BOOK IN PROGRESS MATEMATICA GEOMETRIA SECONDO ANNO TOMO NR. 2

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1 OOK IN PROGRESS MTEMTIC GEOMETRI SECONDO NNO TOMO NR. 2

2 SOMMRIO DEL TOMO 2 SECONDO NNO UNITÀ 9: LE GRNDEZZE E L PROPORZIONLIT Generalità Grandezze commensurabili e incommensurabili Il rapporto di due grandezze Rapporto tra due numeri. Proporzioni Il teorema di Talete UNITÀ 10: L SIMILITUDINE TR FIGURE PINE Generalità La similitudine nei triangoli I criteri di similitudine dei triangoli pplicazioni della similitudine La similitudine dei poligoni pplicazione della similitudine a corde, tangenti, secanti e bisettrici ESERCIZI ESERCIZI SULL SIMILITUDINE Conoscenza e comprensione Problemi su triangoli e poligoni Similitudine e i teoremi di Euclide Conoscenza e comprensione Problemi Similitudine e circonferenza Conoscenza e comprensione Problemi Problemi sulla similitudine da risolvere algebricamente INVLSI esercizi sulla similitudine

3 UNITÀ 9 LE GRNDEZZE E L PROPORZIONLITÀ 9.1 Generalità Nelle unità precedenti abbiamo considerato insiemi di elementi (segmenti, angoli, superfici piane) con i quali abbiamo operato il confronto e la somma: si dice che tali elementi sono grandezze geometriche o semplicemente grandezze e si parla di insiemi di grandezze o di classi di grandezze. Le grandezze di una stessa classe si dicono omogenee fra loro e si possono confrontare e sommare. Non ha senso, invece, confrontare e/o sommare un segmento con un angolo oppure un angolo e una superficie: le operazioni di confronto e somma possono essere eseguite solo tra elementi di una stessa classe. Data una classe di grandezze X, valgono le seguenti proprietà: 1., X è vera una sola delle relazioni <, =, > cioè due qualsiasi elementi di X sono sempre confrontabili; 2., X : + = + (proprietà commutativa dell addizione); 3.,, C X : ( + ) + C = + ( + C) (proprietà associativa dell addizione). Si estendono alle grandezze le proprietà delle relazioni < (minore), (minore o uguale), > (maggiore) e (maggiore o uguale) che valgono negli insiemi numerici, nonché le definizioni di multiplo e di sottomultiplo date per i segmenti e per gli angoli. Si ha, infatti, la seguente definizione: Si dice multiplo di una grandezza, secondo il numero naturale n 0, la grandezza, ad essa omogenea, somma di n grandezze uguali ad ; cioè: = o, meglio: = n. n volte La grandezza si dice sottomultipla di secondo il numero n e si scrive: = 1 n. 2

4 Per le classi di grandezze valgono i due postulati seguenti: POSTULTO DI EUDOSSO-RCHIMEDE: Date due grandezze omogenee, di cui una non nulla, esiste sempre una grandezza multipla della minore che supera la maggiore. POSTULTO DELL DIVISIILITÀ LL INFINITO (o POSTULTO DELL DIVISIILITÀ DELLE GRNDEZZE): Per ogni grandezza e per ogni numero naturale n non nullo, esiste sempre, ed è unica, la 1 grandezza, omogenea ad, sottomultipla di secondo il numero n (cioè = ). n OSSERVZIONE Il secondo postulato permette di dividere una grandezza in un numero qualsiasi di parti congruenti. 9.2 Grandezze commensurabili e incommensurabili Due grandezze omogenee e si dicono commensurabili quando ammettono una grandezza C, ad esse omogenea, come sottomultipla comune; in altre parole quando esiste una terza grandezza, omogenea alle prime due, che è contenuta un numero intero di volte in entrambe le grandezze. Se: si ha: e quindi: 1 = m( n o, anche: m ) = n = m C e = n C, con m ed n interi positivi, C = 1 n (la grandezza è multipla, secondo m, dell n-esima parte della grandezza ) m = n e si dice che il rapporto delle grandezze e è m, cioè un numero razionale. n Si dice anche che il numero razionale n m è la misura della grandezza rispetto alla grandezza, scelta come unità di misura. 3

5 Esempio: Fissato un segmento, consideriamo due segmenti CD = 3 e EF = 2 (fig. 1): C D. E.. F fig. 1 Osserviamo che i segmenti CD ed EF ammettono come sottomultiplo comune il segmento ; infatti: 1 CD = 3 = CD 3 e quindi: Inoltre: 1 CD 3 1 = EF 2 1 EF = 2 = EF 2 CD = 3( = (cosa sta a significare questa scrittura?) 1 2 EF 3 ) cioè CD = EF 2 e 1 2 EF = 2( CD ) cioè EF = CD 3 3 I due segmenti CD ed EF sono commensurabili e scriviamo: Pertanto: CD EF 3 = 2 oppure EF 2 = CD 3 il numero razionale 2 3 è la misura del segmento CD rispetto al segmento EF;. il numero razionale 3 2 è la misura del segmento EF rispetto al segmento CD. In generale, il rapporto di due grandezze commensurabili è un numero razionale, cioè un numero intero o un numero decimale limitato o, ancora, un numero decimale illimitato periodico. 4

6 Due grandezze omogenee e si dicono incommensurabili quando non ammettono una grandezza C, ad esse omogenea, come sottomultipla comune; in altre parole quando non esiste una terza grandezza, omogenea alle prime due, che è contenuta un numero intero di volte in entrambe le grandezze. Un esempio di grandezze incommensurabili è dato dal lato di un quadrato e dalla sua diagonale. Si ha, infatti, il seguente: TEOREM Il lato e la diagonale di un quadrato sono segmenti incommensurabili. D C Hp.: CD quadrato Th.: e C incommensurabili Dimostrazione Supponiamo per assurdo che il lato e la diagonale C siano segmenti commensurabili e che, quindi, ammettano come sottomultiplo comune un segmento, che indichiamo con U, contenuto m volte in ed n volte in C, con m ed n interi positivi; cioè: = mu e C = nu, per cui i segmenti e C possono essere divisi rispettivamente in m ed n segmenti, tutti di lunghezza U. Di conseguenza i quadrati costruiti su e C sono costituiti rispettivamente da m 2 e da n 2 quadratini di lato U (fig. 2) D C fig. 2 5

7 pplicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo isoscele C si ha: [fig. 3]: q(c). = q() + q(c) D C fig. 3 Poiché: q(c) è costituito da n 2 quadratini di lato U; q() è costituito da m 2 quadratini di lato U; q(c) è costituito da m 2 quadratini di lato U (perché?), si ha: cioè: Osserviamo che: n 2 = m 2 + m 2 n 2 = 2 m 2. (*) se due numeri sono uguali, devono avere la stessa scomposizione in fattori primi; se un numero è elevato al quadrato, tutti i suoi fattori primi devono comparire un numero pari di volte. Pertanto l uguaglianza precedente implica che i numeri n 2 e 2 m 2, scomposti in fattori primi, devono avere gli stessi fattori ed elevati agli stessi esponenti. 6

