INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

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1 Liceo Scietifico -Idirizzo giuridico ecoomico aziedale -Idirizzo operatore turistico Via Rossi/Casacampora, Ercolao (Na) Tel. (+39) (+39) Fax (+39) Cod. Mecc NAISO00G - C.F ais000g@istruzioe.it INTRODUZIONE ALLA STATISTICA NOTE STORICHE SULLA STATISTICA Riassumiamo brevemete le prime otizie storiche riguardo all utilizzo della statistica. Cia a.c.: aotazioi e coteggi di abitati, terrei Bibbia: coteggio degli Ebrei Impero Romao: "Cesus" ogi 5 ai Dal XV secolo viee defiita la Statistica come "Scieza descrittiva degli Stati" (compaioo opere coteeti dati demografici ed ecoomici) XVIII secolo G.Achewall - Uiversità di Gottiga Comparsa delle prime tabelle comparative delle risorse geografiche ed ecoomiche dei vari Stati XIX secolo Itroduzioe, elle idagii Statistiche, del Calcolo delle Probabilità (Laplace, Pascal, Fermat) XX secolo La Statistica diveta ua scieza autooma. Sempre maggiore diffusioe... e abuso!!! (esempio sodaggi commerciali, elezioi politiche,.) CHE COSA E LA STATISTICA La statistica idaga su feomei collettivi, cioè su feomei che riguardao u isieme di idividui, oggetti, bei raccogliedo iformazioi relative ad essi traducedole poi i u modello umerico che possa essere aalizzato semplicemete. Il gruppo preso i esame è defiito co il termie popolazioe. Il sigolo elemeto della popolazioe è detto idividuo o uità statistica. Facciamo alcui esempi di popolazioi statistiche: I cittadii che hao il diritto al voto elle elezioi per il Parlameto. Gli abitati della Fracia. Le autovetture i circolazioe attualmete i Italia. Le aziede tessili i Liguria. Pag. /4

2 Gli studeti di ua Istituzioe Scolastica Le abitazioi esisteti i ua cittadia lo studio della statistica può essere suddiviso i due parti: STATISTICA DESCRITTIVA Raccoglie ed elabora i dati per studiare u feomeo collettivo STATISTICA INDUTTIVA Si occupa dei metodi per stimare u feomeo collettivo a partire da u campioe ricavato da esso. FASI DELLA STATISTICA DESCRITTIVA Le pricipali fasi della statistica descrittiva le riportiamo di seguito: RACCOLTA DATI RAPPRESENTAZIONE DEI DATI ELABORAZIONE DATI Piao rilevazioe tabelle grafici Calcolo medie e idici variabilità LA RACCOLTA DEI DATI CHE COSA RILEVARE? I caratteri che formao l oggetto di ua rilevazioe statistica, possoo essere: Qualitativi, espressi i forma verbale, sovete rappresetata da aggettivi. Esempi: il colore; la azioalità; lo stato civile; l affidabilità; l attitudie ai lavori mauali; l attitudie agli studi Quatitativi, espressi da umeri. Esempi: la statura, il peso, il umero di staze di u appartameto Le modalità di u carattere quatitativo sarao, allora, espresse da umeri, che si chiamao ache i valori di quel carattere. Pag. /4

3 I caratteri qualitativi si possoo classificare i: Scoessi: relazioi di diversità (es. colore dei capelli) Ordiati: relazioi d ordie (es. grado d istruzioe) I caratteri quatitativi, ivece, si possoo classificare i: Discreti: isieme fiito o ifiito umerabile (es. umero compoeti di ua famiglia) Cotiui: carattere espresso co u umero reale (es. altezze di u certo gruppo di idividui) COME RACCOGLIERE I DATI? La raccolta dei dati può avveire attraverso l utilizzo di: SCHEDE QUESTIONARI INTERVISTE (ANCHE TELEFONICHE) EXIT POLL Tipo della rilevazioe Totale : viee effettuata su tutte le uità statistiche della popolazioe (cesimeto) costi elevati e tempi elevati risultati affidabili Parziale (o campioaria): viee effettuata su ua parte (o campioe) della popolazioe costi coteuti rapidità risultati approssimati Occasioale: fatta "quado serve sodaggi d'opiioe Periodica: fatta regolarmete "ogi tato tempo cesimeto (0 ai) COME RAPPRESENTARE I DATI? Ua volta raccolti i dati, essi devoo essere rappresetati. Il modo più semplice ed immediato per rappresetare i dati è costituito da tabelle. La rappresetazioe può avveire el modo seguete: SERIAZIONE STATISTICA: Tabella coteete frequeze di itesità di u carattere QUANTITATIVO SERIE STATISTICA: Tabella coteete frequeze di modalità di u carattere QUALITATIVO SERIE STORICHE: Tabella coteete itesità di u carattere QUANTITATIVO rilevato per modalità TEMPORALI( p.es. le vedite di automobili egli ultimo 0 ai) Pag. 3/4

