LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI

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1 Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUATITATIVI La variabilità di u isieme di osservazioi attiee all attitudie delle variabili studiate ad assumere modalità quatitative diverse. I termii variabilità, dispersioe o variazioe soo tra loro sioimi. Come è oto, la media aritmetica è ua misura di sitesi, che forisce iformazioi sulla posizioe occupata dalle osservazioi ordiate sul cotiuum ideale impiegato per rappresetare la variabile. Questa da sola o è sufficiete a sitetizzare compiutamete il feomeo osservato. È quidi ecessario associarle ua misura, che forisca iformazioi sul grado di diversità delle osservazioi ordiate sul cotiuum. I altre parole, metre la media ci dice dov è la distribuzioe ordiata sul cotiuum, ua misura di variabilità ci dice quato è ampia la porzioe di cotiuum occupata dalla distribuzioe ordiata, o quato soo diverse le osservazioi dalla media. Disporre di ua misura di variabilità cosete di cooscere l ammotare di dispersioe presete i u isieme di dati. Esistoo idici di variabilità diversi, per tipi diversi di variabilità: ad esempio, potremmo essere iteressati a cooscere il grado di diversità tra le sigole osservazioi (differeze), o a cooscere il grado di diversità delle sigole osservazioi, rispetto ad u valore cetrale di riferimeto (scostameti). O, acora, potremmo essere iteressati a cooscere la variabilità di u uico isieme di dati (variabilità assoluta), o a cofrotare di due o più isiemi di dati, rispetto alla variabilità i essi osservata (variabilità relativa). I ogi caso, scelto il tipo di variabilità e l opportuo idice, questo dovrebbe soddisfare tre proprietà, ovvero essere:. pari a zero, se tutti i valori osservati soo uguali, ovvero quado la variabilità della distribuzioe è ulla;. diverso da zero, se i valori osservati soo diversi tra loro, ovvero quado la variabilità della distribuzioe è o ulla; 3. crescete al crescere del grado di diversità tra i valori osservati, ovvero quado la variabilità della distribuzioe crescere. Ad esempio, se i valori osservati soo tra loro molto simili, sebbee diversi, l ammotare di variabilità sarà di modesta etità. Più i geerale, u idice di variabilità deve essere i grado di soddisfare due proprietà: i. assumere valore zero se e solo se tutti i termii della distribuzioe osservata soo uguali tra loro; ii. variare al variare della diversità tra i valori osservati. La prima proprietà garatisce che se u idice di variabilità è uguale a zero, allora tutti i valori osservati soo uguali tra loro (e uguali alla media della distribuzioe, se scegliamo di usare gli scostameti). I tal caso la distribuzioe è perfettamete idividuata e qualuque sia l idice di variabilità scelto, questo assumerà ecessariamete valore pari a zero. La secoda proprietà richiede geericamete ad u idice di variabilità di riflettere il diverso grado di variabilità che i valori possoo esibire, crescedo/dimiuedo al crescere/dimiuire della diversità tra i valori osservati. Per le variabili quatitative, ci occuperemo essezialmete di misure di variabilità basate sugli scostameti e di poche ed elemetari misure basate su semplici differeze. Studieremo misure di variabilità assoluta e relativa. Docete: Fabio Aiello A.A. 00/

