SESSIONE ORDINARIA 2007 CORSO DI ORDINAMENTO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO - AMERICHE

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1 SESSIONE ORDINARIA 007 CORSO DI ORDINAMENTO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO - AMERICHE PROBLEMA Si consideri la funzione f definita da f ( x) x, il cui grafico è la parabola.. Si trovi il luogo geometrico dei centri (a, b) delle circonferenze che sono tangenti a nel suo punto di ascissa.. Si calcoli l area del dominio piano delimitato da e da.. Si tracci il grafico della funzione f.. Si considerino i due domini piani, ricadenti nel III e IV quadrante, determinati dai grafici di f e di f nella striscia y e se ne calcoli l area.. Il luogo geometrico dei centri (a, b) delle circonferenze che sono tangenti a nel suo punto di ascissa è la retta di equazione y x. Essa è la perpendicolare alla tangente alla parabola nel suo punto di ascissa.. La retta di equazione y x incontra la parabola nel punto di ascissa e nel punto di ascissa L area del dominio piano delimitato da e da si ottiene con l integrale x dx x dx e vale Il grafico della funzione è il seguente: x

2 . Ciascuno dei due domini piani, ricadenti nel III e IV quadrante, determinati dai grafici di f e di f nella striscia y x ln ha area dx x dx dx ,89, ottenuta calcolando: PROBLEMA Della parabola si sa che passa per i punti A (0,) e B (, 0), ha l asse parallelo all asse y e volge la concavità nel verso negativo di tale asse; inoltre l area del dominio piano delimitato da e dai segmenti OA e OB è 0.. Si determini l equazione di e se ne tracci il grafico.. La retta s di equazione y mx, dove m è un parametro reale, interseca in A e in C. Si esprimano in funzione di m le coordinate di C.. Si studi la funzione f ( m) AC e se ne tracci il grafico.. Si dica quale posizione assume la retta s in corrispondenza dell estremo relativo della curva.. La parabola ha equazione y x x. Si ottiene imponendo il passaggio per A, per B e, successivamente, risolvendo l equazione, in a, 0 ax a x dx. 0. Il punto C, in cui la retta s di equazione y mx interseca la parabola, oltre A, ha coordinate C ( m),( m m ).. La funzione f ( m) AC è f ( m) ( m) ( m ). Essa non ha massimo è ha un minimo (relativo e assoluto) nel punto (,0). Il suo grafico è il seguente.

3 . Per m = si ha la retta che determina il segmento il cui quadrato è minimo. L equazione di tale retta è: y x. QUESTIONARIO QUESITO Si dimostri che fra tutti i triangoli rettangoli aventi la stessa ipotenusa, quello isoscele ha l area massima. I triangoli rettangoli di data ipotenusa sono tutti inscritti in una semicirconferenza che ha come diametro l ipotenusa stessa. Se indichiamo con r l ipotenusa-diametro, e con x l angolo formato da un cateto e con l ipotenusa, l area del triangolo ha espressione y r sin xcos x = sin x, che è massima quando x, ovvero x. QUESITO Quando due rette si dicono sghembe? Come si definisce la distanze tra due rette sghembe? Due rette si dicono sghembe se non esiste un piano che le contiene entrambe (e quindi non hanno punti in comune, appartenendo a piani diversi). Se r ed s sono due rette sghembe, fra le infinite rette che congiungono un punto dell una con un punto dell altra esiste solo una retta perpendicolare ad entrambe; il segmento che si individua su questa perpendicolare comune, che è minore di tutti gli altri segmenti che hanno i due estremi su di esse, si dice distanza fra r ed s. QUESITO Si calcolino le radici dell equazione: x x 9 0.

4 Se si pone x t si ottiene l equazione 9t 7t 0 0, con t>0, che ha una radice negativa- quindi non accettabile- e una t, da cui si ricava x = -. QUESITO Si traccino i grafici delle seguenti funzioni di in : x x x x f : x ; g : x ; h : x ; k : x Sono tutti grafici che si ottengono per traslazione, o simmetria, dal grafico della funzione esponenziale y x. QUESITO 5 Siano a b due numeri positivi diversi da. S i dimostri che loga blogb a. Si usano le proprietà dei logaritmi (per esempio quella del cambiamento di base). QUESITO 6 Il coefficiente angolare della tangente al grafico della funzione f(x) è, in ogni suo punto P, uguale al quadruplo della radice cubica dell ascissa di P. Si determini f(x), sapendo che il grafico passa per il punto A(, 0). È y ' x, da cui y xdx. Si ottiene f ( x) y x x. QUESITO 7 Un cerchio ha raggio metro. Quanto misura il lato del decagono regolare in esso inscritto? E qual è la misura del lato del decagono regolare circoscritto? Se ogni lato del decagono inscritto è visto come corda in una circonferenza, l angolo al centro corrispondente è di 6, e quindi quello alla circonferenza è di 8. Per il teorema della corda, 5 5 quindi, si ha l 0 sin8. Costruendo due opportuni triangoli, si trova che il lato del decagono circoscritto è L0 tan8 = QUESITO 8. x dx è Il valore della seguente espressione arccos xdx arcsin 0 0 maniera esauriente. Non è necessario il calcolo dei singoli integrali (peraltro piuttosto complesso). Per la proprietà additiva degli integrali definiti:. Spiegarlo in arccos xdx ( arcsin x) dx arccos x arcsin x dx Ma, per definizione, il coseno è la cofunzione del seno (cioè il seno del complementare), quindi arccos x arcsin x. L integrale

5 si riduce, perciò, a: dx. Per il significato di integrale definito esso è immediatamente 0 uguale a (un rettangolo con base uguale a ha area uguale, in valore numerico, alla sua altezza). 5