Successioni. Grafico di una successione

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1 Successioi Ua successioe di umeri reali è semplicemete ua sequeza di ifiiti umeri reali:, 2, 3,...,,... dove co idichiamo il termie geerale della successioe. Ad esempio, discutedo il sigificato fiaziario della fuzioe espoeziale abbiamo già icotrato le successioi i = ( + ) e = ( + ) Le successioi possoo essere cosiderate u caso particolare (più semplice) delle fuzioi; ua defiizioe alterativa, equivalete, è la seguete: ua successioe è ua fuzioe co domiio N (isieme dei umeri iteri): f : N R Fabio Bellii 2 Grafico di ua successioe A differeza del grafico di ua fuzioe, il grafico di ua successioe è costituito da puti che hao ascissa itera, quidi da puti separati : 2.6 Grafico della fuzioe (+/) 2.6 Grafico della successioe (+/) Fabio Bellii 2

2 Esempi elemetari di successioi Due esempi elemetari di successioi soo la progressioe aritmetica e la progressioe geometrica. I ua progressioe aritmetica ad ogi passo si aggiuge ua quatità fissa q (detta ragioe della progressioe); pertato abbiamo + = + q i ua progressioe geometrica ivece a ogi passo si moltiplica per ua quatità fissa q (ache qui detta ragioe): + = q Si tratta di due successioe defiite i modo ricorsivo ( per ricorreza ); per completare la defiizioe è ecessario ache specificare ache il valore iiziale. Che tipo di adameto hao la progressioe aritmetica e la progressioe geometrica quado diveta molto grade? (cioè, quado tede a più ifiito?) Fabio Bellii 2 Progressioi aritmetiche I questo esempio cosideriamo ua progressioe aritmetica co = e q=.2,, q=.2.5 q=.5 q= Fabio Bellii 2 2

3 Tipi di successioi I modo del tutto aalogo alle fuzioi, defiiamo diversi tipi di successioi: successioi costati, se = k, o dipede successioi cresceti, se +, N successioi decresceti, se +, N cioè da successioi mootoe, se soo o cresceti o decresceti successioi strettamete cresceti, se < +, N Fabio Bellii 2 Tipi di successioi /2 successioi strettamete decresceti, se > +, N successioi strettamete mootoe se soo o strettamete cresceti o strettamete decresceti successioi limitate se soo coteute i u itervallo: M > tale che -M o equivaletemete M > tale che M successioi illimitate se o soo limitate M Fabio Bellii 2 3

4 Progressioi geometriche I questo esempio cosideriamo ua progressioe geometrica co = e q=.8,.2, -.8, -.2. q=.8 35 q= q=-.8 3 q= Da u puto di vista ituitivo diciamo che le successioi del primo e terzo grafico tedoo a, quella del secodo grafico tede a più ifiito e quella del quarto grafico o tede a essu valore. Fabio Bellii 2 La successioe armoica Altri esempi molto semplici soo dati dalla cosiddetta successioe armoica, defiita semplicemete come = e dalla successioe armoica co termii di sego alterato, defiita come = ( ) Successioe armoica Successioe armoica co termii di sego alterato Etrambe queste successioi tedoo a quado diveta molto grade. Fabio Bellii 2 4

5 La successioe di Fiboacci U esempio molto iteressate di successioe defiita i modo ricorsivo è la successioe di Fiboacci, dove si parte co, ed ogi termie successivo è la somma dei due termii precedeti:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55,... I umeri di Fiboacci si icotrao i svariati campi della scieza e secodo alcui soo rilevati ache ella modellizzazioe dei prezzi fiaziari. 6 La successioe dei umeri di Fiboacci (da Wikipedia) Questa successioe evidetemete tede a più ifiito. Fabio Bellii 2 La successioe dei fattoriali Nel calcolo combiatorio e el calcolo delle probabilità si icotra spesso la quatità fattoriale, defiita come il prodotto dei umeri iteri tra e :! = ( ) ( 2) fattoriale rappreseta il umero di permutazioi di oggetti tra di loro distiguibili; il rpimo oggetto può essere scelto i modi, il secodo i (-) modi, il terzo i (-2), e cosi via. Ad esempio le tre lettere A,B,C possoo essere ordiate i 3! = 3 2 = 6 modi che soo ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Fabio Bellii 2 5