2 Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea LA VARIABILITÀ ASSOLUTA Qui di seguito sarao esposte alcue misure di variabilità assoluta, ovvero della dispersioe di u uico isieme di dati, assumedo che si tratti di osservazioi ordiate, (x, x,, x ), di ua variabile X. Queste misure, come quelle di tedeza cetrale, si calcolao opportuamete i base al modo i cui soo orgaizzati i dati. L ITERVALLO DI VARIAZIOE (RAGE) Sia data la distribuzioe per uità di osservazioi, orgaizzate i graduatoria secodo u ordie o decrescete: x x x. Ua misura elemetare della dispersioe di questa distribuzioe è l itervallo di variazioe, o rage (R). Esso è u idice di variabilità assoluta ed è dato dalla differeza fra due particolari valori osservati ell isieme di dati: il valore più grade, o massimo, (x max ) ed il valore più piccolo, o miimo, (x mi ). Poiché gli valori soo ordiati, x max =x e x mi =x ed il rage R è: R = x x. [] L utilità del rage è molto limitata, poiché esso tiee coto soltato dei due valori estremi della distribuzioe, igorado qualsiasi iformazioe sul comportameto dei valori itermedi. A rigore ifatti il rage o è u buo idice di variabilità, perché disattede la secoda proprietà, dato che o varia al variare della diversità dei valori compresi tra gli estremi. Ifatti, esso varia solo se varia la diversità tra i valori estremi, gli uici da cui dipede. Riassumedo, R è ua misura grossolaa della variabilità e, ache se molto usato perché facile da calcolare, deve essere usato co attezioe, perché affetto da due limiti:. o cosidera tutti i termii della distribuzioe;. è sufficiete u solo valore aomalo, o outlier, tra x o x, per modificare sesibilmete il valore, qualuque sia la dispersioe di tutti gli altri termii compresi tra x e x. Il vataggio dell uso di R è fodametalmete legato alla sua semplicità di calcolo e all immediatezza d iterpretazioe che lo cotraddistigue. LA DIFFEREZA ITERQUARTILE È ua misura di variabilità assoluta che cosete di superare, almeo parzialmete, l icoveiete del rage. Ach essa è calcolata come differeza tra due soli termii della distribuzioe, ma cosidera, due valori meo estremi della distribuzioe, il primo quartile, Q, ed il terzo, Q 3 : DI = Q 3 Q. [] Aaloghe misure possoo essere calcolate impiegado le differeze tra i percetili o i decili. I ogi caso tutti questi idici a rigore o possoo essere cosiderati dei veri e propri idici di variabilità, perché soo tutti affetti dal problema al puto ) del paragrafo precedete. LA VARIAZA A differeza delle due precedeti misure di variabilità, basate sulla differeza tra coppie di valori opportuamete scelti, la variaza è ua misura di sitesi della dispersioe dei valori osservati rispetto alla media aritmetica. Essa misura di quato, i media, i valori osservati differiscoo dalla loro media (aritmetica). Docete: Fabio Aiello A.A. 00/

3 Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea I geerale, quado i valori di u isieme di dati soo:. molto cocetrati (poco dispersi) itoro alla loro media, la variabilità è bassa e il valore della variaza piccolo;. poco cocetrati (molto dispersi) itoro alla loro media, la variabilità è alta e il valore della variaza grade. È chiaro che il valore assuto dalla variaza el caso è certamete miore di quello el caso. È importate calcolare ua misura di variabilità che tega coto della dispersioe dei valori osservati itoro alla loro media. Tale misura è u calcolata attraverso u rapporto, detto apputo variaza (σ ). Il umeratore, la deviaza, è dato dalla somma dei quadrati delle differeza (scarti) tra ciascu valore osservato, x i, e la media, μ. Il deomiatore è dato, ivece, dal umero di termii (gli scarti) della sommatoria, ovvero dal umero di osservazioi. Le quatità vao idividuate opportuamete, i relazioe al modo i cui soo ordiate le osservazioi. Ifatti: - se si ha ua distribuzioe di dati idividuali ordiati, allora la formula della variaza è: ( x μ ) i σ i= =. [3] - se si ha ua distribuzioe di frequeza i modalità, allora la formula della variaza è: σ = = ( x μ ) =. [4] Se, ivece, i valori osservati soo distribuiti i classi, aalogamete a quato visto per il calcolo della media aritmetica, ella formula [4], si sostituisce alla -esima modalità, x, il valore cetrale della classe -esima, c x : σ = c ( x ) μ = =. [5] Se la variaza è riferita a dati campioari, al deomiatore va posta la quatità ( ) e o. La formula ridotta per il calcolo della variaza Quado il umero delle osservazioi è elevato, l uso delle formule precedeti può essere troppo dispedioso. È utile allora ricorrere alle formule ridotte della variaza, che soo rispettivamete: - per osservazioi: x σ i xi i= i= = - per modalità (o classi): σ = ( x) x = = = = che forisce la variaza come differeza tra la media quadratica e la media aritmetica al quadrato., Docete: Fabio Aiello A.A. 00/ 3