4 NUMERO N.APPARTA TITOLO DI N.PERS ONE 300 lic.eleme lic. Media diploma laurea Serie statistica Seriazioe statistica Pag. 4/4

5 Peso (i grammi) N eoati ANNO VENDITE AUTO Seriazioe statistica co dati divisi i classi Si suddividoo i dati i classi quado il carattere aalizzato è cotiuo Serie temporale Pag. 5/4

6 Il umero che rappreseta quate uità statistiche presetao u certo carattere prede il ome di frequeza assoluta o itesità di quella modalità. L isieme delle coppie ordiate(modalità, frequeza assoluta) si dice distribuzioe di frequeze, cioè ua fuzioe che può essere rappresetata elecadoe tutte le coppie orgaizzate i ua tabella. E possibile calcolare ache le cosiddette frequeze relative che possoo ache essere espresse i forma percetuale Frequeza assoluta o itesità è il umero di idividui il cui carattere assume u determiato valore. Frequeza relativa è il rapporto tra la frequeza assoluta e la totalità della popolazioe statistica su cui si sta svolgedo l idagie. Frequeza percetuale è semplicemete la frequeza relativa espressa i termii percetuali. Come esempio si riportao i risultati su u idagie codotta su u gruppo di 50 persoe relativa al umero di sigarette fumate ogi gioro: Carattere Frequeza assoluta Frequeza relativa Frequeza percetuale 0 0 0,4 40 % 40% 5 0 0, 0 % 60% 0 0 0, 0 % 80% 5 5 0, 0 % 90% Frequeza cumulata 0 5 0, 0% 00% TOTALE 50 00% Frelativa = Fassoluta / Totale Talvolta può essere utile calcolare ache la frequeza cumulata (percetuale o relativa) Pag. 6/4

7 USO DEI GRAFICI I dati raccolti i tabelle possoo essere rappresetati ache attraverso grafici che offroo il vataggio di ua descrizioe del feomeo i forma visiva. Per la rappresetazioe grafica dei caratteri qualitativi vegoo utilizzati i segueti tipi di grafici: Ortogrammi o grafici a coloe Diagrammi circolari o areogrammi Ideogrammi Cartogrammi Ortogrammi Questi grafici soo costituiti da rettagoli ialzati i corrispodeza ai diversi caratteri che si cosiderao e hao: basi uguali e altezze proporzioali alle frequeze. Domada.5 Qual è il modo migliore per ricevere comuicazioi e iformazioi dalla scuola cellulare iteret posta diario modulo lib.giust. telefoo PROGRAMMATORI GEOMETRI IGEA NON SPECIFICATO TOTALE Pag. 7/4

8 Diagrammi circolari o aerogrammi Si ottegoo dividedo u cerchio i settori circolari aveti agolo al cetro proporzioale alle frequeze o itesità che rappresetao % 3% 5% % 9% 6% 3% % A B C D E F G H Diagrammi circolari Torta tridimesioale % 3% 5% % 9% 6% 3% % A B C D E F G H Pag. 8/4

9 Ideogrammi Soo rappresetazioi mediate figure stilizzate che rappresetao il feomeo studiato Cartogrammi Soo utilizzati per rappresetare serie territoriali Ivece per quato riguarda le distribuzioi statistiche di carattere quatitativo si usao pricipalmete i segueti grafici: Diagrammi cartesiai Istogrammi Diagrammi polari Pag. 9/4

10 Aalizziamo ora i particolare i pricipali tipi di grafici: Diagrammi cartesiai soo usati soprattutto per le serie temporali e possoo essere sia discreti che cotiui Istogrammi Si usao per rappresetare seriazioi cotiue co i dati Le altezze dei rettagoli soo proporzioali alle frequeze raggruppati i classi. Istogramma delle altezze 9 8 frequeze assolute < >95 classi Pag. 0/4

