Disposizioni semplici. Disposizioni semplici esercizi

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1 Disposizioi semplici Ua disposizioe (semplice) di oggetti i k posti (duque 1 < k < ) è ogi raggruppameto di k oggetti, seza ripetizioi, scelti fra gli oggetti dati, cioè ciascuo dei raggruppameti ordiati di k elemeti che si possoo formare co gli elemeti di u isieme. I raggruppameti si dicoo disposizioi semplici di oggetti distiti di classe k o presi a k a k. Tale umero si idica co il simbolo D k, e si dimostra che Dk, ( 1) ( 2)... ( k 1) cioè il prodotto di k umeri cosecutivi decresceti a partire da Disposizioi semplici esercizi 1 Co 10 oggetti distiti, quate quatere ordiate posso costruire? 2 Se ho 10 ragazzi, i quati modi posso scegliere u portiere, u raccattapalle e u arbitro? 3 Ai migliori studeti di ua scuola, vegoo assegati 3 premi di diverso valore, per sorteggio. I quati modi diversi possoo essere distribuiti i premi? Ua società formata da 100 soci deve omiare u presidete, u vicepresidete, u segretario, e u tesoriere. Quate scelte soo possibili? I u plotoe di 2 militari, bisoga scegliere, u addetto alle pulizie, u addetto alla cucia, e ua setiella. Quate scelte soo possibili? 6 Quate parole, ache prive di sigificato si possoo costruire usado 3 lettere distite dell alfabeto italiao? 7 I quati modi diversi 7 persoe si possoo sedere su poltroe allieate di u ciema? 8 Avedo a disposizioe sei atleti per ua staffetta x100, i quati modi posso stabilire la successioe ordiata degli atleti? 9 I quati modi 1 persoe si possoo distribuire i 8 posti allieati al ciema? Gli oggetti (10) soo distiti, i gruppi soo (<10) e cota D10, I ragazzi (10) soo distiti e il portiere, il raccattapalle e l arbitro soo ruoli (3 < 10) diversi, cota D10, Gli studeti () soo distiti e i premi (3 < ) soo di diverso valore, cota D, I soci (100) soo distiti e il presidete, il vicepresidete, il segretario, e il tesoriere soo ruoli diversi, cota D100, I militari (2) soo distiti e i ruoli (3 < 2) diversi, cota D2, Le lettere dell alfabeto (21) soo distite e le parole soo formate da 3 < 21 lettere distite, cota D21, Le persoe (7) soo distite e le poltroe ( < 7) ache, cota D7, Basta cosiderare le disposizioi semplici. D6, Le persoe (1) soo distite, i gruppi soo 8 (<1) e cota l ordie D1,

2 10 Calcolare il umero dei modi i cui uo studete può scegliere ordiatamete di leggere libri da u isieme di 8 11 I ua gara co 0 cocorreti, quate soo le classifiche dei primi 3? 12 Tra tutti i umeri di 6 cifre, tutte diverse tra loro, quati soo quelli le cui prime 3 cifre soo dispari e le restati pari? I libri (8) soo distiti e quelli da leggere ( < 8) soo ordiati. D8, Gli atleti (0) soo distiti e il podio è formato da 3 posti, cota D0, Devo disporre i ordie, seza ripetizioi, tre cifre pari scelte tra (0,2,,6,8) D, e poi, ad ogua di queste 60 disposizioi, devo accodare u qualsiasi delle altre disposizioi delle tre cifre dispari, ordiate e seza ripetizioi, scelte tra (1,3,,7,9) D, Il totale è perciò 60x60=3600 Per le disposizioi formula alterativa che usa il fattoriale D, k! k! dove k 0!=1 2

