Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

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1 Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore mercoledì ore (Dipartiment 1 / 52

2 Introduzione La Statistica, intesa come disciplina, nasce in Inghilterra e Germania intorno al 1600 e si occupa dello studio dei fenomeni demografici, sociali e dei principali fatti riguardanti lo Stato. La disciplina Statistica è legata con il calcolo delle probabilità, il quale fornisce gli strumenti necessari per lo studio dell inferenza statistica. statistica processo di acquisizione della conoscenza Inferenza induttiva: processo di estensione dal particolare al generale. Uno dei compiti della Statistica è quello di fornire gli strumenti e i metodi per fare inferenza induttiva e misurarne il grado d incertezza. (Dipartiment 2 / 52

3 Definizioni e terminologia Si definisce unità statistica di riferimento l unità elementare su cui vengono rilevati i caratteri oggetto dello studio. L insieme delle unità statistiche di riferimento, omogenee rispetto a uno o più caratteri oggetti dello studio, costituiscono il collettivo statistico o popolazione statistica di riferimento. Carattere è il fenomeno oggetto dello studio, rilevato o misurato sulle unità statistiche. I caratteri rilevati sono di natura così diversa da imporre un attenta disamina delle varie tipologie. Modalità è l espressione concreta del carattere nelle unità statistiche, cioè l attributo (per i caratteri qualitativi) o il valore (per i caratteri quantitativi) che l unità statistica manifesta. (Dipartiment 3 / 52

4 Classificazione dei caratteri I caratteri vengono classificati in qualitativi o quantitativi in base al modo con cui si manifestano sulle unità statistiche che compongono il campione osservato. Nel primo caso le manifestazioni sono descritte tramite qualità o attributi, nel secondo caso mediante valori numerici. Un carattere si definisce variabile se assume per modalità dei numeri reali, mentre si definisce mutabile se assume attributi non numerici di varia natura. (Dipartiment 4 / 52

5 Il sesso, la religione, lo stato civile la professione, il comune di nascita, la regione di residenza, il gradimento di una canzone, lo stato d animo dopo un esame, etc. costituiscono esempi di caratteri qualitativi, quindi mutabili statistiche. L età, il peso, l altezza, la temperatura, qualsiasi grandezza fisica misurabile, il numero di passeggeri annui di una compagnia aerea, etc. costituiscono esempi di caratteri quantitativi continui quindi variabili statistiche. A loro volta, i caratteri quantitativi (cioè le variabili) si distinguono in: i. variabili continue, sono quelle capaci di assumere, in linea di principio, qualsiasi valore appartenente ad un intervallo fissato dell asse reale; ii. variabili discrete, sono quelle capaci di assumere un insieme discreto di modalità, finito o infinito. (Dipartiment 5 / 52

6 Nell ambito della teoria della misurazione, nel 1946 lo psicologo Stevens introdusse una classificazione dei caratteri statistici che tuttora trova utilizzo. In seguito classificò le operazioni statistiche ammissibili sulla base di quella tipologia, in funzione della maggiore complessità delle operazioni che è lecito condurre tra le modalità dei caratteri. caratteri qualitativi sconnessa Relazione di equivalenza ordinata sconnessa + Relazione di ordine caratteri quantitativi per scala di intervalli ordinata + Relazione di uguaglianza per scala di rapporti per scala di intervalli + Relazione di rapporto (Dipartiment 6 / 52

7 I caratteri con scale di intervalli sono variabile che consentono un confronto solo per differenze tra le modalità che i soggetti assumono poiché essi fanno riferimento ad un origine arbitraria. Infatti, lo zero della scala di misura non è assoluto ma convenzionale. Nei caratteri con scala di rapporto la definizione dello zero è intrinseca ed univoca. Esempi: i. la latitudine e la longitudine sono variabile misurate su scala di intervalli dato che l origine (arbitraria) e definita come intersezione tra l Equatore e il meridiano che passa per Greenwich; ii. gli anni sono un carattere con scala di intervalli dato che si è convenuto di definire l istante zero come quello della nascita di Gesù Cristo; (Dipartiment 7 / 52

