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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTÀ DI SCIENZE STATISTICHE CORSO DI LAUREA IN STATISTICA E GESTIONE DELLE IMPRESE RELAZIONE FINALE: MODELLAZIONE E PREVISIONE DEL MERCATO DI TELEFONIA MOBILE CON METODI PER SERIE STORICHE Relatore: Prof. Bisaglia Luisa Alessadro 50548/GEI Laureado: Fassia mat. Ao accademico 2006/2007

2 INDICE Itroduzioe pag. Capitolo : I DATI E L AZIENDA pag. 3. L azieda pag. 3.2 I dati pag. 5 Capitolo 2: ANALISI DELLE SERIE CON MODELLI SARIMA pag Processi stocastici pag Modelli SARIMA pag Procedura di Box-Jekis pag Idetificazioe pag Stima dei modelli pag Cotrollo diagostico pag Modelli idividuati pag SARIMA(,0,0)(,0,2) 7 pag SARIMA(,0,0)(0,,2) 7 pag Previsioi co modelli SARIMA pag. 28 Capitolo 3: ANALISI DELLE SERIE CON IL METODO DI HOLT-WINTERS pag Lisciameto espoeziale pag Metodo H-W stagioale additivo pag Metodo H-W stagioale moltiplicativo pag. 34 Capitolo 4: CONCLUSIONI pag. 36 2

3 INTRODUZIONE I questo lavoro vegoo aalizzate serie storiche riguardati il traffico voce di ua compagia di video-telefoia mobile leader el settore delle telecomuicazioi mobili UMTS. Nello specifico si è cercato di modellare la serie storica dei miuti medi di chiamate al gioro relativa ad u orizzote temporale di sei mesi dal 0/0/2004 al 3/03/2005, utilizzado l approccio Box-Jekis all aalisi delle serie storiche (i modelli SARIMA) e il di metodo Holt Witers stagioale. Il mercato della telefoia mobile, è u mercato oligopolistico che preseta otevoli difficoltà, i quato le strade per sopravvivere o soo molte, el seso che o si riesce a competere a livello di prezzo, quidi offrire u servizio fuzioale a costo più basso rispetto ai cocorreti oppure laciarsi sulla strada della differeziazioe del prodotto offerto (che è proprio la strada scelta dall azieda i cui dati adiamo ad aalizzare). Per l azieda presa i cosiderazioe è importate avere ua visioe di isieme che le permetta di capire se la propria strategia di ivestimeto viee recepita dagli uteti, ecco perché si rede ecessario poter prevedere l adameto di u feomeo che idirettamete va proprio a rappresetare quelli che soo i ricavi dell azieda stessa. Il fatto che l azieda possa prevedere, i questo caso specifico, l adameto medio delle chiamate per il mese di marzo le dà u idicazioe o da poco su quella che potrebbe essere i positivo o i egativo la variazioe delle etrate per quel mese. Avedo quidi a disposizioe ua visioe prospettica dell adameto dei feomei di iteresse il maagemet si trova ella posizioe di poter aalizzare la situazioe ed escogitare i modo prevetivo delle cotromisure atte a ridurre gli effetti egativi che l azieda ecoomicamete va a subire a causa dell adameto di u mercato così complesso. La modellazioe dei dati quidi o è tato utile per adattare u modello teorico al fie di rappresetare i dati già posseduti quato ad idividuare u processo che permetta di prevedere el modo più preciso possibile quelli futuri. 3

