DIDATTICA DELLA MATEMATICA. 12 Lezione

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1 DIDATTICA DELLA MATEMATICA 12 Lezione

2 Dalla lezione precedente PROBLEMA Quante sono esattamente le versioni possibili del nuovo furgone?

3 Sintetizziamo Sei Motorizzazioni Tre classi di portata Quattro passi Tre altezze Tre destinazioni d uso

4 Primo passo Secondo passo

5 Terzo passo Quindi: = 648 motorizzazioni classi passi altezze destinazioni 648 versioni diverse!!!

6 Il problema richiede di contare tutte le possibilità; è un po complesso perché gli elementi in gioco sono tanti. Se fossero solo due si potrebbe utilizzare una tabella a doppia entrata. Ma, analizzando con calma i vari passaggi, si riesce a capire perché bisogna usare la moltiplicazione per contare tutte le possibilità Così i bambini possono iniziare a prendere dimestichezza con il modo di ragionare e di operare tipici del Calcolo Combinatorio, senza alcun bisogno di introdurne gli strumenti, assolutamente inadatti a questo livello scolare.

7 I problemi nella scuola dell infanzia

8 I problemi e la loro risoluzione rappresentano un elemento costitutivo nella vita di ognuno di noi, a partire dalla più tenera età, come per un bambino di poco più di un anno che vuole scendere da solo dal suo lettino. E come pensare che tale problema non sia pertinente alla matematica? Il bambino deve compiere delle stime metriche per ottenere il risultato che desidera. Per i bambini piccoli il risolvere problemi è caratteristica costante del loro agire perché il mondo a cui si affacciano è assolutamente nuovo e molto spesso sono nuove le situazioni che si trovano ad affrontare; l assumere decisioni è perciò connaturato alla loro esistenza.

9 Si può quindi operare nella scuola dell infanzia per aiutare il bambino a sviluppare un atteggiamento positivo verso la risoluzione dei problemi imparando a costruire ed utilizzare strategie e abituandosi a controllare e correggere il proprio operare sulla base degli effetti prodotti dalle sue azioni.

10 Non è difficile trovare attività normalmente svolte nella scuola dell infanzia che siano ricche di situazioni problematiche, ma esse possono essere pianificate in modo tale che ogni problema sia già risolto all origine; se il docente invece ne riconosce la potenzialità può utilizzarle nel senso detto precedentemente. Si possono comunque costruire giochi o situazioni ad hoc per mettere i bambini di fronte a problemi da risolvere ed osservare le modalità di risposta che utilizzano.

11 Non si tratta di precocizzare in senso disciplinare l approccio, ma di far leva su attività fortemente ancorate a contesti significativi, basate sul fascino della scoperta e in un contesto libero e seriamente giocoso. L esempio che presento è tratto dal testo «Infanzia e matematica» di D Amore, Pinilla, Gabellini, Marazzani, Masi, Sbaragli.

12 Proposta: prepariamo un braccialettino di perle da regalare alla mamma.

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16 OSSERVARE! È molto interessante notare (ed annotarsi) quali modalità strategiche i bambini mettono in atto per eseguire le consegne: Nel contare le perline, le contano a gruppi o in sequenza? Nel distribuire le perle si danno una per una o ad ognuno si assegna da subito la quantità prestabilita? I bambini si accorgono di eventuali errori? Se vedono che il loro compagno fa un errore come reagiscono? Propongono strategie alternative?.

17 Operazioni di tipo aritmetico e logico connesse all attività Numerazione Conteggio Addizione, moltiplicazione ( e sottrazione in caso di errori) Distribuzione di quantità Ordinamento Successione Classificazione in base ad un attributo Riconoscimento di attributi Corrispondenza uno ad uno Costruzione di insiemi equinumerosi Situazioni di distribuzione di quantità

18 I problemi nel primo ciclo della scuola primaria Alcuni metodi

19 I problemi con variazione (Una metodologia didattica della scuola cinese: i problemi con variazione Bartolini Bussi-articolo allegato) I problemi con variazione sono una pratica didattica cinese : sono sequenze di problemi collegati al fine di comprendere un concetto, padroneggiare un metodo di soluzione o compiere una generalizzazione. In una sequenza di problemi sono mantenute le caratteristiche essenziali del concetto matematico, mentre sono modificate le caratteristiche non essenziali, al fine di mostrare agli studenti quali sole le une e quali le altre. Attraverso questa variazione sistematica, gli studenti sono condotti ad apprendere metodi di soluzione nuovi a partire da metodi di soluzione già noti.

