Analisi delle correlazioni nel mercato italiano con l utilizzo della teoria delle matrici random

Transcript

1 Analisi delle correlazioni nel mercato italiano con l utilizzo della teoria delle matrici random

2 Sommario Cosa vedremo: 1 breve introduzione alle correlazioni tra titoli e alla teoria delle matrici random; 2 analisi dei dati del mercato italiano; 3 interpretazione dei risultati e discussione delle approssimazioni. Articolo di riferimento: Random matrix approach to cross correlation in financial data, V. Plerou et al., Physical Review E, 65, (2002).

3 Correlazioni tra titoli Presi due titoli azionari si può capire se i loro andamenti hanno delle somiglianze. Le quantità che si studiano sono le differenze dei logaritmi dei prezzi giornalieri (ritorni a un giorno). Per il titolo i-esimo: S i ln Y i (t) ln Y i (t 1).

4 Correlazioni tra titoli Definito un intervallo temporale di riferimento, si può quantificare la correlazione tra il titolo i-esimo e il titolo j-esimo calcolando il coefficiente di correlazione ρ ij = S i S j S i S j. Si 2 S i 2 Sj 2 S j 2 ρ ij può assumere valori da -1 (perfetta anticorrelazione) a +1 (perfetta correlazione). ρ ij = 0 significa che i due titoli sono scorrelati.

5 Correlazioni tra titoli Cosa fare se abbiamo un numero maggiore di 2 di titoli e vogliamo trovare delle informazioni interessanti? Avendo N titoli possiamo costruire una matrice C, di dimensioni N N che contiene i coefficienti di correlazione ρ ij (i, j = 1,..., N) di tutte le possibili coppie.

6 Correlazioni tra titoli La matrice C avrà le seguenti caratteristiche: è simmetrica (ρ ij = ρ ji ); ha tutti 1 sulla diagonale (ρ ii = 1 i = 1,..., N).

7 Correlazioni tra titoli Una volta costruita la matrice C, bisogna estrarre da questa le informazioni interessanti. Si confronta C con una matrice di correlazione random; si nota che il contenuto di C si separa in due gruppi: una parte compatibile con una matrice di correlazione random; una parte che devia da quanto previsto dalle correlazioni random (questa parte contiene le informazioni interessanti).

8 Proprietà delle matrici random Supponiamo di studiare le variazioni di prezzo giornaliere (considerando ad esempio le chiusure a fine giornata). Se scegliamo di analizzare i dati in una finestra temporale di L giorni, con N titoli, si può costruire una matrice G rettangolare N L tale che C = 1 L GG T.

9 Proprietà delle matrici random Si può costruire (tramite una simulazione) una matrice A, N L, contenente numeri casuali distribuiti secondo una gaussiana con media zero e varianza uno. Tutti gli elementi sono scorrelati. Si costruisce R = 1 L AAT

10 Proprietà delle matrici random Nel limite N e L, con Q L/N costante, la distribuzione degli autovalori di R è data da (λ+ λ)(λ λ ) con λ λ λ + e P(λ) = Q 2π λ λ ± = Q ± 2 1 Q.

11 I dati Sono stati presi in esame N=243 titoli del mercato azionario italiano che operano nella borsa di Milano. I titoli sono quasi tutti quelli compresi nei panieri degli indici FTSE-MIB, Smallcap, Microcap, Midcap, Italia Star, All-Share. I dati sono stati scaricati da Yahoo Finance 1. 1 finance.yahoo.com

12 I dati Il periodo studiato è di tre anni, dal al , corrispondente a L=764. Nell analisi L oscilla leggermente (varia da 760 a 764) in base alla particolare coppia di titoli considerata: questo è dovuto a dei buchi presenti nei dati (in alcuni titoli delle date non sono presenti).

13 Autovalori della matrice di correlazione Conteggi Coefficiente di correlazione ρ ij La distribuzione è spostata verso i valori positivi: è presente una correlazione globale di tutto il mercato.

14 Autovalori della matrice di correlazione È interessante calcolare gli autovalori di C e studiare la distribuzione di questi. Il confronto verrà effettuato con la distribuzione degli autovalori di una matrice di correlazione random con gli stessi valori di N e L. Per N=243 e L=764 si ha Q=3.13, da cui λ + = 2.45 λ = 0.19

15 Autovalori della matrice di correlazione Tramite una semplice simulazione di Montecarlo si genera R. Si riporta in un grafico la distribuzione degli autovalori calcolati e si effettua il fit con una funzione P rm (λ) = A P(λ) (A R) per trovare la corretta costante di normalizzazione A.