4 Capitolo I DATI E L AZIENDA. L AZIENDA L azieda di cui si adrao ad aalizzare i dati è 3 Italia. 3 è leader i Italia el settore delle telecomuicazioi mobili UMTS co 5,5 milioi di clieti al dicembre Fa parte di ua multiazioale quotata alla borsa di Hog Kog, titolare di liceze UMTS el modo e attiva oltre che elle telecomuicazioi i settori come l eergia, immobili, turismo e porti. L azieda si posizioa come Mobile Triple Player offredo ai suoi clieti servizi di videocomuicazioe, u accesso veloce ad iteret ed ua ricca gamma di coteuti (TV, musica, giochi, ews, ecc.), oltre ai tradizioali servizi di telefoia mobile. Ha raggiuto la leadership el mercato italiao dell UMTS facedo leva su puti di forza come: il posizioameto distitivo del marchio, essedo l uica ad essere basata iteramete sull UMTS o si trova ad affrotare i costi e i vicoli di u ifrastruttura mista, gli accordi strategici co i foritori di termiali mobili che permettoo lo sfruttameto di sigificative ecoomie di scala per l acquisto, l architettura iovativa dei sistemi iformativi, flessibili ed efficieti, che permette di erogare umerosi servizi ad elevato valore aggiuto. Ioltre 3 ritiee che l elemeto chiave del futuro mercato delle comuicazioi mobili sia costituito dalla covergeza tra le telecomuicazioi, iteret, media i u uico termiale multimediale, mobile e persoale (Persoale Life Statio). Tale visioe trova supporto su tedeze sociali, ecoomiche e tecologiche riscotrabili già oggi: il desiderio di rimaere coessi i qualsiasi mometo, sia el lavoro che el tempo libero; il ruolo giocato dalle telecomuicazioi mobili el migliorare la produttività del lavoro mediate u iformazioe più ricca; la covergeza tra telefoi mobili, videotelefoi, agede elettroiche, macchie fotografiche, video games e televisioe; la digitalizzazioe di tutte le forme di comuicazioe, l adozioe diffusa del protocollo IP, ecc.. 3 ha putato fi da subito a creare ua grade ifrastruttura per l Italia, realizzado ua rete radiomobile a bada larga poggiata sulle stesse fodameta 4

5 tecologiche che soo alla base di iteret. Ua rete creata per lo sfruttameto del protocollo di terza geerazioe UMTS (Uiversal Mobile Telecomuicatio System prima tecologia di trasmissioe di audio, video e dati completamete digitalizzata, che apre le porte alla multimedialità ella comuicazioe mobile cocepita iizialmete solo per effettuare telefoate) co l obiettivo di raggiugere aree territoriali a segmeti di mercato dove maca il supporto di ifrastrutture a bada larga, mateedo comuque la flessibilità ecessaria per garatire u servizio sempre all altezza ache quado il volume di traffico subisce sigificative variazioi e raggiugedo comuque ache la massima efficieza sul profilo dei costi. U altra grossa importate iovazioe sarà applicata al sistema di fatturazioe che sarà il primo i Italia i grado di mettere assieme tariffazioe a pacchetto e tariffazioe a servizio ovvero per bit e per tempo di coessioe. Tramite questo tipo di tecologia si è i grado ache di miimizzare l impatto ambietale sia grazie alla riduzioe del livello di ode elettromagetiche, sia grazie alle ridotte dimesioe degli apparecchi trasmissivi che visivamete riescoo ad itegrarsi meglio co l ambiete rispetto agli obsoleti ripetitori di secoda geerazioe. Grazie a tali obiettivi di realizzazioe, di uovi stadard d iovazioe e di qualità del servizio e propoedo offerte sempre ecoomicamete vataggiose per ogi tipo di cliete, 3 Italia si trova ad occupare il ucleo della catea del valore delle comuicazioi mobili di terza geerazioi sul ostro territorio..2 I DATI Per l aalisi che verrà effettuata ci è stato forito u dataset coteete iformazioi gioraliere di vario tipo, riferite a feomei come il traffico voce, il umero di chiamate, il umero di attivazioi/disattivazioi, ecc.. per il periodo 0/0/2004 3/03/2005. Le serie soo il umero di chiamate ed i miuti di coversazioe che ci si aspetta abbiao u adameto simile. Per stimare i diversi modelli si utilizzao i dati fio al 28/02/2005, metre l ultimo mese viee cosiderato per poter effettuare dei cofroti a fii previsivi. Da ua prima aalisi dei grafici delle due serie si ota che per etrambe le variabili si maifesta ua stagioalità settimaale ed u adameto di fodo caratterizzato 5

6 da u tred crescete ella prima metà delle osservazioi, ovvero dall 0/0/2004 al 3/2/2004, che si stabilizza ella secoda metà del periodo cosiderato. 6