8 Ma: il numero intero n 2, scomposto in fattori primi, o non contiene il fattore 2 o lo contiene un numero pari di volte; il numero intero 2m 2, scomposto in fattori primi, conterrà il fattore 2 necessariamente un numero dispari di volte (perché?), e quindi i numeri n 2 e 2m 2 non contengono gli stessi fattori, elevati agli stessi esponenti. Pertanto l uguaglianza (*) non è vera; si è così giunti ad un assurdo che deriva dall aver supposto che il lato e la diagonale C fossero segmenti commensurabili. Si conclude, quindi, che il lato e la diagonale di un quadrato sono segmenti incommensurabili. C.V.D. 9.3 Il rapporto di due grandezze Come conseguenza dell ultimo teorema si ha che la misura di una grandezza rispetto ad un altra non si può esprimere sempre mediante un numero razionale. Più precisamente, date due grandezze omogenee e, si hanno i seguenti due casi: m 1. le grandezze e sono commensurabili: il loro rapporto è un numero razionale ; n 2. le grandezze e sono incommensurabili: il loro rapporto non è un numero razionale. Vogliamo vedere se è possibile dare una nuova definizione di rapporto di due grandezze omogenee che possa valere sia per le grandezze commensurabili che per quelle incommensurabili. Il procedimento che seguiremo vale per due qualunque grandezze omogenee; qui ci riferiamo, in particolare, a due segmenti e CD (fig. 4):.... C D fig. 4 Per determinare il rapporto riportiamo consecutivamente il segmento CD sul segmento, a CD partire dall estremo (fig. 5):. //. //. //.. E. //. C D fig. 5 7

9 Nel caso in figura, CD è contenuto 3 volte in con resto E < CD (cosa succede se < CD?) Dividiamo ora CD in 10 parti congruenti e riportiamo su E la decima parte di CD (fig. 6):. //. //. //.... F. E C D fig. 6 CD CD Osserviamo che è contenuto 5 volte in E, con resto F <. Ripetiamo lo stesso procedimento riportando, di volta in volta, sui vari resti ottenuti, i sottomultipli decimali di CD, cioè CD CD,, Se si perviene ad un resto nullo, vuol dire che il rapporto dei due segmenti è un numero decimale limitato, costituito dalla successione delle varie cifre trovate; altrimenti tale successione dà luogo ad un numero decimale illimitato, periodico o aperiodico, che rappresenta, in ogni caso, il rapporto dei due segmenti. In definitiva, date due grandezze omogenee e, si ha che: se e sono commensurabili, il rapporto / è un numero razionale (intero, o decimale limitato, o decimale illimitato periodico) rappresentato dal quoziente m/n di due numeri interi positivi. se e sono incommensurabili, il rapporto / è un numero irrazionale (cioè un numero decimale illimitato aperiodico). Possiamo, quindi, affermare che il nostro tentativo ha avuto successo: si può dare una nuova definizione di rapporto di due grandezze omogenee; precisamente: Il rapporto di due grandezze omogenee è un numero reale positivo dato dal quoziente delle loro misure, relativamente ad una grandezza scelta come unità di misura: questo numero reale è razionale o irrazionale a seconda che le due grandezze siano rispettivamente commensurabili o incommensurabili. Dal momento che la terminologia qui usata per i rapporti tra grandezze, e quella che verrà utilizzata per le grandezze proporzionali, è la stessa di quella usata per i rapporti e per le proporzioni tra numeri, riteniamo opportuno richiamare alcune definizioni e proprietà. 8

10 9.4 Rapporto tra due numeri. Proporzioni Iniziamo col dare la seguente definizione: Si dice rapporto tra due numeri a e b, nell ordine dato e con b 0, il quoziente della divisione di a e b. Il rapporto tra i numeri a e b si indica con il simbolo a : b oppure b a. I due termini a e b si dicono termini del rapporto e precisamente: a è il primo termine del rapporto e si chiama antecedente; b è il secondo termine del rapporto e si chiama conseguente. Se si scambiano i termini del rapporto b a, purché diverso da zero (perché?), si ottiene il nuovo b rapporto b : a =. a b a Il rapporto viene detto rapporto inverso o reciproco di. a b Esempi: il rapporto tra 6 e 3 è 6 : 3 = 2 ; il suo inverso è 3 : 6 = 6 3 = 2 1 ; il rapporto tra 3 e 5 è 3 : 5 = 5 3 ; il suo inverso è 5 : 3 = 3 5 ; il rapporto tra e è : = = = ; il suo inverso è : = Consideriamo ora i seguenti due rapporti numerici: e I rapporti e sono uguali infatti il quoziente di 12 : 3 (= 4) è uguale al quoziente di 24 : (=4), per cui possiamo scrivere: 12 : 3 = 24 : 6 Questa uguaglianza si chiama proporzione e si legge 12 sta a 3 come 24 sta a 6. In generale, si dà la seguente definizione: Dati quattro numeri a, b, c, d, nell ordine in cui sono scritti, con b e d diversi da 0, si dice che essi sono in proporzione se il rapporto tra il primo e il secondo è uguale al rapporto tra il terzo e il quarto, e si scrive: a : b = c : d (si legge: a sta a b come c sta a d ). [Una proporzione è, quindi, l uguaglianza fra due rapporti]. 9

11 I numeri a, b, c, d si chiamano termini della proporzione; in particolare: b, c si chiamano medi; a, d si chiamano estremi. Il numero d si dice quarto proporzionale dopo a, b, c. Inoltre: a e c, primo e terzo termine della proporzione, si chiamano antecedenti; b e d, secondo e quarto termine della proporzione, si chiamano conseguenti. Una proporzione si dice continua se i medi sono uguali cioè se: a : b = b : c In tal caso b si dice medio proporzionale tra a e c mentre c si dice terzo proporzionale dopo a e b. Nella proporzione continua: 8 : 4 = 4 : 2 4 è il medio proporzionale tra 8 e 2 mentre 2 è il terzo proporzionale dopo 8 e 4. Proprietà delle proporzioni Dalla definizione di frazioni equivalenti, si deduce la seguente proprietà: PROPRIETÀ FONDMENTLE DELLE PROPORZIONI In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Dalla proporzione: si ricava infatti che: a : b = c : d b c = a d. Esempio: La proporzione 5 : 4 = 20 : 16, scritta come uguaglianza tra frazioni, diventa: 5 20 = Dalla definizione di frazioni equivalenti si ha (prodotti in croce): 4 20 = 5 16 (= 80) ( o, ovviamente, 5 16 = 4 20 ). 10

12 Viceversa: Siano dati i numeri 5, 2, 20, 8 ; poiché: 2 20 = 5 8 ( = 40 ), possiamo dire che i numeri 5, 2, 20, 8, nell ordine dato, formano una proporzione; precisamente: 5 : 2 = 20 : 8. PROV TU Scrivi quattro numeri che, nell ordine dato, formino una proporzione. Dalla proprietà fondamentale, discendono le seguenti proprietà: PROPRIETÀ DELL INVERTIRE. Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente, si ha ancora una proporzione. Dalla proporzione a : b = c : d, scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente, si ottiene: b : a = d : c che è ancora una proporzione (perché?). Esempio: Dalla proporzione 4 : 12 = 3 : 9, scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente, si ottiene: 12 : 4 = 9 : 3 che è ancora una proporzione (perché?). PROPRIETÀ DEL PERMUTRE. Se in una proporzione si scambiano fra loro i medi o gli estremi, si ottiene ancora una proporzione. Dalla proporzione a : b = c : d, si ottengono le seguenti proporzioni: a : c = b : d (scambiando fra loro i medi); d : b = c : a (scambiando fra loro gli estremi). 11

