Corso di Algoritmi e Strutture Dati Informatica per il Management Prova Scritta, 25/6/2015

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1 Corso di Algoritmi e Strutture Dati Informatica per il Management Prova Scritta, 25/6/2015 Chi deve recuperare il progetto del modulo 1 ha 1 ora e 30 minuti per svolgere gli esercizi 1, 2, 3 Chi deve recuperare il progetto del modulo 2 ha 1 ora e 30 minuti per svolgere gli esercizi 4, 5 e 6 Chi deve sostenere la prova completa ha 2 ore e 30 minuti per svolgere tutti gli esercizi proposti. Durante la prova è consentito consultare libri e appunti. Non è consentito l'uso di dispositivi elettronici (ad esempio, cellulari, tablet, calcolatrici elettroniche...), né interagire in alcun modo con gli altri studenti pena l'esclusione dalla prova, che potrà avvenire anche dopo il termine della stessa. Le risposte devono essere scritte a penna, in modo leggibile e adeguatamente motivate. Le parti scritte a matita verranno ignorate. Le risposte vanno scritte solo su questi fogli; eventuali altri fogli possono essere utilizzati per la brutta copia ma non verranno corretti. I voti saranno pubblicati su AlmaEsami e ne verrà data comunicazione tramite la mail di Ateneo. I voti 18 devono essere accettati o rifiutati secondo le indicazioni fornite sulla pagina web del corso; i voti non accettati verranno registrati come ritirato. BARRARE LA CASELLA CORRISPONDENTE ALLA PARTE SVOLTA Svolgo solo la parte relativa al modulo 1 (esercizi 1, 2, 3); Svolgo solo la parte relativa al modulo 2 (esercizi 4, 5, 6); Svolgo tutto il compito NON SCRIVERE NELLA TABELLA SOTTOSTANTE Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 Es. 6 / 4 / 2 / 4 / 4 /2 / 4 / 4 / 2 / 4 / 2

2 Esercizio 1. Consideriamo una lista concatenata L (pensate ad una LinkedList Java) in cui ciascun nodo n contiene un numero intero n.val. Vogliamo costruire una seconda lista Lc che rappresenta una versione compressa di L, utilizzando la tecnica Run Length Encoding. Ogni sequenza di k nodi contigui in L contenenti tutti lo stesso valore intero x viene rappresentata da un singolo nodo m nella lista Lc contenente due attributi interi, m.count := k e m.val := x. Ad esempio, la lista seguente: viene compressa nella lista seguente: val = 13 count = 3 val = 25 count = 2 val = 13 count = 4 val = 9 count = 1 val = 26 count = 2 Scrivere un algoritmo efficiente che, data in input la lista L, costruisca e ritorni una nuova lista Lc rappresentante la versione compressa di L secondo le indicazioni sopra. Nota: Lc deve avere il minimo numero possibile di nodi. [punti 4] Determinare il costo asintotico dell'algoritmo proposto; indicare esplicitamente che costi si assumono per le operazioni sulle liste concatenate usate nel proprio algoritmo (è possibile fare assunzioni ragionevoli). [punti 2]

3 Esercizio 2. Riportare le espressioni 10 n nlog n log(2n) n n 2 n(n 1)/2 n+logn 2 n nella tabella sottostante, in modo che compaiano in ordine asintotico crescente (la prima funzione a sinistra deve essere quella che asintoticamente cresce più lentamente, l'ultima funzione a destra deve essere quella che cresce asintoticamente più velocemente). cresce più lentamente cresce più velocemente [punti 2] Si considerino le funzioni sottostanti. Tracciare una linea che collega ognuna delle funzioni a sinistra con il limite asintotico più accurato tra quelli che si trova nella colonna di sinistra (una soluzione è già mostrata) n n n(n+1)/2 n 2 log n n log n 2 n + 128n 4 O(log n) O(n 2 ) O(n 3 ) O(4 n ) log( n 2 ) [punti 2]

