PROBLEMI SULLE MACCHINE TERMICHE A cura del Prof. T.Papa ; ) Q 2 = Q 1 Q 1. t = dm. dt H; = nrt A ln 4 < 0; R 1 = 3 2 R: C + ln 4 C p = 1

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1 PROBLEMI SULLE MACCHINE TERMICHE A cura del Prof. T.Papa. Il funzionamento di una macchina a vapore puo essere approssimato a quello di una macchina di Carnot, che assorbe calore alla temperatura 2 della caldaia e cede calore alla temperatura del condensatore. La quantita d'acqua per unita di tempo, prodotta nel condensatore e dmdt 2 kgmin. Determinare la potenza della macchina sapendo che C, 30 C e che la variazione d'entalpia di evaporazione dell'acqua nel condensatore e H 43 8 kjmol. Per un ciclo di Carnot La potenza erogata risulta, Q 2 Q ) Q 2 Q Essendo si ottiene W L t Q 2 Q t Q t T2 Q t dm dt H W dm dt H T2 Si faccia attenzione alle unita di misura (peso molecolare dell'acqua 8) kw 2. Un gas ideale biatomico esegue un ciclo costituito da una isobara AB che ne raddoppia il volume, una politropica BC di equazione pv 2 cost e da una isoterma CA. Calcolare il rendimento del ciclo. Dall'equazione di stato e dall'equazione della politropica si trae 2 T C V B T C V C V C 4V A Le quantita di calore coinvolte nel ciclo sono con Il rendimento risulta Q AB nc p ( ) nc p > 0 Q BC nc (T C ) nc < 0 Q CA nr ln V A VC nr ln 4 < 0 C C V + Q BC + Q CA Q AB R 3 2 R C + ln 4 C p 8% 3. Una mole di gas ideale biatomico compie un ciclo costituito dalle seguenti trasformazioni reversibili isocora AB, isobara BC, isocora CD ed una isobara DA che chiude il ciclo. Calcolare il rendimento del ciclo conoscendo la variazione di energia interna U AB 4 kj, la variazione di entalpia H BC 4 kj e la temperatura 700 K. Si supponga che la vibrazione molecolare non sia attiva.

2 Il rendimento e dato da L Q c () Q a Q a dove Q a e il calore assorbito e Q c quello ceduto. Nel ciclo in esame Q a Q AB + Q BC Q c Q CD + Q DA dove Q AB U AB C V ( ) Q CD U CD C V (T C T D ) Q BC H BC C p (T C ) Q DA H DA C p (T D ) Per calcolare il rendimento si puo usare la prima delle (). In tal caso, Ma, pertanto L (p B p A )(V C V B ) p B p B p B V B TC R ( )(T C ) BV p BV B TB 2 T C V B ( )(T C ) ( ) U AB C V (T C ) H BC C p L R H BC U AB C p C V Tenendo conto delle (2), il rendimento formulato con la prima delle () risulta R H BC U AB C V C p ( U AB + H BC ) 6% Ovviamente si ottiene lo stesso risultato dalla seconda delle () che si scrive. Osservando che dall'equazione di stato si ha (2) U CD + H DA U AB + H BC (3) T D TC si riconosce che TC T U CD C V (T C T D ) C V T D C C V T C T C C V (T ) T C U B B B 2

3 Analogamente La (3) diventa H DA T D TC H BC H BC come prima. U AB + H BC U AB T C U AB + H BC H BC ( T C ) U AB + ( ) H BC U AB + H BC ( T C ) U AB + ( ) H BC ( U AB + H BC ) H BC U AB C p + U AB H BC C V ( U AB + H BC ) R U AB H BC C V C p ( U AB + H BC ) 4. Una mole di gas ideale monoatomico compie un ciclo ABC, in cui AB e una espansione adiabatica irreversibile, BC una isobara reversibile che riporta il gas al volume iniziale, CA una isocora reversibile che chiude il ciclo. Sapendo che 2 e S BC + S CA 6 JK, calcolarne il rendimento. Q BC Q CA Dall'equazione di stato si ha C p ( T C ) C V ( T C ) T C T C () TC V B VC V B ) T C V A V B La () diventa, V B V A V B V A V BV A 2V B V A (2) Per ricavare il rapporto V B V A, si osservi che la variazione di entropia del ciclo e nulla S AB + S BC + S CA 0 ) S AB 6 0 (3) Poiche S AB C V ln + R ln V B 2 TA sostituendo nella (3) si ha C V ln 2 + R ln V B 6 Quindi, dividendo per C V, ln 2 + R ln V B 6 C V C V 3

