Inferenza statistica I Alcuni esercizi. Stefano Tonellato

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1 Inferenza statistica I Alcuni esercizi Stefano Tonellato Anno Accademico

2 Avvertenza Una parte del materiale è stato tratto da Grigoletto M. e Ventura L. (1998). Statistica per le scienze economiche, esercizi con richiami di teoria, Giappichelli, Torino. Esercizio 1 Il prezzo di vendita di un capo di abbigliamento di una particolare marca seguiva, negli anni passati, una distribuzione normale di media µ = 66 Euro. Tra i negozi che trattano quel capo di abbigliamento ne vengono estratti 10 casualmente e, per ognuno, si rileva il prezzo di vendita di quest anno: (69.60, 63.10, 57.46, 64.87, 61.84, 69.16, 72.32, 69.49, 66.03, 54.64). Calcolare la stima puntuale del prezzo medio, θ, di quest anno e un intervallo di confidenza per θ di livello La stima puntuale del prezzo medio di quest anno è inferiore al prezzo medio degli anni passati, cioè è inferiore a 66 Euro. 1. Tramite un test di livello α = 0.05, stabilire se si possa sostenere che il prezzo medio del capo sia variato. 2. Tramite un test di livello α = 0.05, stabilire se si possa sostenere che il prezzo medio del capo sia diminuito. Soluzione Sappiamo che il prezzo di vendita X del capo di abbigliamento si distribuisce come una normale con media θ 1 e varianza ignota θ 2 ; inoltre, per gli anni passati si conosce il valore della media µ = 66. Per la stima puntuale dei parametri si deve massimizzare la funzione di log-verosimiglianza l(θ) = n n 2 θ i=1 2 (y i θ 1 ) 2 2θ 2 Le stime puntuali dei due parametri ignoti saranno date da: ˆθ 1 = ȳ = e ˆθ2 = s 2 = Per calcolare l intervallo di confidenza per θ 1 ricorriamo alla quantità pivot: Ȳ θ 1 S / n t n 1 dove S è la radice della varianza campionaria corretta: n S 2 i=1 = (Y i Ȳ )2 = nˆθ 2 n 1 n 1. Calcoliamo la stima della varianza attraverso i dati del c.c.s.: 10 i=1 ˆθ 2 = (y i ȳ) Ora dobbiamo trovare un intervallo di confidenza per θ 1 di livello 1 α = Visto che α = 0.05, troviamo i due quantili della t di Student (con n 1 = 9 gradi di 1

3 libertà) che lasciano rispettivamente a sinistra e a destra probabilità α/2 = 0.025: sono t 9,0.025 = 2.26 e t 9,0.975 = 2.26 (la t di Student è simmetrica rispetto allo 0): ( 0.95 = Pr 2.26 Ȳ θ ) ) 1 S / n 2.26 = Pr ( 2.26 S Ȳ θ S n n ) S S = Pr ( Ȳ 2.26 θ 1 Ȳ n n ) = Pr (Ȳ 2.26 S S θ 1 Ȳ n n Sostituendo Ȳ con ȳ, n con 10, S con s si ottiene il seguente intervallo di confidenza per θ: [60.78, 68.92]. Per verificare se il prezzo medio di quest anno sia variato rispetto a quello degli anni scorsi, si conduce la seguente verifica d ipotesi: H 0 : µ = 66 H 1 : µ 66. Si tratta di un problema di verifica d ipotesi sulla media di una distribuzione normale con varianza ignota. Il rapporto di verosimiglianza è dato da λ(y) = L(µ 0, ˆσ 0) 2 L(ˆµ, ˆσ 2 ) = (1 + t2 n 1 ed è strettamente decrescente rispetto a t,con ) n/2 e la statistica test appropriata è: t = n(ȳ µ0 ) s T = Ȳ 66 S / n. Ipotizzando che H 0 sia vera si ha che T t n 1. Per la relazione esistente fra λ(y) e t, la regione di accettazione di H 0 ad un livello di significatività α sarà data dall intervallo [ t 9,0.975, t 9,0.975 ], con t 9,0.975 = Nel campione la statistica test assume il valore t oss = /10 = e quindi, al livello di significatività prefissato, si accetta H 0. Per verificare se il prezzo sia diminuito impostiamo il sistema di ipotesi H 0 : µ = 66 H 1 : µ 66. 2