11 Diagrammi polari soo usati per particolari serie storiche co carattere di ciclicità veerdì luedì asseze martedì asseze giovedì mercoledì Pag. /4

12 ELABORAZIONE DEI DATI Questa fase serve ad esprimere i modo sitetico i risultati dell idagie svolta calcolado degli idici: valori medi idici di variabilità I valori medi Il valore medio è u valore che esprime ua tedeza cetrale. Secodo Cauchy la media di u isieme è u valore compreso tra il miimo e il massimo. Medie di calcolo : soo quelle che si calcolao teedo coto di tutti i valori della distribuzioe o Media aritmetica e sue proprietà o Media Geometrica o Media quadratica o Media armoica Medie di posizioe : soo quelle che si calcolao teedo coto solo di alcui valori della distribuzioe o Mediaa o Moda o valore ormale Pag. /4

13 MEDIA ARITMETICA M = x + x + x Questa viee chiamata media semplice ed è utilizzata quado i valori rilevati o soo riportati co le frequeze x f + x f + x f M = = N Σ x f Σ f Questa viee chiamata media poderata ed è utilizzata quado i valori rilevati hao frequeze diverse PROPRIETA DELLA MEDIA ARITMETICA Si defiisce scarto della media aritmetica la differeza tra il valore osservato e la media stessa xi M La somma degli scarti positivi dalla media aritmetica è uguale, i valore assoluto, a quella degli scarti egativi, e quidi la somma algebrica di tutti gli scarti dalla media è uguale a zero. Pertato e cosegue che: ( xi M ) = 0 Se i valori soo tutti positivi e o ulli si può calcolare la media geometrica. MEDIA GEOMETRICA Si defiisce media geometrica dei valori x, x,, x, quel umero G che sostituito ai valori xi lascia ivariato il loro prodotto: G= x x... x che è la media geometrica semplice. Nel caso di valori xi co frequeze o pesi yi, si ha media geometrica poderata : Dove f soo le frequeze G= x f x f... x f Pag. 3/4

14 = f i QUANDO USARE LA MEDIA GEOMETRICA? La media geometrica viee utilizzata quado si vuole aalizzare il variare di u feomeo el tempo, per esempio il tasso di variazioe dei prezzi o i tassi di redimeto di capitali. ESEMPIO U capitale è stato impiegato per 4 ai al tasso del %, per altri 3 ai al tasso del 3 % ed i fie per ai al tasso del 5%. Per il calcolo del tasso medio si può impiegare la Media Geometrica Poderata: i= 0,0 0,03 0, LA MEDIA QUADRATICA Q= x + x x Media quadratica semplice Q= x f + x f +... x f Media quadratica poderata Dove f soo le frequeze dove = fi La media quadratica è quella co valore maggiore e viee usata per mettere i evideza i valori che si scostao molto dai valori cetrali Pag. 4/4

15 LA MEDIA ARMONICA A= x x x Media armoica semplice Media armoica poderata A= f x f f x x Dove f soo le frequeze e dove = fi Questa media è utilizzata quado ha sigificato il calcolo del reciproco di ua certa gradezza. Per esempio si defiisce potere di acquisto di ua moeta la quatità di bei acquistabile co ua uità di tale moeta. Se, per esempio u prodotto costo 0,85 euro il potere di acquisto riferito a tale bee è: /0,85. Ora suppoiamo che uo stesso prodotto i 4 città differeti abbia i segueti prezzi: Milao 0,85 euro Torio 0,90 Roma 0,75 Bari 0,70 Il potere di acquisto medio sarà 0,85 + 0, ,75 + 0,70 LA MEDIANA Dati u isieme di valori x, x, x3,. x ordiati si defiisce Mediaa il valore che bipartisce la successioe. Ovvero il valore cetrale se il umero dei termii è dispari La media aritmetica dei due valori cetrali se il umero dei termii è pari. Esempio: Calcolare la Mediaa dei segueti valori: Il Valore 9 è quello che sta i cetro ed è pertato la mediaa Pag. 5/4