4 Essendo si ottiene ovvero, R C p C V C V C V ln 2 + ln VB 6 C V ln 2 VB 6 C V Si ottiene V B 2 e 6[C V ( )] 2 32 e 6R 5 8 Sostituendo nella (2) si ottiene Si rammenti che per il gas ideale monoatomico Una mole di gas ideale monoatomico esegue un ciclo composto da una espansione isoterma reversibile AB che ne raddoppia il volume, da una trasformazione isocora irreversibile BC, realizzata ponendo il gas a contatto con una sorgente a temperatura T C, e da una adiabatica reversibile CA che chiude il ciclo. Calcolare il rendimento e la variazione di entropia dell'universo. Il rendimento e dato da Q BC Q AB () dove le quantita di calore assorbito Q AB e ceduto Q BC sono, Q AB nr ln V B Q BC nc V ( T C ) (2) Dall'equazione dell'adiabatica reversibile si ha V A T C V C ) T C V B (3) Sostituendo la (3) e la (2) nella () e ricordando che per il gas ideale monotamico 66, si ottiene 3 (V A V B ) ln V B V A Per quanto riguarda la variazione di entropia dell'universo si osservi che se il ciclo fosse reversibile tale variazione sarebbe nulla. Poiche la trasformazione isocora e irreversibile si ha necessariamente una variazione di entropia delle sorgenti, in quanto la variazione di entropia dell'intero ciclo e nulla. Pertanto denotando con S l'entropia delle sorgenti, si ha S u S AB + S BC Ma S AB S BC C V R ln V B T C T C 5 76 JK C V" VB # 7 23 JK 4

5 tenuto conto, per la (3), che. Pertanto S u 47 JK 6. Un gas ideale monoatomico compie un ciclo reversibile, costituito da una espansione isoterma AB, dove il gas raddoppia il volume, da una isocora BC e da una adiabatica CA. Calcolare il rendimento del ciclo. Detta T la temperatura assoluta dell'isotema e T C quella dello stato C, si ha Q ced Q ass C V (T T C ) RT ln V B V A () Per ricavare T C, si osservi che nel ciclo la variazione di entropia e nulla S C V ln T C + R ln V B 0 T ) T C 23 (2) Lo stesso risultato si ottiene considerando gli stati A e C dell'adiabatica. Sostituendo la (2) nella (), si ottiene C V T( 2 23 ) 0 2 RT ln 2 7. Per mantenere un ambiente alla temperatura costante A 20 C, quando la temperatura esterna e E 3 C, occorre una quantita di calore per unita di tempo dqdt. Per ottenere lo scopo si puo usare a) una stufa elettrica che trasforma direttamente in calore l'energia elettrica assorbita, b) una pompa di calore ideale che, prelevando calore dall'esterno (a temperatura E ), ceda calore all'ambiente (a temperatura A ) assorbendo lavoro meccanico. Supponendo che il lavoro meccanico sia fornito alla pompa di calore da un motore elettrico avente un rendimento e 0 9, si determini il rapporto tra le potenze elettriche utilizzate nei due metodi. Il rendimento del motore elettrico, analogamente ad ogni altro rendimento, e denito come il rapporto tra la potenza meccanica erogata e la potenza elettrica assorbita. Detta W m la potenza meccanica erogata dal motore e W e la potenza elettrica assorbita, si ha e W m () W e mentre il rendimento della pompa di calore ideale, supponendo che sia l'esterno che l'ambiente da riscaldare possano essere approssimati a sorgenti, e dato da T E TA (2) Con la stufa si ottiene la conversione diretta di potenza elettrica in calore nell'unita di tempo, quindi detta W s e la potenza elettrica assorbita, si ha dq dt W s e mentre con la pompa di calore, detta W p e la potenza elettrica assorbita, si ha dove si e tenuto conto della (). Pertanto dq dt W m e W p e We s We p e T A e 46 (3) T E 5

