Università di Catania CdL in INGEGNERIA INDUSTRIALE Compito di Fisica I del 18 novembre 2015

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1 Università di Catania CdL in INGEGNERIA INDUSTRIALE Compito di Fisica I del 18 novembre 2015 Problema 1 Dato il vettore a, di componenti cartesiane a x = -3 e a y = 5, se ne calcoli il versore. Individuare quindi un secondo versore, perpendicolare al primo, e giacente anch esso sul piano xy. Trovare infine la proiezione del vettore b, di componenti cartesiane b x = 2 e b y = 1, lungo la direzione individuata dal versore di a. Problema 2 Un libro tascabile di 310 g è in quiete appoggiato su un volume rilegato di 1.2 kg. Se una forza è applicata al volume, i due libri accelerano in modo solidale arrivando a una velocità di 96 cm/s in 0.42 s. A partire da questo istante si fa arrestare il volume in 0.33 s, mentre il tascabile scivola via. Valutare l intervallo possibile di valori del coefficiente di attrito statico tra i due libri. Problema 3 Un cilindro chiuso, a pareti adiabatiche, è dotato di un pistone conduttore privo di attrito che lo divide in due parti. Inizialmente il pistone è tenuto al centro del cilindro, con 25 litri d aria a 310 K e 2 atm da un lato e 25 litri d aria a 310 K e 1 atm dall altro. Il pistone è lasciato libero di muoversi e il sistema raggiunge lo stato di equilibrio. Calcolare pressione e temperatura finali, e la variazione di entropia. Note: Potrebbero essere stati assegnati dati in eccesso. Se sì, individuare quali. Lo studente può partecipare all esame scritto solo se munito di libretto e di documento di riconoscimento valido. Deve riconsegnare tutti i fogli che gli sono stati consegnati. Deve giustificare il procedimento e le espressioni matematiche utilizzate; una lista di formule non sarà considerata sufficiente ai fini del superamento del compito.

2 Soluzioni Problema 1. v = v x î + v y ĵ, a = a 2 x + a 2 y = = 34 a â = a = 1 ( 34 3î + 5 ĵ ) v a = 0 3v x + 5v y = 0 v x = 5, v y = 3, v = v 2 x + v 2 y = 34 v ˆv = v = 1 ( 34 5î + 3 ĵ ) b a = b â = ( 2î + ĵ ) 1 ( 34 3î + 5 ĵ ) = = 1 34 Problema 2. Nella fase di accelerazione si ha: a 1 = 0.96m/s 0.42s = 2.3m/s 2 La forza applicata al volume è F 1 = m tot a 1 = ( )kg 2.3m/s 2 = 3.5N, mentre la forza di attrito statico agente sul libro tascabile (responsabile della sua accelerazione, che è ovviamente pari ad a 1 ) è f 1 = ma 1 = 0.31a 1 = 0.71N Affinché i due volumi restino attaccati si deve avere f 1 f 1,max = µ s m g = µ s N = µ s 3.0N Pertanto: µ s = 0.24

3 Nella fase di decelerazione si ha: a 2 = 0.96m/s 0.33s = 2.9m/s 2 Ora la forza applicata al volume è F 2 = m tot a 2 = ( )kg 2.9m/s 2 = 4.4 N, mentre la forza di attrito statico agente sul libro tascabile (responsabile della sua decelerazione, che è ovviamente pari ad a 2 ) è Affinché i due volumi si stacchino si deve avere f 2 = m a 2 = 0.31 a 2 = 0.90N f 2 f 2,max = µ s m g = µ s N = µ s 3.0N Pertanto: Da cui infine: µ s = µ s 0.30 Problema 3. Applicando la legge dei gas ideali alle due parti si ha: n 1 = p V 1 ( = 2 p 2 )V = 2 p 2 V = 2n 2 Nello stato finale di equilibrio i gas nelle due parti avranno la stessa pressione (equilibrio meccanico) e la stessa temperatura T f (il pistone che separa le due parti è conduttore). D altra parte il cilindro è chiuso e a pareti adiabatiche, pertanto applicando il primo principio della Termodinamica all intero sistema si ha che ΔU tot = 0, ossia l energia interna finale del sistema è pari a quella iniziale. Ma per un gas ideale l energia interna è funzione della sola temperatura: otteniamo, quindi, T f = T o. Indichiamo ora con V 1 e V 2 i volumi finali delle due parti. Il volume totale finale sarà V 1 + V 2 e dovrà essere uguale al volume totale iniziale. Pertanto: n 1 RT f + n 2RT f = ( n 1 + n 2 ) RT f = 2V