4 Abbiamo ora che λ(y) = L(µ 0, ˆσ 0 ) L(ˆµ, ˆσ) che è ancora funzione decrescente di t. La statistica test sarà ancora quella definita in precedenza e sotto H 0 si distribuisce ancora come una t 9. Ora però la regione di rifiuto è (, t 9,0.05 = 1.833]. Anche in questo caso, quindi, si accetta H 0. Esercizio 2 In una vecchia indagine sui mezzi di trasporto si è accertato che il 30% degli individui che lavorano nel centro di una grande città raggiunge il posto di lavoro usando i mezzi pubblici. Nel marzo 2007, su un c.c.s. di 120 individui, è risultato che 60 raggiungono il posto di lavoro con i mezzi pubblici. Trovare la stima puntuale e l intervallo di confidenza di livello 0.95 per la frazione di lavoratori che raggiungono il posto di lavoro con mezzi pubblici. Si può affermare che la percentuale dei lavoratori che vanno a lavorare con i mezzi pubblici è variata? Eseguire una verifica d ipotesi di livello α = Si può affermare che la percentuale dei lavoratori che vanno a lavorare con i mezzi pubblici è aumentata? Eseguire una verifica d ipotesi di livello α = Soluzione La popolazione di interesse corrisponde a tutti coloro che lavorano nel centro della città e il parametro di interesse è la proporzione θ, 0 θ 1, di quelli che utilizzano i mezzi pubblici. Il modello statistico sarà quindi rappresentabile come La funzione di verosimiglianza è Y Ber(θ). L(θ) = θ P 120 i=1 y i (1 θ) 120 P n i=1 y i (1) Massimizzando L(θ) rispetto a θ si ottiene la stima di massima verosimiglianza ˆθ = ȳ = 0.5 Per calcolare l intervallo di confidenza ricorriamo alla distribuzione asintotica dello stimatore di massima verosimiglianza ˆθ a N ( θ 0, I(θ 0 ) 1). Sfruttando la consistenza di ˆθ, stimiamo I(θ 0 ) con I(ˆθ) = d2 dθ l(θ) n 2 = θ=ˆθ ˆθ(1 ˆθ). Avremo quindi: θ θ 0 ˆθ(1 ˆθ)/n a N (0, 1). 3

5 Allora, sarà approssimativamente vero che: ˆθ θ 0.95 = Pr z z ˆθ(1 ˆθ)/n ) = Pr (ˆθ z ˆθ(1 ˆθ)/n θ ˆθ + z ˆθ(1 ˆθ)/n. Poiché z , n = 120 e ˆθ = ȳ = 0.5, otteniamo il seguente intervallo di confidenza per θ: [0.41, 0.59]. Per verificare se θ sia variato impostiamo il sistema di ipotesi: Avremo che H 0 : θ = 0.3 H 1 : θ 0.3 W (Y) = 2 log (λ(y)) = 2(l(0.3) l(ˆθ)) a χ 2 1. Poiché W (y) = e w α = χ 2 1,0.99 = si rifiuta H 0 ad un livello di significatività α = Per capire se la percentuale dei lavoratori che vanno a lavorare con i mezzi pubblici sia aumentata, impostiamo il seguente sistema di ipotesi: Si osservi che e H 0 : θ 0.3 H 1 : θ > 0.3. Θ 0 = {θ [0, 1] : θ 0.3} Θ 1 = {θ [0, 1] : θ > 0.3}. Inoltre, essendo la verosimiglianza data da (1), è facile verificare che { L(ȳ) se ȳ 0.3 sup L(θ) = θ Θ 0 L(0.3) se ȳ > 0.3 e sup L(θ) = L(ȳ). θ Θ Essendo, per questo sistema di ipotesi, λ(y) = sup θ Θ 0 L(θ) sup θ Θ L(θ), quando ȳ 0.3 avremo che λ(y) = 1 (essendo θ = ȳ il punto di massimo assoluto di L(θ) in Θ) e quindi in queste circostanze accetteremo H 0 per qualsiasi ragionevole livello di significatività. Diversamente, quando ȳ > 0.3 si avrà: λ(y) = L(0.3) L(ȳ) 4