4 Esercizio 3. Una rete di distribuzione idrica è rappresentata da un albero binario generico. L'acqua viene immessa nella radice con una portata di R metri cubi/secondo (valore reale positivo). Le foglie rappresentano pozzi, ossia punti in cui l'acqua viene estratta dal sistema per essere utilizzata. Tutti i nodi non foglia ricevono acqua dal proprio padre e la distribuiscono uniformemente tra figli. Questo significa che se un nodo riceve un flusso di x m 3 /sec dal proprio padre, e ha due figli, ciascuno di loro riceverà x/2 m 3 /sec; se il nodo ha un solo figlio, esso riceverà x m 3 /sec. Ad esempio, considerando l'albero seguente e supponiamo che la radice riceva 100 m 3 /s di acqua; i rimanenti nodi ricevono un flusso pari a quello indicato Notate che il flusso si conserva: se la radice riceve 100 m 3 /s, la somma complessiva dei flussi ricevuti dalle foglie (indicate in grassetto) sarà ancora 100 ( = 100). Scrivere un algoritmo ricorsivo che, dato in input l'albero T e il valore del flusso R ricevuto dalla radice, setta per ciascun nodo v di T l'attributo reale v.f al valore del flusso ricevuto da quel nodo, in base alle regole sopra (la radice deve venire etichettata con v.f = R). E' vietato fare uso di variabili globali. [punti 4] Determinare il costo asintotico dell'algoritmo proposto, motivando la risposta. [punti 2]

5 Esercizio 4. Si consideri una tabella hash con m 1 slot, gestita mediante indirizzamento aperto; la sequenza di ispezioni è prodotta dalla funzione: h(k,i)=(k+3 i)mod m dove k rappresenta la chiave intera, e i rappresenta l'indice del tentativo di inserimento i = 0, 1,, m - 1; quindi la sequenza di ispezione per una chiave k è h(k, 0), h(k, 1), h(k, m - 1). Il prof. Tarcisio Frego (T. Frego) afferma che la funzione hash di cui sopra funziona perfettamente per qualsiasi valore m 1. Ritenete questa affermazione corretta? Motivate la risposta. [punti 4]

6 Esercizio 5. Un magazzino di materie plastiche ha una capienza di C cm 3 (intero positivo). Disponiamo di n sacchi numerati da 1 a n contenenti plastica in grani, tali che il sacco i-esimo abbia un volume di V[i] cm 3 (intero positivo), 1 i n. La somma dei volumi dei sacchi potrebbe risultare maggiore di C, quindi non è detto che sia possibile stiparli tutti nel magazzino. Non esiste limite al numero di sacchi che il magazzino puo' contenere, ma esiste solo il limite di capienza complessiva C. I sacchi non possono essere aperti, quindi ciascuno deve essere inserito interamente nel magazzino, oppure escluso. Scrivere un algoritmo efficiente che, dato in input l'array V[1..n] dei volumi dei sacchi e la capienza C del magazzino, determina il massimo volume minore o uguale a C che puo' essere riempito selezionando un opportuno sottoinsieme di sacchi. Ad esempio, se C = 100 e V = [40, 9, 10, 18, 40, 15, 37], il programma stampa 99, in quanto il massimo volume minore o uguale a 100 che è possibile riempire si ottiene selezionando i sacchi 1, 2, 3, 5 aventi volume complessivo pari a = 99. [punti 4] Determinare il costo asintotico dell'algoritmo proposto, motivando la risposta. [punti 2]

7 Esercizio 6. Dato un grafo orientato G = (V, E), un nodo t V si chiama pozzo universale se è possibile raggiungere t partendo da ogni altro nodo s V (ricordiamo che un nodo è sempre raggiungibile da se stesso). Descrivere un algoritmo efficiente che, dato in input un grafo orientato G e un nodo t, restituisce true se e solo se t è un pozzo universale. [punti 4] Determinare il costo asintotico dell'algoritmo proposto. [punti 2]