16 Esempio: Calcolare la Mediaa dei segueti valori: La mediaa è la media aritmetica dei due valori cetrali (36+38)/ = 37 Se si ha ivece ua distribuzioe di frequeze, occorre calcolare le frequeze cumulate. Idicado co N la somma delle frequeze, la Mediaa è il valore corrispodete a N/ se N è pari a (N+)/ se N è dispari Ad esempio se abbiamo la seguete idagie N.Figli Frequeze Frequeze assolute cumulate Tot 5 Tot 5 N =5 quidi la mediaa è il valore corrispodete a (N+)/ = (5+)/ = 3 cioè il valore Se i dati soo raggruppati i classi si determia la classe mediaa mediate le frequeze cumulate quidi si procede co u iterpolazioe lieare. Classi cilidrata(cc) F.ass F. cum Pag. 6/4

17 Tot Poiché N è pari N/ =50 che corrispode alla Classe Mediaa Per giugere ad u valore preciso della Mediaa si deve impostare ua proporzioe: x (x-00) : (600-00) = (50-940) : ( ) LA MODA Si dice Moda o Valore Modale di ua distribuzioe di frequeze il valore corrispodete alla massima frequeza. Esempio Voti matematica F.ass La Moda è il valore 5 poiché è il valore corrispodete alla frequeza più alta. Se i valori soo raggruppati i classi si determia la Classe Modale: Se l ampiezza delle classi è costate si dirà classe modale quella co frequeza maggiore; Se l ampiezza delle classi o è costate si divide ogi frequeza per l ampiezza della rispettiva classe calcolado così la desità di frequeza; il valore più alto di desità defiisce la classe modale N.B. esistoo delle distribuzioe di frequeza che presetao più valori della moda( distribuzioi plurimodali) Pag. 7/4

18 COME SI SCEGLIE UNA MEDIA Si possoo solo fare cosiderazioi a carattere geerale: La media aritmetica è più utilizzata per esprimere u cocetto di equidistribuzioe La media geometrica è utilizzata quado i dati si susseguoo i progressioe geometrica La media quadratica quado si vuole elimiare l iflueza dei segi e quado si vuole dare importaza a valori piuttosto grade La moda si usa quado è importate rilevare il valore che ha maggior probabilità di presetarsi La mediaa è caratterizzata dal fatto di o essere ifluezata dalla rilevate differeza tra i dati LA VARIABILITA I valori medi soo idici importati per la descrizioe sitetica di u feomeo statistico però o foriscoo iformazioi sulla dispersioe dei dati cioè sulla loro variabilità Esempio Due gruppi di studeti hao sosteuto ua prova di matematica co i segueti risultati: Gruppo gruppo La media dei voti per etrambi i gruppi vale 6, ma è evidete che i dati del gruppo soo molto più dispersi Per stimare la variabilità si ricorre ad alcui idici: Pag. 8/4

19 Campo di variazioe Scarto quadratico medio Variaza Coefficiete di variazioe Scostameto semplice medio CAMPO DI VARIAZIONE E il più semplice degli idici di variazioe: Si calcola facedo la differeza tra il dato più grade e il dato più piccolo Campo variazioe R = x max x mi Il C.V. è molto semplice da calcolare però è poco sigificativo poiché tiee coto solo del valore più piccolo e di quello più grade trascurado tutti gli altri valori. Il campo di variazioe dà iformazioi sulla distribuzioe dei dati: più R è piccolo più i dati soo cocetrati; più R è grade più i dati soo dispersi SCARTO QUADRATICO MEDIO E VARIANZA Soo gli idici di variabilità più utilizzati, e tegoo coto della distribuzioe di tutti i dati. Scarto quadratico medio(o deviazioe stadard) Rappreseta la media quadratica, semplice o poderata degli scarti dei dati dalla media aritmetica M Scarto quadratico x M x M x M ( x M) i ( ) ( = = ) ( )... medio σ = Co Dove = fi σ x = ( x i M ) f i E defiita come il quadrato dello scarto quadratico medio e viee idicata co σ Per il calcolo della variaza e dello scarto quadratico medio si preferisce adottare la seguete formula facilmete dimostrabile: che se i dati soo seza frequeza vale la prima formula metre se i dati hao frequeza vale la secoda formula Pag. 9/4 σ = σ = x x i i M f i M