13 Esempio: Dalla proporzione 15 : 5 = 6 : 2, o scambiando fra loro i medi si ottiene: 15 : 6 = 5 : 2 che è ancora una proporzione (perché?); o scambiando fra loro gli estremi si ottiene: 2 : 5 = 6 : 15 che è ancora una proporzione (perché?). PROPRIETÀ DEL COMPORRE In ogni proporzione, la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) come la somma degli altri due termini sta al terzo (o al quarto). Dalla proporzione a : b = c : d, si ottengono le proporzioni seguenti: (a+b) : a = (c+d) : c (a+b) : b = (c+d) : d [ovviamente devono essere definite le varie operazioni] Esempio: Dalla proporzione 5 : 2 = 10 : 4, si ottengono le seguenti: (5 + 2) : 5 = (10 + 4) : 10 cioè 7 : 5 = 14 : 10 ; (5 + 2) : 2 = (10 + 4) : 4 cioè 7 : 2 = 14 : 4, che sono ancora proporzioni (perché?). PROPRIETÀ DELLO SCOMPORRE In ogni proporzione, in cui gli antecedenti sono maggiori dei conseguenti, la differenza fra i primi due termini sta al primo (o al secondo) come la differenza degli altri due termini sta al terzo (o al quarto). Dalla proporzione a : b = c : d (con a > b e c > d), si ottengono le proporzioni seguenti: (a b) : a = (c d) : c (a b) : b = (c d) : d E se a < b e c < d? 12

14 Esempio: Dalla proporzione 5 : 2 = 10 : 4, si ottengono le seguenti: (5 2) : 5 = (10 4) : 10 cioè 3 : 5 = 6 : 10 ; (5 2) : 2 = (10 4) : 4 cioè 3 : 2 = 6 : 4. che sono ancora proporzioni (perché?). RISOLUZIONE DI UN PROPORZIONE La proprietà fondamentale permette di calcolare un termine incognito di una proporzione quando siano noti gli altri tre oppure, nel caso di una proporzione continua, permette di calcolare il medio proporzionale. 1) Supponiamo di avere la seguente proporzione: a : b = c : x nella quale a, b, c sono numeri noti e x è il termine incognito da calcolare. pplicando la proprietà fondamentale si ha: bc a x = b c e quindi: x = a cioè: il valore di un estremo incognito in una proporzione è uguale al prodotto dei medi diviso per l estremo noto. 2) Supponiamo di avere la seguente proporzione: a : b = x : d nella quale a, b, d sono numeri noti e x è il termine incognito da calcolare. pplicando la proprietà fondamentale si ha: ad a d = b x e quindi: x = b cioè: il valore di un medio incognito in una proporzione è uguale al prodotto degli estremi diviso per il medio noto. 3) Supponiamo di avere la seguente proporzione continua: a : b = b : x nella quale a, b sono numeri noti e x è il termine incognito da calcolare. 13

15 pplicando la proprietà fondamentale si ha: a x = b 2 b 2 da cui: x = a cioè: in una proporzione continua, il terzo proporzionale è uguale al quadrato del secondo termine diviso per il primo termine. 4) Supponiamo di avere la seguente proporzione continua: a : x = x : b nella quale a, b sono numeri noti e x è il termine incognito da calcolare. pplicando la proprietà fondamentale si ha: x 2 = a b da cui x = ab cioè: in una proporzione continua, il medio proporzionale fra gli altri due termini è dato dalla radice quadrata del loro prodotto. PROV TU Risolvi le seguenti proporzioni: 1) x : 5 = 9 : 20 2) 3 : 15 = x : 10 3) 4 : 8 = 8 : x 4) 16 : x = x : 9 CTEN DI RPPORTI UGULI La definizione di proporzione si estende al caso di tre o più rapporti uguali; precisamente si definisce catena di rapporti uguali l uguaglianza di tre o più rapporti. d esempio, dati i rapporti: 4 : 2 ; 8 : 4 ; 12 : 6 ; 16 : 8, che sono tutti uguali a 2, si ha la seguente catena di rapporti uguali: 4 : 2 = 8 : 4 = 12 : 6 = 16 : 8 In essa, la proprietà del comporre si enuncia così: In una catena di rapporti uguali, la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti, come un antecedente qualsiasi sta al proprio conseguente. Nel caso del nostro esempio si ha: ( ) : ( ) = 4 : 2 cioè: 40 : 20 = 4 : 2 14

16 e ancora: ( ) : ( ) = continua tu ( ) :. (verifica che, in tutti i casi, si ottiene una proporzione). PROLEMI SULLE PROPORZIONI Le proprietà delle proporzioni e, in generale, delle catene di rapporti uguali possono essere utilizzate per risolvere problemi di varia natura. ESEMPI (di natura geometrica): 1. Determinare le lunghezze di due segmenti sapendo che la loro somma, espressa in cm, è 40 5 e che il loro rapporto è. 3 Indichiamo con x e y le lunghezze, in cm, dei due segmenti (con x > y); possiamo scrivere: x : y = 5 : 3 pplichiamo alla proporzione la proprietà del comporre (perché?), così da avere: si ha: continua tu. (x + y) : x = (5 + 3) : 5 2. Determinare le lunghezze di due segmenti sapendo che la loro differenza, espressa in cm, è 5 4 e che il loro rapporto è. 4 Indichiamo con x e y le lunghezze, in cm, dei due segmenti (con x > y); possiamo scrivere: x : y = 5 : 4 pplichiamo alla proporzione la proprietà dello scomporre (perché?), così da avere: (x y) : x = (5 4) : 5 si ha: continua tu. 15

17 LE GRNDEZZE DIRETTMENTE PROPORZIONLI. Vi sono coppie di grandezze variabili che hanno un comportamento particolare, ossia sono tali che al raddoppiare, triplicare dell una, raddoppia, triplica.. anche l altra. Tali grandezze si dicono direttamente proporzionali. Sono esempi di grandezze direttamente proporzionali i seguenti: lo spazio percorso da un automobile e i litri di benzina consumati; il costo di una merce e il suo peso; lo spazio percorso da una moto che viaggia a velocità costante e il tempo di viaggio. Leggi la seguente tabella (e COMPLET): peso pane (P) 1 kg 2 kg 1/2 kg costo pane (C) 2 euro 4 euro 1 euro Rapporto ( P/C) 1/2 1/2 1/2 Osserva che il rapporto P/C è.. Si dà, quindi, la seguente definizione: Due grandezze variabili a e b si dicono direttamente proporzionali se il rapporto tra i valori corrispondenti assunti da a e da b è costante: tale costante è detta costante di proporzionalità diretta e viene indicata con la lettera k. In simboli: OSSERVZIONE a = k ovvero a = k b b Due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca si dicono, quindi, direttamente proporzionali se il rapporto tra due grandezze qualsiasi della prima classe è uguale al rapporto delle grandezze corrispondenti della seconda classe. La verifica di tale condizione non è sempre agevole o possibile. Vale, però, il seguente: CRITERIO DELL PROPORZIONLITÀ DIRETT Condizione necessaria e sufficiente affinché due classi di grandezze omogenee in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che: 1. a grandezze uguali ( congruenti ) di una classe corrispondano grandezze uguali ( congruenti ) dell altra classe; 2. alla somma di due grandezze di una classe corrisponda la somma delle due grandezze corrispondenti dell altra classe. 16

