ESERCIZI SU DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE

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1 Corso d Ifereza Statstca Eserctazo A.A. 009/0 ESERCIZI SU DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE Eserczo I cosumator d marmellata ua data popolazoe soo l 40%. Determare la probabltà che, per u campoe beroullao d = 400 soggett, la frequeza relatva campoara sa: a) maggore d 0,45; [0,007] b) more d 0,38. [0,06] Eserczo Sa X ua v.c. ormale d meda µ gota e varaza σ² = 36. S determ la umerostà campoara affché P[ X - µ 0,7] = 0,96. [7] Eserczo 3 Sa X l tempo d maturazoe d ua varetà d sem, che s suppoe ormalmete dstrbuta co meda µ e varaza σ. Calcolare la probabltà che la devaza campoara ( ) S rferta ad u campoe d 3 sem rsult maggore d,06 σ. [0,05] Eserczo 4 Sao X e Y due v.c. dpedet co dstrbuzoe ormale d parametr µ = 0, µ = e σ X = σ Y =. Per cascua d esse vee estratto u campoe casuale d umerostà X = 9 e Y = 3. a) Calcolare la probabltà che la dffereza tra le mede campoare Y X sa superore al valore,5 rscotrato corrspodeza de campo. [0,7734] b) Calcolare la probabltà P ( Y X > +, 38 8 S x + S ) potzzado d o cooscere 0 y l valore d σ X e σ Y (è oto però che soo ugual). [0,05] S c) Calcolare quel valore tale per cu sa y > P k = 0, 05 ell potes che σ X = σ Y. S x [4,46] Eserczo 5 Il coteuto X d alcool metlco d ua bottgla d vo è ua varable casuale ormale d meda µ =6,5g e varaza σ. Cosderado u campoe d 0 bottgle: ( X 6,5) a) Calcolare la probabltà P[( X - 6,5)>S ], dove S =. [0,005] b) Ipotzzado che o sa oto l valore atteso d X e supposto σ = 6, determare a tale che per la varaza campoara S s abba: P( S a) = 0,99. [38,573] X Y

2 Corso d Ifereza Statstca Eserctazo A.A. 009/0 Eserczo Propretà degl Stmator Da ua v.c. ormale X d meda µ cogta e varaza σ = 4 è estratto u campoe beroullao d ampezza = 6. Sao 6 4 T = X e T = X X 5 + X due stmator per la meda µ. a) Mostrare che etramb gl stmator soo o dstort per µ. b) Idvduare quale tra due stmator è l pù effcete. c) Dato l campoe rportato ella seguete tabella: x calcolare l valore assuto dagl stmator T e T. Eserczo Da ua popolazoe dstrbuta secodo ua v.c. X d Posso d parametro λ s estrae u campoe casuale beroullao d utà. Dmostrare che la meda campoara è stmatore corretto d λ e verfcare se è ache cosstete. Eserczo 3 Sa X ua v.c. ormale X d meda µ cogta e varaza σ = 4. Fssato > 0, sao T e T seguet due stmator per µ: = 9 T X e T = X a) Verfcare se tal stmator soo o dstort per µ. b) Idcare se, e quado, T rsulta pù effcete d T. Eserczo 4 Sa X, X, X u campoe beroullao d utà estratto da ua varable casuale ormale d meda µ gota e varaza par a. S suppoga d voler stmare l parametro µ co l seguete stmatore: X T = + Dmostrare che tale stmatore: a) è dstorto ma astotcamete corretto per µ; b) o è cosstete. X

