli iteri di u petagoo soo i progressioe aritmetica, quale fra i segueti valori misura certamete uo degli agoli? A) 08 B) 90 C) 7 D) 54 E) 6 [A] 6. (AHSME 964) La somma di termii di ua progressioe aritmetica di ragioe è 5, se a è itero e >, quali soo i possibili valori che può assumere? [, 9, 7, 5, 5] 7. (AHSME 965) Comuque cosideriamo termii di ua progressioe aritmetica, sommao +. determiare quato vale il termie di posto r. [6r ] 8. (AHSME 966) Date le progressioi {8,, 6,...} e {7, 9,,...}, per quali valori di le loro somme soo uguali? [0] 9. (AHSME 968) Gli agoli iteri di u poligoo covesso soo i progressioe aritmetica di ragioe 5, se l'agolo maggiore è 60, quati lati ha il poligoo? [9] 0. (AHSME 97) Ua progressioe aritmetica ha u umero pari di termii, la somma dei termii di posto dispari è 4, quella di quelli di posto pari è 0. Sapedo che la differeza fra l'ultimo e il primo termie è 0,5, determiare quati soo i termii. [8]. (AHSME 976) Le misure degli agoli iteri di u poligoo covesso soo i progressioe aritmetica. Se l agolo più piccolo misura 00 ed il più grade 40, quati lati ha il poligoo? Suggerimeto: si ricordi che i u poligoo covesso co lati, la misura della somma degli agoli iteri uguaglia quella di agoli piatti. [6] a a 4. (AHSME 978){x, a, a, y} e {x, b, b, y} soo due progressioi aritmetiche. Quat è? b b. (AHSME 98) U triagolo rettagolo ha i lati i progressioe aritmetica, quale dei segueti umeri può essere la misura di uo dei lati? A) B) 58 C) 8 D) 9 E) 6 [C] 4. (AHSME 98),,, >, soo i progressioe aritmetica, determiare. [7] 5. (AHSME 987) a, x, b e x soo i progressioe aritmetica, determiare a b. 6. (AHSME 99) Gli agoli iteri di u esagoo covesso soo i progressioe aritmetica, quale fra i segueti umeri può rappresetare la misura dell'agolo maggiore? [D] A) 65 B) 97 C) 70 D) 75 E) (AHSME 99) I ua progressioe aritmetica si ha: a 4 + a 7 + a 0 = 7 e a 4 + a a 4 = 77, sapedo che a k =, determiare k. [8] 8. (AHSME 997) Quale dei segueti iteri può essere la somma di 00 umeri iteri cosecutivi? [A)] A) B) C) D) E) (HSMC 006) La somma di 49 iteri cosecutivi è 74. Qual è il primo di essi? [5] 0. (HSMC 007) Determiare la somma dei primi 9 termii di ua progressioe aritmetica sapedo che a 4 + a 8 + a + a 6 = 4. [064] Lavoriamo isieme Cosideriamo u quesito assegato el 00 agli HSMC. Tre umeri iteri soo i progressioe geometrica. Sappiamo che la loro somma è, metre la somma dei loro reciproci è 7, quato vale il maggiore di essi? Idichiamo i tre umeri co x, x r, x r. I dati i ostro possesso si traducoo el seguete sistema di e- x + x r + x r = x ( + r + r ) = x ( + r + r ) = quazioi: r + r 7. Moltiplichiamo termie a + + = + + = = x x r x r x r r x r 49

15 Carmelo Di Stefao, Dal problema al modello matematico Volume Capitolo 8 Uità r r r + r termie: x ( + r + r ) = 4 = + + r = x r r 4 r 4 5 ± 9 5 ± r 5r + = 0 r = = = r = ± r + ( 7) r + = 0 r 9 ± 7 r + 9r + = 0 r = 4 La secoda equazioe ha soluzioi o razioali, quidi o accettabili, poiché i termii della progressioe soo iteri. Quidi ci soo due progressioi, che i realtà soo la stessa progressioe, ordiata i modo diverso. Cioè x ( + + 4) = x + + = x= x = e le progressioi soo:, 6, o, 6,. 4 I ogi caso il massimo è.. (AHSME 95) I ua progressioe geometrica di termii positivi, ogi termie è uguale alla somma 5 dei due termii che lo seguoo, quato vale la ragioe?. (AHSME 955) Dimostrare che se l equazioe ax + bx + c = 0 ha due soluzioi reali e coicideti, allora a, b e c soo i progressioe geometrica.. (AHSME 955) Cosideriamo ua progressioe geometrica il cui primo termie e la ragioe o soo ulli e ua progressioe aritmetica il cui primo termie è 0. Costruiamo ua uova successioe sommado termie a termie gli elemeti delle dette progressioi. Quato vale la somma dei primi dieci termii di questa uova successioe, sapedo che i suoi primi termii soo {,, }? [978] 4. (AHSME 96) Tre umeri o ulli, {a, b, c} formao ua progressioe aritmetica. Sapedo che {a +, b, c} e {a, b, c + } soo progressioi geometriche, determiare b. [] 5. (AHSME 97) Moltiplichiamo i primi elemeti della progressioe 0,0,.... Quati dobbiamo moltiplicare almeo affiché il prodotto superi 00000? [] 6. (AHSME 97) Trovare due umeri a e b i modo tale che {, a, b} sia ua progressioe geometrica, e {a, b, 9} ua progressioe aritmetica. [4,5; 6,75] 7. (AHSME 97) Sia P il prodotto dei primi termii di ua progressioe geometrica, S la loro somma e S' la somma dei loro reciproci. Esprimere P i fuzioe di S, S' e. [(S S') ] 8. (AHSME 97) a, b, c soo tre umeri i progressioe geometrica, co < a < b < c, è u umero aturale maggiore di. Cosideriamo log a (), log b (), log c (), quale delle segueti affermazioi è corretta? Giustificare le risposte. [C] A) formao ua progressioe geometrica B) formao ua progressioe aritmetica C) i reciproci formao ua progressioe aritmetica D) il secodo termie è esima poteza del primo e il terzo è esima poteza del secodo. 9. (AHSME 974) I ua progressioe geometrica a 5 a 4 = 576 e a a = 9. Quato vale la somma dei primi cique termii? [0] 0. (AHSME 977) Cosideriamo ua successioe di umeri positivi, {a } che verificao la seguete proprietà a + = a a +. Quado a è ua progressioe geometrica? [Solo se a = a = ]. (AHSME 98) I ua progressioe geometrica la somma dei primi due termii è 7, metre la somma dei primi sei termii è 9, quato vale la somma dei primi quattro termii? [8]. (AHSME 994) x, y, z soo i progressioe geometrica di ragioe r; x, y, z soo i progressioe a- ritmetica. Quato vale r?. (Rice 006) Il quito termie di ua progressioe geometrica è 5!, il sesto è 6!. Qual è il quarto termie? [0,999999] 40

