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1 1.7 Servizi informatici. Un negozio di servizi informatici stima la richiesta di ore di manutenzione/consulenza per i prossimi cinque mesi: mese richiesta All inizio del periodo vi sono 50 tecnici. Ogni tecnico lavora non più di 160 ore al mese. Per soddisfare i picchi di domanda è necessario assumere e formare nuovi tecnici. Durante il periodo di formazione, di un mese, i nuovi assunti sono seguiti ciascuno da un tecnico che gli dedica 50 ore. I tecnici esperti hanno un stipendio mensile di 2000 euro, mentre i nuovi assunti (durante il mese di apprendistato) guadagnano 1000 euro. Si suppone che alla fine di ogni mese il 5% dei tecnici passi alla concorrenza. Formulare un modello di programmazione matematica che permetta di soddisfare la domanda e di minimizzare i costi. 1.8 Turni in ospedale. Si vuole organizzare i turni in un reparto ospedaliero in modo tale da minimizzare il numero di infermieri coinvolti. Ogni infermiere lavora 5 giorni consecutivi seguiti da due giorni di riposo. Le esigenze di personale (in termini di numero minimo di infermieri) per ogni giorno della settimana sono le seguenti: giorno Lun Mar Mer Gio Ven Sab Dom richiesta Formulare il problema in termini di programmazione lineare intera. 1.9 Distribuzione di PC. Un distributore di PC ha a disposizione n siti candidati per depositi, con un costo di apertura pari a f i ed una capacità massima pari a b i, i = 1,..., n. Vi sono m negozi da rifornire ognuno con una richiesta minima pari a d j, j = 1,..., m. Supponendo che il costo unitario di trasporto da un deposito i ad un negozio j sia pari a c ij, si vuole minimizzare il costo totale (costi fissi di apertura dei depositi + costo di trasporto). Formulare un modello di programmazione lineare intera che permette di risolvere il problema. Tenendo presente che la quantità massima di materiale trasportato dal deposito i al negozio j è di q ij, (e che la somma di queste quantità sia pari alla capacità massima del deposito, cioè che j m q ij = b i per ogni i n), dare una formulazione alternativa del problema Produzione di modem. Un impresa produce un modello di modem e vuole pianificare la produzione per i successivi quattro mesi. La propria linea di produzione ha una capacità produttiva di 2500 unità/mese, ognuna delle quali costa 7 euro. Documento preparato da Pietro Belotti 1

2 L impresa, tuttavia, può anche usufruire di una linea di produzione di terzi, che può produrre 700 unità al mese al costo di 9 euro l una. L impresa ha dei costi di magazzino di 1 euro al mese per ogni modem; il magazzino contiene, all inizio del periodo di pianificazione, 70 unità; e si richiede che vi siano 300 unità alla fine del periodo. Per ragioni tecniche riguardanti i macchinari di produzione, un impianto di produzione avviato deve produrre un lotto minimo di almeno 80 unità. Le vendite previste per i prossimi 4 mesi sono riportate di seguito: mese=j richiesta=r j Si desidera determinare un piano di produzione che soddisfi la richiesta e minimizzi i costi. Formulare il problema in termini di programmazione lineare intera. Come va modificato il modello se vi sono costi fissi di produzione f 1 e f 2 per i due impianti? Soluzioni 1.7 Servizi informatici. Definiamo la variabile x j, con j = 1,..., 5, come il numero di nuovi assunti formati durante il mese j; con y j definiamo il numero di tecnici esperti presenti nel mese j. La funzione obiettivo, tenendo conto che alla fine del mese un nuovo assunto diventa automaticamente un tecnico esperto, è data dallo stipendio da pagare nei 5 mesi ai tecnici e agli apprendisti: z = 1000 (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 ) Durante il mese j, il numero di ore dedicate dai tecnici esperti alla manutenzione e alla consulenza è dato da 160y j 50x j. Dato che questo numero di ore deve soddisfare la richiesta di ore mensile possiamo scrivere i vincoli 160y 1 50x y 2 50x y 3 50x y 4 50x y 5 50x Inoltre, al mese j + 1 il numero di tecnici esperti è dato dalla parte (95%) di tecnici del mese j che non è passata alla concorrenza più quelli assunti nel mese j. Pertanto, 0.95y j + x j = y j+1 j = 1, 2, 3, 4 (1) Documento preparato da Pietro Belotti 2