16 Autovalori della matrice di correlazione Risultato: P rm ( λ) Conteggi Autovalore λ

17 Autovalori della matrice di correlazione Nel calcolo dei coefficienti di correlazione sono state considerate le differenze dei logaritmi dei prezzi di chiusura di fine giornata.

18 Autovalori della matrice di correlazione Risultato:

19 Autovalori della matrice di correlazione Un confronto con la curva teorica P rm (λ) mostra chiaramente delle discrepanze tra il caso random e quello reale: c è un picco per valori molto piccoli (difficilmente spiegabile); alcuni autovalori cadono fuori dall intervallo consentito nel caso random. Da notare la presenza dell autovalore massimo λ 243, circa un ordine di grandezza maggiore degli altri.

20 Autovalori della matrice di correlazione Ci sono quattro autovalori nettamente distinti dagli altri. λ λ λ λ λ λ λ Ricordiamo che λ + = 2.45.

21 Autovettori della matrice di correlazione Per le matrici random è previsto che le componenti di ogni autovettore u i seguano una distribuzione gaussiana con media zero.

22 Autovettori della matrice di correlazione Calcoliamo le componenti degli autovettori u i e guardiamo le distribuzioni risultanti: u u u u

23 Autovettori della matrice di correlazione Per u 243 tutte le componenti partecipano. L autovalore λ 243 è quindi interpretabile come la correlazione che coinvolge l intero mercato. In pratica influenze esterne rilevanti (ad esempio di carattere macroeconomico, politico ecc.) si ripercuotono su tutti i titoli.

24 Autovettori della matrice di correlazione Per capire meglio questo fenomeno diamo la definizione di Inverse participation ratio (IPR). Per l autovettore k-esimo: I k N [uj k ] 4 j=1 L IPR assume un valore circa uguale al reciproco del numero di componenti dell autovettore che contribuiscono in maniera significativa. Se I k 1/N tutte le componenti dell autovettore k-esimo partecipano quasi allo stesso modo (il caso opposto è I k 1).

25 Autovettori della matrice di correlazione Inverse participation ratio : 1/N 243 I Autovalore λ

26 Autovettori della matrice di correlazione I 243 assume il valore più basso di tutti, molto vicino a 1/N. C è evidenza di una correlazione dell intero mercato che va rimossa.

27 Modello Consideriamo il seguente modello per l andamento temporale dei ritorni del titolo i-esimo: S i (t) = α i + β i M(t) + ɛ i (t). N.B.: M(t) non dipende da i. Ci piacerebbe riuscire a considerare per il titolo i-esimo il solo fattore ɛ i (t), che non tiene conto dell andamento globale del mercato.

28 Modello Nell articolo originale di Plerou et al. M(t) veniva calcolato sommando i ritorni di tutti i titoli pesati ciascuno secondo la rispettiva componente nell autovettore riferito all autovalore più grande. In questo caso, a causa della cattiva qualità dei dati, questa procedura presenta delle difficoltà tecniche rilevanti.

29 Correlazione con FTSE-MIB In questo caso per i valori di M(t) sono stati considerati i ritorni a un giorno dell indice FTSE-MIB. Come vedremo, si tratta di una approssimazione abbastanza forte.

30 Correlazione con FTSE-MIB S 26 (t) S 43 (t) M(t) M(t) S 100 (t) S 210 (t) M(t) M(t) Dai fit con la funzione S i (t) = α i + β i M(t) si estraggono i valori di α i e β i per i = 1,... N.

31 Correlazione con FTSE-MIB Si può ripetere l analisi effettuata fino ad ora considerando, al posto dei ritorni S i (t), le quantità ɛ i (t): ɛ i (t) = S i (t) α i β i M(t).

32 Correlazione con FTSE-MIB Conteggi Coefficiente di correlazione ρ 1 ij La distribuzione è abbastanza simmetrica rispetto allo zero. La correlazione globale sembra essere stata rimossa.

33 Correlazione con FTSE-MIB Distribuzione degli autovalori

34 Correlazione con FTSE-MIB Considerazioni: Rimane un autovalore fuori scala (anche se più piccolo rispetto a prima); escluso λ ɛ 243, sono emersi sei autovalori fuori dalla distribuzione random.

35 Correlazione con FTSE-MIB La presenza di λ 243 = lascia supporre che la rimozione dell effetto globale non sia stata pienamente efficace.