4 Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea È utile fare ua riflessioe circa il fatto che la variaza è espressa come risultato di differeze al quadrato tra valori espressi co idetica uità di misura e ordie di gradezza. Pertato, il valore fiale di σ sarà espresso i uità di misura al quadrato! LA SCARTO QUADRATICO MEDIO Come abbiamo detto el paragrafo precedete la variaza, σ, è otteuta come media degli scarti al quadrato dei valori osservati dalla media; pertato, o è espressa ella stessa uità di misura dei valori osservati x i. Per perveire a u idice di variabilità più sfruttabile, perché espresso ell uità di misura origiaria dei dati, è ecessario estrarre la radice quadrata della variaza. Tale operazioe coduce allo scarto quadratico medio, σ (se riferito agli valori di ua Popolazioe), oppure, alla deviazioe stadard, s (se riferito agli valori di u Campioe). I geerale, lo scarto quadratico medio di valori distribuiti i modalità è: σ = = ( x μ) = Come el caso della variaza, se la misura è riferita a dati campioari a deomiatore deve essere posta la quatità ( ). Ache questo idice esprime di quato i media ciascua osservazioe si scosti dalla propria media.. LA VARIABILITÀ RELATIVA IL COEFFICIETE DI VARIAZIOE Lo scarto quadratico medio (σ) è u importate misura di variabilità di uo specifico isieme di dati. Ma, quado l obiettivo è valutare e cofrotare la variabilità di due o più isiemi di dati, o è sufficiete, é tato meo corretto ricorrere ai sigoli scarti quadratici. I casi i cui sia utile cofrotare la variabilità di più isiemi di dati soo molteplici. Può verificarsi che i dati i studio siao relativi a osservazioi della stessa variabile i tempi e/o i luoghi diversi, espressi quidi co uità di misura e ordie di gradezza diversi: ad esempio, se si misura il reddito procapite i: Paesi diversi, co valute diverse, allora le osservazioi soo espresse i uità di misura diverse (ad esempio, dollaro i USA, euro i Italia, sterlia i GB, ecc.); oppure, i epoche diverse, allora le osservazioi possoo essere espresse i uità di misura e ordii di gradezza diversi (i Italia egli ai 930 il reddito medio auale procapite era di circa..00, egli ai 70 era di circa , egli ai 90 di circa.508,77). Altrimeti, si può essere iteressati a cofrotare la variabilità di due feomei diversi co uità di misura diverse, osservati sempre su u uica popolazioe di soggetti: ad esempio, i livelli di colesterolo (espressi i mg/00 ml) e la massa corporea (espressa i g) di u gruppo di pazieti di u ospedale. Ifie, ache se l uità di misura è idetica, si può essere iteressati a cofrotare gruppi di dati le cui medie soo molto diverse fra loro rispetto all ordie di gradezza; come quado si cofrotao due gruppi diversi di soggetti, rispetto alla massa corporea, dove il primo è composto da scolari di ua classe elemetare e il secodo da matricole uiversitarie. Se si ricorre alla deviazioe stadard dei pesi (espressi per etrambi i gruppi i g) è certo che la deviazioe stadard del secodo gruppo assume u valore umerico decisamete maggiore della deviazioe stadard del primo gruppo (σ > σ ). Ciò avviee perché i pesi degli studeti uiversitari assumoo valori decisamete maggiori di quelli degli scolari. I tal caso, l uità di misura è comue ai due gruppi (i g), ma la differeza osservata tra i due gruppi i termii di variabilità è spiegabile sia attraverso la differete dispersioe delle masse corporee misurate, sia attraverso i differeti ordii di gradezza delle misure rilevate, che soo specifici per ciascuo dei due gruppi di soggetti. Quidi, possiamo dire che lo scarto Docete: Fabio Aiello A.A. 00/ 4