6 ed avrà quindi senso cercare un valore λ α : P (λ(y) < λ α ) = α, dove α rappresenta il livello di significatività del test. Nel nostro caso α = Per determinare il valore critico del test, ragioniamo come segue. Cerchiamo di capire se il rapporto di verosimiglianza sia funzione monotona di qualche statistica con distribuzione nota sotto H 0 : ovvero λ(y) = L(0.3) L(ȳ) = ȳ (1 ȳ) ȳ 120ȳ (1 ȳ) 120(1 ȳ), ( ) 0.3 log (λ(y)) = 120ȳ log + 120(1 ȳ) log ȳ Quindi, derivando la (2) rispetto a ȳ si ottiene: ( ) 0.7. (2) 1 ȳ d log (λ(y)) = dȳ ( ) 0.3 = 120 log 120ȳ ȳ ( ) log + 120(1 ȳ) 1 ȳ ȳ 0.3 ȳ2 1 ȳ 0.7 ( ) 0.3 = 120 log 120 ( ) log ȳ ȳ log (0.3) 120 log (ȳ) 120 log (0.7) log (1 ȳ) = ( ) ( 0.3 ȳ = 120 log 120 log ȳ Affinché la (3) sia negativa dovrà verificarsi che 1 (1 ȳ) 2 ). (3) ȳ 1 ȳ , ovvero, risolvendo la disuguaglianza rispetto a ȳ, che ȳ > 0.3. Ma questo è proprio quanto vogliamo: quando ȳ > 0.3, λ(y) è una funzione strettamente decrescente di ȳ. Ora sappiamo che λ(y) assume valori piccoli quando ȳ assume valori elevati, quindi α = sup P (λ(y) λ α ; θ). (4) θ Θ 0 È altresì evidente che P (λ(y) λ α ; θ) = P (Ȳ qȳ,1 α ; θ) (5) dove q(θ) Ȳ,1 α è il quantile di ordine 1 α di Ȳ (che ovviamente dipende da θ). D altro canto sappiamo che Ȳ a N(θ, I(θ) 1 ) n con I(θ) =. È evidente che, al divergere di n, la probabilità di osservare θ(1 θ) valori elevati di Ȳ cresce al crescere di θ e quindi, da (4) e (5), asintoticamente avremo α = sup P (λ(y) λ α ; θ) = P (Ȳ qȳ θ Θ,1 α ; 0.3). 0 5

7 Ma, asintoticamente, P (Ȳ qȳ,1 α ; 0.3) P ( ) Ȳ 0.3 z 1 α; 0.3, I(0.3) 1 dove z 1 α è il quantile di ordine 1 α della normale standardizzata. statistica test sarà: T = Ȳ 0.3, I(0.3) 1 Quindi la e il valore critico sarà z 0.99 = Il valore osservato di T è t = 4.382, quindi si rifiuta H 0. Esercizio 3 La produttività mensile media di ognuno dei 10 dipendenti del settore Commerciale di una certa azienda viene misurata in Euro (/1.000) e si distribuisce come: X i N(µ, σ 2 x) per i = 1,..., 10. Le produttività osservate sono state: x = (4.72, 3.42, 2.29, 3.77, 3.17, 4.63, 5.26, 4.70, 4.01, 1.73). L azienda organizza un corso di formazione per migliorare le abilità di vendita dei propri dipendenti e al termine di tale corso la produttività mensile media si distribuisce come: Y i N(η, σ 2 y) per i = 1,..., 10. Le produttività osservate dopo il corso di formazione sono state: y = (5.94, 3.58, 6.87, 6.41, 4.66, 5.65, 6.45, 5.43, 4.66, 6.11). Definire un intervallo di confidenza per la variazione della produttività media ad un livello di fiducia Si verifichi se il corso di formazione ha incrementato le abilità di vendita, con un test di livello α = Si calcoli l α oss. Soluzione In questo esercizio si sono misurate le abilità di vendita su ognuno dei dipendenti prima e dopo il corso di formazione, dando luogo a quei tipi di dati che si chiamano dati appaiati. Fare una verifica d ipotesi per capire se in media le abilità di vendita sono aumentate dopo il corso di formazione, equivale a saggiare: che si può riscrivere come: H 0 : η = µ H 1 : η > µ H 0 : δ = 0 H 1 : δ > 0 dove δ = η µ. Di conseguenza, potremmo riformulare il problema dicendo che Z i è la differenza della produttività del dipendente i-esimo tra dopo e prima il corso di formazione: Z i seguirà la seguente distribuzione: Z i N(δ, σ 2 ) 6