6 Cio signica che la potenza elettrica impegnata dalla stufa risulta 46 volte la potenza elettrica impegnata dalla pompa di calore. Si noti che la (3) puo essere scritta dove W s e W p e e + e m T E T E T E T E e l'ecienza frigorifera massima della macchina di Carnot inversa. L'ecienza frigorifera in generale e data dal rapporto tra il calore prelevato dalla sorgente fredda ed il lavoro occorrente. L'ecienza frigorifera aumenta al diminuire del salto di temperatura T E. 8. Due moli di gas ideale biatomico compiono un ciclo ABCA, dove AB e una espansione reversibile in cui il gas e in equilibrio termico con una sorgente costituita da ghiaccio in presenza della sua acqua di fusione, passando da un volume V A 0 ` ad un volume V B 5 ` BC una trasformazione adiabatica reversibile, con la quale il gas ritorna al suo volume iniziale CA una trasformazione in cui il gas, posto nuovamente a contatto con la sorgente, ritorna rapidamente allo stato iniziale. Calcolare il lavoro del ciclo e la variazione di entropia del sistema (universo). Nella trasformazione AB, isoterma, 273 K. La temperatura in C, va ricavata ricorrendo all'equazione dell'adiabatica reversibile, T C V C V B ) T C VB 32 K Il lavoro compiuto nel ciclo e L L AB +L BC nr ln V B nc V (T C ) 54 7 J La variazione di entropia dell'universo dev'essere maggiore di zero in quanto il ciclo contiene una trasformazione irreversibile (isocora CA). Ma, la variazione di entropia del ciclo e nulla, pertanto la la variazione di entropia dell'universo e uguale alla variazione di entropia della sorgente. Questa cede calore lungo la trasformazione AB ed assorbe calore lungo CA pertanto Ossia S sorg S u S sorg Q AB + Q CA nr ln V B + nc V (T C ) JK 9. Una mole di gas ideale monoatomico compie un ciclo ABCD in cui AB e una isoterma reversibile a temperatura 350 K, BC una isocora irreversibile, CD una isoterma reversibile a temperatura 250 K, DA una adiabatica reversibile. calcolare il lavoro compiuto nel ciclo ed il calore scambiato nella trasformazione BC (V B 3V A 9 `). Non e noto il volume V D, ma usando l'equazione dell'adiabatica reversibile si ha ( ) T 2 V A T Il lavoro del ciclo e dato da ( ) V D ) V D T2 ( ) 4 99 ` L L AB +L CD +L DA () 6

7 dove Sostituendo nella () si ottiene Poiche nel ciclo ed essendo L AB R ln V B 395 J L CD R ln V D J VB L DA C V ( ) 3 2 R( ) J L J U 0 ) Q ciclo Q AB + Q BC + Q CD L (2) Q AB L AB Q CD L CD sostituendo nella (2), si ricava Q BC L L AB L CD J 0. Un gas ideale compie un ciclo ABCDA, in cui AB e una espansione ottenuta ponendo il gas a contatto con una sorgente a temperatura e dimezzando la pressione sterna BC una trasformazione adiabatica reversibile che raredda il gas dalla temperatuta alla temperatura CD una compressione ottenuta ponendo il gas a contatto con una sorgente a temperatura e raddoppiando la pressione esterna DA una compressione adiabatica reversibile che riporta il gas nello stato iniziale. Determinare il rapporto tra il rendimento del ciclo e quello della macchina di Carnot che lavora tra le stesse sorgenti. ( 900 K 300 K) Le trasformazioni AB e CD sono evidentemente irreversibili. Poiche per entrambe gli stati iniziali e nali sono alle stesse temperature, rispettivamente e, si ha Inoltre V B 2V A V C 2V D U AB 0 U CD 0 Q AB L AB p B (V B V A ) p AV A nr > Q CD L CD p D (V D V C ) P D V D nr < 0 Pertanto i rendimenti del ciclo e C della macchina di Carnot risultano Q CD Q AB 2 3 C 2 3 C 2. Una macchina frigorifera lavora scambiando calore con l'ambiente esterno a temperatura 0, da considerare come una sorgente ideale. Calcolare il lavoro minimo occorrente per solidicare una massa m di acqua inizialmente in equilibrio a temperatura ambiente. (calore di fusione dell'acqua, f 80 calgm, m kg, 0 27 C ) Il lavoro minimo si realizza in condizioni di reversibilita. Per la legge di accrescimento dell'entropia, la variazione di entropia dell'universo (frigorifero, acqua, ambiente) dev'essere maggiore o uguale a zero, S u 0, dove il segno di uguaglianza vale per processi reversibili. Pertanto, dette S acq, S frig e S amb rispettivamente, le variazioni di entropia dell'acqua, del frigorifero e dell'ambiente, si ha S u S acq + S frig + S amb 0 7