8 Esempio: i consumi delle famiglie italiane Finalità dell indagine L indagine sui consumi delle famiglie fornisce informazioni, oltre che sul livello e sulla struttura della spesa mensile per consumi, sulle principali caratteristiche sociali, economiche e territoriali delle famiglie residenti in Italia. Oggetto della rilevazione sono le spese sostenute dalle famiglie per acquistare beni e servizi destinati al diretto soddisfacimento dei propri bisogni (consumo).... In sintesi, vengono rilevate le spese per generi alimentari, abitazione e utenze, arredamento, abbigliamento e calzature, sanità, trasporti e comunicazioni, tempo libero e istruzione, altri beni e servizi. Fonte: 00/ann consumi delle famiglie 2008.pdf (Dipartiment 8 / 52

9 Esempio: i consumi delle famiglie italiane Unità di rilevazione L unità di rilevazione è la famiglia di fatto, intesa come un insieme di persone coabitanti e legate da vincoli affettivi, di matrimonio, parentela, affinità, adozione e tutela. Sono considerate appartenenti alla famiglia, come membri aggregati, tutte le persone che, a qualsiasi titolo, convivono abitualmente con essa. Fonte: 00/ann consumi delle famiglie 2008.pdf (Dipartiment 9 / 52

10 (Dipartiment 10 / 52

11 (Dipartiment 11 / 52

12 La matrice dei dati Unità Abitazione Fabbricato Superficie Stanze Reddito (Dipartiment 12 / 52

13 La sintesi dei dati Supponiamo di considerare un carattere X che assume k modalità, denotate genericamente con x 1, x 2,..., x k, osservata su un campione di N unità statistiche. Definiamo frequenza assoluta della modalità x j del carattere X, denotata con n j, il numero di volte che la modalità x j si presenta nel campione osservato. Denotato con N la numerosità campionaria, ovvero il numero di unità statistiche su cui vengono rilevati i caratteri oggetti dello studio, si definisce frequenza relativa della modalità x j il rapporto f i = n i /N. Definiamo frequenza percentuale della modalità x j il prodotto p i = f i 100. (Dipartiment 13 / 52

14 La distribuzione di frequenza del carattere X associa alle modalità x j le corrispondenti frequenze assolute. Una generica distribuzione di frequenza del carattere X può essere rappresentata attraverso la seguente rappresentazione tabellare X n x 1 n 1 x 2 n 2. x j. x k Totale. n j. n k N (Dipartiment 14 / 52

15 Distribuzioni di frequenza per caratteri qualitativi non ordinabili Di seguito sono riportate le modalità del carattere tipologia di diploma rilevate su di un campione di 50 studenti. Al SC SC CL SC CL SC Al Al SC SC TE TE SC CL TE CL Al CL Al TE SC Al Al CL Al Al SC Al Al TE CL CL SC TE SC CL TE SC TE Al SC TE SC SC SC TE TE TE Al CL = liceo classico; SC = liceo scientifico; TE = diploma di istituti tecnici; Al = altri. Costruire la distribuzione di frequenza del carattere oggetto dello studio. (Dipartiment 15 / 52

16 Inizialmente ordiniamo le modalità rilevate al fine di semplificare le operazioni di conteggio. Otteniamo quindi: Al Al Al Al Al Al Al Al Al Al Al Al Al CL CL CL CL CL CL CL CL CL SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC TE TE TE TE TE TE TE TE TE TE TE TE da cui si ricava la seguente distribuzione di frequenza X n f p Al % CL % SC % TE % Tot % (Dipartiment 16 / 52

17 Distribuzioni di frequenza per caratteri qualitativi ordinabili Con riferimento all indagine sui consumi delle famiglie italiane, la tabella che segue riporta le modalità del carattere tipo di abitazione rilevate su di un campione di 48 famiglie. Villa Signorile Civile Rurale Impropria Villa Signorile Civile Rurale Impropria Villa Signorile Civile Rurale Impropria Civile Signorile Civile Rurale Impropria Civile Signorile Civile Rurale Impropria Villa Signorile Civile Rurale Impropria Villa Signorile Civile Rurale Impropria Villa Signorile Civile Rurale Impropria Villa Signorile Civile Rurale Impropria Villa Signorile Civile Costruire la distribuzione di frequenza del carattere tipo di abitazione e descrivere i risultati ottenuti. (Dipartiment 17 / 52

