Successioni. Capitolo Definizione

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1 Capitolo 2 Successioi 2.1 Defiizioe Ua prima descrizioe, più ituitiva che rigorosa, di quel che itediamo per successioe cosiste i: Ua successioe è ua lista ordiata di oggetti, avete u primo ma o u ultimo elemeto. Gli oggetti elecati ella successioe vegoo ache detti termii della successioe. I termii di ua successioe possoo, i geerale, avere varia atura; questa viee solitamete chiarita aggiugedo al sostativo successioe uo o più aggettivi. Così, si può parlaredi successioi (umeriche) reali, di successioi complesse, di successioi a valori vettoriali,... el seguito ci occupiamo di successioi i cui termii soo umeri reali (ache se molti, ma o tutti, i risultati otteuti soo validi ache per i umeri complessi). Avedo a che fare co ua lista ordiata di umeri, è coveiete elecarli utilizzado gli iteri aturali = 1, 2,.., e scrivere i termii della successioe come {a } 1 = {a 1,a 2,a 3,...}. (Per comodità, decidiamo di usare la scrittura {a } al posto della più completa{a } 1.) Questa premessa chiarisce allora la Defiizioe 2.1 Ua successioe (umerica reale) è ua legge 7 a che ad ogi itero aturale associa u uico umero reale a. Per evitare oiose precisazioi, coveiamo ache di ammettere alcui casi i cui la legge assegata o ha seso per alcui valori di, purchè iumerofiito. Esempio 1 Soo successioi le: { 2 } = {1, 4, 9, 16,...} ½ ¾ 1 = ½ 12 3, 1, 1, 12, 13 ¾,... ª 5 = 0, 1, 2, o 3 bechè lasecodaosiadefiita per =3, elaterzalosiasoloper 5. 29

2 30 CAPITOLO 2. SUCCESSIOI o tutte le successioi soo defiibili come sopra, per mezzo di ua legge esplicita. Ve e soo alcue i cui il termie a è calcolabile per mezzo dei termii precedeti a 1,...,a 1 ;questesoo dette successioi defiite per ricorreza. Esempio 2 i) Sia a 1 =3, e a +1 = 2+a. I questo caso ( {a } = 1, q 3, 2+ r q 3, ) 3,... ii) Sia a 1 = a 2 =1, e a = a 1 + a 2 per 3. La successioe otteuta {a } = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...} è ota come successioe di Fiboacci. 2.2 Alcue proprietà Poichè ua successioe è ua caso particolare di fuzioe reale di variabile reale, molte delle proprietà defiite per le fuzioi soo estedibili alle successioi. e ricordiamo alcue. Defiizioe 2.2 La successioe {a } è o-egativa se a 0, ed è positiva se a > 0. Aalogamete per la o-positività elaegatività. Defiizioe 2.3 La successioe {a } è iferiormete limitata se esiste u umero reale α per cui a α, ed è superiormete limitata se esiste u umero reale β per cui a β. Se queste due proprietà soo cotemporaeamete vere, la successioe è limitata, eciòequivaleadavere a M per ogi e per qualche M 0. Defiizioe 2.4 La successioe {a } è (mootòa) crescete se per ogi si ha a +1 > a, (mootòa) o-decrescete se a +1 a, (mootòa) o-crescete se a +1 a, (mootòa) decrescete se a +1 <a. Può accadere che ua proprietà di{a } (la positività, la mootoìa,...) o sia vera per ogi valore di, ma valga da u certo valore itero i poi; i questo caso diciamo che la proprietà i questioe èvalidadefiitivamete. ½ ¾ 1 Esempio 3 i) La successioe = ½ 12 3, 1, 1, 12, 13 ¾,... è limitata, defiitivamete positiva, e defiitivamete decrescete. ii) La successioe (2 5) 2ª = {9, 1, 1, 9, 25, 49,...} è positiva, limitata iferiormete ma o superiormete, defiitivamete crescete. iii) La successioe {( 1) } = { 1, 2, 3, 4, 5,...} o possiede alcua delle proprietà descritte sopra. ¾ èdefiitivamete decrescete. Per verificarlo, basta os- ½ Esempio 4 La successioe servare che a +1 <a ( +1) 2 < > 0 e questo accade per ogi 3. Alterativamete, possiamo utilizzare le teciche acquisite studiado la mootoìa delle fuzioi di variabile reale. Ifatti, i termii a soo otteuti restrigedo agli iteri il domiio della x fuzioe f(x) = 7+x 2. Poichè f è derivabile e f 0 (x) < 0 se x> 7=2.64.., e segue che a = f() decresce se 3.