8 Ma S frig 0 in quanto la macchina lavora ciclicamente, quindi S acq + S amb 0 () La variazione di entropia dell'acqua risulta S acq mc p ln T 0 m f (2) dove c p calgm K e il calore specico a pressione costante e La variazione di entropia dell'ambiente S amb Q +L min T 0 (3) dove Q e il calore sottratto all'acqua, Q mc p (T 0 ) + m f (4) Sostituendo le (2) e (3) nella () e tenuto conto della (4), si ricava L min T 0 mc p ln T 0 + T 0 m f mc p (T 0 ) m f 9 2 kcal kj Al lavoro puo essere attribuito il segno negativo in quanto viene assorbito dal frigorifero. 2. Due moli di gas ideale biatomico scambiano calore con due sorgenti a temperatura e 4 5, compiendo un ciclo ABCDA, dove AB e una espansione isoterma reversibile che ne raddoppia il volume BC una trasformazione a volume costante che raredda il gas, posto a contatto con la sorgente a temperatura CD una compressione isoterma reversibile che riconduce il volume a quello iniziale DA una trasformazione a volume costante che riscalda il gas, posto a contatto con la sorgente a temperatura. Calcolare il rendimento del ciclo. Ritenere congelati i gradi di liberta vibrazionali. Il rendimento e Q ced Q ass dove 8

9 Essendo si ottiene Q ced Q BC + Q CD Q ass Q AB + Q DA Q BC nc V ( ) Q CD nr ln V A V B Q AB nr ln V B Q DA nc V ( ) 2 T 5 ln 2 + ln ln ln Si noti che il rendimento risulterebbe lo stesso se le trasformazioni isocore fossero reversibili. 3. Una mole di gas ideale monoatomico descrive un ciclo ABCA costituito da una adiabatica reversibile AB, una isoterma reversibile BC ed una isocora irreversibile CA, durante la quale il gas e posto in contatto con una sorgente a temperatura. Sapendo che V B V A 2, calcolare il rendimento e le variazioni di entropia della sorgente e del gas durante la trasformazione isocora. Il calore viene assorbito lungo l'isocora CA Q CA nc V ( ) essendo T C. Il calore ceduto, lungo la compressione isoterma, e essendo V C V A. Pertanto Poiche, si ottiene Variazioni di entropia S sorg TA Q BC nr ln V B nr ln(v B V A ) nc V ( ) R ln(v B V A ) C V ( ) V B R C V 2 3 Q CA 2 ln nc V ( ) nc T V A 4 6 JK nc V" V B # S BC nr ln V A V B R ln JK TA Si verica che la variazione di entropia dell'universo e maggiore di zero. Infatti la somma delle variazioni di entropia delle sorgenti, sorgente a temperatura e sorgente relativa all'isoterma BC, risulta maggiore di zero. 9

