Microeconomia, Esercitazione 3 Effetto reddito, sostituzione, variazione compensativa, domanda di mercato, surplus del consumatore.

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1 Microeconomia, Esercitazione 3 Effetto reddito, sostituzione, variazione compensativa, domanda di mercato, surplus del consumatore. Dott. Giuseppe Francesco Gori Domande a risposta multipla ) Se nel mercato di un bene ci sono 30 consumatori, ciascuno con domanda individuale " q = allora la curva di domanda di mercato p = f(q) è data da: a) b) c) d) 𝑞 = 3 𝑝 60; 𝒒 = 𝟏𝟎 𝒑 𝟐𝟎𝟎; 𝑞 = 5 𝑝 + 0; Nessuna delle precedenti. ) Se, in corrispondenza di una certa combinazione di fattori, il saggio marginale di sostituzione tecnica tra lavoro e capitale vale -6 e l impresa rinuncia a 3 unità di lavoro, quante unità addizionali di capitale sono necessarie affinché l impresa mantenga costante il livello di produzione? a) b) c) d) /; ; 8; 8. 3) Se la funzione di produzione di una impresa è data da 𝐹(𝐿, 𝐾) = 𝐿 𝐾 e se il capitale nel breve periodo è fisso a 𝐾 = 36 allora il prodotto medio del lavoro è pari a: a) b) c) d) 6 / 𝐿; 𝟔 𝑳; 6 𝐾; 4 𝐿 𝐾. 4) Se in un mercato ci sono soltanto due consumatori con funzioni di domanda 𝑝 = 0 𝑄 e 𝑝 = 0 𝑞, rispettivamente, allora la funzione di domanda di mercato è data da: a) 𝑝 = 6 𝑞; b) 𝑝 = 6 𝑞; c) 𝑝 = 6 𝑞; 𝟐 d) 𝒑 = 𝟏𝟎 𝟕 𝒒. 5) Il surplus del consumatore è pari a: a) La somma delle disponibilità a pagare per ogni quantità del bene meno il valore degli scambi;

2 b) La somma delle disponibilità a pagare per ogni quantità del bene più il valore degli scambi; c) La somma delle disponibilità a pagare per ogni quantità del bene; d) Nessuna delle precedenti. 6) La curva reddito-consumo: a) E costituita dai panieri ottimali del consumatore in corrispondenza di diversi livelli di reddito; b) Può variare al variare dei prezzi; c) E crescente per i beni normali; d) Tutte le precedenti. Esercizi Esercizio (effetto reddito e sostituzione, variazione compensativa) Il consumatore ha una funzione di utilità data da 𝑈 = 𝑥 𝑦 Il prezzo del bene 𝑥 è 4/3, il prezzo di 𝑦 è e il reddito a disposizione 𝑀 = 0. ) Si calcoli e si rappresenti graficamente la curva di indifferenza di livello 6. ) Si calcoli e si rappresenti graficamente la scelta ottimale del consumatore (𝑆𝑀𝑆 = 3𝑦/𝑥). 3) Supponendo che il prezzo del bene x aumenti e sia ora pari a, si determini nuovamente la scelta ottima del consumatore. 4) Si scomponga l effetto totale della variazione di prezzo del bene x in effetto di reddito e di sostituzione. 5) Si calcoli la variazione compensativa. Svolgimento Punto La curva in questione ha equazione implicita 6 = 𝑥 𝑦 ed esplicita 𝑦 = 6 /𝑥 /. Passa per i punti (4, 7), (9,8). Punto Per calcolare la scelta ottimale del consumatore è necessario innanzitutto scrivere l equazione del vincolo di bilancio: 4 0 = 𝑥 + 𝑦 3 ovvero 4 𝑦 = 0 𝑥 3 la cui pendenza è pari a 4/3.