7 Numero chiamate totali Miuti totali 7

8 Adiamo ad aalizzare da u puto di vista qualitativo la stagioalità delle due serie storiche, si è già detto che etrambe le variabili presetao u adameto molto simile di settimaa i settimaa, ma la cosa iteressate è che sia i miuti di chiamata, che il umero di chiamate cadao a picco proprio alla fie della settimaa tra il sabato e la domeica, mettedo i evideza il fatto che ei giori lavorativi si telefoa di più. Come già detto i precedeza le due serie presetao u particolare tred che prima cresce i modo lieare e poi diveta costate assumedo mediamete el secodo trimestre cosiderato u livello corrispodete a quello raggiuto ella prima parte della serie. Ioltre, si può osservare che i corrispodeza del 25 e 3 dicembre sia i miuti di coversazioe che le chiamate risultao, come ovvio, sigificativamete superiori rispetto alla media del periodo cosiderato. Queste caratteristiche (tred che cambia e valori aomali) potrebbero essere meglio colte da modelli o lieari che, tuttavia, o verrao utilizzati. Piuttosto verrà aalizzata la serie derivate dal rapporto tra miuti di chiamate e umero di chiamate, che forisce la media dei miuti per chiamata i ogi gioro del periodo, i modo da ridurre l effetto del tred e dei valori aomali. La serie risultate è riportata el grafico seguete. 8

9 Da u primo sguardo al grafico si ota, come ovvio il permaere della stagioalità settimaale, ma per quato riguarda la compoete tedeziale le cose soo migliorate. La preseza di ua compoete tedeziale è acora be visibile ma risulta atteuata rispetto alle due serie origiarie (cresce letamete elle quattro settimae di ottobre, raggiuge il suo massimo elle quattro settimae di ovembre e si abbassa uovamete a dicembre stabilizzadosi ella secoda metà del periodo cosiderato). Evideti soo ache i due break strutturali, uo a metà della serie che potrebbe redere difficile la costruzioe di u buo modello (i quato i questo lavoro o vegoo utilizzati metodi di stima i grado di gestire tali cambiameti di livello) e l altro i marzo (proprio ell ultimo periodo cosiderato per le previsioi) che sicuramete creerà degli icoveieti ella fase previsiva. 9

10 Capitolo 2 ANALISI DELLA SERIE CON I MODELLI SARIMA 2. PROCESSI STOCASTICI Secodo l approccio classico all aalisi delle serie storiche, il processo geeratore dei dati viee scritto come Y t = f ( t) + ε e l attezioe è posta pricipalmete sulla t parte determiistica f (t), cioè sulle compoeti di tred, ciclo e stagioalità, relegado la compoete stocastica ε t ad u ruolo residuale. Per alcui tipi di serie reali, come il prodotto itero lordo di u paese, o le quotazioi dei titoli di borsa, tale approccio risulta poco appropriato i quato potrebbe o essere presete alcua delle tre compoeti sopra citate oppure el caso lo siao potrebbe o essere possibile modellarli correttamete co metodi basati su fuzioi matematiche. I questi casi è più utile cercare di modellare la compoete stocastica ipotizzado che il processo che geera i dati sia goverato da regole probabilistiche. Secodo tale approccio, detto approccio modero all aalisi delle serie storiche, ε t viee cosiderato come u processo a compoeti correlate, per il quale cioè la covariaza tra osservazioi o cotemporaee può essere diversa da zero. I tale cotesto, l obiettivo o è più quello di arrivare ad ua stima delle compoeti di ua serie, ma piuttosto quello di idividuare u modello probabilistico che descriva l evoluzioe del feomeo i esame, modello che può essere usato ache a fii previsivi. ε t, 0

11 2.2 MODELLI SARIMA I modelli più comuemete usati per l aalisi delle serie storiche soo i modelli SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) S, che soo dei modelli misti di compoeti a media mobile e di compoeti autoregressive, che tegoo coto dell evetuale o stazioarietà e stagioalità di ua serie. Tali modelli cercao di spiegare l adameto di ua serie storica basadosi sulla storia passata, descrivedo il feomeo attraverso l adattameto sia della parte stagioale sia della parte o stagioale, perché ciò risulti possibile è ecessario che la serie studiata sia caratterizzata da ua forte correlazioe seriale ai ritardi stagioali (a distaza di ua settimaa el caso specifico di questa aalisi), oltre che all usuale autocorrelazioe di breve periodo. La procedura che permette di costruire u modello SARIMA che be si adatti ai dati a disposizioe, è stata proposta da Box e Jekis (976). 2.3 PROCEDURA DI BOX E JENKINS La cosa più importate di questa aalisi è quella di modellare la serie storica i esame i modo da poterla sfruttare al fie di prevedere i comportameti futuri del feomeo trattato. A tal scopo utilizziamo la procedura di Box e Jekis che permette la costruzioe di u modello SARIMA che rappreseti adeguatamete il processo geeratore dei dati e che si poggia su tre fasi fodametali che possoo essere ripetute più volte i maiera iterattiva: Idetificazioe Stima del modello Cotrollo diagostico 2.3. IDENTIFICAZIONE La prima fase quella di idetificazioe cosiste ella specificazioe dell ordie modello co l idividuazioe dei parametri p,d,q (ed evetualmete P, D, Q) cercado di ricooscere elle fuzioi di autocorrelazioe globale e parziale empiriche delle fuzioi di autocorrelazioe teoriche.

