PERIZIA TECNICA RIFERIMENTO: AUMENTO VELOCITA MOTO OSCILLATORIO CAMPANE PARROCCHIA DI BREGUZZO (TN) VERIFICA TECNICA

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1 PERIZIA TECNICA RIFERIMENTO: AUMENTO VELOCITA MOTO OSCILLATORIO CAMPANE PARROCCHIA DI BREGUZZO (TN) COMMITTENTE: ELETTROIMPIANTI AUDEMA - CASTREZZATO (BS) OGGETTO: VERIFICA TECNICA

2 PREMESSE Il sottoscritto Dott. Ing. Mauro Taglietti, iscritto all Ordine degli Ingegneri della Provincia di Brescia col n 3816, corrente in Via Dante Alighieri n Orzinuovi (BS), 118, è stato incaricato dalla Ditta ELETTROIMPIANTI AUDEMA di Orizio Claudio con sede in Castrezzato (BS), Via Ferramola 3, ditta appaltatrice delle opere di manutenzione e restauro del concerto campanario, di effettuare i controlli previsti dalle vigenti normative tecniche sui bronzi del citato castello, elementi oggetto di una riduzione delle masse di contrappeso esterno (bocce) al fine di aumentare il periodo di oscillazione dell elemento, come da richiesta impartita dall Ufficio Musica Sacra della Curia di Trento. Accettando il gradito incarico lo scrivente tecnico procede alla stesura della perizia in oggetto, suddivisa nei seguenti capitoli: 1. Introduzione; 2. Verifica tecnica di fattibilità; 3. Reazioni vincolari del moto oscillatorio; 4. Conclusioni. 1. INTRODUZIONE Come citato, oggetto di perizia è la verifica di fattibilità circa la riduzione del peso delle bocce di bilanciamento del corredo ai bronzi del citato campanile, il tutto al fine di aumentare la velocità di rotazione delgli elementi e, quindi, variarne il tenore sonoro all interno del concerto, oltre alla rotazione degli stessi di 90 rispetto all asse verticale in modo tale da riportare il punto di battuta dei batacchi sui singoli mantelli in un punto a spessore integro rispetto al punto di battuta che attualmente si manifesta generalmente assottigliato (usurato) da decenni di battute. Allo stato attuale i bronzi hanno le seguenti caratteristiche: Prima campana: diametro mm1200, peso di Kg970; peso corredo (ruota, ceppi, maniglie, bocce, etc.) Kg680; sistema imperniato sulle strutture portanti lignee attraverso perni in acciaio Fe430 del diametro di mm35; la rotazione avviene attraverso cuscinetti a sfera tipo SKF BS 200 con diametro esterno mm82 e larghezza mm19; allo stato dei fatti la campana ha un angolo di oscillazione di circa 210 (punto morto anteriore e posteriore posto a circa 15 dal piano orizzontale passante per il perno stesso) e, a regime, il periodo di oscillazione viene coperto in circa