3 Corso d Ifereza Statstca Eserctazo A.A. 009/0 Eserczo 5 Sa X, X, X u campoe beroullao d utà estratto da ua varable casuale per la cu dstrbuzoe esstoo prm quattro momet cetrat. E oto che per lo stmatore S = ( X ) X della varaza σ valgoo le seguet relazo: 3 4 M ( S ) = σ e V ( S ) = µ 4 σ. S è stmatore cosstete per la varaza σ? Eserczo 6 Sa X, X..., X u campoe beroullao estratto da ua popolazoe avete destà: x f ( x; θ ) = 0 < x <, θ > 0. θ Determare l lmte ferore d Cramer Rao per stmator o dstort d θ. Eserczo 7 Sa X, X, X u campoe beroullao d utà estratto da ua varable casuale avete dstrbuzoe 3 ( x + ) ( x + ) ϑ ( ϑ) f ( x; ϑ) =, x = 0,,, K 0 < ϑ <. Idvduare l lmte ferore d Cramer Rao per stmator o dstort d τ ( ϑ) = (/ ϑ). 3 ( ϑ) 3 ( ϑ) [S ot che: M ( X ) =, V ( X ) = ] ϑ ϑ Eserczo 8 Sa X, X..., X u campoe beroullao estratto da ua popolazoe avete destà: f γ ( x 3) ( x; ) = γ e γ x 3, γ > 0. Determare l lmte ferore d Cramer Rao per stmator o dstort d / γ. [S ot che: M ( X ) = 3 +, V ( X ) = ] γ γ x 3

4 Corso d Ifereza Statstca Eserctazo A.A. 009/0 Eserczo Stmator d Massma Verosmglaza Sa X, X, X u campoe beroullao d utà estratto da ua varable casuale avete la seguete dstrbuzoe: ( ϑ ) ϑ x per x ( 0,) f ( x; ϑ ) = 0 altrmet Calcolare lo stmatore d massma verosmglaza per τ ( ϑ) = / ϑ. Eserczo Sa X, X, X u campoe beroullao d utà estratto da ua varable casuale avete dstrbuzoe 3 ( x + ) ( x + ) ϑ ( ϑ) f ( x; ϑ) =, x = 0,,, K 0 < ϑ <. a) Idvduare lo stmatore d massma verosmglaza perτ ( ϑ) = (/ ϑ). b) Verfcare se lo stmatore otteuto al puto a) è corretto, cosstete e a mma varaza. 3 ( ϑ) 3 ( ϑ) [S ot che: M ( X ) =, V ( X ) = ]. ϑ ϑ Eserczo 3 Sa X, X..., X u campoe beroullao estratto da ua popolazoe avete destà: f γ ( x 3) ( x; ) = γ e γ x 3, γ > 0. a) Determare lo stmatore d massma verosmglaza per τ ( γ ) = / γ. b) Sapedo che M ( X ) = 3 + / γ e V ( X ) =, verfcare se lo stmatore otteuto al puto a) è γ corretto, cosstete e a mma varaza. Eserczo 4 Sa X, X, X u campoe beroullao d utà estratto da ua varable casuale co fuzoe d destà: f ( x; α ) x = α x e αx x > 0, α > 0. a) S determ lo stmatore per α utlzzado l metodo d massma verosmglaza. b) Calcolare la stma d α cu s pervee co lo stmatore d massma verosmglaza, potzzado d aver estratto dalla popolazoe dstrbuta secodo f ( x; α) u campoe beroullao così costtuto: x 0,0 0,05 0,5 4 Totale frequeze

5 Corso d Ifereza Statstca Eserctazo A.A. 009/0 Eserczo Itervall d Stma Da u campoe d 00 dvdu è emerso che 30 d ess soo cosumator abtual d u prefssato prodotto. Determare l'tervallo d stma al 96% per l'gota frequeza relatva d cosumator d tale prodotto. [0,589; 0,78] Eserczo Sa X ua popolazoe d dstrbuzoe ormale co meda e varaza cogte. Vee estratto da X u campoe beroullao d ampezza 3 che dà luogo alla seguete realzzazoe: 5, 66, 37. Determare l tervallo d stma al 95% per la meda. [-9,70; 95,0346] Eserczo 3 I u campoe d 8 famgle avet la medesma umerostà e apparteet alla stessa classe d reddto, soo state rlevate le seguet spese mesl ( mglaa d euro):,5;,3;,;,3; ;,;,4;,8 Suppoedo che la popolazoe d orge sa ormale, s determ l tervallo d stma al lvello d cofdeza del 99% per la varaza. [0,065;,84] Eserczo 4 I u campoe d 9 utà s soo osservat seguet valor Sapedo che la popolazoe d proveeza è ormale co σ² oto e par a 4,4 e che l'tervallo d stma della meda ha per estrem valor,87 e 4,83, determare l lvello d cofdeza -α dell'tervallo. [0,9904] Eserczo 5 Sa data la seguete dstrbuzoe d u gruppo d caddat ad u cocorso secodo l voto ed l puteggo rportato ella prova del cocorso: Voto Puteggo alla prova d cocorso Dploma Determare l tervallo d stma al lvello d cofdeza del 95% per l puteggo medo alla prova d cocorso. [,797; 4,5954] 5