12 Nel caso i cui gli autocorrelogrammi empirici mettao i evideza u adameto per cui, le autocorrelazioi globali soo diverse da zero solo per i primi q ritardi (co q=,2, ) e le autocorrelazioi parziali tedoo ad aullarsi i maiera espoeziale o pseudo periodica, allora ci si trova i preseza di u processo a media mobile di ordie q. Nel caso ivece che siao le autocorrelazioi globali a tedere a zero i maiera espoeziale e le autocorrelazioi parziali siao diverse da zero solo per primi p ritardi, allora ci si trova i preseza di u processo auto regressivo di ordie p. I liea di massima, o ci si trova mai i situazioi ideali di questo tipo, ifatti potrebbe essere che sia le autocorrelazioi globali, che quelle parziali tedao a zero espoezialmete, oppure che gli adameti descritti i precedeza vegao disturbati da autocorrelazioi o ulle ai ritardi stagioali. Questi soo gli adameti che portao ad idetificare dei modelli misti, determiati cotemporaeamete sia da compoeti a media mobile, sia da compoeti autoregressive (sia stagioali che o stagioali). A redere difficoltosa l idetificazioe del modello possoo cotribuire elemeti come la o stazioarietà e la stagioalità. Questi elemeti di disturbo possoo essere comuque atteuati co applicado delle opportue trasformazioi matematiche. Ua volta che ci si è resi coto del tipo di modello bisoga per l apputo idividuare il umero ecessario di parametri, ovvero l ordie delle compoeti del modello seza però icorrere el problema della sovraparametrizzazioe. Per ovviare a questo icoveiete soo stati itrodotti dei criteri che assegao u costo all itroduzioe di ogi uovo parametro addizioale come quelli di AKAIKE (Asymptotic Iformatio Criterio) e di SCHWARZ (che coduce all idividuazioe di u modello più parsimoioso i termii di umero di parametri da stimare, questo perché il termie di pealità che il criterio impoe all itroduzioe di u uovo parametro si aulla meo velocemete all aumetare di rispetto a quello imposto dal criterio AIC). Viee scelto come umero di parametri quello che miimizza i due idici STIMA DEI MODELLI 2

13 Ua volta idividuato l ordie dei parametri (e di cosegueza il possibile processo geeratore dei dati) si passa alla fase di stima degli stessi, geeralmete co metodi basati sulla massimizzazioe della verosimigliaza CONTROLLO DIAGNOSTICO Questo è il passo fiale, i questa fase del lavoro si valuta l adeguatezza del modello stimato mediate opportue aalisi, dei residui (e t = y t ŷ t ). I residui di ua serie storica possoo essere trattati al pari di ua qualsiasi altra serie storica, sulla quale quidi è possibile calcolare le fuzioi di autocorrelazioe empiriche. L aalisi cosiste el verificare se la fuzioe di autocorrelazioe stimata è sigificativamete diversa da quella di u processo white oise. Se tutti i valori dell autocorrelazioe globale empirica stao all itero dell itervallo [-,96/ ;,96/ ], allora sigifica che, al livello di fiducia del 5%, o esiste correlazioe tra i residui e si può assumere il modello stimato come u buo modello. Altro metodo è il test di Ljug-Box, che si basa sulle segueti due ipotesi: H 0 : = 2 h = ρ ρ =... = ρ 0 residui icorrelati H : ρ 0 per almeo u i (,..., h) residui correlati i la statistica test di Ljug-Box, Q(h), è defiita come: h 2 Q( h) = ( + 2) ˆ ρ k, k k = e ell ipotesi che le autocorrelazioi dei residui siao white oise si ha che Q(h) si approssima come u χ 2 h p q. Altre aalisi sui residui possoo essere quelle sulla verifica della ormalità dei residui ed il test di casualità (si osserva il diagramma di dispersioe per verificare se gli stessi soo disposti a caso el piao oppure se seguoo u adameto sistematico). 3