3 2.3. LIMITE DI UA SUCCESSIOE Limite di ua successioe Defiizioe 2.5 i) Dato ` R, la scrittura sigifica che lim a =` ε > 0 = (ε) : = a ` < ε, cioè che a partire da i poi tutti i termii della successioe soddisfao ` ε <a <`+ ε. ii) La scrittura sigifica che iii) La scrittura sigifica che lim a =+ M >0 = (ε) : = a >M. lim a = M >0 = (ε) : = a < M. el caso i) diciamo che {a } è covergete e coverge al umero `, eicasiii)eiii)la{a } si dice divergete. Queste successioi soo dette regolari, metre quelle che o ammettoo limite soo irregolari. Co la scrittura a `+ per + itediamo che la covergeza ad ` avviee per eccesso, cioè che vale l ulteriore iformazioe a ` defiitivamete. Se ivece a ` per + e a ` defiitivamete, scriviamo a `, e si ha covergeza per difetto. ½ ¾ 1 Esempio 5 La successioe coverge e ha limite 1. Ifatti, se fissiamo ε > 0 la relazioe 1 ε < 1 < 1+ε equivale a 1 > 1 ε ; 1 < 1+ε la secoda diseguagliaza èsempreverificata, perchè 1 =1 1 < 1; la prima lo èperogi > 1 ¹ º 1 ε. La scelta =1+ dimostra l affermazioe. ε (.B.: la otazioe bxc deota la parte itera di x, cioè ilpiù grade itero che o supera x.)

4 32 CAPITOLO 2. SUCCESSIOI Esempio 6 La successioe 5 ª diverge a +. Ifatti, fissato M>0 abbiamo 5 >M purdipredere>m (Come sopra, la scelta =1+ M 2 +5 fuzioa.) Ua delle cosegueze della Defiizioe 2.5 è Teorema 2.6 Ua successioe covergete è limitata; ua successioe divergete è illimitata. Esempio 7 La successioe {( 1) } o è covergete è divergete. Ifatti, essedo limitata o può essere divergete. Ioltre, essu ` R può essere limite per {( 1) } perchè ivalori +1 e 1 vegoo assuti ifiite volte, e essu itervallo (` ε,`+ ε) può coteerli etrambi se ε viee scelto sufficietemete piccolo (ad es. ε < 1). (Questo esempio mostra che il Teorema 2.6 o è ivertibile: ua successioe può essere limitata seza essere covergete.) Il legame co la già ota teoria dei limiti per fuzioi f : I R R e dei limiti per successioi viee chiarito dall euciato dei due segueti teoremi. Teorema 2.7 Se a = f(), ese lim f(x) =`,siha lim a = `. x + Teorema 2.8 Sia data f : I R R, cox 0 puto di accumulazioe per I. Allora lim x x 0 f(x) =` seesolose lim f(x )=` per ogi successioe {x } tale che, per ogi, si abbia x I, x 6= x 0, eioltrex x Proprietà dei limiti Grazie al Teorema (2.8) possiamo utilizzare molti tra i risultati relativi alle fuzioi per otteere aaloghe proprietà relative ai limiti di successioi. Uicità del limite Se {a } ammette limite, questo limite è uico. Permaeza del sego i) Se {a } ammette limite `>0, oppure +, allora {a } èdefiitivamete positiva. ii) Se {a } èdefiitivamete o-egativa ed ammette limite `, allora ` 0 oppure ` =+. Cofroto Siao {a }, {b }, {c } tre successioi per le quali vale a b c defiitivamete. Se {a } e {c } ammettoo limite ` R, ache b `. Ioltre, se defiitivamete vale a b, soo vere le implicazioi: a + = b + b = a Mootoìa Ogi successioe mootòa è regolare. Se {a } è mootòa crescete o o-decrescete, si ha lim a =sup{a } ; se è mootòa decrescete o o-crescete, si ha lim a =if {a }. Se {a } èdefiitivamete mootòa, ammette limite. Perciò, se {a } è mootòa, vale:

5 2.5. SOTTOSUCCESSIOI 33 (vedi Teorema 2.6). {a } è covergete se e solo se {a } è limitata Operazioi co i limiti Come el caso delle fuzioi, ache per le successioi regolari è possibile (sotto adeguate ipotesi) trasportare l effetto di alcue operazioi elemetari dai termii -simi ai limiti. U veloce riassuto può essere il seguete: siao a 0eb > 0taliche,per +, valgao a a [0, + ] eb b [0, + ]; allora i) a ± b a ± b ; ii) a b ab ; iii) iv) a b a b ; v) lb l b. 1 b 1 b ; Queste regole vao ovviamete iterpretate secodo le usuali estesioi delle operazioi al simbolo +, cioè: + + =+ ; c(+ ) =+ se c>0; (1/+ ) =0;(1/0 + )=+ ; c + =+ se c>1; c + =0 + se 0 <c<1; l(0 + )= ; l(+ ) =+. Ioltre, soo esclusi da questa tabella i casi che portao alle già ote forme di idecisioe : + ; 0 ; / ; 0/0; 1 ; 0 ; 0 0. Ifie, le solite regole dei umeri reali si applicao el caso di termii egativi. 2.5 Sottosuccessioi Sia {a } ua successioe. Ua sua sottosuccessioe (ache detta successioe estratta ), è quel che si ottiee da {a } scartado alcui termii, e coservadoe ifiiti. Tutto questo equivale a scegliere ua successioe strettamete crescete di idici iteri { k }, e a cosiderare la successioe di termii b k = a k,dovek. Ad esempio, potremmo decidere di coservare solo i termii di posto pari ( k =2k) ed otteere la successioe {b k } = {a 2k }. Ua volta scelta la successioe { k } degli idici, idichiamo la sottosuccessioe otteuta co {a k } k 1 o, per brevità, co {a k }. È relativamete facile covicersi che ua successioe strettamete crescete di idici iteri { k } soddisfa k k per ogi k ; i seguito useremo più volte questo fatto. Lemma 2.9 Se {a } ammette limite, ogi sua sottosuccessioe ammette lo stesso limite. Abbiamo visto i precedeza (Teorema 2.6) che ogi successioe covergete è limitata, ma che i geerale, se maca la mootoìa, o vale il viceversa. Il Teorema 2.6 ammette però ua sorta di iverso, più debole, e questo coivolge proprio la ozioe di sottosuccessioe. Teorema 2.10 (Bolzao-Weierstrass) Da ogi successioe limitata si può estrarre ua sottosuccessioe covergete. Osservazioe Chiaramete la sottosuccessioe covergete o è uica, basta cosiderare ua qualsiasi sottosuccessioe della sottosuccessioe covergete per avere acora lo stesso limite. Ioltre, può ache accadere che ua {a } limitata ammetta sottosuccessioi co limiti diversi, come el caso di {( 1) } e delle sottosuccessioi di idici solo pari o solo dispari.