3 Il saggio marginale di sostituzione è e la condizione di tangenza da cui e il sistema sarà SMS, = 3 y x SMS, = p p 3 y x = 4 3 y = 8 9 x y = 8 9 x y = x y = 8 9 x 8 9 x = x y = 8 9 x 8 y = 0 9 x 9 x = 0 x = 9 y = 8 x = 9 Sostituendo le quantità ottimali di x e y nella funzione di utilità possiamo verificare che il paniere ottimale giace sulla curva di indifferenza di livello 6 (U=6). La rappresentazione grafica dell equilibrio è la seguente y 0# y* = 8 U = 6 x* = 9 5# x Punto 3 Dato il nuovo prezzo del bene x il nuovo vincolo di bilancio sarà 0 = x + y ovvero y = 0 x e la condizione di tangenza sarà ora

4 da cui e il sistema sarà SMS, = p p 3 y x = y = 8 x y = 8 x y = 0 x y = 8 x 8 x = 0 x y = 8 x 0 x = 0 y = 8 x x = y = 8 x = alla nuova scelta del paniere corrisponde U=. y 0# y* = 8 E E 0 U = 6 x * = 5/# x 0 * = 9 5# x Punto 4 L'effetto totale su x è dato dalla differenza tra la x di equilibrio con la nuova coppia di prezzi e la x di equilibrio con la vecchia coppia di prezzi: ET = x x = 9 = 8 Per trovare l'effetto di sostituzione è invece necessario capire quanto x verrebbe consumato se i prezzi fossero quelli nuovi ma se il consumatore si trovasse ancora in corrispondenza della vecchia curva di indifferenza, ovvero godesse della stessa utilità. Per farlo è necessario mettere a sistema il nuovo SMS con U=6 (e non, come nel caso in cui si cerchi l ottimo del consumatore, con il vincolo di bilancio)

5 𝑦=8 𝑥 𝑦 = 63 /𝑥3/ 𝑦=8 𝑥 𝟖 𝒙 = 𝟔𝟑 /𝒙𝟑/𝟐 𝑦=8 𝑥 𝒙𝟓/𝟐 = 𝟔𝟑 /𝟖 𝑦=8 𝑥 𝒙𝟓/𝟐 = 𝟐𝟕 𝑦=8 𝑥 𝒙= 𝟓 𝟐𝟕𝟐 = 𝟑, 𝟕 𝑦 = 9,6 𝑥 = 3,7 L effetto di sostituzione è dunque la differenza tra questo valore di x e quello dell equilibrio originario: 𝐸𝑆 = 𝑥 𝑥 = 3,7 9 = 5,3 Mentre l effetto reddito sarà pari a: 𝐸𝑅 = 𝐸𝑇 𝐸𝑆 = 𝑥 𝑥 (𝑥 𝑥 ) = 𝑥 𝑥 = 3,7 =,7 y 0# E E E0 y* = 8 U =6 x * = x * = 3, 7 ER =, 7 x0 * = 9 ES = 5, 3 5# x ET = x * x0 * = 8 Punto 5 Per calcolare la variazione compensativa è necessario calcolare la differenza tra il reddito che occorrerebbe al consumatore per raggiungere il punto E e quello originario, ovvero quello che gli è sufficiente a raggiungere E con i vecchi prezzi e E con i nuovi prezzi. Dobbiamo quindi scrivere il vincolo di bilancio con i nuovi prezzi e sostituirvi i valori del paniere E lasciando come unica incognita il reddito M: 𝑀 = 𝑥 + 𝑦 = 3,7 + 9,6 = 74 la differenza tra questo reddito e quello originario 𝑀 𝑀 = 74 0 = 54 è la variazione compensativa, che corrisponde all'ammontare di denaro del quale l'individuo avrebbe bisogno per compensarlo per gli effetti avversi della variazione del prezzo.

6 y 0# ΔM = 54 E E E0 5# x Esercizio (domanda di mercato) Un mercato è costituito da due soli consumatori. Il consumatore ha funzione di domanda individuale pari a 𝑝 = 𝑞 ed il consumatore ha funzione di domanda pari a 𝑝 = 8 𝑞 ) Rappresentare graficamente le due funzioni di domanda individuali; ) Calcolate e rappresentate sul grafico la funzione di domanda di mercato; 3) Supponete che la funzione di offerta del mercato sia 𝑝 = 𝑞; calcolate l equilibrio del mercato e la quantità acquistata rispettivamente dal consumatore e. Svolgimento Punto Per trovare la domanda aggregata è sempre bene ricavare le singole domande in funzione del prezzo, quindi: 𝑞 = 6 𝑃; 𝑞 = 4 𝑃. Punto Adesso possiamo trovare la domanda di mercato come somma delle singole domande per ogni livello di prezzo: 𝑄 = 𝑞 + 𝑞 = 0 𝑝 𝑝𝑒𝑟 𝑝 < 8;