14 2.4 MODELLI INDIVIDUATI L applicazioe della procedura di Box-Jekis ha portato all idetificazioe di due possibili modelli per la serie cosiderata: SARIMA(,0,0)(,0,2) 7 che modella direttamete la serie di parteza rapporto seza effettuare essu tipo di trasformazioe; SARIMA(,0,0)(0,,2) 7 che ivece modella la differeza stagioale di ordie 7 della serie rapporto SARIMA(,0,0)(,0,2) 7 I correlogrammi della serie rapporto che deve essere modellata soo rappresetati el grafico seguete. L aalisi delle fuzioi di autocorrelazioe ai primi ritardi fa ituire la preseza di ua compoete autoregressiva, di ordie uo. 4

15 Dai correlogrammi risulta evidete, la preseza della compoete stagioale, che probabilmete dipede sia da compoete auto regressiva che da compoete a media mobile. A questo puto proviamo a stimare il modello SARIMA(,0,0)(,0,0) 7 : y t = c + φ yt + Φ yt 7 + ε t dove t y è la variabile rapporto. I risultati della stima soo i segueti: Variable Coefficiet Std. Error t-statistic Prob. C AR() SAR(7) Akaike ifo criterio Schwarz criterio Tutte e tre le compoeti risultao statisticamete sigificative, quidi importati per descrivere il processo geeratore. Le fuzioi di autocorrelazioe empiriche soo rappresetate graficamete ella pagia che segue. 5

16 È possibile osservare, che i corrispodeza di diversi ritardi, sia le autocorrelazioi globali che quelle parziali escoo dalle bade di cofideza, questo è u idicatore di preseza di correlazioe tra i residui, evideza che viee cofermata dal test di Ljug-Box i cui p-value soo riportati ell ultima coloa a destra. Osserviamo, ifatti, cha a partire dal ritardo 4 o possiamo più accettare l ipotesi ulla di asseza di correlazioe tra i residui. Proviamo ad aggiugere al modello ua o due compoeti stagioali a media mobile. Stimiamo quidi il modello SARIMA(,0,0)(,0,) 7 : y t = c + φ yt + Φ yt 7 + Θ y yt 7 + ε t. 6

17 I risultati soo i segueti: Variable Coefficiet Std. Error t-statistic Prob. C AR() SAR(7) MA(7) Akaike ifo criterio Schwarz criterio La compoete a media mobile stagioale appea aggiuta o risulta statisticamete sigificativa al livello del 5%, ma sigificativa al 0%. Ache i criteri di Akaike e Schwarz risultao, seppur di pochissimo, maggiori a quelli del modello precedete, idicado che il modello precedete è migliore di questo. Osserviamo le fuzioi di autocorrelazioe empiriche dei residui: 7

18 Le fuzioi di autocorrelazioe o soo migliorate rispetto al modello precedete, ifatti, per alcui ritardi le autocorrelazioi escoo dalle bade di cofideza. Per quato riguarda il test di Ljug-Box si hao i p-value che rifiutao l ipotesi di i correlazioe dei residui già dal tredicesimo ritardo, il che ci porta a provare ad itrodurre ua uova compoete stagioale di ordie 2S=4 per vedere se troviamo u modello migliore. Stimiamo duque il modello SARIMA(,0,0)(,0,2) 7 cioè: y t = c + yt + Φ yt 7 + Θ yε t 7 + Θ 2ε t 4 φ + ε che forisce l output che segue: t Depedet Variable: RAPPORTO Variable Coefficiet Std. Error t-statistic Prob. C AR() SAR(7) MA(7) MA(4) R-squared Mea depedet var Adjusted R-squared S.D. depedet var

19 S.E. of regressio Akaike ifo criterio Sum squared resid Schwarz criterio Log likelihood F-statistic Durbi-Watso stat Prob(F-statistic) Tutte le compoeti risultao statisticamete sigificative ache quella stagioale a media mobile di ordie 7 che ella stima precedete o risultava tale. Osserviamo però che la stima del coefficiete della parte autoregressiva è prossimo ad. U valore così elevato ci fa pesare alla preseza di ua radice uitaria stagioale, ossia alla preseza di ua o stazioarietà dovuta alla compoete stagioale. Per questo motivo ache se l aalisi risulta come vedremo, soddisfacete, prederemo i cosiderazioe ache u modello o stazioario. Le fuzioi di autocorrelazioe empiriche dei residui dell ultimo modello stimato soo migliori di quelle relative ai modelli precedeti. Ache i p-value del test di Ljug-Box soo migliorati ache se, o soo comuque eccezioali, ma probabilmete data la otevole complessità dell adameto della serie e la probabile preseza di compoeti o lieari, u modello lieare migliore o si riesce proprio ad otteere. 9