18 LE GRNDEZZE INVERSMENTE PROPORZIONLI. Vi sono, invece, altre coppie di grandezze variabili tali che, raddoppiando, triplicando, dimezzando, la prima grandezza, la seconda, rispettivamente, si dimezza, diviene un terzo, raddoppia,. Tali grandezze si dicono inversamente proporzionali. Sono esempi di grandezze inversamente proporzionali i seguenti: le basi di rettangoli equivalenti e le rispettive altezze; il numero di operai che svolgono un determinato lavoro e il numero di giorni necessari per portarlo a termine. Leggi la seguente tabella (e COMPLET): Numero operai (o) Numero di giorni (g) Prodotto (o g) Dalla tabella osserviamo che il prodotto tra le due grandezze è. Si dà, quindi, la seguente definizione: Due grandezze variabili a e b si dicono inversamente proporzionali se il prodotto dei valori corrispondenti assunti da a e b è costante: tale costante è detta costante di proporzionalità inversa e viene indicata con la lettera k. In simboli: a b = k ovvero k a = b Come applicazione del concetto di proporzionalità tra classi di grandezze introduciamo il teorema di Talete. 9.5 Il teorema di Talete Nell unità 5 abbiamo definito il fascio improprio di rette (o fascio di rette parallele) come l insieme di tutte le rette parallele ad una data retta r. bbiamo, poi, introdotto la corrispondenza di Talete (una corrispondenza biunivoca) quando abbiamo considerato due trasversali, t 1 e t 2, unitamente ai punti in cui ogni retta del fascio le intersecava (punti corrispondenti) e ai segmenti che avevano per estremi punti corrispondenti (segmenti corrispondenti) [fig. 7]: 17

19 t 1 t 2 C.. C'.. '.. ' v u s r fig. 7 bbiamo visto il TEOREM DEL FSCIO DI RETTE PRLLELE: Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull altra trasversale. bbiamo anche detto che questo teorema viene, talvolta, chiamato piccolo teorema di Talete, nel senso che è una versione semplificata del teorema di Talete. Da tale teorema discendevano i seguenti: COROLLRIO 1 Se per il punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela ad un altro lato, questa divide il terzo lato in due segmenti congruenti. COROLLRIO 2 (TEOREM INVERSO) Il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato ed è congruente alla sua metà. Sussiste il seguente: TEOREM DI TLETE Un fascio di rette parallele determina su due trasversali classi di segmenti direttamente proporzionali. Per dimostrare che le due classi di segmenti sono direttamente proporzionali, possiamo utilizzare il CRITERIO DELL PROPORZIONLITÀ DIRETT e cioè verificare che nella corrispondenza si mantengono la congruenza e la somma. Nella richiamata unità 5, abbiamo dimostrato che viene conservata la congruenza (teorema del fascio di rette parallele); resta, quindi, da dimostrare che viene conservata anche la somma. PROV TU a dimostrare tale proprietà riferendoti alla precedente fig. 7. [Considera su t 1 un segmento, diciamo PQ, somma di due segmenti, per esempio e CD, sempre di t 1 (per cui esiste un punto T su PQ tale che.., da T manda la parallela..), fai vedere che il segmento corrispondente a PQ su t 2 è la somma dei segmenti corrispondenti ad e CD sempre su t 2 ]. 18

20 ESERCIZI SULLE PROPORZIONI 1) Indica quali delle seguenti relazioni sono delle proporzioni: a) 2 : 3 = 14 : 21 b) 5 : 3 = 30 : 18 c) 6 : 2 = 9 : 5 d) = e) (1 - ) : ( 2 - ) = 6 : f) 6 : 5 = 1,5 : 7, g) (4,5 + 3,5) : 6 = (0,5 : 11,5) : 9 h) 13 : 5 = (4,2 + 2,3) : (7 4,5) i) : = : ) Per ciascuna delle seguenti proporzioni, partendo dai suoi termini e applicando le diverse proprietà, costruisci altre 7 proporzioni. a) 5 : 3 = 15 : b) 4 : = : c) 14 : 6 = 21 : 9 d) 6 : 4 = 3 : 2 e) 7 : 8 = 49 : 56 f) 3 : 7 = 15 : g) : = : h) 1,3 : 0.8 = 5,6 : 3,7 i) 10 : 15 = 14 : 21 3) Risolvi le seguenti proporzioni: a) 5 : 6 = 2,5 : x b) 3 : x = x : 12 c) x : 8 = 9 : 3 d) x : 7 = 96 : 24 e) 9 : 1,5 = 0,3 : x f) x : 8 = 1 : (2/3) g) 3 : x = x : 48 h) x : 45 = 5 : x i) 5/2 : x = 3/4 : 1/2 l) ( 3 ) : (6 ) = x : ( + ) m) _ 0,7 : x = 0,4 :1,7 n) 0,1) _ 1 1 ( : 0,3 = x : (1,8 + ) 3 9 _ 1 1 o) 3 : x = 6 : 10 p) 7: 32 = 14 : x q) ( + ) : 0, 2 = 9 : x 3 9 r) 54 : x = x : 24 s) 3 27 : x = x : t) ,6 _ : x = x : u) : = : x v) x : = : z) ( 3 ) : (2 ) = x : (1 )

21 a) 3; b) 6; c) 24; d) 28; e) 0,05; f) 12; g) 12; h) 15; i) 5/3; l) 4; m) 28/9; n) 4/3; o) 5; p) 64; q) 9/2; r) 36; s) 0,9; t) _ 0, 4 ; u) 0,5; v) 6; z) 1. 4) Risolvi le seguenti proporzioni mediante l uso delle proprietà relative: a) (7+x) : x = 18 : 4 b) (x-5) : x = 12 : 27 c) x : (x-3) = 4 : 2,5 d) (5+x) : 4 = x : 1,5 e) (14-x) : x = 5 : 9 f) x : (21+x) = 2 : 9 g) 1 : x = 9 : (48+x) h) (51-x) : 15 = x :2 i) x : (70 x) = 8 : 6 l) x : 10 = (49 + x) : m) ( + x ) : = x : (1 ) n) ( ) : ( + ) = x : ( x + ) o) (12 + x) : 29 = x : 5 p) 5 : x = 25 : (13 + x) q) ( + x ) : = x : 0, 2 r) : x = : ( + x) _ s) : x = : ( x) t) (3,8 x ) : (2 1,3) = x : (2 1,4) u) + : 3 : ( 0,2 + 0,4*3) = x : ( x) a) 2; b) 9; c) 8; d) 3; e) 9; f) 6; g) 6; h) 6; i) 40; l) 70; m) 5/3; n) 1/2; o) 5/2; p) 13/4 q) 4/25; r) 1/6; s) 5/8; t) 9/5; u) 8/ ) pplicando le proprietà delle proporzioni, calcola due numeri conoscendo la loro somma ed il loro rapporto: a) x + y = 21 x : y = 4 : 3 b) x + y = 75 x : y = 16 : 9 c) x + y = 100 x : y = 13 : 7 d) x + y = 85 x : y = 28 : 6 20