6 La successioe dei fattoriali /2 Ache la successioe dei fattoriali può essere espressa i modo ricorsivo; abbiamo ifatti! = ( )! La successioe dei fattoriali cresce velocemete: abbiamo ad esempio 3! = 6 4! = 24 5! = 2 6! = 72 Fabio Bellii 2 Proprietà che valgoo defiitivamete Il pricipale motivo di iteresse delle successioi è lo studio del comportameto del termie geerale quado diveta molto grade, cioè quado tede a più ifiito. Itroduciamo ua termiologia molto importate. Si dice che ua successioe gode defiitivamete di ua certa proprietà P se gode di questa proprietà da u certo puto i poi ; formalmete se N > tale che N, gode della proprietà P quidi tutti i termii della successioe successivi a N godoo della proprietà P. Fabio Bellii 2 6

7 - La successioe, -,,-,, 2,3, 4,5,... Esempi o è ua successioe crescete, tuttavia è ua successioe defiitivamete crescete; è ifatti crescete per tutti i termii successivi a N=5. - La successioe 3, 2,,,,,... o è ua successioe costate, tuttavia è ua successioe defiitivamete costate; è ifatti costate per tutti i termii successivi a N=4. - La successioe armoica = è defiitamete miore di /; basta cosiderare tutti i termii successivi a N=. Fabio Bellii 2 Il cocetto ituitivo di limite Abbiamo già visto che le successioi = ( + ), =, = ( ) tedoo a u limite quado tede a più ifiito; scriviamo lim ( + ) = e, lim =, lim ( ) = Ivece la successioe! evidetemete tede a più ifiito: lim! = + + L ultima possibilità è che ua successioe o coverga: l esempio più semplice è, -,,-,,-,,... Fabio Bellii 2 7

8 Defiizioe di limite Vediamo la defiizioe formale di limite. Si dice che ua successioe coverge al limite l quado tede a più ifiito, cioè + Se lim Osserviamo iazitutto che la codizioe corrispode a = l ε >, N tale che N, si ha che l < l < ε l ε < < l + ε cioè al fatto che appartega all itoro di l di raggio ε. ε Fabio Bellii 2 Osserviamo ioltre che la scrittura N tale che Defiizioe di limite /2 N, si ha che... Corrispode proprio a chiedere che defiitivamete valga la proprietà al posto dei putii. Pertato richiedere che N tale che N, si ha che l < corrispode a richiedere che la successioe è defiitivamete coteuta ell itoro di raggio ε del limite l; questa proprietà deve essere vera per ogi ε piccolo a piacere. La defiizioe di limite può quidi essere espressa i questo modo: coverge a l se è defiitivamete coteuta i ogi itoro piccolo a piacere del limite. ε Fabio Bellii 2 8

9 Esempio Applicado la defiizioe, verifichiamo ad esempio che la successioe armoica e la successioe armoica a termii di sego altero covergoo a : Successioe armoica Successioe armoica co termii di sego alterato Fabio Bellii 2 Defiizioe di limite /3 Negli esempi abbiamo visto che alcue successioi possoo tedere a più ifiito (o a meo ifiito). Diamo la defiizioe precisa; si dice che lim + Se cioè se è defiitivamete più grade di qualsiasi itero positivo M; aalogamete + se = + M >, N tale che N, si ha che > lim = M >, N tale che N, si ha che < M cioè se è defiitivamete più piccola di qualsiasi itero egativo M. M Fabio Bellii 2 9

10 Le successioi possoo quidi essere Tipi di successioi /3 covergeti, se tedoo a u limite fiito l divergeti, se tedoo a più ifiito o meo ifiito che o ammettoo limite (si dice ache oscillati) i tutti gli altri casi Fabio Bellii 2 Cofroto tra successioi e fuzioi Il cocetto di limite per fuzioi ha esattamete la stessa struttura di quello Delle successioi; lo vedremo più avati. No dimetichiamo ifie che le successioi soo u caso particolari delle Fuzioi (i quato le possiamo vedere come fuzioi co domiio N). Pertato i teoremi sui limiti che vedremo (teorema della uicità del limite, teorema della permaeza del sego, teorema del cofroto) valgoo ache per le successioi. Fabio Bellii 2