20 Correlogramma dei residui del modello SARIMA(,0,0)(,0,2) 7 I valori dei criteri di Akaike e Schwarz soo dimiuiti rispetto ai modelli precedeti, il che ci porta a preferire tale modello a quelli stimati prima. Altri modelli (stazioari) provati o hao forito migliori risultati. Il grafico seguete preseta la serie cosiderata assieme a quella stimata, oché il grafico della serie dei residui che evidezia u valore aomalo i corrispodeza del 25 dicembre. 20

21 Valori stimati dal modello SARIMA(,0,0)(,0,2) 7 Probabilmete applicado ua qualche trasformazioe alla serie iiziale si potrebbero otteere dei risultati migliori ma o è detto. Ioltre dato che l obiettivo dell aalisi è quello di otteere delle previsioi si deve teer presete che o è detto che u modello migliore i fase descrittiva lo sia ache i fase previsiva. 2

22 2.4.2 SARIMA(,0,0)(0,,2) 7 Dal mometo cha abbiamo evideziato u radice auto regressiva stagioale molto prossima all uità, cosideriamo u modello che tega coto di ciò. Abbiamo quidi differeziato stagioalmete la serie. Gli auto-correlogrammi della serie differeziata stagioalmete si presetao i questo modo Risulta evidete la compoete auto regressiva di ordie uo, ioltre tutte le autocorrelazioi parziali soo pari a zero trae ai ritardi stagioali (7, 4, 2, ecc.) e questo fa ipotizzare che il processo geeratore di questa uova serie compreda ache ua compoete stagioale. 22

23 Stimiamo quidi il modello SARIMA(,0,0)(0,,) 7, cioè posto 7 z = ( B ) y si t t ottiee z t = c + φ z t + Θε t 7 + ε t. I risultati soo i segueti: Variable Coefficiet Std. Error t-statistic Prob. AR() MA(7) Akaike ifo criterio Schwarz criterio Etrambe le compoeti risultao sigificative, aalizziamo i residui del modello. I correlogrammi dei residui, come si può vedere ella pagia che segue o soo u gra che, soo evideti diverse autocorrelazioi che escoo dalle bade di cofideza i corrispodeza dei ritardi stagioali ed ioltre il test di Ljug-Box rifiuta quasi sempre l ipotesi di residui icorrelati. 23

24 A questo puto si può provare a vedere se aggiugedo u altra compoete di qualche tipo le cose migliorao. Qualsiasi compoete si teti di itrodurre el modello appea stimato risulta statisticamete o sigificativa, o comuque o determia migliorameti a livello di correlazioe, trae ua compoete stagioale a media mobile di ordie 2S (4), che ha portato a stimare il modello SARIMA(,0,0)(0,,2), ossia: posto 7 t = ( B yt si ottiee zt = c + z t + Θ t 7 + Θ 2 t 4 t z ) φ ε ε + ε Di seguito i risultati della stima: Depedet Variable: D(RAPPORTO,0,7) Variable Coefficiet Std. Error t-statistic Prob. AR() MA(7) MA(4) R-squared Mea depedet var Adjusted R-squared S.D. depedet var S.E. of regressio Akaike ifo criterio Sum squared resid Schwarz criterio I coefficieti stimati risultao tutti sigificativi e i criteri di Akaike e Schwarz soo iferiori a quelli del modello precedete, idicado pertato ua prefereza di quest ultimo modello. 24

25 Ache il test di Ljug-Box porta ad accettare l ipotesi di icorrelazioe tra i residui. Tutto ciò implica che il modello stimato può essere cosiderato u buo modello per rappresetare il processo geeratore dei dati Valori stimati dal modello SARIMA(,0,0)(,0,2) 7 25