22 e) x + y = 88 x : y = 13 : 9 f) x + y = 72 x : y = 15 : 21 g) x + y = 17/4 x : y = 3/4 : 2/3 h) x + y = 42 x : y = 5 : 9 i) x + y = 16 x : y = 1/3 : 1/5 l) x + y = 20 x : y = 0,3 : 0,7 m) x + y = 144 x : y = 1,6 : 2,3 a) (12; 9) ; b) (48; 27); c) (65; 35); d) (70;15); e) (52;36); f) (30;42); g) (9/4;2); h) (15;27); i) (10;6); l) (6;14); m) (60; 84) 6) pplicando le proprietà delle proporzioni, calcolare due numeri conoscendo la loro differenza ed il loro rapporto: a) x - y = 16 x : y = 7 : 5 b) x - y = 18 x : y = 9 : 3 c) x - y = 32 x : y = 8 : 4 d) x - y = 24 x : y = 17 : 13 e) x - y = 8 x : y = 21 : 5 f) x - y = 10 x : y = 33 : 13 g) x - y = 20 x : y = 19 : 15 h) x - y = 40 x : y = 13 : 5 i) x - y = 15 x : y = 18 : 13 l) x - y = 28 x : y = 35 : 21 m) x - y = 9 x : y = 0,6 : 0, 2 a) (56;40); b) (27;9); c) (64;32); d) (102;78); e) (10,5;2,5); g) (95;75); h) (65;25) i) (54;39); l) (70;42); m) (27/2 ; 9/2) 21

23 UNITÀ 10 L SIMILITUDINE TR FIGURE PINE 10.1 Generalità Negli studi precedenti hai incontrato figure congruenti e/o figure di forma diversa ma aventi uguale estensione o, ancora, figure aventi la stessa forma ma non la stessa estensione. Insieme abbiamo già analizzato i casi delle figure congruenti e di quelle equiestese; ora studiamo l ultimo caso, ossia quello delle figure simili. Disegna, a tale scopo, un rettangolo R di vertici,,c,d e traccia le sue diagonali, indicando con O il loro punto di intersezione. Detti E, G, F, H i punti medi rispettivamente dei segmenti O, OC, O, DO, congiungi tali punti medi e chiama R' il quadrilatero ottenuto. Costruisci, in base ai dati, la figura relativa (fig. 1): fig. 1 Cosa puoi dire del quadrilatero R'? Cosa puoi dire dei quadrilateri R e R'? Ti aiuto con il seguente esercizio di completamento (le parole di completamento vanno scelte tra quelle indicate dopo l esercizio,con l avvertenza che vi sono parole intruse ). R e R' sono due.. ; R e R' hanno la stessa ma non le stesse.. ; R e R' sono figure. gli angoli di R' sono ordinatamente.. agli angoli di R ( nel caso in questione gli angoli di R e R' sono tutti angoli.. ; i lati di R' sono.. ai lati di R. Parole di completamento : area, dimensioni, perpendicolari, simili, acuti, retti, rettangoli, paralleli, direzione, forma, congruenti, opposti al vertice. Parlando delle trasformazioni geometriche nel piano (unità 4) avevamo visto, in particolare, il trasformato di un triangolo C, retto in C, secondo una fissata trasformazione. 22

24 vevamo determinato le immagini dei vertici,, C (rispettivamente ', ', C'), ottenendo, così, il triangolo ' ' C' (fig. 2): O * C' ~ o ' ' ~ * C o fig. 2 L esame della figura ti dovrebbe permettere di ricostruire la trasformazione. Ricordiamo la terminologia usata: il punto ' è l omologo o il corrispondente di ; il punto ' è l omologo o il corrispondente di ; il punto C' è l omologo o il corrispondente di C; l angolo ' è l omologo o il corrispondente dell angolo ; continua tu l angolo '.. ; l angolo... ; il lato '' è l omologo o il corrispondente del lato (i due lati hanno, quindi, per estremi due coppie di vertici omologhi); il lato 'C'.. ; il lato.. ; Ti era stato consigliato, altresì, di verificare che: '' //, 'C' // C, 'C' // C il triangolo ''C', trasformato del triangolo C, è retto in C'. La nostra trasformazione non modifica, quindi, determinate proprietà geometriche (conserva, cioè, alcune proprietà) mentre ne modifica altre. Ricordi gli invarianti? Quale relazione vi è tra gli angoli del triangolo ''C' e quelli omologhi del triangolo C? 23

25 Quale relazione vi è tra i lati del triangolo ''C' e quelli omologhi del triangolo C? Nella fig. 1 dovresti aver verificato, ma potevi, anche, dedurlo da un teorema (quale?) che: EF // e EF 2 1 FG // C e FG 2 1 C HG // DC e HG 2 1 DC HE // D e HE 2 1 D Scrivi le relazioni legate alla fig. 2. OSSERVZIONE Hai trovato che i rapporti tra i lati risultano uguali (a quanto?) nei casi illustrati in entrambe le figg. 1 e 2 e ciò per le particolari trasformazioni considerate. questo punto, possiamo dare la seguente definizione: Due poligoni F e F', di ugual numero di lati, si dicono simili, in simboli F ~ F', se hanno gli angoli ordinatamente congruenti ed i lati omologhi in proporzione. [In fig. 3 sono rappresentati due pentagoni simili] D * D' * E o. C E' o. C' ' ' fig. 3 def. CDE ~ ''C'D'E' ', ', C C', D D', E E' : '' = C : 'C' = CD : C'D' = DE : D'E' = E : E'' Il rapporto costante k tra due qualsiasi lati omologhi viene detto rapporto di similitudine (nel caso dei poligoni delle figg. 1 e 2 si ha k = 2). Se k = 1, i due poligoni (simili) sono anche. 24

26 N.. La relazione di similitudine tra poligoni gode delle proprietà: riflessiva: ogni poligono è simile a se stesso; simmetrica: se il poligono P è simile al poligono P', allora P' è simile a P ; transitiva: se il poligono P è simile al poligono P' e il poligono P' è simile al poligono P'', allora P è simile a P''. La relazione di similitudine è quindi una relazione di equivalenza. Per stabilire che due poligoni sono simili, dobbiamo, quindi, eseguire le seguenti operazioni: verificare la congruenza fra gli angoli e verificare la proporzionalità fra i lati. Queste operazioni sono, in genere, laboriose per cui, come abbiamo fatto per la congruenza, ci chiediamo se sia possibile effettuare un numero minore di confronti. Nel lavoro che segue, daremo una risposta a questa domanda introducendo i criteri di similitudine dei triangoli prima e dei poligoni poi. Esaminiamo, quindi, tre criteri, i criteri di similitudine dei triangoli, che forniscono condizioni sufficienti affinché due triangoli siano simili La similitudine nei triangoli In base a quanto detto per i poligoni simili, si ha la seguente definizione: Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e se i lati corrispondenti (cioè i lati opposti agli angoli congruenti) sono proporzionali. Consideriamo i triangoli C e ''C' (fig. 4): C C' o. o. ' fig. 4 In base alla definizione, i due triangoli sono simili se: e ', ', C C' : '' = C : 'C ' = C : 'C'. 25