36 Correlazione con FTSE-MIB 0.14 Inverse participation ratio : 1/N 243 I Autovalore λ

37 Correlazione con FTSE-MIB Le componenti di uɛ 243 sono in maggior parte positive, esiste quindi ancora un effetto globale, ma dato che λ ɛ λ 243, questo assume un peso minore u

38 Correlazione con FTSE-MIB Non consideriamo l autovettore uɛ 243 in quanto ha un IPR paragonabile con 1/N (tutti i titoli tendono a partecipare). autovettore IPR num. di titoli che partecipano uɛ uɛ uɛ uɛ uɛ uɛ uɛ

39 Guardando le componenti dominanti degli autovettori maggiori si trovano gruppi di titoli che tendono ad avere una correlazione tra loro, cioè viaggiano congiuntamente.

40 Titoli u 242 ɛ cod. Denominazione Descrizione ENI ENI Petrolifero TEN Tenaris Tubi e servizi per petrolio e gas SPM Saipem Petrolifero, gruppo ENI TRN Terna Rete Elettrica Nazionale Italia ENEL ENEL Energia elettrica ACS ACSM-AGAM Distribuzione di gas e acqua ACE Acea Servizi acqua, energia, ambiente ACP Acque Potabili Servizi idrici IRC Irce Informatica e telecomunicazioni ASC Ascopiave Fornitura gas metano

41 Titoli u 241 ɛ cod. Denominazione Descrizione UCG Unicredit Banca Bancario ISP Intesa San Paolo Bancario BPSO Banco Popolare di Sondrio Bancario BMPS Banca Monte dei Paschi Siena Bancario CHL CHL Commercio elettronico BP Banco Pop. Società Coop. SCRL Bancario MB Mediobanca Bancario CVAL Credito Valtellinese Soc. Coop. Bancario ARE Arena Agroindustrie Alimentari Prodotti alimentari CED Caltagirone Editore Editoria

42 Titoli u 240 ɛ cod. Denominazione Descrizione ENEL ENEL Energia elettrica SRG Snam Rete Gas Fornitura gas TRN Terna Rete Elettrica Nazionale Italia ACE Acea Servizi acqua, energia, ambiente FSA Fondiaria-SAI Assicurativo PMI Banca Popolare di Milano Bancario MI Milano Assicurazioni Assicurativo MIT Mittel Holding, investimenti immobiliari HER Hera Holding, servizi ambientali UNI Unipol Gruppo Finanziario Bancario, assicurativo

43 Titoli u 239 ɛ cod. Denominazione Descrizione CL Cape L.I.V.E. SPM Saipem Petrolifero, gruppo ENI TEN Tenaris Tubi e servizi per petrolio e gas TFI Trevi Finanziaria Industriale Costruzioni gallerie DAN Danieli & C. Impianti siderurgici SRS Saras Petrolifero ERG Erg Petrolifero COG Cogene Set Componentistica automotive ENG Engineering Ing. Informatica Informatica ENI ENI Petrolifero

44 Titoli u 238 ɛ cod. Denominazione Descrizione CVAL Credito Valtellinese Soc. Coop. Bancario CRG Banca Carige Bancario ASC Ascopiave Fornitura gas metano BPSO Banco Popolare di Sondrio Bancario AUTME Autostrade Meridionali Infrastrutture BPE Banca Pop. Emilia Rom. Bancario BF Bonifica terreni ferraresi Industria UCG Unicredit bancario CRA Credito Artigiano Bancario CIR CIR Holding

45 Interpretazione dei risultati raggruppa titoli energetici (petroliferi, energia elettrica, acqua), mentre uɛ 241 raggruppa titoli bancari. In uɛ 240 sono presenti u 242 ɛ di nuovo energetici e bancari, con qualche assicurativo e delle holding. Gli autovettori successivi non rivelano gruppi di categorie nuove di titoli.

46 Interpretazione dei risultati Un ipotesi è che l aver usato l indice FTSE-MIB (che comprende le maggiori 40 società quotate nel mercato italiano) per rimuovere l andamento globale ha avuto effetto solo sui titoli a maggior capitalizzazione, toccando poco i titoli minori (appartenenti ad altri indici meno importanti).

47 Interpretazione dei risultati Conclusioni: emergono chiaramente due gruppi di titoli: energetici e bancari; l analisi non è perfetta, è migliorabile usando dei dati più affidabili o trovando degli stratagemmi computazionali.