CONOSCENZE 1. le proposizioni 2. i connettivi logici 3. le espressioni logiche
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1 ALGEBRA LOGICA E CONNETTII PREREQUISITI l l l l conoscere gli insiemi e il loro linguaggio conoscere il significato di soggetto e predicato di una frase conoscere il significato di congiunzione, disgiunzione e negazione di una frase conoscere il concetto di operazione CONOSCENZE 1. le proposizioni 2. i connettivi logici 3. le espressioni logiche ABILITAÁ A. compilare una tavola di veritaá usando i connettivi logici B. calcolare il valore di veritaá di espressioni logiche PER RICORDARE La logica e i connettivi: 1. la logica eá un ramo della matematica che studia le regole per effettuare ragionamenti; 2. una proposizione eá una frase semplice nella quale si afferma qualcosa in modo chiaro e univoco; di una proposizione si puoá sempre affermare con precisione se eá vera oseeá falsa; 3. i valori di veritaá di una proposizione sono vero o falso; 4. il connettivo logico negazione si indica con un trattino sopra la lettera della proposizione; la negazione di una proposizione p eá una proposizione che eá vera quando p eá falsa ed eá falsa quando p eá vera; 5. il connettivo logico congiunzione si indica con il simbolo ^; la proposizione congiunzione p ^ q eá vera se e solo se p e q sono vere; 6. il connettivo logico disgiunzione si indica con il simbolo _; la proposizione disgiunzione p _ q eá vera se sono vere entrambe o se eá vera almeno una delle proposizioni che la compongono; 7. per calcolare il valore di veritaá di una espressione logica occorre seguire le seguenti regole: a. la negazione ha la precedenza sulle altre proposizioni; b. le operazioni si eseguono nell'ordine con cui sono scritte; c. le parentesi si risolvono seguendo lo stesso ordine delle espressioni numeriche. ESERCIZI DI CONOSCENZA 1 Indica quali delle seguenti frasi sono proposizioni logiche: a. il dollaro eá la moneta degli Stati Uniti d'america; b. il gatto eá un felino; c. il numero 15 eá divisibile per 3;
2 2 LOGICA E CONNETTII Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS d. spero che la squadra per cui faccio il tifo vinca; e. il problema di geometria eá molto difficile; f. oggi eá una brutta giornata; g. prestami una matita; h. Milano eá una cittaá della Toscana. 2 Di una proposizione si puoá sempre affermare con precisione: a. se eá vera, ma non se eá falsa; b. se eá vera o se eá falsa; c. se eá falsa, ma non se eá vera. 3 Quali sono i valori di veritaá di una proposizione? 4 Completa la seguente tavola di veritaá della negazione della proposizione p: p p 5 Se una proposizione p eá vera, qual eá il valore di veritaá della proposizione p? 6 Completa la seguente tabella relativa al connettivo logico "e" ^ : p q p ^ q Determina il valore di veritaá di p ^ q nelle seguenti proposizioni: a. p : «4 eá un numero pari» q : «5 eá un numero dispari»; b. p : «Eros Ramazzotti eá un ballerino» q : «abio Capello eá un cantante»; c. p : «8 eá un multiplo di 4» q : «9 eá un multiplo di 5». 8 Completa la seguente affermazione: la proposizione disgiunzione p _ q eá vera se... o se eá vera... delle proposizioni che la compongono. 9 Determina il valore di veritaá di p _ q nelle seguenti proposizioni: a. p : «10 eá un numero pari» q : «15 eá un numero dispari»; b. p : «rancesco Totti eá un ciclista» q : «Paolo Bonolis eá un calciatore»; c. p : «9 eá il successivo di 8» q : «9 eá un numero primo». ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIELLO BASE * 1 Esercizio Svolto Le proposizioni logiche Stabilisci quale delle frasi seguenti eá una proposizione logica:
3 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LOGICA E CONNETTII 3 2 Stabilisci quali delle seguenti frasi sono proposizioni logiche: a. la matematica eá la materia piuá difficile; b. l'elefante eá l'animale piuá piccolo che esista; c. il computer serve per camminare; d. la macchina eá piuá comoda del motorino; e. la mela eá un frutto. 3 4 Stabilisci quali delle seguenti proposizioni sono proposizioni composte: a. «oggi vado al cinema e compro un libro»; b. «Claudio mangia un'albicocca e una pesca»; c. «il film che ho visto eá durato due ore»; d. «10 eá il doppio di 5»; e. «6 eá multiplo di 2 e di 3». 5 a. il piatto piuá buono eá la pastasciutta; b. la capitale dell'italia eá Genova. a. La frase «il piatto piuá buono eá la pastasciutta» non eá una proposizione logica percheâ non eá possibile stabilire se eá universalmente una frase vera oppure eá falsa: ci sono persone per cui tale frase eá vera altre per cui eá falsa. b. La frase «la capitale dell'italia eá Genova» eá una proposizione logica percheâ eá possibile stabilire se eá vera oppure eá falsa: chiunque infatti direbbe che eá falsa. Esercizio Svolto Le proposizioni composte Stabilisci quali delle seguenti proposizioni sono proposizioni composte: a. «la mia casa ha cinque stanze»; b. «Marco e Mara hanno dieci anni»; c. «Luca o Stefano verraá interrogato in matematica». Solo le proposizioni b. «Marco e Mara hanno dieci anni» e c. «Luca o Stefano verraá interrogato in matematica» sono proposizioni composte percheâ sono combinate dai connettivi logici congiunzione (la b. ^) e disgiunzione (la c. _). Esercizio Svolto La scomposizione di proposizioni composte Scomponi le seguenti proposizioni composte nelle proposizioni che le compongono: a. «il libro di italiano ha la copertina blu o quello di storia ha 150 pagine»; b. «40 eá multiplo di 20 ed eá un numero pari». a. Le due proposizioni sono p : «il libro di italiano ha la copertina blu» e q : «il libro di storia ha 150 pagine»; sono legate dal connettivo ''o'' _ ; b. le due proposizioni sono r : «40 eá multiplo di 20» e s : «40 eá un numero pari»; sono legate dal connettivo ''e'' ^. 6 Scomponi le seguenti proposizioni composte nelle proposizioni che le compongono: a. «6 eá un numero pari o eá un numero divisibile per 5»; b. «la parola Milano eá composta da 4 lettere e inizia con la lettera M».
4 4 LOGICA E CONNETTII Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 7 Esercizio Svolto La negazione di una proposizione Date le seguenti proposizioni, scrivi le loro negazioni e stabilisci poi se sono vere o false: a. p : «Roma eá la capitale dell'italia»; b. q : «7 eá il doppio di 3»; c. r : «il risultato della somma tra 2 e 5 eá 7». a. p : «Roma non eá la capitale dell'italia»; b. q : «7 non eá il doppio di 3»; c. r : «il risultato della somma tra 2 e 5 non eá 7». La proposizione p eá vera, dunque p eá falsa; la proposizione q eá falsa, quindi q eá vera; la proposizione r eá vera, quindi r eá falsa. 8 Date le seguenti proposizioni, scrivi le loro negazioni e stabilisci poi se sono vere o false: a. p : «2 eá un numero primo»; b. q : «Leopardi eá nato a Recanati»; c. r : «6 eá il successivo di 7». 9 Date le proposizioni p : «15 eá multiplo di 3» e q : «7 eá un numero primo», costruisci la proposizione composta p ^ q e stabilisci se eá vera o falsa. 10 Date le proposizioni p : «18 eá multiplo di 2» e q : «144 eá il quadrato di 13», costruisci la proposizione composta p ^ q e stabilisci se eá vera o falsa. 11 Date le proposizioni p : «irenze eá in Toscana» e q : «Aosta eá in Piemonte», costruisci la proposizione composta p _ q e stabilisci se eá vera o falsa. 12 Date le proposizioni p : «la Bulgaria eá in Asia» e q : «la moneta inglese eá il dollaro», costruisci la proposizione composta p _ q e stabilisci se eá vera o falsa. 13 Date le proposizioni p : «4 eá un numero primo» e q : «il delfino eá un mammifero», costruisci le proposizioni composte p _ q e p ^ q e stabilisci se sono vere o false. ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIELLO MEDIO ** 1 Esercizio Guidato La negazione della negazione di una proposizione e la verifica del valore di veritaá Data la proposizione p : «7 eá un numero dispari», scrivi la sua negazione e la negazione della negazione e stabilisci poi il valore di veritaá di p e p. p : «7 non eá un numero dispari». p : «non eá vero che 7... dispari». Stabilisci da solo il valore di veritaá delle proposizioni p e p. 2 Data la proposizione p : «Brescia eá una provincia della Liguria», scrivi la sua negazione e la negazione della negazione e stabilisci poi il valore di veritaá di p e p.