18 Osserviamo inizialmente che il carattere tipo di abitazione è un carattere qualitativo ordinabile e che tra le modalità esiste la seguente relazione: Impropria < Rurale < Civile < Signorile < Villa Utilizzando la precedente relazione si ricava Impropria Impropria Impropria Impropria Impropria Impropria Impropria Impropria Impropria Rurale Rurale Rurale Rurale Rurale Rurale Rurale Rurale Rurale Civile Civile Civile Civile Civile Civile Civile Civile Civile Civile Civile Civile Signorile Signorile Signorile Signorile Signorile Signorile Signorile Signorile Signorile Signorile Villa Villa Villa Villa Villa Villa Villa Villa X n f p Impropria 9 0,19 19,00% Rurale 9 0,19 19,00% Civile 12 0,24 24,00% Signorile 10 0,21 21,00% Villa o Villino 8 0,17 17,00% Totale 48 1,00 100,00% (Dipartiment 18 / 52

19 Dato che X è un carattere qualitativo ordinabile, possiamo raffinare la precedente sintesi definendo ulteriori misura di sintesi che trovano fondamento sull utilizzo della relazione d ordine. Sia X un carattere qualitativo ordinabile con k modalità ordinate in senso crescente. Definiamo frequenza assoluta cumulata della modalità x j la somma j nj c = n i. Definiamo frequenza relativa cumulata della modalità x j la somma f c j = i=1 j f i. Definiamo frequenza percentuale cumulata della modalità x j la somma i=1 p c j = j p i. i=1 (Dipartiment 19 / 52

20 La generica distribuzione empirica di frequenza del carattere qualitativo ordinabile X può essere rappresentata attraverso la seguente tabella X n f p n c f c p c x 1 n 1 f 1 p 1 n1 c f1 c p1 c x 2 n 2 f 2 p 2 n2 c f2 c p2 c x j n j f j p j nj c fj c x k n k f k p k N 1, ,00 Totale N 1,00 100,00. p c j (Dipartiment 20 / 52

21 Sulla base delle definizioni fornite in precedenza possiamo completare la tabella precedente nel seguente modo: X n f p n c f c p c Impropria 9 0,19 19,00% 9 0,19 19,00% Rurale 9 0,19 19,00% 18 0,38 38,00% Civile 12 0,24 24,00% 30 0,62 62,00% Signorile 10 0,21 21,00% 40 0,83 83,00% Villa o Villino 8 0,17 17,00% 48 1,00 100,00% Totale 48 1,00 100,00% (Dipartiment 21 / 52

22 Supponiamo di considerare la variabile posizione all interno del gruppo aziendale rilevata attraverso la domanda 1.3 del questionario realizzato dall Istat per la rilevazione sull innovazione nelle imprese, ovvero Il carattere in esame è un carattere qualitativo ordinabile, ne consegue che per il calcolo della distribuzione di frequenza è necessario disporre le modalità in ordine crescente. Nel seguito dello studio utilizzeremo la seguente codifica delle modalità: Sotto controllata S Intermedia I Capogruppo C (Dipartiment 22 / 52

23 Supponiamo di disporre di due campioni di numerosità 50 e 20; il primo è estratto dalla popolazione delle imprese con almeno dieci addetti operanti nel nord Italia, mentre il secondo campione è estratto dalla popolazione delle imprese con almeno dieci addetti operanti nel sud Italia. Tabella: Campione estratto dalla popolazione delle imprese con almeno 10 addetti operanti al sud. S C S C I S I I S C I S S S I S S I I S Tabella: Campione estratto dalla popolazione delle imprese con almeno 10 addetti operanti al nord. S S S S S S S S C S I S S S S S S S S S S S S S S I S C S I S C S C C I S S I S I I S S I I I I C S (Dipartiment 23 / 52