3 Imponiamo infine i seguenti vincoli sulle variabili: y 1 = 50 x 0 y 0. Risolvendo il problema di PL si ottiene la soluzione ottima frazionaria: z = x = y = Ovviamente, la soluzione frazionaria trovata non ha senso e si deve imporre l integralità delle variabili x e y. Sorge però un altro problema: per i vincoli (1), il valore di y j+1 potrebbe essere frazionario anche se y j e x j sono interi. Il vincolo alternativo 0.95y j + x j = y j+1 j = 1, 2, 3, 4 aggira questo inconveniente, ma rende il problema non lineare. Si può comunque considerare una semplice linearizzazione introducendo una variabile intera z j Z 0 per ogni j = 1, 2, 3, 4. Si riscrive il vincolo sopra come: e si aggiungono i vincoli: z j + x j = y j+1 j = 1, 2, 3, 4. z j 0.95y j z j + 1 j = 1, 2, 3, 4 I vincoli sopra forzano z j ad assumere il più alto valore intero minore di 0.95y j. 1.8 Turni in ospedale. Siano lun, mar, mer, gio, ven, sab e dom le variabili che indicano il numero di infermieri il cui turno di 5 giorni inizia il giorno di lunedì, martedì,..., domenica. Il modello è il seguente: min (lun + mar + mer + gio + ven + sab + dom) lun + gio + ven + sab + dom 11 (Presenze Lunedì) lun + mar + ven + sab + dom 9 (Presenze Martedì) lun + mar + mer sab + dom 7 (Presenze Mercoledì) lun + mar + mer + gio + dom 12 (Presenze Giovedì) lun + mar + mer + gio + ven 13 (Presenze Venerdì) mar + mer + gio + ven + sab 8 (Presenze Sabato) mer + gio + ven + sab + dom 5 (Presenze Domenica) lun, mar, mer, gio, ven, sab, dom Z + Documento preparato da Pietro Belotti 3

4 1.9 Distribuzione di PC. In un classico problema di trasporto si suppone che le unità produttive (depositi) siano già dislocate sul territorio e operative; può accadere però di di dover affrontare una decisione a monte rispetto al piano di trasporto, che consiste nella scelta delle unità produttive da attivare in un insieme di potenziali siti candidati. L obiettivo dell azienda consiste nella minimizzazione della somma dei costi fissi d investimento e dei costi di trasporto; questi ultimi, trascurabili rispetto ai primi se si tiene conto di un orizzonte temporale limitato, vanno scalati su un orizzonte più lungo, ad esempio quello di ritorno dell investimento iniziale. Le variabili decisionali sono la quantità x ij da trasportare da ogni deposito i ad ogni negozio j e le variabili binarie y i pari a 1 se il deposito i è attivato. Il modello dunque è il seguente: min n m n c ij x ij + f i y i (1) m x ij b i y i i = 1,..., n (2) n x ij d j j = 1,..., m (3) x ij 0, y i {0, 1} i = 1,..., n, j = 1,..., m Considerando che x ij q ij per i n, j m, si possono imporre i vincoli x ij q ij y i i n, j m, (4) che esprimono che x ij = 0 per ogni j m se y i = 0, ovvero che non c e trasporto dal deposito j se il deposito j non viene attivato. Questi vincoli rendono ridondanti i vincoli m x ij b i y i i n, (5) dato che sommando i vincoli (4) su tutte le j si ottengono esattamente i vincoli (5). Quindi i (4) possono essere usati per sostituire i (5) nella formulazione del problema, dando così luogo a una formulazione alternativa. Si noti che il contrario non vale: cioè non è possibile derivare i vincoli (4) dai vincoli (5), quindi la formulazione data dai vincoli (4) è più stringente (cioè l insieme delle soluzioni ammissibili della formulazione con i (4) è contenuto nell insieme delle soluzioni ammissibili della formulazione con i (5)). Documento preparato da Pietro Belotti 4

5 1.10 Produzione di modem. Definiamo le variabili x 1j come il numero di modem prodotti dalla linea principale nel mese j, con j = 1,..., 4, e con x 2j il numero di modem prodotti dalla terza parte. Denotiamo con y j la quantità in magazzino alla fine del mese j {0, 1,..., 4} (si noti che consideriamo anche la variabile y 0, che si riferisce alla quantità in magazzino alla fine del mese precedente all inizio del periodo di pianificazione) e con le variabili binarie z 1j e z 2j indichiamo se ha luogo produzione di modem nel mese j nell impianto principale o in quello di terza parte, rispettivamente. La funzione obiettivo da minimizzare è la seguente: z = 7 x 1j + 9 x 2j + 1 A causa dei lotti minimi di produzione, la variabile x 1j può essere positiva e comunque non superiore a 2500 se la variabile binaria z 1j è 1. In questo caso però x 1j dovrà anche essere non minore di 80. Possiamo quindi scrivere (vale analogamente per x 2j e z 2j ) j=0 y j 80z 1j x 1j 2500z 1j 80z 2j x 2j 700z 2j Dobbiamo inoltre imporre i vincoli di domanda (si noti che deve essere y 0 = 70 e y 4 = 300): x 11 + x 21 + y x 12 + x 22 + y x 13 + x 23 + y x 14 + x 24 + y La quantità in magazzino alla fine del mese j è data dalla quantità nel mese precedente e dalla quantità prodotta ma non venduta: j {1,..., 4} (y j = y j 1 + x 1j + x 2j r j ) Infine deve essere x 1j, x 2j, y j R +, z 1j, z 2j {0, 1}. Se vogliamo valutare nella funzione obiettivo anche i costi fissi di produzione è sufficiente aggiungervi la quantità f 1 z 1j + f 2 z 2j. Documento preparato da Pietro Belotti 5

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