3 Seconda campana: diametro mm1070, peso di Kg680; peso corredo (ruota, ceppi, maniglie, bocce, etc.) Kg480; sistema imperniato sulle strutture portanti lignee attraverso perni in acciaio Fe430 del diametro di mm35; la rotazione avviene attraverso cuscinetti a sfera tipo SKF BS 200 con diametro esterno mm82 e larghezza mm19; allo stato dei fatti la campana ha un angolo di oscillazione di circa 210 (punto morto anteriore e posteriore posto a circa 15 dal piano orizzontale passante per il perno stesso) e, a regime, il periodo di oscillazione viene coperto in circa Terza campana: diametro mm960, peso di Kg485; peso corredo (ruota, ceppi, maniglie, bocce, etc.) Kg340; sistema imperniato sulle strutture portanti lignee attraverso perni in acciaio Fe430 del diametro di mm30; la rotazione avviene attraverso cuscinetti a sfera tipo SKF BS 200 con diametro esterno mm72 e larghezza mm19; allo stato dei fatti la campana ha un angolo di oscillazione di circa 210 (punto morto anteriore e posteriore posto a circa 15 dal piano orizzontale passante per il perno stesso) e, a regime, il periodo di oscillazione viene coperto in circa Quarta campana: diametro mm900, peso di Kg410; peso corredo (ruota, ceppi, maniglie, bocce, etc.) Kg290; sistema imperniato sulle strutture portanti lignee attraverso perni in acciaio Fe430 del diametro di mm30; la rotazione avviene attraverso cuscinetti a sfera tipo SKF BS 200 con diametro esterno mm72 e larghezza mm19; allo stato dei fatti la campana ha un angolo di oscillazione di circa 210 (punto morto anteriore e posteriore posto a circa 15 dal piano orizzontale passante per il perno stesso) e, a regime, il periodo di oscillazione viene coperto in circa Quinta campana: diametro mm780, peso di Kg295; peso corredo (ruota, ceppi, maniglie, bocce, etc.) Kg210; sistema imperniato sulle strutture portanti lignee attraverso perni in acciaio Fe430 del diametro di mm25; la rotazione avviene attraverso cuscinetti a sfera tipo SKF BS 200 con diametro esterno mm72 e larghezza mm19; allo stato dei fatti la campana ha un angolo di oscillazione di circa 210 (punto morto anteriore e posteriore posto a circa 15 dal piano orizzontale passante per il perno stesso) e, a regime, il periodo di oscillazione viene coperto in circa Tutti i menzionati cuscinetti a sfera di banco risultano notevolmente sovradimensionati rispetto alle masse in gioco ed alla modestia della velocità di rotazione rilevata per ogni singolo elemento.

4 2. VERIFICA TECNICA DI FATTIBILITA Come ribadito l intervento prevede la rimozione delle tre masse stabilizzatrici in ferro (Kg25 per prima e seconda campana; Kg21 per le altre note del concerto), con identici elementi in alluminio cavo, con una conseguente riduzione delle masse oscillanti di circa 18-20Kg. L operazione, a livello formale, determina: Una riduzione della forza d inerzia agente sulla campana; La sostanziale invarianza dei carichi statici agenti sui perni di banco; Un leggero incremento della velocità angolare connotante il moto oscillatorio; Un leggero aumento della forza centripeta e, quindi, delle reazioni verticali ed orizzontali agenti sul perno di rotazione. Allo stesso modo l incremento della velocità di oscillazione dei bronzi (che formalmente determina una riduzione del periodo di oscillazione T), determinerà un leggero aumento della forza di battuta del batacchio sul mantello interno della campana ( forza d impatto legata alla caduta di gravità del batacchio che percuote il mantello della campana che ruota con verso opposto a quello di caduta dello stesso). Detto questo è stata ricercata nella stampa tecnica un analisi che permettesse di valutare con sufficiente approssimazione la legge oraria e, quindi, le reazioni vincolari che governano il moto armonico della campana. Nel capitolo successivo si dimostrerà l ovvio legame esistente tra la velocità angolare e le masse della campana.

5 Capitolo undicesimo 3. REAZIONI VINCOLARI DL MOTO OSCILLATORIO 3.1 Equazione del moto della campane Il moto oscillatorio delle campane può essere considerato,con qualche approssimazione, analogo al moto di un pendolo in regime di grandi oscillazioni. Il moto oscillatorio può essere descritto con la seguente equazione: Dove: (3.1) angolo di inclinazione della campana rispetto alla posizione di equilibrio; accelerazione angolare della campana; massa della campana; accelerazione di gravità; distanza baricentro-asse di rotazione; momento d inerzia della campana rispetto all asse di rotazione. Poiché, con momento d inerzia baricentrico, allora la (3.1) diventa: (3.2) dove rappresenta la lunghezza ridotta del pendolo equivalente e vale: (3.3) Il momento d inerzia baricentrico è stato calcolato approssimando il solido campanario come un cilindro di spessore infinitesimo e di raggio pari al raggio mediano esterno della campana:

6 - (3.4) Alla (3.2) si perviene per via diretta considerando l equilibrio di un punto materiale di massa vincolato a muoversi lungo una circonferenza di raggio giacente su un piano verticale. Supponiamo che il vincolo sia ideale, che siano assenti forze resistenti di qualunque tipo e che l unica forza attiva sia la forza peso Equilibrio di una massa attaccata ad un punto mediante un filo inestensibile Consideriamo l equilibrio del pendolo in direzione tangenziale e in direzione normale alla traiettoria durante il moto: (3.5) Ponendo: (3.6) La (3.5) diviene: (3.7) Dalla prima si ricava la legge oraria, mentre dalla seconda si trova la reazione vincolare. La (3.2) è un equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti, ma non è lineare. La sua soluzione è piuttosto complicata e contiene una funzione, detta senamplitude, che fa parte delle