27 Nel caso di due triangoli simili, riferendoci ancora alla fig. 4, ribadiamo che si dicono : omologhi o corrispondenti i vertici di due angoli congruenti, per esempio i vertici e '; omologhi o corrispondenti i lati opposti ad angoli congruenti, cioè i lati che hanno come estremi due coppie di vertici omologhi, per esempio i lati e ''; rapporto di similitudine il valore costante dei rapporti tra i lati omologhi, per esempio il valore del rapporto. ' ' OSSERVZIONE Per stabilire, quindi, se due triangoli sono simili, bisogna confrontare i tre angoli (per vedere se sono o meno ordinatamente congruenti) e i tre lati (per vedere se sono o meno in proporzione). Queste operazioni risultano spesso complesse per cui, come nel caso della congruenza, ci chiediamo se è possibile eseguire meno confronti. La risposta, anche questa volta, è affermativa. Vedremo infatti che, per verificare la congruenza di due triangoli, sarà sufficiente che valgano opportune condizioni, espresse dai cosiddetti criteri di similitudine dei triangoli I criteri di similitudine dei triangoli TEOREM (Primo criterio di similitudine) Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti [Ne bastano due! Perché?] C C' Hp.: ' ; ' ; C C' o. o. ' Th.: C ~ ''C' Dimostrazione asta dimostrare che valgono le proporzioni: : '' = C : 'C ' = C : 'C' 26

28 Distinguiamo due casi: I. '' In tal caso i due triangoli sarebbero congruenti (perché?) e quindi simili (i rapporti sarebbero tutti uguali a 1). II. '' In tal caso uno dei due segmenti è maggiore dell altro; supponiamo che > '' (così come in figura). Sul lato prendiamo un punto D tale che D '' (segniamo D e '' con il simbolo ) e tracciamo da D la parallela al segmento C che incontra il lato C nel punto E (fig. 5): C E. C' o. o.. D ' fig. 5 pplicando il teorema di Talete al triangolo C la, otteniamo seguente proporzione: : D = C : E (*) Osserviamo, poi, che: DE C perché angoli corrispondenti formati dalle parallele DE e C tagliate dalla trasversale ( segnare DE con il simbolo. ). [fig. 6] C E. C' o.. D. o. ' fig. 6 Consideriamo, ora, i triangoli DE e ''C'; essi hanno: 27

29 D '' per costruzione; DE ''C' per la proprietà transitiva della congruenza tra angoli (perché?) [in fig. 6 sono già rappresentati con lo stesso simbolo. ]; DE ''C' per ipotesi. I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli. vranno, pertanto, tutti gli altri elementi corrispondenti congruenti, in particolare: D '' e E 'C'. Ne consegue che nella proporzione (*) possiamo sostituire al lato D il lato '' e al lato E il lato 'C' ottenendo così la seguente proporzione: : '' = C : 'C' PROV TU, procedendo in modo analogo, a dimostrare che: : '' = C : 'C' e, quindi, si ha la tesi. C.V.D. PROV TU a dimostrare il teorema nel caso in cui < ''. PROV TU a dimostrare i seguenti corollari: COROLLRIO 1 Due triangoli rettangoli con un angolo acuto congruente sono simili. COROLLRIO 2 Due triangoli isosceli con l angolo al vertice congruente sono simili. COROLLRIO 3 Due triangoli isosceli con un angolo alla base congruente sono simili. COROLLRIO 4 Due triangoli equilateri sono simili. COROLLRIO 5 Una corda parallela ad un lato di un triangolo individua un triangolo simile a quello dato. 28

30 TEOREM (Secondo criterio di similitudine) Due triangoli sono simili se hanno un angolo congruente e i due lati che lo comprendono in proporzione. C C' Hp.: ' : '' = C : 'C' Th.: C ~ ''C' o o ' Dimostrazione Distinguiamo due casi: I. '' In tal caso i due triangoli sarebbero congruenti (perché?) e quindi simili (i rapporti sarebbero entrambi uguali a 1). II. '' In tal caso uno dei due segmenti è maggiore dell altro; supponiamo che > '' (così come in figura). Sul lato prendiamo un punto D tale che D '' (segniamo D e '' con il simbolo ) e tracciamo da D la parallela al segmento C che incontra il lato C nel punto E (fig. 7): C E. C' o. D o ' fig. 7 Per il COROLLRIO 5 si ha che i triangoli C e DE risultano simili e, quindi, vale la seguente proporzione: : D = C : E Sostituendo al lato D il lato '', si ha: : '' = C : E e, poiché per ipotesi: : '' = C : 'C', 29

31 si ha, per l unicità della grandezza quarta proporzionale, che: E 'C'. I triangoli ''C' e DE risultano, pertanto, congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli. In definitiva, si ha: C ~ DE e DE ''C' e quindi: C ~ ''C' (perché?). C.V.D. PROV TU a dimostrare il teorema nel caso in cui < ''. PROV TU a dimostrare il seguente: COROLLRIO Due triangoli rettangoli che hanno i cateti in proporzione sono simili. TEOREM (Terzo criterio di similitudine) Due triangoli sono simili se hanno i lati in proporzione. C C' ' Hp.: : '' = C : 'C' = C : 'C' Th.: C ~ ''C' Dimostrazione Distinguiamo due casi: I. '' In tal caso i due triangoli sono congruenti (perché?) e quindi simili (i rapporti sarebbero entrambi uguali a 1). 30

32 II. '' In tal caso uno dei due segmenti è maggiore dell altro; supponiamo che sia > '' (così come in figura). Sul lato prendiamo un punto D tale che D '' (segniamo D e '' con il simbolo ) e tracciamo da D la parallela al segmento C che incontra il lato C nel punto E (fig. 8): C E. C'. D ' fig. 8 Per il COROLLRIO 5 si ha che i triangoli C e DE sono simili e, quindi, vale la seguente proporzione: : D = C : DE = C : E Sostituendo al lato D il lato '', si ha: : '' = C : DE = C : E e, poiché per ipotesi: : '' = C : 'C' = C : 'C' si ha, per l unicità della grandezza quarta proporzionale, che: DE C e E 'C'. I triangoli ''C' e DE risultano, pertanto, congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli. In definitiva, si ha: C ~ DE e DE ''C' e quindi: C ~ ''C' (perché?). C.V.D. PROV TU a dimostrare il teorema nel caso in cui < ''. Quanto fatto, ci permette di concludere che la definizione che è stata data per la similitudine dei poligoni risulta eccessiva nel caso particolare dei triangoli. Infatti, per i triangoli la congruenza degli angoli e la proporzionalità dei lati sono proprietà dipendenti l una dall altra, nel senso che la prima implica la seconda e viceversa (tale relazione non vale per gli altri poligoni). 31