3 Ua permutazioe (semplice) di oggetti è ogi raggruppameto di oggetti distiti i caselle, cioè ciascuo dei possibili raggruppameti di elemeti che differiscoo solo per l'ordie i cui ogi elemeto compare. Spieghiamo meglio. Le permutazioi semplici degli oggetti di A soo le disposizioi semplici dei predetti oggetti a a. Si deduce che due qualsiasi permutazioi semplici differiscoo solo per l ordie co cui soo disposti gli oggetti distiti i esse coteuti. Si idicao co il simbolo P e soo pari al prodotto di umeri cosecutivi decresceti da a 1 P ( 1) ( 2) ! Il simbolo! idica il fattoriale di u umero ed è pari al prodotto di umeri cosecutivi decresceti da a 1. Quidi dati oggetti essi si possoo mettere i fila (o coda o coloa) i! modi diversi. Osservazioi o U solo oggetto si può mettere i fila i u solo modo, quidi 1! 1. o Se o ci soo oggetti l uica fila possibile è quella vuota. Quidi 0! 1 o Vale la regola! ( 1)! ( 1) ( 2)! - esercizi 1 Cique amici, Adrea, Baldo, Carlo, Daria e Erico si rivedoo dopo tato tempo e decidoo di fare ua foto per immortalare l icotro. Si dispogoo allieati, secodo u ordie prestabilito. Quate foto co disposizioi diverse possoo essere scattate? 2 Aagramma di ua parola di lettere distite. 3 U egoziate deve eseguire cosege i posti diversi della città. Determiare il umero di modi i cui tali cosege devoo essere effettuate. persoe hao a disposizioe sedie; i quati modi le possoo occupare? Nella 1 posizioe ho possibilità (i amici), ella 2 posizioe e ho (devo escludere la scelta fatta precedetemete), ella 3 e ho 3, ella e ho 2, ella ua soltato. di elemeti P! 120 P! Per la 1 cosega ha possibili zoe, per la 2 cosega e ha (devo escludere la scelta fatta precedetemete), ella 3 e ha 3, ella e ha 2, ella ua soltato. di elemeti P! 120 Atleti distiti, cota l ordie, gruppi di k elemeti = P!

4 Quati aagrammi che iiziao co M possoo essere composti co la parola MELA? 6 I 20 bambii di ua classe di asilo vegoo messi i fila dalla maestra. I quati modi possoo disporsi? 7 I u mazzo di carte siciliae (formato da 0 carte), quati soo i possibili esiti della mischiata. 8 Per il mio compleao mi hao regalato 7 libri; i quati sequeze possibili posso leggere i 7 libri 9 I quati modi si possoo disporre 3 ragazzi e 3 ragazze per ua foto di gruppo, sistemado i 3 ragazzi accovacciati e le 3 ragazze i piedi dietro di loro? Dato che il primo posto è occupato dalla lettera M, basta permutare le altre 3 lettere. P3 3! P20 20! Si formao gruppi di 0 carte, formate da elemeti distiti. P0 0! Libri distiti, cota l ordie, gruppi di k elemeti = P7 7! I ragazzi si possoo disporre i 3! = 6 modi diversi. Aalogamete le ragazze si possoo disporre i altrettati 3! = 6 modi distiti. Poiché la disposizioe dei ragazzi o iflueza quello delle ragazze, il umero dei modi complessivi è il prodotto dei sigoli modi

5 Disposizioi co ripetizioe Ua disposizioe co ripetizioe di oggetti i k posti è ogi raggruppameto di k oggetti scelti fra gli, ma seza l obbligo di usare u oggetto al massimo ua volta. D ' k, k Disposizioi co ripetizioe - esercizi 1 Utilizzado i 3 simboli A,B, C, quate strighe di lettere posso costruire? 2 Quate soo le possibili coloe del totocalcio (attuale co 1 partite)? 3 Se si lacia 10 volte ua moeta, quate soo le sequeze possibili? Ua password è costituita da ua sequeza di lettere (scelte fra le 26 dell alfabeto iglese), e da ua sequeza di 3 cifre (da 0 a 9), lettere e cifre che si possoo ripetere. Quate password distite soo possibili? I u ura soo preseti 3 pallie di colore rosso, ero, e biaco. Effettuado estrazioi e rimettedo di volta i volta la pallia estratta ell ura, quate possibili sequeze di colori ottego? 6 Dispoedo di badiere di 7 colori diversi, quati messaggi differeti si possoo formare usado badiere per volta. 7 Quati umeri di 3 cifre si possoo costruire co i primi umeri aturali? Gli oggetti (3) soo distiti e si possoo ripetere i ua sequeza ordiata di >3 elemeti. D' , Gli oggetti (3) soo distiti e si possoo ripetere i ua sequeza ordiata di 1 > 3 elemeti. 1 D' 3 3,1 Poiché dal lacio di ua moeta si può otteere solo T o C (2 oggetti), ella sequeza ordiata di 10 moete, si ripetoo più volte. Disposizioi co ripetizioe. 10 D' ,10 Le lettere (26) e le cifre (10) soo distite e si possoo ripetere; poiché la costruzioe della parte letterale è idipedete da quella umerica, il umero di password è dato dal prodotto di due diposizioi co ripetizioe 3 D' D' , 10,3 I colori (3) soo distiti e si possoo ripetere i ua sequeza ordiata di >3 elemeti. D' , I colori delle badiere (7) soo distiti e si possoo ripetere i ua sequeza ordiata di elemeti. D' , I umeri () si possoo ripetere ella sequeza ordiata di 3 cifre. Disposizioi co ripetizioe. 3 D' 12,3