16 Questios i Eglish Carmelo Di Stefao, Dal problema al modello matematico Volume Capitolo 8 Uità Workig together This is a questio assiged at HSMC i 00. If x, x +, x +, are ozero terms i a geometric progressio (geometric sequece), what is the fourth term? x + x + ( x + ) ( x + ) ( x + ) We kow that = = =. Hece the ratio is x x + x x + x term is ( x ) 9 x 9 + = +. I effect we ca be more precise ( x ) ( ) + = 4x + 4 = x x = 4, so the terms are: 4, 6, 9, x ad the fourth (HSMC 999) The sum of terms i a arithmetic progressio is 5, ad the commo differece is. If the first term is a iteger, ad >, the what is the umber of all possible values for? [5] 5. (AHSME 999) Defie a sequece of real umbers a, a, a, by a = ad a+ = 99 a for all. The a 00 equals? [99 ] 6. (HSMC 999) If = 5k, fid k. [66] 7. (HSMC 00) Cosider the sequece i figure. If this sequece cotiues, how may shaded squares will there be at stage 0? [] 8. (HSMC 00) What is the smallest positive iteger > such that is divisible by 9? [8] Workig together This is a questio assiged at HSMC i 00. The sum of the third ad fourth terms i a sequece of cosecutive itegers is 47. What is the sum of the first five terms of the sequece? Let {x, x +, x +, x + ; } be a sequece of cosecutive itegers. Now (x + ) + (x + ) = 47 x+ 5 = 47 x = 4 x = ad we have that x + (x + ) + (x + )+(x + )+(x + 4) = 5x + 0 = 5() + 0 = (HSMC 005) The sum of the sixth ad the ith terms of a arithmetic sequece is 0, ad their product is 64. Fid the teth term if the first term is egative. [0] 40. (HSMC 007) Fid the sum of the first 9 terms of a arithmetic sequece a, a, a,... if it is kow that a 4 + a 8 + a + a 6 = 4. [064] 4. (HSMC 006) Fid all possible first terms of the geometric sequece if the sum ad the product of its first three terms are equal to 6 ad 78 respectively. [ o 48] 4. (HSMC 006) Three umbers, with the third oe beig, form a geometric sequece. If the third umber were 9, the umbers would form a arithmetic sequece. Fid the first two umbers. (Fid all possible aswers.) [(, 6) o (7, 8)] 4. (HSMC 007) If the product of three umbers i geometric progressio is 6 ad their sum is 9, fid the largest of the three umbers. [9] 44. (HSMC008) The umbers l(a b 7 ), l(a 5 b ), l(a 8 b 5 ), are the first three terms of a arithmetic sequece whose th term is l(b ),. What is? [] 4

17 Carmelo Di Stefao, Dal problema al modello matematico Volume Capitolo 8 Uità Test di ammissioe alle Uiversità o alle Accademie militari. (Odotoiatria 997) I ua progressioe geometrica il primo elemeto è e il sesto è 0,065. Il quito valore della progressioe è: A) 0,5 B) 0,05 C) 0,5 D) 0,05 E) essuo dei precedeti è corretto. (Odotoiatria 998) Gli agoli di u triagolo soo i progressioe aritmetica, e il maggiore e' il doppio del miore; i valori i gradi degli agoli soo: A) 0, 0, 40 B) 40, 50, 80 C) 60, 90, 0 D) 40, 60, 80 E) 45, 70, 95.. (Scuola Superiore di Cataia) Dimostrare che se tre umeri reali (diversi tra loro) formao ua progressioe aritmetica, allora quei tre umeri, ello stesso ordie, o possoo formare ua progressioe geometrica. Trovare poi tre umeri reali relativi (diversi tra loro e da 0) i progressioe aritmetica che, i u ordie diverso, formio ua progressioe geometrica. 4. (Corso di laurea i Iformatica, Udie 009) Fra le segueti tere di umeri ce è ua ed ua sola formata da umeri i progressioe geometrica. A),, B),, C),, 5 5 D),, Per svolgere u Test fiale di 0 quesiti, collegati al sito Risposte Test di ammissioe alle Uiversità o alle Accademie militari 4 A D [( a, a, 4a) pgr. aritm. d = a. (a, a, 4a), pgr. geom. q = C 4