Capitolo 1. Integrali multipli. 1.1 Integrali doppi su domini normali. Definizione Si definisce dominio normale rispetto all asse

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1 Contenuti 1 Integrali multipli Integralidoppisudomininormali Cambiamento di variabili in un integrale doppio Formula di Gauss-Green nel piano e conseguenze Integralitripli

2 Capitolo 1 Integrali multipli 1.1 Integrali doppi su domini normali efinizione Si definisce dominio normale rispetto all asse x l insieme x dei punti del piano le cui coordinate (x, y) soddisfano le seguenti limitazioni a x b α(x) y β (x), dove α (x) e β (x) sono funzioni definite nell intervallo [a, b] eivi continue, con α (x) <β(x) nei punti interni di [a, b] (vedi figura 1.1). Premesso ciò, se f (x, y) è una funzione definita in x e ivi continua, per l integrale doppio esteso a x della f (x, y), sussiste la seguente formula di riduzione b β(x) f (x, y) dxdy = dx f (x, y) dy. (1.1) x a α(x) efinizione Si definisce dominio normale rispetto all asse y l insieme y dei punti del piano le cui coordinate (x, y) soddisfano le seguenti limitazioni c y d γ(y) x δ (y), 2

3 Figura 1.1: 3

4 Figura 1.2: 4

5 dove γ (y) e δ (y) sono funzioni definite nell intervallo [c, d] eivi continue, con γ (y) <δ(y) nei punti interni di [a, b] (vedi figura 1.2). Selafunzionef (x, y) èdefinita in y eivicontinua, sussiste la seguente formula di riduzione d δ(y) f (x, y) dxdy = dy f (x, y) dx. (1.2) y c γ(y) efinizione Se il dominio ènormalerispettoatuttie due gli assi sussistono simultaneamente le formule (1.1) e (1.2), per cui abbiamo la seguente formula di inversione dell ordine di integrazione b a dx β(x) α(x) f (x, y) dy = d c dy δ(y) γ(y) f (x, y) dx. (1.3) Le formule di calcolo precedentemente illustrate possono essere utilizzate anche quando il dominio, pur non essendo normale ad alcun asse, è però decomponibile in n domini normali 1, 2,..., n, a due a due privi di punti interni comuni. In tal caso si ha la seguente relazione f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy+ 1 (1.4) + f (x, y) dxdy f (x, y) dxdy. 2 n Esercizio Si calcoli i seguenti integrali riconducendoli a integrali semplici 1 2 dx dy, dove =[3, 4] [1, 2]. (x + y) sin 2 y dx dy, y dove = {(x, y) IR 2 :0 x y 2, 0 <y π}. 5

6 1.2 Cambiamento di variabili in un integrale doppio Sia Ω aperto misurabile di IR 2 e si consideri la trasformazione biunivoca tra Ω e x = φ (u, v), y = ψ (u, v), (u, v) Ω. (1.5) Supponiamo le funzioni (1.5) di classe C 1 ( Ω) e il determinante jacobiano J della trasformazione sempre diverso da zero, (φ, ψ) J =det (u, v) = φ φ u v ψ ψ 6= 0 (1.6) u v In tali ipotesi vale la seguente formula di trasformazione dell integrale doppio f (x, y) dxdy = f [φ (u, v),ψ(u, v)] J dudv, (1.7) Ω di cui si omette la dimostrazione. Nel caso particolare del passaggio dalle coordinate cartesiane (x, y) alle coordinate polari (ρ, θ), avendosi x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, (1.8) con ρ>0 e θ [0, 2π), oppure θ [ π, π), il determinante jacobiano è J = ρ>0 e la formula (1.7) diviene f (x, y) dxdy = f (ρ cos θ, ρ sin θ) ρdρdθ. (1.9) Ω Il passaggio alle coordinate polari è preferibile quando sia l espressione della funzione f (x, y) e sia le limitazioni che definiscono il dominio contengono l espressione x 2 + y 2. 6

7 1.3 Formula di Gauss-Green nel piano e conseguenze efinizione Un dominio regolare IR 2 èperdefinizione l unione di un numero finito di domini normali (rispetto a x o y) regolari 1,... N, adueadueprividipuntiinterniincomune. Se è dominio regolare, la sua frontiera èunionediun numero finito di curve regolari. Per tutti i punti di, eccetto al piu un numero finito di essi, esiste il versore tangente t. Su ogni curva di, il versore normale n associato a t è tale che la coppia {n, t} sia congruente a quella dei versori degli assi orientati (vedi figura 1.3). Si conviene di orientare la frontiera in maniera tale che il versore normale n, così individuato, risulti in ogni punto diretto verso l esterno di. Tale orientamento è detto orientamento positivo (si indica con + ). In altre parole, su ciascuna delle curve che compongono la frontiera di, si fissa come orientamento positivo quello secondo il quale deve muoversi un osservatore per avere sempre alla sua sinistra l interno di. Sia un dominio regolare e sia ½ x = y = x(t) y(t) t [a, b] (1.10) una rappresentazione parametrica di una porzione regolare γ della sua frontiera. Supponiamo l orintamento indotto dalla rappresentazione (1.10) sia quello positivo su. In tal caso, il versore tangente t èilvettorediir 2 t(t) = x 0 (t) p x0 (t) 2 + y 0 (t) i + y 0 (t) p 2 x0 (t) 2 + y 0 (t) j. 2 7