20 Tale metodologia pervade tutto il corso di studi degli studenti cinesi, tanto che questi problemi sono sistematicamente adottati anche nelle valutazioni predisposte al termine di ogni ciclo d'istruzione e negli eserciziari suggeriti agli studenti per la preparazione individuale. Qui ci riferiremo solo ai problemi additivi dell inizio della scuola primaria.

21 È da precisare innanzitutto che i problemi additivi sono considerati nel loro complesso, senza distinguere tra quelli di addizione e quelli di sottrazione. Già in un trattato cinese del 1274 compare: Nel metodo di addizione il numero aumenta, mentre nel metodo di sottrazione un numero è tolto. Tutte le volte che c'è un'addizione, c'è una sottrazione. Chi impara il metodo di 'sottrazione' deve verificare il risultato applicando il metodo di 'addizione' alla soluzione del problema. Ciò permetterà a ciascuno di comprendere il metodo nelle sue origini

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27 N.B. si noti come, passando da una riga alla successiva, il problema, pur richiedendo la stessa operazione, aumenta di complessità per il modo con cui è presentato.

28 Schema sintetico A partire dagli anni 80 si sono raccolti, a livello internazionale, i risultati delle ricerche condotte in vari paesi riguardanti i problemi di addizione e sottrazione nei primi anni di scuola. I contributi più significativi sono di Carpenter &Moser e di Vergnaud. Si è giunti ad una classificazione riassunta nello schema che segue.

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30 CONCLUSIONE A cosa servono i problemi con variazione? Non servono a sviluppare il calcolo aritmetico, ma servono per sviluppare negli alunni le competenze matematiche utili per riuscire a cogliere in un oggetto, come la situazione problematica, una pluralità di modi di soluzione differente. A cosa potrebbero servire? Questo tipo di modalità di affrontare i problemi, svolta in parallelo con le attività classiche, attiva negli alunni capacità di riflessione di tipo pre-algebrico, facilitando la possibilità di sviluppare competenze legate alla relazioni tra grandezze, tra situazioni problematiche, tra operazioni, etc, come richiesto nelle Indicazioni Nazionali

31 «In generale i futuri insegnanti si stupiscono della varietà: uno stesso contesto suggerisce situazioni problematiche diverse (prospettive diverse con cui guardare allo stesso contesto).. In Cina i problemi con variazione non sono casi di strategie didattiche adottate da singoli insegnanti, ma sono rappresentativi di un complesso sistema storico - culturale. Anche se non è quindi ipotizzabile una trasposizione pura e semplice della metodologia al caso italiano, una maggiore flessibilità nella individuazione di situazioni problematiche a partire dallo stesso contesto potrebbe essere utile agli insegnanti italiani» (art. citato)

32 Metodo Vallortigara: costruire problemi con le storie «Il punto di partenza è stato quello di considerare il bambino inserito nei suoi contesti e ambienti di vita quotidiana, aiutandolo a scoprire, costruire e imparare ad usare codici, alfabeti e sintassi, adeguati alla sua età, per rappresentare situazioni problematiche realmente vissute, significative dal punto di vista matematico (vedi programmi 85 circa l importanza e la funzione di stimolo del contesto, delle dinamiche relazionali socio affettive con i pari e con l adulto).» (Una proposta di problem solving nell apprendimento logico matematico del primo ciclo elementare G:S. Vallortigara articolo allegato)

33 L interesse che è alla radice del metodo è quello di fare «un percorso che abbia come finalità quella di educare la razionalità, non dentro la Matematica, ma attraverso la Matematica come ha fatto presente Paola Longo Dip.to di Matematica Politecnico di Torino.»