7 𝑄 = 𝑞 = 6 𝑝 𝑝𝑒𝑟 8 𝑝 <. La condizione 𝑝 < 8 è necessaria perché la domanda individuale del consumatore sia positiva. Solo in quel caso la domanda di mercato è somma di entrambe le curve individuali. La condizione 𝑝 < assicura che la domanda individuale del consumatore sia positiva. Nel caso quindi in cui valga 8 𝑝 < la domanda di mercato coincide con quella del consumatore. p p = p = Q D p=8 p = qd p = 0 Q D D p = 8 q q q=4 q=6 Q D = 0 Punto 3 Per individuare l equilibrio di mercato è necessario scrivere 𝑝 = 𝑄 = 𝑄 = 0 𝑝 𝑝𝑒𝑟 𝑝 < 8; o 𝑝 = 𝑄 = 𝑄 = 6 𝑃 𝑝𝑒𝑟 8 𝑝 < Nel primo caso l equilibrio sarà dunque 𝑝 = 5 e 𝑞 = 5. Si noti che in questo caso il vincolo p<8 è rispettato. Nel secondo caso invece avremmo che 𝑝 = 4 e 𝑞 = 4 in corrispondenza del quale non sarebbe rispettato il vincolo 8 𝑝 <. La coppia prezzo-quantità di equilibrio è dunque la prima delle due. Sostituendo nelle due domande individuali il prezzo di equilibrio si ottengono i valori 𝑞 = 3,5 e 𝑞 =,5.

8 p p = p = QS p = Q D p=8 p* = 5 p = 0 Q D qd* =, 5 q qd* = 3, 5 Q* = 5 Esercizio 3 (domanda di mercato) Un mercato è costituito da consumatori identici. La curva di domanda individuale è 𝑝 = 0 𝑞 𝑐𝑜𝑛 𝑖 =,. Rappresentate graficamente la domanda individuale. Calcolate e rappresentate graficamente la funzione di domanda aggregata. Come cambia la funzione di domanda aggregata se i consumatori identici sono 3 anziché? E per n consumatori? Svolgimento Ricaviamo le domande individuali in funzione del prezzo, 𝑞 = 0 𝑝 da cui 𝑞 = 5 𝑝. Per ottenere la domanda di mercato sommiamo semplicemente le quantità 𝑄 = che con 3 consumatori diviene 𝑄 = Quindi, con n consumatori sarà 𝑄 = 𝑞 = (5 𝑝) = 0 𝑝, 3 𝑞 = 3 (5 𝑝) = 5 𝑝. 𝑛 𝑞 = 𝑛 (5 𝑝) = 5 𝑛 𝑝.

9 p p =0 n = q i D = 5 n = 3 Q D =0 Q D =5 Q D = n 5 q Esercizio 4 (domanda di mercato) (più difficile) Si consideri un consumatore con funzione di utilità del tipo: U(x, y) = x / y / I prezzi dei beni sono p = 5 e p = 7, mentre il reddito del consumatore é pari a 70 euro. ) Si determinino paniere di equilibrio e curva di domanda individuale per il bene y; ) Si scriva la funzione di domanda di mercato nell ipotesi che il numero dei consumatori (identici) sia pari a 5 e 7; 3) Si calcoli, nei due casi, si individui l equilibrio di mercato che la curva di offerta è p = 8 + y Svolgimento Punto Il vincolo di bilancio è e quindi la condizione di tangenza sarà: da cui 70 = 5 x + 7 y 3 y x = 5 7 y = 5 7 x

10 sostituendola nel vincolo di bilancio otteniamo: e 70 = 5 x x 70 = 0 x x = 7 = 3,5 y = = 5 = 7,5 Per trovare la curva di domanda individuale SMS, = p p 3 y x = 5 p da cui x = p y 5 avremo che il vincolo di bilancio è rappresentabile come ovvero 70 = 5 p y y 70 = y (7 + p 0 ) y = 3 + p p = 0 y p y p y = 0 y y =0 y Punto Per trovare la domanda di mercato dobbiamo sommare le domande individuali. Dato che i consumatori sono supposti essere identici basterà moltiplicare la domanda individuale appena trovata per N: 0 Y = y N = N + p