8 Figura 1.3: 8

9 Il versore normale corrispondente è n(t) = y 0 (t) p x0 (t) 2 + y 0 (t) i x 0 (t) p 2 x0 (t) 2 + y 0 (t) j. 2 Esempio Considerata la circonferenza centrata nell origine del sistema di riferimento e di raggio unitario, il versore tangente è eilversorenormaleè t(t) = sin t i +cost j, n(t) =cost i +sint j. Il seguente teorema, permette di trasformare un integrale doppio esteso ad un dominio regolare in un integrale curvilineo esteso alla frontiera di tale dominio: Teorema (Formule di Gauss-Green nel piano) Sia IR 2 un dominio regolare, ed f = f (x, y) una funzione di classe C 1 ( ). Allora f x dxdy = fdy, (1.11) + e f y dxdy = fdx. (1.12) + im. Per semplicità, si dimostrerà solo la (1.11) nel caso particolare che il dominio sia normale rispetto a y = (x, y) IR 2 : c y d, γ (y) x δ (y) ª. 9

10 Figura 1.4: Applicando le formule di riduzione, si ricava f d δ(y) x dxdy = dy γ(y) = c d c f dx = (1.13) x [f (δ (y)) f (γ (y))] dy. altra parte, la frontiera percorsa nel verso positivo si compone della curva γ 1, del segmento γ 2, della curva γ 3 edel segmento γ 4 come descritto nella figura 1.4. Poichè y ècostante sui tratti γ 2 e γ 4, risulta banalmente che fdy =0, fdy =0. γ 2 γ 4 10

11 Gli integrali lungo γ 1 e γ 3 sono uguali a d fdy = γ 1 c f (γ (y),y) dy e d fdy = γ 3 c f (δ (y),y) dy. In conclusione, si ottiene che fdy = fdy + fdy = + γ 3 γ1 (1.14) = d c f (δ (y),y) dy d c f (γ (y),y) dy. Le (1.13), (1.14) implicano la (1.11). La (1.12) si ottiene in maniera analoga. Il teorema vale anche quando è unione di un numero finito di domini regolari 1,... N, a due a due privi di punti interni in comune. Infatti, risulta che f x dxdy = X i f y dxdy = X i f i x dxdy = X i f i y dxdy = X i + i + i fdy,(1.15) fdx. Inoltre, gli archi di curve appartenenti alla frontiera di due domini adiacenti compaiono due volte, ma con orientamento opposto.lasommaditalicoppiediintegraliènulla,quindi X fdy = fdy (1.16) i + i + X fdx = fdx. + i + i 11

12 Tramite le (1.15), (1.16) si ottengono le (1.11), ( 1.12). alle formule di Gauss-Green, si ricava il seguente teorema Teorema (Teoremadelladivergenzanelpiano)Sia IR 2 dominio regolare. Sia F(x, y) =F 1 (x, y)i + F 2 (x, y)j un campo vettoriale definito in e di classe C 1 (). Allora div Fdxdy = F nds. (1.17) (Si ricorda che div F = F 1 x + F 2 y, n èilversorenormalea e s è l ascissa curvilinea) im. Applicando la formula di Gauss-Green possiamo scrivere: µ F1 div F dxdy = x + F 2 dxdy = y (1.18) = F 2 dx + F 1 dy. altronde, se la frontiera di è una curva regolare di equazioni parametriche ½ x = y = x(t) y(t) t [a, b], si ha anche F n ds = " b = = a b a F 1 y 0 (t) p x0 (t) 2 + y 0 (t) 2 F 1 y 0 (t)dt b a F 2 x 0 (t) p x0 (t) 2 + y 0 (t) 2 # px0 (t) 2 + y 0 (t) 2 dt = F 2 x 0 (t)dt = F 1 dy F 2 dx (1.19)

13 Le equazioni (1.18) e ( 1.19) implicano la (1.17). Se è unione di un numero finito di curve regolari a tratti, si ragiona come nella parte finale della dimostrazione delle formule di Gauss-Green, considerando quale unione di domini normali regolari privi di punti interni comuni. Inoltre, Proposizione (Formula di Stokes) Sia F (x, y)=f 1 (x, y) i+ F 2 (x, y) j un campo vettoriale definito in un dominio regolare e di classe C 1 (). Allora risulta µ F2 F 1 dx + F 2 dy = + x F 1 dx dy. y im. La dimostrazione segue dalle formule di Gauss-Green. Tramite il teorema della divergenza si dimostra il seguente risultato sulle forme differenziali, solo enunciato nel quarto capitolo: Teorema (Teorema sulle forme differenziali in un aperto semplicemente connesso) Sia ω (x, y) =F 1 (x, y) dx+f 2 (x, y) dy una forma differenziale lineare di classe C 1 definita in un aperto A semplicemente connesso. Se la forma è chiusa allora è anche esatta in A. (Ricordiamo che un aperto connesso A si dice semplicemente connesso se ogni curva γ regolare a tratti, semplice e chiusa contenuta in A è la frontiera di un dominio limitato interamente contenuto in A). im. Sia fissata una qualsiasi curva regolare, semplice e chiusa γ. Sia il dominio limitato di cui γ èfrontiera. Nonè restrittivo supporre γ orientata nel verso positivo (senso antiorario). Allora utilizzando la formula di Stokes e, ricordando che 13

