ANALISI E SIMULAZIONE DI SISTEMI DINAMICI. Lezione I: Introduzione ai sistemi dinamici

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1 ANALISI E SIMULAZIONE DI SISTEMI DINAMICI Lezione I: Introduzione ai sistemi dinamici Cosa è un sistema dinamico Un pò di storia Principio di causalità Concetto di stato Esempi di sistemi dinamici 1-1

2 I sistemi dinamici SISTEMA UNIVERSO Descrizione astratta di processi e fenomeni reali Caratteristiche essenziali: 1. Interazione con l universo mediante un interfaccia ben definita 2. Evoluzione nel tempo Modello matematico quantitativo Obbiettivo: Analisi, Sintesi, Predizione, Supervisione, Stima 1-2

3 Un pò di storia I modelli matematici nascono applicati alla Fisica (moto dei pianeti, sistemi termodinamici) Segnano la transizione della fisica da scienza descrittiva e qualitativa a scienza quantitativa! Successivamente: Ingegneria, Chimica. Attualmente: informatica, ecologia, economia, scienze politiche, demografia... XXI secolo: Biologia? 1-3

4 Le origini dell automazione Orologio ad acqua di Ktesibios, III sec. A.C. Idea fondamentale: mantenimento di un livello costante di acqua in un serbatoio In nuce contiente l idea di Retroazione (feedback) 1-4

5 Retroazione nella macchina a vapore Regolatore di Watt Mantiene un afflusso costante di vapore Consente di regolare la velocità del locomotore Problema della stabilità risolto successivamente da Maxwell 1-5

6 Automazione moderna 1 Wilbur Wright, 1901: Men know how to construct airplanes. Men also know how to build engines. Inability to balance and steer still confronts students of the flying problem. When this one feature will be worked out, the age of flying will have arrived, for al other difficulties are of minor importance. Amplificatore di Black 1934: rese possibile grazie all uso del feedback, la trasmissione a lunga distanza di segnali elettrici, aprendo la strada alla telefonia. 1-6

7 Automazione moderna 2 L idea di Feedback fu scoperta e riscoperta molte volte nel corso della storia; spesso con conseguenze rivoluzionarie L automazione moderna nasce quando si realizza che problemi apparentemente diversi tra loro fanno capo ad un unico principio. Perché cosí a lungo? Mancanza di basi teoriche per poter affrontare il problema Impiego di modelli matematici per descrivere processi e meccanismi: teoria dei sistemi e automazione si integrano 1-7

8 Diagrammi a blocchi Disturbi Riferimento + Controllore Attuatore Impianto Uscita Sensore Vantaggi: 1. astrazione 2. riduzione del problema alle sue caratteristiche essenziali 3. condivisione di tecniche sviluppate in campi diversi 4. rappresentazione grafica sintetica 1-8

9 Teoria dei sistemi e biologia La cellula presenta notevoli similitudini con circuiti elettronici Hardware diverso, ma simili principi sottostanti Autoregolazione e retroazione si trovano a tutti i livelli nell attività cellulare 1-9

10 Principio di causalità U Y Partizione delle interazioni con l universo in cause e conseguenze Ingressi ( u ) e Uscite ( y ) Concetto di segnale u(t), y(t). Concetto di passato, presente e futuro. Sistema Causale: y(t) dipende soltanto da u(, t], (e non dipende da u(t, + ]). y(t) = F (u(, t]) Sistema generale (eventualmente non causale): y(t) = F (u(, + )) 1-10

11 Lo stato di un sistema Solo per sistemi causali! Lo stato x(t) è un segnale che contiene l informazione relativa alla storia passata di u(t) sufficiente per determinare l evoluzione futura di y(t). Cioé: y(t, + ) = F (x(t), u(t, + )) Scelta dello stato non univoca! Nota: x(t) = u(, t] è sempre una scelta possibile per lo stato del sistema :-) (ma poco utile :-( ) Meglio se lo stato è piccolo in qualche senso (o minimale). 1-11

12 Esempio: Condensatore i(t) C v(t) Relazione fra tensione v(t) e corrente i(t): v(t) = 1 C t i(s) ds Posso scegliere: i(t) ingresso e v(t) uscita Stato del sistema: x(t) := t Dunque lo stato è in questo caso uno scalare! i(s) ds Infatti: ẋ(t) = i(t) Per la teoria delle equazioni differenziali del primo ordine, conoscendo x(0) e i[0, t] posso determinare x(t) e infine v(t) dato che v(t) = 1 C x(t). 1-12

13 Esempio: Resistenza i(t) R v(t) Legge di Ohm: v(t) = Ri(t) Posso considerare v(t) uscita e i(t) ingresso La legge di Ohm mostra come v(t) dipenda soltanto dal valore di i(t) allo stesso istante (almeno idealmente). Per cui per questo sistema si può scegliere x(t) =. La resistenza è dunque un sistema statico Questo è vero solo in prima approssimazione, visto che per ingressi ad alta frequenza v(t) dipende dal passato di i(t). 1-13

14 Esercizi Si determino ingressi e uscite per i sistemi in figura. Quale è lo stato? u(t) y(t) Nastro trasportatore: Lunghezza nastro L Velocita scorrimento v y Flipper: x 1-14