26 A questo puto è ecessario verificare quale tra i due modelli è migliore i fase di previsioe. Per effettuare tale cofroto, stimiamo i due modelli solo fio al 28/02/2005, quidi calcoliamo le previsioi (diamiche) dell ultimo mese. A questo puto possiamo calcolare, per ogi modello cosiderato, gli errori di previsioe, e quidi degli idici basati su tali errori. Gli idici che prediamo i cosiderazioe, soo l errore quadratico medio di precisioe EQM = 2 e t t= e l errore medio assoluto di precisioe EMA = e t t=. Si sceglierà il modello per cui tali idici soo iferiori. 26

27 2.5 PREVISIONI CON MODELLI SARIMA I questo paragrafo verificheremo quale tra i due modelli idividuati e stimati sia i grado di prevedere meglio l adameto futuro del feomeo oggetto di studio. Osservado i grafici che cofrotao le previsioi dei due modelli co i valori reali della serie storica risulta evidete i particolare come per etrambi i modelli, ell ultima settimaa del mese di marzo le previsioi siao molto lotae dai valori realmete verificati. Questo icoveiete idica il fatto che probabilmete effettuare il rapporto tra la serie dei miuti e la serie del umero di chiamate o è stato sufficiete ad atteuare quei fattori (tred che cambia e valori aomali) che vegoo colti co difficoltà dai modelli lieari, e di ciò se e risete sia i fase di stima, sia i fase di previsioe. Nella pagia che segue soo riportati i grafici delle previsioi ed i valori degli idici di precisioe. 27

28 Già dal primo sguardo ai grafici si ituisce che il modello SARIMA stimato sulla serie differeziata stagioalmete è i grado di prevedere dove possibile, i maiera più accurata il comportameto del feomeo el mese di marzo/05. La coferma ci viee comuque data dai valori dell errore quadratico medio e dell errore medio assoluto, ifatti i due idici di botà vegoo miimizzati dal modello SARIMA(,0,0)(0,,2) 7 che quidi forisce previsioi più attedibili rispetto al SARIMA(,0,0)(,0,2) 7. SARIMA(,0,0)(0,,2) 7 SARIMA(,0,0)(,0,2) 7 EQM = 2 e t t= 0,0502 0, EMA = e t t= 0, ,

29 Capitolo 3 ANALISI DELLE SERIE COL METODO DI HOLT-WINTERS 3. LISCIAMENTO ESPONENZIALE Il metodo del lisciameto espoeziale è ua tecica utilizzata per smussare ua serie storica al fie di evideziare i movimeti di lugo periodo della serie stessa. Questo metodo ella sua forma più semplice cosete di effettuare previsioi di breve periodo (u passo i avati) ache su dati che o presetao u tred evidete. Utilizzado tale metodo ogi valore lisciato dipede da tutti i valori osservati precedetemete (e o soltato da quelli più receti). Grazie a questa particolarità il metodo del lisciameto espoeziale è ampiamete usato all itero delle aziede a scopo previsivo. Esistoo diversi tipi di lisciameto espoeziale, verrao trattati solamete quelli che cosiderao la compoete stagioale date le caratteristiche dei dati su cui si sta lavorado. 29

30 3.. METODO HOLT-WINTERS STAGIONALE ADDITIVO Questo metodo è basato sull ipotesi che i prossimità di la previsioe co orizzote temporale k può essere forita dalla retta: F +, k = y + T ( + k ) + S y + Tk S dove S è il fattore stagioale di periodo s. Le stime ecessarie per il calcolo della previsioe si calcolao di volta i volta tramite le segueti formule: y = α yˆ + T ˆ ) + ( α)( y Sˆ ) 0 < α < ( s Tˆ Tˆ + ( β )( yˆ yˆ ) 0 < β < Sˆ = = γ Sˆ + ( )( y yˆ γ ) 0 < γ < s Le tre costati di lisciameto geeralmete si scelgoo sulla base dell errore quadratico medio calcolato sulla distaza tra la serie lisciata e la serie di parteza. Per questa aalisi si è partiti dalle costati di lisciameto ottimali determiati dal programma R che tra le sue varie fuzioi è ache i grado di effettuare il lisciameto espoeziale di ua serie storica i modo automatico, e dopo vari tetativi si è riusciti a determiare la tera di costati che rede miimo l errore quadratico medio. Alla tera α=0.5, β=0.7, γ=0.7 corrispodoo i segueti valori degli idici EQM = 2 e t t= = 0, EMA = e t t= = 0, le previsioi corrispodeti soo graficamete rappresetate di seguito. Dal grafico si ituisce che emmeo co questo metodo si è riusciti a sopperire all icoveiete dovuto al break strutturale della serie ell ultimo periodo di previsioe, però per il resto i valori previsti rispecchiao graficamete abbastaza bee i valori reali. Dalla distaza tra valori previsti ed osservazioi si soo otteuti i segueti valori dell EQM=0, e dell EMA= 0,