10 4. Un gas ideale monoatomico compie il ciclo reversibile ABCA in cui AB e una adiabatica che ne raddoppia il volume BC una isobara che riporta il volume a quello iniziale CA una isocora che riporta il gas nello stato iniziale. Calcolare il rendimento. Il calore viene assorbito lungo la trasformazione isocora CA e ceduto lungo l'isobara BC, pertanto Q BC nc p ( T C ) Q CA nc V ( T C ) T C T C () Nell'isobara, essendo V B 2V A, si ha Dall'equazione dell'adiabatica V B VC V B TC 2 (2) e tenendo conto della (2) VB 2 2 T C 2 Sostituendo le (2) e (3) nella () si ottiene 0 23 T C 2 (3) 5. Un gas ideale monoatomico esegue un ciclo ABCA in cui AB e una espansione isobara che ne raddoppia il volume BC Una trasformazione isocora irreversibile, realizzata ponendo il gas a contatto il gas con una sorgente a temperatura T C CA una compressione isoterma reversibile. Calcolare il rendimento del ciclo e la variazione di entropia dell'universo. Problema analogo ad altri. Nel ciclo, irreversibile, calore viene assorbito lungo l'isobara. ceduto nell'isocora BC e nell'isoterma CA Dunque, Q AB nc p ( ) Q BC nc V ( T C ) nc V ( ) Q CA nr ln V A VC nr ln V A V B nc V ( ) + nr ln(v B V A ) nc p ( ) Essendo V B V A 2, si ottiene C V + R ln 2 C p C V ( ) + R ln(v B V A ) C p ( )

11 La variazione di entropia nel ciclo e nulla, quindi la variazione di entropia dell'universo e pari alla variazione di entropia delle sorgenti. Si noti che T C. S u S sorg C p ln TA R ln V A VC C V T C T C 6 3 JK 6. Un gas ideale monoatomico esegue un ciclo reversibile ABCA in cui AB e una espansione isoterma, alla ne della quale V B V A 3 BC una espansione adiabatica dove V C V B 2 CA una politropica di equazione pv cost che riporta il gas nello stato iniziale. Determinare il valore della politropica. Nel ciclo la variazione entropia e nulla Si ricava VB VCR TC S nr ln V B + nc V ln TC + nr ln V A VC 0 V () C Tenuto conto dall'equazione della politropica e dell'equazione di stato del gas, si ha da cui Sostituendo nella (), si ottiene p A V A p C V C ) V A T C V C T C VC( ) ln(vb V C ) ln(v A V C ) Una macchina termica reversibile assorbe una quantita di calore Q 0 da una sorgente costituita da una miscela di acqua e ghiaccio in equilibrio (T K), e cede calore ad una mole di gas ideale, in maniera tale che la temperatura di quest'ultimo rimanga costante. Si determini l'aumento percentuale di volume del gas, in corrispondenza alla solidicazione di una massa m 5 gm di acqua. (Calore di fusione del ghiaccio f 80 calgm). Il gas compie una espansione isoterma reversibile a temperatura, quindi puo essere considerato come una sorgente. Il processo e interamente reversibile la variazione di entropia dell'universo (macchina e sorgenti) e uguale a zero. La macchina e una macchina di Carnot che opera tra le temperature T 0 e, quindi, Q 0 T 0 Q ) Q Q 0 T 0 m f T 0 dove Q e il calore ceduto al gas. D'altra parte nell'espansione isoterma si ha Segue Q nr ln V 2 V m f T 0 ) V 2 V exp mf nrt 0 V 2 V V V 2 V exp mf nrt % 8. Due corpi A e B identici, di capacita termica C 0 calk, costante nell'intervallo di temperature considerato, sono rispettivamente alle temperature 400 K e 300 K.