24 X sud nord S I 7 11 C 3 6 Totale Dallo studio della frequenze assolute si evince che la frequenza assoluta delle imprese caratterizzate dalla modalità capogruppo è inferiore nel campione di imprese operanti al sud (3 < 6). OSSERVAZIONE I campioni utilizzati per lo studio sono caratterizzati da una diversa numerosità campionaria; il primo gruppo è caratterizzato da una numerosità campionaria N = 20, il secondo gruppo da una numerosità campionaria N = 50. (Dipartiment 24 / 52

25 X n f p n c f c p c S 10 0, ,50 50 sud I 7 0, ,85 85 C 3 0, , Totale 20 1,00 100,00 S 33 0, ,66 66 nord I 11 0, ,88 88 C 6 0, Totale 50 1,00 100,00 (Dipartiment 25 / 52

26 Distribuzioni di frequenza per variabili quantitative discrete Di seguito sono riportati i valori della variabile numero di componenti della famiglia rilevati mediante un campione di 50 famiglie italiane (Dipartiment 26 / 52

27 Dato che stiamo considerando una variabile quantitativa discreta, ordiamo i valori rilevati in ordine crescente, ovvero da cui si ricava la seguente distribuzione di frequenza: X n f p % % % % Tot % (Dipartiment 27 / 52

28 Distribuzioni di frequenza per variabili quantitative continue Con riferimento all indagine sui consumi delle famiglie italiane, la tabella che segue riporta i valori della variabile superficie dell abitazione rilevata su un campione di 100 famiglie (Dipartiment 28 / 52

29 Ordiniamo i dati in ordine crescente (Dipartiment 29 / 52

30 Sulla base dei dati riportati in tabella, scegliamo di ripartire l intervallo [65; 95] in 6 classi di ampiezza costante. In questo caso avremo: = 30 k = 6 dove con indichiamo l ampiezza dell intervallo [65; 95] e con k il numero di classi. Se indichiamo con h l ampiezza delle classi, utilizzando la relazione = k h da cui discende che h = k = 5 (Dipartiment 30 / 52

31 Le scelte fatte precedenza conducono alla seguente distribuzione di frequenza in classi: Superfice n f p n c f c p c Totale 100 1, (Dipartiment 31 / 52

32 Rappresentazione grafica n δ m m 2 (Dipartiment 32 / 52

33 Effetti derivanti dalla scelta del numero di classi. k=2 k=6 δ δ m m 2 k=15 k=90 δ δ m m 2 (Dipartiment 33 / 52

34 Si veda pagina 29 del libro Complementi ed esercizi di Statistica di Frosini, Montinari e Nicolini sul problema della formazione delle classi. (Dipartiment 34 / 52

35 Con riferimento all indagine sui consumi delle famiglie italiane, la tabella che segue riporta le i valori della variabile reddito medio mensile rilevata su un campione di 100 famiglie Costruire e rappresentare graficamente la distribuzione di frequenza in classi. (Dipartiment 35 / 52

36 Ordiniamo i dati (Dipartiment 36 / 52

37 Reddito n f p n c f c p c 516, , ,04 4,00 4 0,03 4,00 775, , ,06 6, ,10 10, , , ,12 12, ,22 22, , , ,26 26, ,48 48, , , ,18 18, ,66 66, , , ,14 14, ,80 80, , , ,10 10, ,90 90, , , ,04 4, ,94 94, , , ,03 3, ,97 97, , , ,02 2, ,99 99, , , ,01 1, ,00 100,00 Totale 100 1, (Dipartiment 37 / 52

38 Reddito n h δ , , ,44 775, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , dove l i-esima densità di frequenza δ i è data dalla relazione: δ i = n i h i (Dipartiment 38 / 52