5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LOGICA E CONNETTII 5 3 Esercizio Guidato La tabella di veritaá con il connettivo logico di congiunzione Date le proposizioni p : «il libro di inglese eá composto da 10 unitaá» eq : «il libro di inglese ha 145 pagine», scrivi la proposizione composta p ^ q e compila la relativa tabella di veritaá. p ^ q : «... ed...». p q p ^ q Date le proposizioni p : «5 eá sottomultiplo di 10» e q : «5 eá un numero primo», scrivi la proposizione composta p ^ q e compila la tabella di veritaá. 5 Esercizio Guidato La tabella di veritaá con il connettivo logico di disgiunzione Date le proposizioni p : «Matteo frequenta la classe terza» e q : «Matteo porta gli occhiali», scrivi la proposizione composta p _ q e compila la relativa tabella di veritaá. p _ q : «Matteo frequenta la classe terza... porta...». p q p _ q Date le proposizioni p : «il cielo eá sereno» e q : «il vestito eá rosa», scrivi la proposizione composta p _ q e compila la relativa tabella di veritaá. 7 Calcola il valore di veritaá delle seguenti espressioni logiche: p q p q p ^ q p _ q 8 p q q p _ q p ^ p _ q
6 6 LOGICA E CONNETTII Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 9 Considera le seguenti proposizioni: p : «il quadrato ha tre lati»; q : «il triangolo non ha diagonali»; r : «il triangolo eá un poligono»; s : «il triangolo ha due altezze». Dopo aver individuato il valore di veritaá di ciascuna di esse, risolvi le seguenti espressioni logiche: a. p ^ q _ r _ s; b. p _ q ^ r _ s ; c. p _ q ^r Š_s. ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIELLO AANZATO *** 1 Date le proposizioni p : «8 eá il prodotto tra 2 e 4» e q : «4 eá un numero primo», stabilisci il valore di veritaá: a. delle due proposizioni; b. della proposizione p; c. della proposizione q. 2 Date le proposizioni p : «Il cane eá un mammifero» e q : «Il gatto miagola», stabilisci il valore di veritaá delle seguenti proposizioni: a. p ^ q; b. p _ q; c. p _ q ^ p; d. q _ q ^ q ^ p. 3 Completa le seguenti tavole di veritaá: p q p p p ^ q p ^ q p ^ q _ p 4 a b c b a_ b c _ a _ b 5 Determina il valore di veritaá delle seguenti proposizioni supponendo che: a ˆ ero; b ˆ ero; c ˆ also; d ˆ ero. a _ b ^ c _ d :
7 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LOGICA E CONNETTII 7 6 Dopo aver stabilito il valore di veritaá delle proposizioni: q : «30 eá un multiplo di 3»; p : «Napoli eá il capoluogo della Toscana»; r : «la rana eá un anfibio»; calcola il valore di veritaá della seguente espressione logica: r _ q ^ q ^ r _ p _ q ^ r Š^r. SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI ALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI CONOSCENZA 1 a., b., c., h. 2 b. 3 o. 4 p p 5. 6 p q p ^ q 7 a. ; b. ; c.. 8 sono vere entrambe, almeno una. 9 a. ; b. ; c.. ALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIELLO BASE 2 b.; c.; e. 4 a.; b.; e. 6 a. p : «6 eá un numero pari»; q : «6 eá un numero divisibile per 5»; b. r : «la parola Milano eá composta da 4 lettere»; s : «la parola Milano inizia con la lettera M». 8 a. p : «2 non eá un numero primo»; p eá vera; p eá falsa; b. q : «Leopardi non eá nato a Recanati»; q eá vera; q eá falsa; c. r : «6 non eá il successivo di 7»; r eá falsa; r eá vera p _ q ˆ ; p ^ q ˆ. ALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIELLO MEDIO 1 p : «non eá vero che 7 non eá un numero dispari»; p eá vera; p eá falsa; p eá vera. 2 p : «Brescia non eá una provincia della Liguria»; p : «non eá vero che Brescia non eá una provincia della Liguria»; p eá falsa; p eá vera; p eá falsa. 3 p ^ q : «il libro di inglese eá composto da 10 unitaá ed ha 145 pagine»; p q p ^ q 4 p ^ q : «5 eá sottomultiplo di 10 ed eá un numero primo». La tabella di veritaá eá identica a quella dell'esercizio precedente.
8 8 LOGICA E CONNETTII Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 5 p _ q : «Matteo frequenta la classe terza oppure porta gli occhiali». p q p _ q 6 p _ q : «il cielo eá sereno oppure il vestito eá rosa». La tabella di veritaá eá identica a quella dell'esercizio precente. 7 p q p q p ^ q p _ q 8 p q q p _ q p ^ p _ q 9 a. ; b. ; c.. ALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIELLO AANZATO 1 a. p eá vera, q eá falsa; b. ; c.. 2 a. ; b. ; c. ; d.. 3 p q p p p ^ q p ^ q p ^ q _ p 4 a b c b a_ b c _ a _ b 5 falso. 6 falso.
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