12 Determinare il lavoro massimo ottenibile da una macchina che scambia calore con i due corpi. La macchina assorbe calore dal corpo a temperatura piu elevata e ne cede al corpo a temperatura piu bassa, nche, raggiunta la temperatura di equilibrio, si arresta. Il lavoro massimo viene ottenuto in condizioni di reversibilita. Pertanto, per la legge di accrescimento dell'entropia, la variazione di entropia dell'universo e pari a zero. S u S A + S B + S macch 0 La variazione di entropia della macchina e nulla Le variazioni di entropia dei corpi sono rispettivamente S A C ln T f S C ln T f A quindi p C ln T f + C ln T f 0 ln T f 2 0 ) T f TA K Il lavoro risulta L Q A Q B C( T f ) C(T f ) C( + 2T f ) 72 cal 30 J 9. Un motore termico, assimilabile alla macchina di Carnot, lavora tra le sorgenti a temperature 50 C e 2 0 C ed, a regime, compie 2 giris. Determinare la potenza del motore sapendo che la quantita di calore ceduta in ogni ciclo e Q J. Nella macchina di Carnot si ha Il lavoro risulta la potenza Q Q 2 ) Q Q kj L Q W L t Q kj kw 20. Una macchina termica funziona scambiando calore con due sorgenti alle temperature 300 K e 250 K. Dopo un certo numero di cicli essa produce un lavoro L 30 cal, mentre la variazione di entropia dell'universo risulta S u 0 02 calk. Ricavare il rendimento della macchina. Si ha un aumento dell'entropia dell'universo, quindi la macchina e irreversibile. Poiche la variazione di entropia di quest'ultima, che lavora ciclicamente, e nulla, si ha variazione di entropia delle sorgenti S u Q B Tenuto conto che L Q A Q B Q B Q A L sostituendo nella (), si ricava Q A () Il rendimento risulta Q A S u +L L Q A L( ) S u +L 0 4 2

13 2. Una macchina di Carnot funziona in senso inverso tra le sorgenti a temperature 0 C e 2 00 C. Le sorgenti sono costituite da due grandi masse d'acqua che mantengono costante la loro temperatura. Sapendo che la potenza necessaria al funzionamento della macchina e W 798 watt, determinare quanto ghiaccio si forma nella sorgente fredda in un'ora (calore di fusione dell'acqua f 798 calgm). Indicando con Q il calore sottratto alla sorgente fredda e ricordando la denizione di ecienza frigorifera e, si ha e Q L Q W t ) Q W t Tenendo presente che t 3600 s, la massa di ghiaccio prodotta risulta m Q W t f f 2 35 kg 22. Un gas ideale monoatomico, nello stato iniziale p A 32 8 atm, V A 2 `, 400 K, esegue il ciclo ABCDA dove AB e un'espansione isoterma reversibile a temperatura, BC una espansione adiabatica reversibile, CD una compressione isoterma reversibile a temperatura T D, DA una isocora irreversibile, che riporta il gas nello stato iniziale. Quest'ultima trasformazione puo essere realizzata in due modi a) ponendo il gas a contatto con la sorgente a temperatura b) eettuando lavoro adiabatico esterno L. Calcolare il rendimento nei due casi e la variazione di entropia delle sorgenti nel caso b) (V B 8 `, 250 K ). Le quantita di calore coinvolte nel ciclo sono Q AB nr ln V B 90 9 ` atm Q BC 0 n p AV A R 2 mol Q CD nr ln V D VC 85 7 ` atm V D V A V C V B T Q DA nc V ( ) 36 9 ` atm Nel primo caso il rendimento risulta Q CD Q AB + Q DA 0 33 ( ) Nel secondo caso nel gas viene dissipato lavoro adiabatico, che determina la stessa variazione di energia interna del primo caso. Pertanto il rendimento e lo stesso. Si rammenti che il rendimento di una macchina e, in generale, denito dal rapporto tra il lavoro utile ottenuto e l'energia, di qualsiasi genere, impiegata. La variazione di entropia delle sorgenti, caso b), e S sorg Q AB + Q CD 0 2 ` atmk 23. Una macchina di Carnot opera tra le sorgenti a temperature 600 K e 300 K, utilizzando una mole di He. Una seconda macchina opera tra le stesse sorgenti, utilizzando una mole di H 2. Supponendo che i gas possano essere assimilati a gas ideali e che nei due cicli, le pressioni minima e massima siano le stesse, determinare la dierenza tra i lavori ottenibili dalle macchine. 3