6 Corso d Ifereza Statstca Eserctazo A.A. 009/0 Eserczo Verfca d Ipotes U carattere X s dstrbusce secodo ua varable casuale ormale d meda µ gota e varaza σ² = 36. Da tale popolazoe s estrae u campoe beroullao d umerostà = 5. Fssato α = 0.05, determare: a) l tervallo d rfuto del test per la verfca dell'potes Η : µ 7 cotro l alteratva 0 = Η : µ 7 ; b) l tervallo d rfuto del test per la verfca dell'potes Η : µ 7 cotro l'alteratva 0 = Η : µ > 7 ; c) dopo aver descrtto la fuzoe d poteza del test mpegato al puto b) ella verfca d'potes, forre l valore che questa assume per: µ = 7,5; 8; 8,5; 9; 9,5; 0; ; ; 3 e deleare grafcamete l'adameto. Eserczo Allo scopo d aalzzare la qualtà d u prodotto, s vuole operare u campoameto sull gota proporzoe d pezz dfettos d u processo produttvo. Vegoo sottopost a verfca 980 pezz de qual 0 rsultao dfettos. Verfcare, ad u lvello d sgfcatvtà del 8% l potes che la percetuale d dfettos sa dell %. [Accetto H 0 ] Eserczo 3 U dvduo lavora a crca 50 Km d dstaza dalla cttà cu rsede e tutt gor s reca al lavoro automoble compedo lo stesso tragtto. Durate prm 4 mes dell ao s è recato al lavoro per 9 volte e ell arco d tale perodo ha osservato che lo scarto quadratco medo (corretto) del cosumo goralero d beza è stato par a 0,7 ltr. Nell arco de successv 3 mes s è recato al lavoro per 6 volte osservado che questo perodo lo scarto quadratco medo (corretto) del cosumo goralero d beza è stato par a,5 ltr. Suppoedo che l cosumo goralero d beza sa dstrbuto come ua v.c. ormale, sulla base d cascu perodo verfcare l potes che la varaza del cosumo sa uguale a,8 cotro l alteratva che sa dversa da tale lvello, fssato α = [Rfuto H 0.Accetto H 0 ] Eserczo 4 Il gestore d u egozo d profumera rtee che og goro meda c sao 0 clet che s recao el suo egozo spededo u mporto superore o par a 40. Egl ha osservato che e 4 gor lavoratv del mese d dcembre lo scarto quadratco medo del umero d tal clet è uguale a 4.3 metre e 4 mes successv (00 gor lavoratv) tale scarto è rsultato par a 6.7. Ipotzzado che l umero d clet che spedoo almeo 40 sa dstrbuto come ua v.c. ormale, verfcare, per cascuo de perod cosderat, l potes che la varaza sa uguale a 5 cotro l alteratva che sa dversa da 5, fssato α = [Accetto H 0,Rfuto H 0 ] 6