4 ( 2n 2 + n 2 ) = 2V = 3 2 n 2 V = 3 2 p 2 = 1.5atm Per il calcolo della variazione di entropia scegliamo una trasformazione reversibile isoterma (la temperatura finale del gas nel cilindro è uguale a quella iniziale) e sommiamo i contributi relativi alle due parti in cui è suddiviso il cilindro: ΔS = ΔS 1 + ΔS 2 = n 1 Rln p 1 + n 2 Rln p 2 = n 2 R 2ln ln = = p 2V T o 0.17 = J/K=1.4 J/K 310

5 Università di Catania CdL in INGEGNERIA INDUSTRIALE Compito di Fisica I del 11 dicembre 2015 Problema 1 Dati i vettori A=3i+j e B=4i+2j calcolare: a) C = A + B; b) D = A B; c) l angolo compreso tra i vettori A e B; d) il prodotto vettoriale A x B nonché il prodotto scalare A B. Problema 2 Un uomo in piedi su di uno sgabello regge 2 pesi, uno in ogni mano, di 10 kg di massa. Quando ha le braccia distese orizzontalmente, i pesi sono a 1 m dall asse di rotazione e lui ruota con velocità angolare 2 rad/sec. Poi ritira a se le braccia a 25 cm dall asse. Si calcoli, considerando costante il momento d inerzia dello sgabello pari a 8 kg m 2, la velocità angolare finale del sistema e la sua variazione di energia meccanica. Problema 3 La quantità di energia che si ottiene bruciando 1m 3 di metano è pari a J. Quanti metri cubi di metano bisogna bruciare per portare da 20 C a 80 C 100 litri di acqua? Note: Potrebbero essere stati assegnati dati in eccesso. Se sì, individuare quali. Lo studente può partecipare all esame scritto solo se munito di libretto e di documento di riconoscimento valido. Deve riconsegnare tutti i fogli che gli sono stati consegnati. Deve giustificare il procedimento e le espressioni matematiche utilizzate; una lista di formule non sarà considerata sufficiente ai fini del superamento del compito.

6 Soluzioni Problema 1. C = (3+4) i + (1+2) j = 7 i + 3 j D = (3-4) i + (1-2) j = - i - j A = ( ) 1/2 = 10 B = ( ) 1/2 = 20 A B = (3i+j) (4i+2j) = 12+2 = 14 A B = A B cos θ cos θ = A B / (A B) = 14 / ( ) = 1.4 / 2 θ = arccos (1.4 / 2 ) = 8 A x B = (3i+j) x (4i+2j) = 6 i x j + 4 j x i = (6 4) k = 2 k Problema 2. Dalla conservazione del momento angolare totale si ha: L i k = L f k L i = (I sgabello + I pesi, i ) ω i = ( ) 2 kg m 2 s -1 = 56 kg m 2 s -1 L f = (I sgabello + I pesi, f ) ω f = ( ) ω f = (9.25 kg m 2 ) ω f ω f = 56 / 9.25 rad/s = 6 rad/s La variazione di energia cinetica è: ΔK = ½ I f ω 2 f - ½ I i ω 2 i = ½ L i (ω f - ω i ) = (6-2) J = 112 J Problema 3. La quantità di calore necessaria a innalzare la temperatura di 100 litri di acqua da 20 C a 80 C è Q = c m ΔT Dove c = 4186 J/(kg K) è il calore specifico dell acqua, m la massa di acqua e ΔT la variazione di temperatura. Si ha: Q = (80 20) J = kj E i m 3 di metano necessari sono: M = / = m 3