6 34 CAPITOLO 2. SUCCESSIOI Dim. Dalla Defiizioe 2.3 sappiamo che esistoo α, β R per i quali α a β per ogi. Sia γ = α + β il puto medio del segmeto [α, β]; uo almeo dei due sottoitervalli [α, γ] e 2 [γ, β] cotiee termii a corrispodeti ad ifiiti valori di. Ribattezziamo questo itervallo come [α 1, β 1 ] e otiamo che, di qualuque dei due sottoitervalli si tratti, si ha α α 1 < β 1 β e β 1 α 1 = 1 (β α). 2 Se γ 1 è il puto medio di [α 1, β 1 ], i almeo uo tra [α 1, γ 1 ]e[γ 1, β 1 ] cadoo termii a corrispodeti ad ifiiti valori di. Chiamiamo [α 2, β 2 ] questo sottoitervallo di [α 1, β 1 ], ed abbiamo α α 1 α 2 < β 2 β 1 β e β 2 α 2 = 1 (β α). 22 Proseguiamo i questo modo ed otteiamo due successioi {α k } e {β k } per le quali si ha α α 1 α 2.. α k < β k.. β 2 β 1 β e β k α k = β α 2 k. Così, {α k } e {β k } soo mootòe e limitate, quidi covergeti ad α e β rispettivamete. Ioltre, {α k } coverge ad α per difetto, e {β k } coverge a β per eccesso. Per come soo stati costruiti, abbiamo [α k, β k ] [α k+1, β k+1 ] per ogi k, e quidi α β. Ioltre 0 β α β k α k = 1 (β α) 0 se k +. 2k Così, β = α = ` [α, β], cioè {α k } e {β k } covergoo allo stesso limite `. Ora costruiamo ua sottosuccessioe {a k } covergete ad `. Poichè [α 1, β 1 ] cotiee termii a corrispodeti ad ifiiti valori di, sia 1 uo di questi idici. Poi, scegliamo 2 i modo che 2 > 1 e a 2 [α 2, β 2 ](è possibile, i quato i [α 2, β 2 ] cadoo termii a corrispodeti ad ifiiti valori di ). Iterado questo procedimeto, otteiamo ua sottosuccessioe {a k } per la quale si ha a k [α k, β k ] k. Quidi α k a k β k k, e a k ` per il teorema del cofroto. 2.6 La codizioe di Cauchy Sia {a } ua successioe covergete al limite `; dalladefiizioe, sappiamo che la differeza tra a ed ` può essere resa molto piccola, pur di scegliere l idice sufficietemete grade. Così, fissato ε > 0è possibile trovare u idice tale che, per ogi idice si ha a ` < ε 2. Se scegliamo due idici, m abbiamo allora a a m a ` + a m ` < ε. Riassumedo, la {a } soddisfa quella che viee chiamata codizioe di Cauchy: ε > 0 = (ε) :, m = a a m < ε. Per brevità, si usa ache dire che {a } è ua successioe di Cauchy. Questa codizioe è di difficile lettura, e o cotiee traccia del valore del limite della successioe. È però importate, perchè vale

7 2.7. LA CLASSE LIMITE 35 Teorema 2.11 Ua successioe {a } coverge se e solo se soddisfa la codizioe di Cauchy. Dim. Grazie alla osservazioe precedete, dobbiamo solo dimostrare che la codizioe di Cauchy implica la covergeza. Per farlo, dividiamo la dimostrazioe i 3 passi. Passo1 Iiziamo co l osservare che ogi successioe di Cauchy è limitata. Ifatti, dopo aver fissato ε > 0 ed aver determiato il corrispodete, i termii a soo defiitivamete coteuti ell itervallo (a ε,a + ε), e quidi fuori da questo itervallo può cadere al più u umero fiito di termii della successioe. Passo 2 Se {a } è di Cauchy, e segue che è limitata, e il Teorema di Bolzao-Weierstrass garatisce che è possibile estrare ua {a k } covergete ad limite `. Perciò, sempre co lo stesso ε > 0, riusciamo a determiare k così daavere a k ` < ε per ogi k k, e possiamo ache permetterci di richiedere che k. Passo 3 Ora vediamo che {a } coverge ad `. Ifatti, abbiamo osservato che k k e quidi, per ogi abbiamo a ` a a k + a k ` < 2ε che, data l