33 10.4 pplicazioni della similitudine TEOREM In due triangoli simili le altezze relative a due lati omologhi sono proporzionali ai lati stessi. C C' C ~ ''C' CH Hp.: CH '' Th.: CH: '' C'H' = CH : C'H' H ' H' ' [oppure: in due triangoli simili, due lati stanno fra loro come le rispettive altezze] Dimostrazione Consideriamo i triangoli CH e 'C'H'; essi hanno: CH C''H' HC CH perché angoli omologhi dei triangoli C e C, simili per ipotesi; perché entrambi retti. I due triangoli sono quindi simili per il COROLLRIO 1 del primo criterio di similitudine per cui i lati omologhi sono in proporzione. Si ha,cioè: C : 'C' = CH : C'H'. Inoltre, per la similitudine dei triangoli dati, si ha: : '' = C : 'C'. Dalle ultime due relazioni segue, per la proprietà transitiva dell uguaglianza, che: : '' = CH : C'H' C.V.D. COROLLRIO In due triangoli simili, le altezze relative a due lati omologhi sono proporzionali ad una qualsiasi coppia di lati corrispondenti. [PROV TU] 32

34 TEOREM In due triangoli simili, le mediane relative a due lati omologhi sono proporzionali ad una coppia di lati corrispondenti. [PROV TU] TEOREM In due triangoli simili, le bisettrici relative a due angoli omologhi sono proporzionali ad una coppia di lati corrispondenti. [PROV TU] TEOREM I perimetri di due triangoli simili sono proporzionali a due qualsiasi lati omologhi. C C' Hp.: C ~ ''C' Th.: 2p : 2p' = : '' ' [dove 2p e 2p' indicano rispettivamente i perimetri dei triangoli C e ''C'] Dimostrazione I triangoli C e ''C' sono simili per ipotesi e, quindi, i lati omologhi sono in proporzione; risulta cioè: : '' = C : 'C' = C : 'C'. pplicando a questa catena di rapporti uguali la proprietà del comporre (in una catena di rapporti uguali, la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti, come un antecedente qualsiasi sta al proprio conseguente), si ha: Poiché: ( + C + C) : ('' + 'C' + 'C') = : ''. + C + C = 2p '' + 'C' + 'C' = 2p' si ha: 2p : 2p' = : '' C.V.D. 33

35 TEOREM Le aree di due triangoli simili sono proporzionali ai quadrati di due lati omologhi. C C' Hp.: C ~ ''C' Th.: : ' = 2 a : 2 a ' ' [bbiamo indicato con: e ' rispettivamente le aree dei triangoli C e ''C' ; a e a ' rispettivamente le lunghezze dei due lati omologhi e ''] Dimostrazione Osserviamo innanzitutto che se quattro segmenti sono in proporzione (e, quindi, sono in proporzione le loro misure), risultano in proporzione anche i quadrati costruiti su di essi. Infatti, se a, a', b, b' sono le lunghezze di quattro segmenti in proporzione, si ha: Elevando ambo i membri al quadrato, si ottiene: a b =. a' b' 2 2 a b 2 = 2 a' b' da cui risulta che sono in proporzione anche i quadrati costruiti sui quattro segmenti. Indichiamo, ora, con h e h' le misure delle altezze relative rispettivamente ai lati a e a' (fig. 9): C C' h h' fig. 9 H a H' a' ' Si ha: ah = 2 e ' = a'h' 2 e, passando ai loro rapporti: 34

36 ' ah 2 = a' h' 2 = ah = a'h' a a' h (*) h' Poiché i due triangoli sono simili si ha che: h = h' a a' (le altezze relative a due lati omologhi sono proporzionali ai lati stessi), per cui, sostituendo nella relazione (*), si ottiene: 2 2 = a a a = a 2 = ; ' a' a' ' a' a' in altre parole, il rapporto delle aree è uguale al quadrato del rapporto di similitudine. PROV TU il seguente: TEOREM. C.V.D. Le aree di due triangoli simili sono proporzionali ai quadrati di due qualsiasi altezze corrispondenti. bbiamo analizzato in precedenza i teoremi di Euclide e di Pitagora mediante l equivalenza tra figure piane (unità 8), adesso, rivediamo tali teoremi alla luce della teoria della similitudine. 1 TEOREM DI EUCLIDE In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa. C Hp.: π C 2 CH H Th.: 1) : C = C : H 2) : C = C : H Dimostrazione Osserviamo che i triangoli C e CH, retti rispettivamente in C e in H, hanno l angolo di vertice in comune; pertanto i due triangoli sono simili (COROLLRIO 1 del primo criterio di similitudine). 35

37 Ne consegue che i lati omologhi sono in proporzione per cui, considerando lati opposti ad angoli congruenti, si ha: : C = C : H e con ciò resta dimostrato il punto 1). PROV TU a dimostrare il punto 2). C.V.D. TEOREM DI PITGOR In un triangolo rettangolo l area del quadrato costruito sull ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. C Hp.: C π 2 CH H Th.: 2 = C 2 + C 2 Dimostrazione Per il primo teorema di Euclide si hanno le seguenti uguaglianze: C 2 =. H e C 2 =. H Sommando membro a membro tali uguaglianze si ha: C 2 + C 2 =. H +. H =. (H + H) =. = 2 cioè: 2 = C 2 + C 2 C.V.D. 36

38 2 TEOREM DI EUCLIDE In un triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti stessi sull ipotenusa. C Hp.: Th.: π C 2 CH H : CH = CH : H H Dimostrazione Osserviamo che: CH ~ C (perché?) ; C ~ CH (perché?), quindi: CH ~ CH per la proprietà transitiva della relazione di similitudine. Pertanto risultano in proporzione i lati opposti ad angoli congruenti, in particolare: H : CH = CH : H C.V.D La similitudine dei poligoni bbiamo già detto che per dimostrare che due poligoni (che non sono triangoli) sono simili, dobbiamo dimostrare che gli angoli sono congruenti e che i lati corrispondenti sono in proporzione. Esistono, però, dei criteri di similitudine per i poligoni; precisamente: Due poligoni di ugual numero di lati sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati omologhi in proporzione, tranne: 1) tre angoli interni relativi a due lati consecutivi; 2) un lato e due angoli ad esso adiacenti; 3) due lati consecutivi e l angolo tra essi compreso, sui quali elementi non si fa alcuna ipotesi. 37

39 Nel caso, poi, di poligoni regolari, vale il seguente: TEOREM Due poligoni regolari con ugual numero di lati sono simili. PROV TU a dimostrare il teorema. Ora ci limitiamo ad enunciare alcuni teoremi: TEOREM I perimetri di due poligoni simili stanno fra loro come due lati corrispondenti (e, quindi, il loro rapporto è uguale al rapporto di similitudine k dei poligoni). TEOREM Le diagonali corrispondenti di due poligoni simili stanno fra loro come i lati corrispondenti (e, quindi, il loro rapporto è uguale al rapporto di similitudine k dei poligoni). TEOREM I perimetri di due poligoni regolari con ugual numero di lati stanno fra loro come i rispettivi raggi e come i rispettivi apotemi. TEOREM Due poligoni simili stanno fra loro come i quadrati costruiti su due loro lati corrispondenti (e, quindi, il rapporto tra le aree di due poligoni simili è uguale al quadrato del rapporto di similitudine k dei poligoni). TEOREM Le aree di due poligoni regolari con ugual numero di lati stanno fra loro come i quadrati dei rispettivi raggi e come i quadrati dei rispettivi apotemi. In genere, le dimostrazione dei teoremi su riportati si effettuano scomponendo i poligoni dati in triangoli simili. 38