39 Rappresentazione grafica δ x Reddito (Dipartiment 39 / 52

40 Confronto tra rappresentazione corretta ed errata δ x n Reddito Reddito uigi Augugliaro (Dipartiment 40 / 52

41 Le seguenti distribuzioni di frequenze cumulate si riferiscono alla distanza della residenza dal luogo di lavoro per i dipendenti di due aziende: Si individuino le distribuzioni di frequenze assolute (non cumulate), relative e relative cumulate di ciascuna azienda. Si traccino i due istogrammi di frequenza. (Dipartiment 41 / 52

42 Su un campione di 28 consumatori è stato rilevato l ammontare in Euro speso in un supermercato. I dati sono riportati nella seguente tabella Costruire una distribuzione di frequenza per classi di ampiezza costante. (Dipartiment 42 / 52

43 Su un campione di 50 professori è stato rilevato il reddito annuo in migliaia di $. I dati sono riportati nella seguente tabella Costruire la distribuzione di frequenza con classi di ampiezza costante per la variabile considerata. (Dipartiment 43 / 52

44 Su un campione di 50 famiglie è stata rilevata la spesa settimanale per pranzare fuori casa. I dati sono riportati nella seguente tabella Costruire una distribuzione di frequenza della variabile considerata utilizzando non più di 5 classi. (Dipartiment 44 / 52

45 La seguente tabella mostra gli importi in Euro riportati sui documenti di vendita di una ditta all ingrosso di ferramenta, relativi ad un intera giornata lavorativa. Costruire una distribuzione di frequenza utilizzando classi di ampiezza costante. (Dipartiment 45 / 52

46 La seguente tabella riporta il numero di tornado verificatosi, in una certa area geografica, tra gli anni 1959 e 1988: Costruire una distribuzione di frequenza per la variabile numero di tornado. (Dipartiment 46 / 52

47 La seguente tabella riporta i rendimenti percentuali realizzati alla fine del mese di marzo dalle 50 migliori azioni americane Costruire una distribuzione di frequenza della variabile considerata utilizzando non più di 5 classi. (Dipartiment 47 / 52

48 La seguente serie doppia di osservazioni riporta il guadagno di botteghino in milioni di dollari (X ) e il numero di videocassette vendute in migliaia (Y ) per un campione di 30 film: Si costruiscano le distribuzioni di frequenza considerando per la variabile X tre classi di ampiezza costante e per la variabile Y quattro classi di ampiezza costante. (Dipartiment 48 / 52

49 Allo scopo di conoscere le condizioni del lavoro femminile e le pari opportunità delle lavoratrici di un piccolo comune, sono state intervistate 30 lavoratrici dipendenti. La tabella riporta il numero di ore settimanali retribuito Si costruisca la distribuzione di frequenza utilizzando le classi ; ; ; Si rappresenti graficamente la distribuzione di frequenza mediante istogramma. (Dipartiment 49 / 52

50 Si consideri la distribuzione dei laureati nell anno 1986 in Italia, secondo l età alla laurea e il corso di laurea Classi Ingegneria elettrica Lettere Totale Dire se all interno della classe è maggiormente presente la modalità Ingegneria elettrica o Lettere. Si laureano con un età inferiore o uguale a 26 anni di più gli studenti di Ingegneria o di Lettere? Si laureano con un età superiore o uguale a 28 anni di più gli studenti di Ingegneria o di lettere? (Dipartiment 50 / 52

51 La tabella riporta la distribuzione dei matrimoni in Italia per età della sposa compresa tra 15 e 49 anni. Età Frequenza (migliaia) , , , , , , ,5 Totale 243,9 Calcolare le distribuzioni di frequenza relative, percentuali, assolute cumulate, relative cumulate e percentuali cumulate. Rappresentare opportunamente la distribuzione di frequenza in classi riportata in tabella. (Dipartiment 51 / 52

52 La seguente tabella riporta la distribuzione dei salari di operai e di operaie occupate in una grossa azienda operai operaie All interno della classe è maggiormente presente la modalità operai o operaie. E maggiore il numero di operai o operaie che dispongono di una retribuzione inferiore a 45? Rapprensentare opportunamente le due distribuzioni di frequenza in classi. (Dipartiment 52 / 52

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