14 la forma è chiusa, si ottiene F 1 (x, y) dx + F 2 (x, y) dy = γ = F 1 (x, y) dx + F 2 (x, y) dy = µ F2 x F 1 dxdy =0. y Proposizione (Formula di integrazione per parti) Sia un dominio regolare limitato di IR 2 esianof e g funzioni di classe C 1 (). Allorarisulta f g x dxdy = f fgdy + x gdxdy, e f g y dxdy = f fgdx + y gdxdy. im. Si deducono facilmente dalle (1.11, 1.12), utilizzando fg in luogo di f. Proposizione (Formula per il calcolo dell area) Sia un dominio regolare limitato di IR 2 ;siha A() = dxdy = xdy, (1.20) oanche Inoltre, A() = A() = 1 2 dxdy = ydx. (1.21) 14 xdy ydx.

15 im. La (1.20) si ottiene dalla (1.11) utilizzando f(x, y) =x, mentre la (1.21) segue dalla (1.11) per f(x, y) =y. Esempio Calcolare l area A() del dominio avente come frontiera l ellisse ½ x = a cos t γ :. y = b sin t Si ricava A() = 1 xdy ydx = 1 2π abdt = πab. 2 γ Integrali tripli efinizione Si dice che un insieme H IR 3 èundominio normale rispetto al piano xy se esso può essere rappresentato nella forma H = (x, y, z) IR 3 :(x, y) A, α (x, y) z β (x, y) ª, cona dominio normale del piano xy e α (x, y),β(x, y) funzioni continue su A tali che α (x, y) <β(x, y) per ogni punto (x, y) interno di A. Proposizione (Formula di riduzione) Sia f (x, y, z) èuna funzione continua su un dominio normale rispetto al piano xy. Vale la seguente formula di riduzione β(x,y) f (x, y, z) dxdydz = dxdy f (x, y, z) dz, H A α(x,y) che riduce l integrale triplo in un integrale semplice rispetto la variabile z ed a un integrale doppio rispetto le variabili x, y. 15

16 Analogamente si ragiona nel caso di domini normali rispetto al piano yz, oppure al piano zx. Proposizione (Cambiamento di variabili) Sia x = x (u, v, w) y = y (u, v, w) z = z (u, v, w) (u, v, w) B tale che 1) sia un applicazione di classe C 1 (B) ebiunivocadab alla sua immagine A dello spazio xyz 2) il determinante Jacobiano J=det (x, y, z) / (u, v, w) non si annulliinnessunpuntodib. Allora, risulta f (x, y, z) dxdydz A = f (x (u, v, w),y(u, v, w),z(u, v, w)) (x, y, z) det B (u, v, w) dudvdw. Caso particolare è la trasformazione in coordinate sferiche x = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ il cui significato geometrico è illustrato nella figura1.5. Il determinante Jacobiano di tale trasformazione è (x, y, z) J =det (ρ, φ, θ) = ρ2 sin φ. Altro esempio è la trasformazione in coordinate cilindriche (vedi figura 1.6): x = ρ cos θ y = ρ sin θ, z = z 16

17 e il determinante Jacobiano, in questo caso, è J =det (x, y, z) (ρ, θ, z) = ρ. Esempio Sia T il tetraedro delimitato dai piani coordinati x =0, y =0,z=0e dal piano obliquo di equazione x a + y b + z c =1. La retta del piano xy che unisce i punti di coordinate (a, 0, 0) e (0,b,0) ha equazione x a + y b =1. Il tetraedro T risulta normale rispetto al piano xy, e precisamente n ³ T = 0 x a, 0 y b 1 x ³, 0 z c 1 x a a y o. b da cui, si ricava che il volume di T, V (T ), è a b(1 x a) c(1 x a y b ) V (T ) = dxdydz = dx dy dz = T a b (1 x a) ³ = dx c 1 x 0 0 a y dy = b a ³ = c dx 1 x y=b y y2 (1 x a) = bc a ³ 1 x dx = 0 a 2b y=0 2 0 a 2 = bc a ³ 1 x 3 x=a = abc 2 3 a x=0 6. Esempio Si consideri un solido omogeneo di forma tetraedrica T edispigolia = b = c =1. E facilecalcolarelecoordinatedel 17

18 Figura 1.5: 18

19 Figura 1.6: 19

20 Figura 1.7: 20

21 baricentro (centro di massa). Infatti, per motivi di simmetria il baricentro ha coordinate (x G,y G,z G ) equindi x G = y G = z G = 1 xdxdydz =6 xdxdydz = 1 V (T ) 4. T T 21