34 «Per fare ciò si cerca di sollecitare nell alunno le capacità di attenzione, di osservazione e di riflessione critica nel confrontarsi con la realtà, ma anche l immaginazione e la creatività, in modo da permettergli di costruirsi un immagine non riduttiva del pensiero matematico. Cioè metterlo di fronte al fatto che tale pensiero non consiste solo di regole e procedure, ma anche di relazioni e rappresentazioni, che strutturano un linguaggio complesso in cui significanti, significati e simboli operano a livelli diversi d astrazione. Il mettere i bambini nella situazione di operare come scopritori/inventori di problemi, ha permesso loro di iniziare a costruire connessioni significative tra forme analogiche di linguaggio e il linguaggio verbale, e nello stesso tempo di scoprire, praticandola, l importanza della verbalizzazione nelle strategie di risoluzione.»

35 Le storie per raccontare ed operare Il termine storia è stato scelto dai bambini e si riferisce ad un insieme di azioni collegate tra loro, che possono essere messe in sequenza e quindi raccontate come una storia. La storia, attraverso la sua rappresentazione, crea un momento d incontro estremamente efficace tra il racconto del proprio vissuto e la lettura per immagini, tra il linguaggio parlato e il linguaggio analogico.

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37 Il primo passo riguarda la lettura dei QUADRI : ogni storia deve essere letta nei suoi dettagli sottolineando in modo particolare la cronologia degli avvenimenti.

38 La lettura da parte del bambino è molto importante perché gli fa cogliere molteplici aspetti tutti presenti nelle strip: temporale: il prima e il poi; il tipo di azione (spartizione, oppure resto, addizione) che, da una precisa situazione iniziale, ne crea una finale diversa; la corrispondenza biunivoca che viene sottolineata nelle varie operazioni; la conservazione della quantità; la modalità stessa della rappresentazione iconica che, nella successiva fase della rappresentazione simbolica, diverrà la base sulla quale si svilupperà il ragionamento astratto; il percorso di lettura che può essere invertito; (dalla situazione finale a quella iniziale) ed infine, da non trascurare, il fatto che il bambino quando legge la storia in realtà racconta se stesso ed è ascoltato con attenzione da un adulto.

39 Il secondo passo,quando ormai tutti sono diventati esperti lettori, è l introduzione di giochi: - indicate dove sono andati a finire gli oggetti che si trovano nel primo quadro, - leggete la storia alla rovescia partendo dalla situazione finale, - provate a cambiare il numero di oggetti iniziali e ricostruite la storia, - cambiate il numero di oggetti finali e ricostruite la storia.

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42 Nel vissuto del bambino ci sono tante storie da raccontare, tanti personaggi con i quali giocare, tanti oggetti da disegnare ma alla fine vi è un unica rappresentazione: la forma algoritmica. In questo modo l algoritmo diventa significativo per il bambino perché sintetizza una storia. E importante condurre il bambino con gradualità verso il linguaggio simbolico che, essendo graficamente sempre più staccato dalle realtà che esprime, è l unico che può esprimere una moltitudine di situazioni (storie) analoghe. Si va verso un astrazione che appartiene al mondo aritmetico.

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44 Il passo successivo è avviare il bambino ad un livello superiore: quello di utilizzare le sue capacità descrittive per creare delle situazioni problematiche. In altri termini il bambino da narratore di storie diventa costruttore di problemi usando come strumenti le strip. Lo scherzetto è un gioco che consiste nel nascondere una parte della storiastrip per renderla difficile da leggere.

45 In conclusione

46 ESERCIZI VARI 1)Giustificare con un esempio che la simmetria centrale è una isometria diretta. 2) Sommare e sottrarre345 6 e254 6, spiegando perché le procedure seguite sono le stesse che nel sistema decimale. 3) Costruire un problema sul tema dell equivalenza di figure piane, che utilizzi anche le percentuali. Rappresentarlo e risolverlo. 4) Con i numeri 12, 5 e relative composizioni scrivere un problema in un contesto di a) Cambio b) Confronto c) Combinazione d) Uguaglianza