20 dove = fi La variaza σ e lo scarto quadratico medio σ dao iformazioi sulla distribuzioe dei dati: più soo piccoli più i dati soo cocetrati; più soo gradi più i dati soo dispersi. Vediamo u esempio valore frequeza Calcolare variaza e scarto quadratico medio M = = 7 0 xi fi σ = M = 5 = σ = 5= 3, 87 0 IL COEFFICIENTE DI VARIAZIONE CV Il CV è ua misura relativa di dispersioe (le precedeti soo misure assolute) ed è ua gradezza adimesioale. E particolarmete utile quado si devoo cofrotare le distribuzioi di due gruppi co medie molto diverse o co dati espressi i scale differeti (es. cofroto tra variazioe del peso e variazioe dell altezza). CV σ = 00 M % SCOSTAMENTO SEMPLICE MEDIO U altro modo per calcolare la variabilità dei dati (teedo coto di tutti i dati) cosiste el calcolare la distaza di tutti i dati dalla media e fare la media aritmetica di tali distaze Scostameto semplice medio = Distaza media dei dati dalla media Se i dati soo seza frequeza vale la prima formula, la secoda i caso cotrario Pag. 0/4

21 S M = x M i S M Dove = x M f i = fi i I alcui casi i tali formule è possibile sostituire alla Media Aritmetica M la Mediaa Me Lo scostameto semplice medio dalla media dà iformazioi sulla distribuzioe dei dati: più SM è piccolo più i dati soo cocetrati; più SM è grade più i dati soo dispersi Pag. /4

22 LA CONCENTRAZIONE U particolare aspetto della variabilità di u feomeo è la cocetrazioe. Lo studio della cocetrazioe è utile per vedere se il feomeo è equamete distribuito fra tutte le uità statistiche oppure è cocetrato i poche uità. Ad esempio, si può affermare che la distribuzioe delle scuole elemetari è poco cocetrata sul territorio italiao perché quasi tutti i Comui e possiedoo almeo ua, metre la distribuzioe delle Uiversità è molto cocetrata perché pochi Comui soo sedi di Uiversità. Soo state itrodotte varie misure della cocetrazioe. Iteressate è il metodo grafico di Lorez applicato allo studio della distribuzioe della ricchezza; esso è assai utile se i dati soo umerosi e raggruppati i classi. Data ua variabile statistica: X X X Y Y Y Dove xi soo i valori el discreto o i cetri delle classi el caso di raggruppameti i classi e le yi soo le frequeze, si cosiderio i prodotti xi yi (essi rappresetao l itesità del carattere della classe i-esima) e la loro somma: (rappreseta l itesità globale del feomeo). Si calcolao le frequeze cumulate e le itesità cumulate, quidi le frequeze relative cumulate e le itesità relative cumulate, che si ottegoo, le prime dividedo le frequeze cumulate per la somma delle frequeze e le secode dividedo le itesità cumulate per l'itesità globale. Se le itesità relative cumulate soo eguali alle frequeze relative cumulate, sigifica che il feomeo è equidistribuito poiché a ua certa frazioe delle uità statistiche corrispode ua frazioe uguale dell itesità del feomeo; se, ivece, soo miori, il feomeo è tato più cocetrato quato più le itesità relative cumulate differiscoo dalle frequeze relative cumulate. La cocetrazioe è massima quado la curva di cocetrazioe coicide co i cateti del triagolo OAB, i pratica quado l itesità globale è cocetrata i ua sola uità statistica. Se l itesità è equamete distribuita, la curva di cocetrazioe coicide co la retta di equidistribuzioe OB. Quato maggiori soo le differeze pi qi, altrettato maggiore è la cocetrazioe. U rapporto di cocetrazioe si ottiee dividedo la misura dell area di cocetrazioe per la misura dell area del triagolo OAB; Pag. /4

23 Risulta: Se l area di cocetrazioe è zero, ossia se la curva di cocetrazioe coicide co la retta di equidistribuzioe, allora R = 0 e si afferma che o esiste cocetrazioe. Se l area di cocetrazioe coicide co quella del triagolo OAB, allora R = e la cocetrazioe è massima. I tutti gli altri casi si ha 0<R<. Quidi si ha: Graficamete avremo: Cosiderado che: L area del triagolo OAB equivale a ½, L area di ogi trapezio si ottiee co la formula: e el ostro caso: Il primo trapezio i realtà è u triagolo rettagolo, la formula per il calcolo di R diveta: Pag. 3/4

24 La formula di R si può semplificare dividedo il umeratore e il deomiatore per ½: Effettuado il prodotto otteiamo: Poiché: e pq è uguale a, la precedete uguagliaza diveta: I defiitiva il rapporto di cocetrazioe risulta: Pag. 4/4