Sommario. Linguaggi formali: motivazioni, definizione ed esempi operazioni su parole e linguaggi

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1 Sommario Linguaggi formali: motivazioni, definizione ed esempi operazioni su parole e linguaggi 1

2 Tipi di problemi Nelle teorie della calcolabilità e della complessità si considerano problemi di decisione, cioè problemi per i quali la risposta è di tipo sì o no. Esempio: C è nel grafo non diretto G un ciclo hamiltoniano? Il corrispondente problema di ricerca si risolve trovando un ciclo hamiltoniano dato un grafo non diretto G. Il problema di ottimizzazione, pure ad esso collegato, si risolve individuando un ciclo hamiltoniano di costo minimo in un grafo non diretto e pesato. 2

3 Problemi di decisione La complessità dei problemi di ricerca e di decisione è correlata a quella dei problemi di decisione associati. Intuitivamente se un problema di decisione è difficile, tale risulterà anche il corrispondente problema di ricerca o di ottimizzazione. Il vantaggio di limitarsi a problemi di decisione è che questi possono essere codificati con un linguaggio. Così una computazione, cioè un esecuzione di un algoritmo che risolve il problema di decisione, può essere identificata con il riconoscimento di una parola, che codifica un istanza del problema. 3

4 Problemi decisionali e linguaggi! Esempio: Dato un grafo diretto G=(V,E), esiste un ciclo hamiltoniano nel grafo? Un istanza di un problema è un particolare input per quel problema. Esempio: Un particolare grafo diretto è un istanza del problema del ciclo hamiltoniano. Chiamiamo istanze sì quelle che hanno soluzione e istanze no quelle che non ce l hanno. 4

5 Linguaggio: definizione Un linguaggio è un insieme di parole.! Una parola è una sequenza di simboli presi da un insieme finito, l alfabeto.!! 5

6 Problemi decisionali e linguaggi! Un problema decisionale può essere facilmente visto come un linguaggio! Esempio: Dato un grafo orientato G=(V,E), esiste un ciclo hamiltoniano nel grafo? Il linguaggio associato al problema è quello delle istanze sì del problema. Esempio: L alfabeto è quello della codifica delle istanze del problema del grafo, (per esempio l alfabeto binario) e il linguaggio che ci interessa è quello delle codifiche delle istanze sì Un dispositivo che riconosce, tra le parole che codificano grafi, quelle relative a grafi in cui c è un cammino hamiltoniano è un algoritmo che risolve il problema decisionale del cammino hamiltoniano in un grafo. 6

7 Σ = {0,1} ESEMPI DI LINGUAGGI L= {a 1 a 2...a n 1a n+1 a n+2 a i in Σ, per 1 i n+2} è l insieme di tutte le parole che hanno un 1 nella terzultima posizione. L= {x x in Σ e x rappresenta in binario un intero pari} L= { x x in Σ e x 3} è l insieme (finito) delle parole di lunghezza minore di 3 7

8 Macchine e problemi Problemi = insieme delle istanze linguaggi = istanze sì Modelli di calcolo = riconoscitori di linguaggi Abbiamo un approccio uniforme per lo studio dei modelli di calcolo, indispensabili per le teorie della calcolabilità e della compessità 8

9 Convenzioni Le lettere iniziali (a,b,c,.) dell alfabeto inglese sono usate per denotare, a meno di diversa specificazione, singole lettere dell alfabeto Le lettere finali (x,y,z, ) dell alfabeto inglese sono usate per denotare, a meno di diversa specificazione, parole o stringhe sull'alfabeto Σ (sigma) è la lettera comunemente usata per indicare l alfabeto di riferimento, Σ* denota l insieme di tutte le parole sull alfabeto Σ. Prof.ssa Emanuela Fachini - Calcolabilità e Complessità 9

10 Prime definizioni ed esempi Σ = {a,b,c} è un esempio di alfabeto, che è semplicemente un insieme finito. x = abbaacba è un esempio di parola, che è semplicemente una sequenza di lettere dell alfabeto ε ( o λ) è la parola vuota, senza lettere Σ* = {ε,a,b,c,aa,ab,ac,ba,bb,bc, } è l insieme di tutte le parole che si possono costruire sull alfabeto {a,b,c} 10

11 Altre definizioni utili x = lunghezza di x, cioè il numero dei simboli della parola Definizione ricorsiva di parola: ε è una parola se x è una parola e a è una lettera dell alfabeto allora xa è una parola Definizione ricorsiva di lunghezza: ε = 0 xa = x +1, per x in Σ* e a in Σ. 11

12 Concatenazione e potenza di parole Concatenazione di due parole: date x = a1a2...an e y = b1b2...bm in Σ*, n,m 0 xy = a1a2...anb1b2...bm è la loro concatenazione Definizione ricorsiva di concatenazione: per x,y in Σ* e a in Σ x xε = x(ya) = (xy)a Potenza di una parola per x in Σ* x n = xx...x (n volte) Definizione ricorsiva di potenza: x 0 = ε x n+1 = x n x per n 0 12

13 Concatenazione di linguaggi Estensione della concatenazione ai linguaggi:! L,L Σ* LL = {w in Σ* x in L, y in L e w=xy} Esempi: 1. Se L = {a, ab,ba}, L' = {ab,b}, allora LL' = {aab,ab,abab,abb,baab,bab}. bab è già presente Proprietà: 2. Se L = {b,ba}, L' = {ab,b}, allora LL' = {bab,bb,baab}. {ε}l = L = L = L{ε} = L 13

14 Potenza di linguaggi Estensione della potenza ai linguaggi: per L Σ* L n = LL...L (n volte) L 0 = {ε} Esempi: 1. se L = {a,ab,ba} allora aba L 2 = {aa,aab,aba, abab,abba,baa,baab,baba}. 2. Se L = {ab,b} allora L 3 = {ababab,abbab,babab,bbab,ababb,abbb, babb,bbb}. 14

15 Stella di Kleene L Σ*, L* = L n n 0 Quindi L* = {ε} L LL... Esempi: 1. {a,b}* = {ε,a,b,aa,ab,ba,bb,aaa,aab,abb,baa,...} 2. se L={a,ab,ba}, alloral*={ε,a,ab,ba,aa,aab,aba,abab,abba,baa, baab,baba,...}. 15

16 Stephen Cole Kleene ( ) Ha insegnato alla Wisconsin University. La sua attività di ricerca riguarda la teoria degli algoritmi, i modelli di calcolo e le funzioni ricorsive. A lui si devono alcuni dei più importanti risultati della teoria degli automi. 16

17 Altre operazioni sui linguaggi Ricordiamo le operazioni insiemistiche: L,L Σ* unione: L L intersezione: L L complemento: L = Σ* - L! Ricordiamo che queste operazioni non sono indipendenti: (X X ) = X X (X X ) = X X 17