8 per i = 1,..., 10. In questo caso, σ 2 è la varianza della differenza Y i X i : σ 2 = V ar(y i X i ) = σ 2 y + σ 2 x 2Cov(X i, Y i ) che è a noi sconosciuta perchè dipende da σ 2 x, da σ 2 y ma anche dall ignota covarianza tra X i e Y i. In questo modo, siamo tornati al caso della verifica d ipotesi sulla media di una normale con varianza ignota. Il test che si utilizza è: dove T = Z 0 S/ n t n 1 se H 0 è vera, S 2 = 10 i=1 (Z i Z) 2. 9 Calcoliamo z = y x e troviamo: z = (1.22, 0.16, 4.58, 2.64, 1.49, 1.02, 1.19, 0.73, 0.65, 4.38). Di conseguenza z 1.81 e s Ora, possiamo calcolare t oss : t oss = / 10 = Per identificare la regione di accettazione dobbiamo ricordare che l ipotesi alternativa H 1 è unilaterale destra e quindi si rifiuta per valori elevati della statistica test. Inoltre, se α = 0.05 la regione di rifiuto sarà tale per cui: Pr(T > k) = α = 0.05 se H 0 è vera Dalla distribuzione di T, sotto H 0, si trova che k = t 9,0.95 = La regione di accettazione è: A = [, 1.83]. Rifiutiamo H 0 perchè t oss / A: quindi la produttività media dei dipendenti è aumentata dopo il corso di formazione. Esercizio 4 Si vuole confrontare se ci sono differenze nella puntualità tra i dipendenti a tempo indeterminato di un azienda e i collaboratori a progetto. Per fare questo, si rileva la differenza del tempo di arrivo del personale dall orario di inizio del lavoro su un c.c.s. di numerosità pari a n 1 = 7 per i dipendenti y 1 = ( 0.23, 0.83, 0.63, 1.26, 0.70, 0.01, 2.27) e su un c.c.s. di numerosità pari a n 2 = 6 per i collaboratori: y 2 = (0.94, 1.42, 1.87, 1.41, 0.34, 0.65), dove un valore positivo sta, quindi, ad indicare un ritardo e un valore negativo un anticipo. Supponendo che tali differenze di orario si distribuiscano come Y 1 N(µ 1, σ 2 ) per 7

9 i dipendenti e come Y 2 N(µ 2, σ 2 ) per i collaboratori (σ 2 ignota), si trovi la stima puntuale per µ 1 e per µ 2. Si trovi, inoltre, un intervallo di confidenza di livello 0.90 per µ 1 µ 2. Si conduca la verifica d ipotesi, di livello α = 0.01, per capire se i dipendenti a tempo indeterminato sono più puntuali dei collaboratori a progetto. Esercizio 5 Si studia l adesione agli scioperi tra i ferrotramvieri e i macchinisti delle Ferrovie dello Stato. In occasione di un particolare sciopero è stato osservato il comportamento di un campione di n 1 = 60 ferrotramvieri e di un campione di n 2 = 40 macchinisti delle Ferrovie dello Stato. Dei ferrotramvieri 3 non hanno aderito, mentre dei macchinisti il numero delle mancate adesioni è pari a 6. Trovare la stima puntuale della proporzione di mancata adesione allo sciopero per entrambe le categorie di trasporti pubblici. Calcolare l intervallo di confidenza per la differenza delle due proporzioni ad un livello 1 α =