11 dunque, nel caso in cui N=5 avremo che 𝑌= 𝑝 = + 𝑝 𝑦 mentre nel caso in cui N=7 avremo che 𝑌= 𝑝 = + 𝑝 𝑦 Punto 3 Individuiamo adesso la coppia prezzo-quantità di equilibrio. Data la funzione di offerta fornita dall esercizio, avremo che, nel primo caso:.050 = 8 + 𝑦 9 𝑦 + 𝑦 =.050 𝑦 + 9 𝑦.050 = 0 𝑦 La cui soluzione è 𝑦= 9 ± ±.94 9 ± 54 = = dato che consideriamo solo le quantità positive avremo che: 𝑦 = 5 6,5 4 𝑝 = 4 = 0,5 e, di conseguenza nel secondo caso avremo 𝑝, 𝑦 = (8, 4). Esercizio 5 (surplus dei consumatori) Supponete che la curva di domanda di un bene sia data da: 𝑞 = 40 𝑝 dove q è la quantità di bene domandate all anno e p il prezzo (in migliaia di euro). ) Supponete che il prezzo di equilibrio sia di euro. Trovate la quantità domandata, la spesa totale e il surplus del consumatore. ) Ora supponete che il governo avvii un programma per limitare l offerta del bene. Supponete inoltre che a seguito del programma il prezzo salga a euro. Qual è il surplus del consumatore dopo l aumento del prezzo? 3) Qual è la cifra massima che i consumatori sarebbero disposti a pagare per corrompere i legislatori affinché revochino il programma di limitazione dell offerta?

12 Svolgimento Punto Una volta individuata la coppia prezzo-quantità di equilibrio e la relativa spesa, che nel nostro caso sono (0.000, 0) e , calcoliamo i surplus. Per calcolare il surplus dei consumatori, dato che la curva di domanda è lineare basterà calcolare l area del triangolo che ha come base la quantità di equilibrio e per altezza la lunghezza del segmento dell asse delle ascisse compreso tra il prezzo d equilibrio e l intercetta della curva di domanda (che possiamo indicare con p ovvero il prezzo corrispondente a una quantità domandata nulla, pari a 0 nel nostro caso). La formula è dunque: S = (p p ) q = (0 0) 0 = 00 dato che il prezzo è in migliaia di euro, il surplus corrisponderà a euro. p 0# S C =00 p * =0 q * = 0 40# q Punto Nel momento in cui il prezzo viene fissato in corrispondenza di p =5 la quantità scambiata sul mercato sarà q = 0 e, sempre secondo la precedente formula, il surplus sarà pari a euro.

13 p 0# S C = 5 p * =5 p =0 q * =0 q = 0 40# q Punto 3 La cifra massima che l insieme dei consumatori sarebbe disposto a pagare è pari a euro, ovvero la differenza tra surplus pre-politica e post-politica. Esercizio 6 (surplus dei consumatori) Supponete che le funzioni di domanda e offerta di un bene siano le seguenti: q = 90 p; q = 30 + p dove Q é il numero di partite da.000 unità del bene che vengono domandate e offerte, mentre p é il prezzo di ciascuna partita in migliaia di euro. ) Calcolate il prezzo e la quantità di equilibrio di mercato. ) Calcolate il surplus dei consumatori e dei produttori. 3) Supponete che l offerta venga limitata a 0 partite all anno. Come varia il surplus del consumatore? 4) Ripetete l esercizio fatto ai punti (), () supponendo che la curva di domanda dei consumatori sia q = 90 Svolgimento L esercizio si risolve in maniera analoga al precedente, unica differenza è che in questo caso viene richiesto anche il calcolo del surplus dei produttori, quest ultimo ha forma trapezoidale. I risultati sono i seguenti: () la quantità di equilibrio è 60, il prezzo di equilibrio è di 5 euro. () il surplus del consumatore è 900 euro, il surplus del produttore è 675 euro.

14 p 45# S C = 900 S P = 675 p * =5 0# 30# q * = 60 90# q (3) il nuovo surplus del consumatore è 5 euro. (4) il nuovo prezzo di equilibrio è pari a 4 euro, mentre la quantità domandata è pari a 78; il surplus del consumatore è euro, il surplus del produttore è 96 euro. Esercizio 7 (surplus dei consumatori) Supponete che le funzioni di domanda e offerta, in un mercato perfettamente concorrenziale, siano le seguenti: p = 60 4q; p = + 3q si calcoli e si rappresenti graficamente il surplus dei consumatori e dei produttori. Soluzione: Il surplus del consumatore è 98 euro, il surplus dei produttori è 47/ euro.

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