arbitrarietà diε, dimostra che a ` se La classe limite Abbiamo visto che o tutte le successioi ammettoo limite; el caso della {( 1) } questo è evidete, perchè i due valori +1 e 1 avrebbero etrambi il diritto di essere cosiderati u limite, e questo o è chiaramete possibile, a causa del Teorema sull uicità del limite. Il comportameto della {( 1) } suggerisce però la Defiizioe 2.12 Il umero, o il simbolo, λ R èuvalore limite della successioe {a } se esiste ua sottosuccessioe {a k } tale che lim a k = λ. k + La classe limite della successioe {a } èilsottoisiemeλ R costituito da tutti e soli i valori limite di {a }. Esempio 8 Per la successioe {( 1) } certamete due valori limite soo +1 e 1. Ogi altro λ R o può esserlo, perchè la successioe è limitata, e ioltre essu termie a può cadere i u itervallo (λ ε, λ + ε) se λ R ed ε > 0 èsceltosufficietemete piccolo. Così Λ = { 1, +1}. ½ 1 Esempio 9 La successioe 2, 1, 2, 1 3, 1, 3, 1 ¾, 1, 4,... ècostruitaaffiacado blocchetti di tre 4 termii, e l -esimo blocchetto cotiee i valori 1, 1,. I questo caso λ =0, λ =1e λ =+ soo certamete valori limite, e ci si covice abbastaza facilmete che o ve e soo altri, per cui Λ = {0, 1, + }. Esempio 10 L isieme Q deiumerirazioaliè umerabile, ed è quidi possibile elecare tutti i suoi elemeti per mezzo di qualche successioe {r }. La desità diq i R permette di cocludere che ogi λ R èuvalorelimitedi{r }, equidiλ = R.

8 36 CAPITOLO 2. SUCCESSIOI Da quest ultimo esempio si vede come la classe limite di ua successioe possa essere ache molto ampia. D altra parte, dal Lemma (2.9) segue che se {a } ammette limite `, allora questo è l uico elemeto della classe limite. Si ècosì portati, i modo aturale a formulare le due segueti domade Domada A Se la classe limite della successioe {a } è costituita da u solo elemeto `, èvero che a ` per +? Domada B Ua successioe può avere classe limite vuota? I segueti risultati, che riportiamo seza dimostrazioe, foriscoo ua risposta a queste domade, e chiariscoo ulteriori aspetti della atura della classe limite di ua successioe. Teorema 2.13 La classe limite Λ di ua successioe {a } o è mai vuota. miimo e massimo (i R). Ioltre, Λ ha Defiizioe 2.14 Il miimo ed il massimo di Λ vegoo detti limite iferiore (o miimo limite) e limite superiore (o massimo limite) di {a }, e soo solitamete deotati co mi Λ =limif a e max Λ =limsupa. Tra le proprietà di queste due quatità, la seguete ci permetterà di dare ua risposta alla Domada A. Teorema 2.15 Siadatalasuccessioe{a }, esialim sup a = L R. Allora, per ogi ε > 0 la successioe èdefiitivamete maggiorata da L + ε. Aalogamete, se lim if a = l R, per ogi ε > 0 la successioe èdefiitivamete miorata da l ε. Corollario 2.16 La successioe {a } èregolareseesoloselasuaclasselimitecotieeusolo elemeto. Le quatità limif a elimsupa possoo ache essere caratterizzate i altro modo. Apartiredalla{a } si possoo defiire due uove successioi che, i geerale, hao valori i R; queste soo b =if k a k =if{a,a +1,a +2,...} c =supa k =sup{a,a +1,a +2,...}. k È abbastaza semplice otare che {b } è mootòa o-decrescete, metre {c } è mootòa o-crescete, per cui etrambe ammettoo limite. Si verifica che i due limiti soo, rispettivamete, lim if a elimsupa, cioè valgoo le relazioi µ lim if a = lim if a k k e lim sup a = lim Ã! sup a k k.