14 Per il teorema di Carnot il rendimento delle macchine e lo stesso (indipendente dalla sostanza), L(He) Q (He) L(H 2) Q (H2) ) L (He) L (H 2) Q (He) Q (H 2) () Indichiamo con ABCD il ciclo dell'elio e con AECF il ciclo dell'idrogeno essi dieriscono per la pendenza delle adiabatiche in cui, per l'elio (gas monoatomico) 53 e per l'idrogeno (gas biatomico) Nei due cicli la pressione massima e p A e quella minima p C. Dalle equazioni delle adiabatiche reversibili si ha, p B T ( ) p C T ( ) 2 2( 2) 2( 2) p E T p C T 2 (2) D'altra parte, Q (He) R ln p A pb Q (H 2) R ln p A pe quindi per la () si ha L R ln p E pb R( ) ln p E pb (3) Dividendo membro a membro le (2) p E p B T2 [( 2( 2) ( )] Sostituendo nella (3) e ricordando i valori di e 2, si ottiene L R( ) 2 2 ln R( ) ln 728 J 24. Un gas ideale monoatomico, nel diagramma V -T, compie un ciclo ABCA rappresentato da un triangolo rettangolo, come in gura. Sapendo che 3, calcolare il rendimento. 4

15 Dalla gura si riconosce che nella trasformazione AB il rapporto TV c e costante, quindi si tratta di una isobara BC e una isocora CA una isoterma. Usando l'equazione di stato, si ha V B 3 TA ) V B V C 3V A Le quantita di calore scambiate sono Il rendimento risulta Q AB C p ( ) Q BC C V ( T C ) Q CA R ln V C V A Q BC + Q CA Q AB Un gas ideale biatomico essegue il ciclo ABCA, in cui AB e una espansione isobara che raddoppia il volume iniziale, V B 2V A BC un rareddamento isocoro, ottenuto ponendo il gas in contatto con una sorgente a temperatura T C CA una compressione isoterma che riporta il gas nelle condizioni iniziali. Calcolare il rendimento del ciclo e la variazione di entropia molare dell'universo. Dall'equazione di stato, relativa all'isobara, si ha TA V B V C 2 Le quantita di calore scambiate nel ciclo sono assorbita ceduta ceduta. Il rendimento risulta Q AB nc p ( ) nc p Q BC nc V ( T C ) nc V ( ) nc V Q CA nr ln V C nr ln V B nr ln 2 Q BC + Q CA Q AB C V + R ln 2 C p 8 8% Il ciclo contiene una trasformazione irreversibile l'isocora che raredda il gas posto a contatto con la sorgente a temperatura T C, pertanto risulta irreversibile. Ma la sua variazione di entropia e nulla, dunque la variazione di entropia dell'universo e uguale alla variazione di entropia delle sorgenti. Denotando con S tali variazioni, per n, si ha S u S AB + S BC + S CA Q BC C p ln R ln V A TA V B C p ln 2 + C V + R ln J(mol K) 5

16 26. Una mole di gas ideale monoatomico compie il ciclo reversibile ABCA in cui AB e una isoterma BC una isobara dove V C V A 2 CA una trasformazione dove e costante il rapporto pressione volume. Calcolare il rendimento del ciclo. La trasformazione CA e una politropica del tipo pv cost ) p A p C VC ) p C p A C 4 Essendo nella politropica, il suo calore molare risulta C C V + R C V + R 2 Nella trasformazione AB si ha Quantita di calore scambiate assorbite. ceduta. Pertanto p A V A p B V B p C V B ) V A V B 2 Q AB R ln V B Q CA C ( T C ) Q BC C p ( T C ) C p ( T C ) R ln(v B V A ) + C ( T C ) 04 p + a V 2 V RT 27. Una mole di gas biatomico di equazione di stato, esegue un ciclo ABCDA in cui AB e una isoterma reversibile, in cui la temperatura della sorgente e 400 K BC una isocora ottenuta ponendo il gas a diretto contatto con una sorgente alla temperatura 200 K CD una compressione isoterma reversibile alla temperatura DA una isocora ottenuta ponendo il gas in contatto con la sorgente a temperatura e che riporta il sistema nello stato iniziale. Calcolare il rendimento del ciclo. Assumere C V 5R2 e V B 4V A. Per la prima legge della termodinamica Tenuto conto che si ottiene Pertanto Q du + pdv dt @V Q C V dt + RT dv V V p Q AB R ln V B R ln 4 Q BC C V ( T C ) Q CD R ln V D VC Q DA C V ( T D ) Il rendimento risulta, Q BC + Q CD R(T ) ln Q AB + Q DA R ln4 + 5R( )2 6