5 Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea quadratico medio produce ua misura della variabilità che è affetta dall uità di misura e dall ordie di gradezza dei dati sui quali è calcolato. I casi come quelli esemplificati, quado l obiettivo è cofrotare gruppi di dati i base alla loro variabilità, l uso di ua misura di variabilità assoluta o è corretto; i tali casi è meglio ricorrere ad ua misura di variabilità relativa. La misura più diffusa è il coefficiete di variazioe (CV), dato dal rapporto tra lo scarto quadratico medio e la media aritmetica, ovvero: CV = σ μ 00 moltiplicato per 00, per amplificare il risultato. Il rapporto tra due quatità espresse ella stessa uità di misura e ordie di gradezza, produce ua misura scevra da queste. Ciò sigifica che il coefficiete di variazioe è idipedete sia dall uità di misura, che dall ordie di gradezza. Per questo motivo esso è u umero puro. Riprediamo l esempio e suppoiamo di avere misurato la massa corporea dei soggetti descritti ella tabella qui di seguito: Esempio: Risultati per due gruppi di maschi. Variabili Gruppo Gruppo Età matricole scolari Peso medio μ = 70 g μ = 36 g Deviazioe stadard (σ) σ = 4,5 g σ = 4,5g Vogliamo sapere se è più variabile il peso delle matricole o degli scolari. Se basassimo il cofroto sulle due deviazioi stadard potremmo cocludere erroeamete che i due gruppi hao uguale variabilità. Se ivece ci affidiamo ai due coefficieti di variazioe, avremo:. gruppo matricole: CV = (4,5/70) 00 = 6,4;. gruppo scolari: CV = (4,5/36) 00 =,5. Emerge chiaramete la diversa variabilità osservata ei due gruppi e si può cocludere che la massa corporea osservata ei più giovai è molto più variabile di quella osservata ei più aziai. Docete: Fabio Aiello A.A. 00/ 5

6 Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUALITATIVI Quado l oggetto del proprio studio è u carattere qualitativo, il cocetto di variabilità è iteso i termii di mutabilità, ovvero l attitudie di u carattere ad assumere diverse modalità qualitative. Ache i questo cotesto si costruiscoo idici di mutabilità. Per fare ciò è ecessario itrodurre il cocetto di omogeeità di u collettivo rispetto ad u carattere e, per coverso, quello di eterogeeità. U collettivo si dice omogeeo rispetto ad u carattere qualitativo se tutte le sue uità hao la stessa modalità del carattere. Per coverso, u collettivo è tato più eterogeeo rispetto al carattere, quato più le frequeze si ripartiscoo uiformemete tra le varie modalità che esso può assumere. Come per gli idici di variabilità, u idice di mutabilità deve:. assumere valore zero se e solo se il collettivo è omogeeo;. variare al variare dell eterogeeità tra i termii. IDICI DI ETEROGEEITÀ IDICE DI GII L idice di Gii gode di tutte le proprietà degli idici di eterogeeità. Si pesi a u carattere qualitativo co modalità. L idice di Gii (S) assume la forma: i S = f. i= Esso vale zero se e solo se il collettivo è omogeeo: ifatti, i questo caso si osserverà solo ua delle modalità del carattere, che avrà frequeza assoluta pari a. Quidi, le frequeze relative delle restati modalità sarao ulle, trae quella della modalità osservata, che varrà uo. I tal caso l idice assume il suo valore miimo: mi(s) = = 0 L idice S assume, ivece, il suo valore massimo quado le frequeze soo uiformemete distribuite tra tutte le modalità, ovvero i caso di massima eterogeeità: Modalità Frequeze ass. f i f i a / / / a / / / a i / / / a / / / ed è: max(s) = =. Il max(s) serve per calcolare l idice di eterogeeità relativo, S *, rapportado l idice assoluto S, calcolato sulla distribuzioe osservata del carattere, al massimo calcolato sulla distribuzioe teorica. Tale idice ormalizzato serve per cofrotare l eterogeeità misurata su più collettivi, i particolare quado è diverso il umero di modalità delle distribuzioi da porre a cofroto. S * = S max( S) Docete: Fabio Aiello A.A. 00/ 6

7 Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea IDICE DI ETROPIA È u altro idice di eterogeeità molto i uso. Si assuma acora u carattere co modalità: H = f log( f) = dove log(f ) è il logaritmo i base qualsiasi di f. Ache il massimo di H si ottiee da ua distribuzioe teorica massimizzate dell eterogeeità ed è uguale a: max(h) = log log = dove log () idica il logaritmo i base di f. i=.b. È da otare che gli idici di eterogeeità applicati alla distribuzioe di frequeza di u carattere impiegao solo ed esclusivamete l iformazioe relativa alle frequeze (idifferetemete o f ); metre la variaza impiega sia l iformazioe relativa alle frequeze (idifferetemete o f ), sia quella relativa alla determiazioe quatitativa osservata del carattere (la modalità x ). Docete: Fabio Aiello A.A. 00/ 7