7 - cosiddette funzioni ellittiche di Jacobi. Queste funzioni possono essere espresse come primitive di funzioni note, oppure come sviluppo in serie di funzioni, ma non per mezzo di un numero finito di funzioni elementari. Moltiplicando rispettivamente per il seno e il coseno dell angolo reazione vincolare, è possibile ottenere la componente verticale la (3.8) e la componente orizzontale. (3.9) 3.2 Risoluzione dell equazione del moto Non essendo possibile risolvere in forma chiusa l equazione differenziale che descrive l andamento della legge oraria del pendolo ci si è avvalsi ancora una volta dell ausilio del codice di calcolo agli elementi finiti Pro Sap. Prima di tutto sono state raccolte le informazioni geometriche sulle campane di un campanile simile a quello oggetto di perizia, quindi sono state rielaborate in comparazione al nostro specifico caso. Massa (Kg) Diametro (m) Raggio Mediano (m) Momento d'inerzia baricentrico H (m) h(m) h'(m) I rispetto asse di rotazione Prima 970 1,200 0, , ,2254 0,8627 0, , Seconda 680 1,070 0, , ,0684 0,6842 0, , e ,900 0, , ,9517 0, , , Quinta 295 0,780 0,2287 4, ,8488 0,5244 0, , Successivamente le campane sono state modellate mediante una biella di lunghezza pari alla lunghezza caratteristica come definita nella (3.3). All estremità non vincolata della biella si suppone sia concentrata tutta la massa della campana.

8 3. 2 Modellazione del pendolo in grandi oscillazioni con Pro Sap Una volta modellate le campane sul codice di calcolo è stata eseguita una analisi dinamica non lineare, tenendo conto della sola non linearità geometrica del problema, assumendo come condizioni iniziali: L unica forzante agente quindi è la sola forza di gravità; sono state assunte condizioni iniziali differenti in ciascuna campana per quanto riguarda la posizione iniziale del pendolo. Terminata l analisi sono state quindi plottati gli andamenti delle reazioni orizzontali e verticali per ciascuna campana Reazione orizzontale prima campana

9 3. 4 Reazione verticale prima campana 3. 5 Reazione orizzontale seconda campana

10 3. 6 Reazione verticale seconda campana 3. 7 Reazione orizzontale terza e quarta campana

11 3. 8 Reazione verticale terza e quarta campana 3. 9 Reazione orizzontale quinta campana

12 4. CONCLUSIONI Dall analisi si evince la ovvia e stretta corelazione esistente tra velocità angolare e masse oscillanti (campane con corredo). Poiché: 1. l intervento di alleggerimento delle bocce risulta ininfluente rispetto alla totalità delle masse in movimento; 2. il conseguente e altrettanto poco significativo aumento della velocità angolare; 3. poiché il periodo di oscillazione a regime della campana è forzato dall intervento di forze esterne (motore elettrico); 4. conseguentemente anche la rotazione verticale di 90 delle campane determina uno spostamento infinitesimo delle masse oscillanti; 5. visto il notevole spessore del mantello della campana nel punto di battuta del batacchio Lo scrivente tecnico sancisce la fattibilità dell intervento proposto poiché, alla luce di quanto esposto, risulta: banale l incemento della velocità di oscillazione della campana; banale la riduzione delle masse oscillanti. Conseguentemente, vista la correlazione esistente tra i due parametri nelle equazioni della legge oraria del moto oscillatorio e nelle reazioni vincolari, risultano trascurabili gli incrementi delle reazioni vincolari agenti sui cuscinetti e sui perni di banco causati dalla variazione della geometria delle masse indotta dell intervento, anche alla luce del rilevato sovradimensionamento di perni e cuscinetti. Orzinuovi. 09 Febbraio 2013 IL TECNICO INCARICATO