7 Corso d Ifereza Statstca Eserctazo A.A. 009/0 Eserczo 5 Nel processo produttvo de collat, l flo elastczzato, proto per essere mpegato ella produzoe, vee carcato su bobe medate u partcolare procedmeto che alle volte comporta la rottura del flo co coseguete fermo della maccha per poterla rattvare. U campoe beroullao effettuato sulle rotture ha presetato la seguete dstrbuzoe. umero d rotture per goro umero d gor Verfcare se l campoe può provere da ua popolazoe co meda par a 3 (α = 0.05). [Rfuto H 0 ] Eserczo 6 I u campoe d 50 tala, 589 dmostrao u atteggameto postvo e cofrot de vedtor porta a porta; lo stesso sodaggo codotto su 000 tedesch ha regstrato 3 rsposte postve metre se codotto su 00 daes, 480 rsposte postve. Verfcare, ad u lvello d sgfcatvtà del 4% l potes ulla che le proporzo d coloro che mostrao u atteggameto postvo e cofrot de vedtor porta a porta soo ugual tra a) tala e tedesch; [Rfuto H 0 ] b) tala e daes. [Rfuto H 0 ] Eserczo 7 Sao date due popolazo ormal ed dpedet X e Y. Dalla popolazoe X s è estratto u campoe beroullao d umerostà = 5 e s soo otteut seguet valor 5 x 5 x = 05 e = Dalla popolazoe Y s è estratto u campoe beroullao d umerostà = 8 e s soo otteut seguet valor 8 y = 8 60, y = Dopo aver verfcato l'potes d omogeetà delle varaze delle due popolazo, verfcare l'potes Η 0 :µ x = µ y cotro l'alteratva Η : µ x µ y (assumere etramb cas l lvello d sgfcatvtà α = 0.05). [Accetto H 0 ] Eserczo 8 S soo rlevat temp d produzoe d 6 opera che assemblao delle compoet elettroche secodo u determato schema e s soo otteut seguet rsultat ( mut) : 8, 5,3 6,5 5, 9,7 0,8. S soo rlevat oltre temp d produzoe d 8 opera che assemblao compoet elettroche dello stesso tpo ma secodo uo schema d lavoro dverso e s soo otteut seguet rsultat (sempre mut) 9,5 8,3 7,5 0,9 9,3 8,0,3 8,8. Assuta la ormaltà della dstrbuzoe de temp d produzoe per etramb gl schem, verfcare (α = 0.05) se è dfferete usare due schem d lavoro. [Accetto H 0 ] 7

8 Corso d Ifereza Statstca Eserctazo A.A. 009/0 Eserczo 9 Da passate espereze s rtee che la dstrbuzoe secodo la statura d masch adult ua data popolazoe sa N (74,6). S vuole sottoporre a verfca l potes che attualmete, s possa rteere acora valda la dstrbuzoe (α = 0,05). Su u campoe d 400 masch adult s è otteuto: Class d altezza ( cm) Fo a Oltre 80 4 Totale 400 [Rfuto H 0 ] Eserczo 0 U campoe d 00 famgle suddvso per umero d fgl ha presetato la seguete dstrbuzoe: Numero d fgl Numero d famgle e oltre 5 Valutare l potes al lvello d sgfcatvtà α = 0,0 che tale campoe provega da ua popolazoe cu l umero d fgl per famgla segua: a) la dstrbuzoe uforme, [Rfuto H 0 ] b) la dstrbuzoe d Posso. [Accetto H 0 ] Eserczo Ad u campoe d 30 automoblst tala è stato chesto se gudao co cture allaccate e la cldrata della loro auto. Sulla base de rsultat rportat ella seguete tabella, verfcare (α = 0.05) l potes d dpedeza tra caratter Cldrata auto e Cture allaccate. [Rfuto H 0 ] Cture allaccate Cldrata auto SI NO Alta 5 0 Meda 65 6 Bassa 0 57 Eserczo Ad u campoe d 400 tala è stato chesto se leggoo almeo lbr all ao ed l loro grado d struzoe. I rsultat soo rportat ella seguete tabella: Almeo lbr lett Grado d Istruzoe Scuola dell obblgo Scuola superore Uverstà SI NO Verfcare l potes d dpedeza tra grado d struzoe e lbr lett u ao (α = 0.05). [Rfuto H 0 ] 8