40 10.6 pplicazione della similitudine a corde, tangenti, secanti e bisettrici TEOREM DELLE DUE CORDE Se per un punto interno ad una circonferenza si conducono due corde, esse si dividono in modo che le due parti dell una sono i medi e le due parti dell altra sono gli estremi di una proporzione. [Costruisci la figura in base all enunciato del teorema, aiutandoti anche con le relazioni espresse dall ipotesi e dalla tesi]. Γ circonferenza Hp.: e CD corde CD = {P} Dimostrazione Th.: P : CP = PD : P Dopo aver unito con D e con C, consideriamo i triangoli DP e CD; essi hanno: PD CP perché angoli opposti al vertice; DP CP perché insistono sullo stesso arco C (e/o DP ) I triangoli sono, quindi, simili per il primo criterio di similitudine per cui vale la proporzione tra i lati omologhi; cioè: P : CP = PD : P C.V.D. PROV TU a dimostrare il teorema congiungendo con C e con D. TEOREM DELLE DUE SECNTI Se per un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti, una secante e la sua parte esterna formano i medi, l altra secante e la sua parte esterna gli estremi di una proporzione. [Costruisci la figura in base all enunciato del teorema, aiutandoti anche con le relazioni espresse dall ipotesi e dalla tesi]. γ circonferenza P esterno a γ Hp.: s 1, s 2 rette per P s 1 γ = {, } s 2 γ = {C, D} Th.: P : PC = PD : P 39

41 Dimostrazione I triangoli CP e PD hanno l angolo di vertice P in comune e gli angoli in e in D congruenti perché insistono sullo stesso arco. I due triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine; vale, quindi, la proporzione tra i lati omologhi e cioè: P : PC = PD : P TEOREM DELL SECNTE E DELL TNGENTE Se per un punto esterno ad una circonferenza si conducono una secante ed una tangente, la tangente è media proporzionale tra l intera secante e la parte esterna di questa. [Costruisci la figura in base all enunciato del teorema, aiutandoti anche con le relazioni espresse dall ipotesi e dalla tesi]. Hp.: γ circonferenza di centro O e raggio r P esterno a γ s, t rette per P s γ = {, } t γ = {T} Th.: P : PT = PT : P Dimostrazione I triangoli PT e PT hanno gli angoli di vertice P in comune e gli angoli in T e in congruenti perché insistono sullo stesso arco T; perciò i triangoli PT e PT sono simili per il primo criterio di similitudine. Vale, quindi, la proporzione tra i lati omologhi; cioè: P : PT = PT : P C.V.D. Enunciamo adesso due teoremi di notevole importanza applicativa. TEOREM DELL ISETTRICE DELL NGOLO INTERNO La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati. TEOREM DELL ISETTRICE DELL NGOLO ESTERNO La bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto in un punto, le cui distanze dagli estremi di quel lato sono direttamente proporzionali agli altri due lati. 40

42 10.6 Sezione aurea Vogliamo risolvere il seguente problema: dividere un segmento in due parti tali che una di esse sia media proporzionale fra l intero segmento e la parte rimanente. Sia il segmento dato (fig. 10):.. Conduciamo dall estremo la perpendicolare ad e prendiamo su tale perpendicolare il punto O 1 tale che O (fig. 11): 2. O.. fig. 11 Tracciamo la circonferenza di centro O e raggio O (fig. 12):. O.. fig. 12 Conduciamo ora la retta O ed indichiamo con C e D i suoi punti d intersezione con la circonferenza (fig. 13): D. C.. O.. fig

43 Consideriamo su il punto P tale che P C.. continua tu [applica il teorema della tangente e della secante e, poi, la proprietà dello scomporre.. : P = P : P]. Si ha, quindi, la seguente definizione: Si dice sezione o parte aurea di un segmento la parte P di esso che è media proporzionale tra l intero segmento e la parte restante P. Si definisce rapporto aureo il rapporto tra un segmento e la sua sezione aurea. Il rapporto aureo viene generalmente indicato con la lettera greca Φ ( fi ). Vale il seguente teorema di cui diamo il solo enunciato TEOREM Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è la parte aurea del raggio. ESERCIZI ESERCIZI SULL SIMILITUDINE Conoscenza e comprensione 1) Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false: a) in una qualsiasi similitudine l orientamento dei punti è un invariante. V F b) nella corrispondenza di Talete, il rapporto tra segmenti è un invariante. V F c) due figure simili hanno la stessa forma. V F d) la relazione di similitudine non è una relazione di equivalenza. V F e) se due triangoli sono congruenti allora sono simili. V F f) se due triangoli sono simili allora sono congruenti. V F g) i lati corrispondenti di due triangoli simili sono proporzionali. V F h) se due triangoli sono simili hanno area diversa. V F i) se due triangoli sono simili uno di essi è equilatero e uno rettangolo. V F j) se due triangoli hanno ordinatamente gli angoli congruenti non sono necessariamente simili. V F k) tutti i triangoli equilateri sono simili tra loro. V F l) tutti i triangoli isoscele sono simili tra loro. V F m) tutti i quadrati sono simili tra loro. V F n) tutti i rettangoli sono simili tra loro. V F o) tutti gli esagoni regolari sono simili tra loro. V F 42

44 p) tutti i trapezi isosceli sono simili tra loro. V F q) se due poligoni sono simili e 1 è il rapporto di similitudine allora i due V F poligoni sono congruenti. r) poligoni equiestesi sono necessariamente simili. V F s) se due triangoli sono simili e k è il rapporto di similitudine, allora V F è k anche il rapporto tra le loro altezze. t) se due poligoni sono simili e k è il rapporto di similitudine, allora V F è k anche il rapporto dei loro perimetri. u) se due poligoni sono simili e k è il loro rapporto di similitudine, allora V F è k anche il rapporto tra le loro aree. v) due triangoli isosceli sono sempre simili. V F w) non è vero che due triangoli equilateri sono sempre simili. V F x) se due poligoni sono suddivisi in poligoni simili, allora sono simili. V F y) se due figure piane sono equiscomponibili, allora sono simili. V F z) se due figure piane sono simili, allora sono equiscomponibili. V F 2) Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false: a) in due triangoli simili gli angoli omologhi sono congruenti. V F b) due triangoli simili hanno i lati omologhi congruenti. V F c) figure piane simili hanno aree uguali. V F d) non è detto che due poligoni regolari con lo stesso numero di lati V F siano simili tra loro. e) due trapezi rettangoli sono necessariamente simili. V F f) due quadrati qualsiasi sono necessariamente simili. V F g) due rettangoli non sono necessariamente simili. V F h) le aree di due poligoni simili sono proporzionali al quadrato del V F rapporto delle misure di due lati omologhi. i) due figure simili hanno la stessa estensione. V F j) due poligoni che hanno tutti gli angoli congruenti sono simili. V F k) due triangoli che hanno due angoli congruenti sono simili. V F l) due triangoli se hanno i lati omologhi congruenti sono simili. V F m) due poligoni se hanno i lati omologhi in proporzione sono simili. V F n) due triangoli se hanno gli angoli omologhi uguali sono simili. V F o) due triangoli sono simili se hanno i lati omologhi in proporzione. V F 43