31 3

32 3..2 METODO HOLT-WINTERS STAGIONALE MOLTIPLICATIVO Questo metodo è basato sull ipotesi che i prossimità di la previsioe co orizzote temporale k può essere forita dalla retta: F = y T k S y T k] S dove S è il fattore stagioale di, k [ + ( + )] [ + periodo s. Le stime ecessarie per il calcolo della previsioe si calcolao di volta i volta tramite le segueti formule: Livello: y = yˆ T ˆ y Sˆ α ( + ) + ( α) 0 < α < Tred: Tˆ β Tˆ + ( β )( yˆ yˆ ) 0 < β < = s Stagioalità: Sˆ γsˆ γ y = s + ( ) 0 < yˆ < γ I valori delle tre costati di lisciameto vegoo determiato co lo stesso procedimeto spiegato per il metodo additivo. I valori degli idici: EQM = 2 e t t= = 0,05094 EMA = e t t= = 0,03382 corrispodoo alla tera di costati α=0.67, β=0.96, γ=0.43. Le previsioi vegoo presetate graficamete di seguito, si ota che il grafico dei valori previsti segue piuttosto bee quello dei valori della serie el mese di marzo, l uica discrepaza la si ha come per tutti gli altri metodi ell ultima settimaa, dove la serie cambia il suo adameto. Per quato riguarda gli idici di botà riferiti alle previsioi si è otteuto EQM=0, ed EMA=0,

33 Tra i due metodi Holt-Witers quello che tra i due forisce previsioi migliori è quello stagioale moltiplicativo da che sia l errore quadratico medio, sia l errore medio assoluto soo miori rispetto a quelli foriti dal metodo additivo. 33

34 Capitolo 4 CONCLUSIONI Dopo aver modellato i dati co due diversi metodi (Box-Jekis e lisciameto espoeziale), lavorado sia sulla serie rapporto = miuti/chiamate, che sulla serie otteuta effettuado ua differeziazioe stagioale di ordie sette (i quato la cadeza della serie è settimaale) sulla stessa, abbiamo effettuato le previsioi. A questo puto abbiamo calcolato gli idici di botà di previsioe (Errore Quadratico Medio ed Errore Medio Assoluto) per le previsioi otteute dai due modelli SARIMA stimati e per quelle otteute tramite i due metodi di lisciameto espoeziale (additivo e moltiplicativo). Tali idici soo utili a livello comparativo, el seso che permettoo di stabilire quale procedura di stima porti a previsioi più attedibili rispetto ad altre. I risultati otteuti soo riassuti ella seguete tabella: TABELLA INDICI PREVISIVI EQM EMA SARIMA(,0,0)(0,,2) 7 0,0502 0,03083 SARIMA(,0,0)(,0,2) 7 0, , H-W stagioale additivo H-W stagioale moltiplicativo 0, , , ,03377 Dalla tabella precedete possiamo osservare che, per quato riguarda i modelli SARIMA(,0,0)(,0,2) 7 e SARIMA(,0,0)(0,,2) 7 quello che forisce previsioi più vicie ai valori reali è il modello o stazioario SARIMA(,0,0)(0,,2) 7 (che modella la serie differeziata stagioalmete). 34

35 Per quato riguarda ivece i metodi di Holt-Witers gli idici di previsioe ci portao a preferire il metodo stagioale moltiplicativo piuttosto che quello additivo. I geerale, il modello che ha portato ai migliori risultati i termii di previsioi è il SARIMA(,0,0)(0,,2) 7. 35

36 BIBLIOGRAFIA Box, G. E. P., ad Jekis, G. (976), Time Series Aalysis: Forecastig ad Cotrol, Holde-Day Di Fozo T., Lisi F. (2005), Serie storiche ecoomiche. Aalisi statistiche e applicazioi, Roma, Carocci Di Fozo T. (a.a ), Statistica Aziedale I - Lucidi del corso Le iformazioi riguardati l azieda provegoo dal sito: 36

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