Banchi ortogonali Casi importanti

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1 anchi ortogonali

2 anchi ortogonali Casi importanti Trasformata a blocchi (JPEG, MPEG) anchi a due canali (JPEG 000) anchi modulati Trasformata di Fourier a blocchi (OFDM) anchi coseno-modulati (AC3, MUSICAM) anchi ortogonali 1

3 Per fare una trasformata a blocchi Trasformata a blocchi 1. Dividi il segnale a blocchi lunghi N. Trasforma ogni blocco con T Per invertire una trasformata a blocchi 1. Applica ad ogni blocco T 1. Rimonta il segnale Vogliamo dimostrare che una trasformata a blocchi è implementabile tramite un banco di filtri anchi ortogonali

4 Trasformata a blocchi: analisi Divido il segnale di ingresso in blocchi x(nn) u k = x(nn + 1). u k,l x(nn + N 1) Trasformo ogni blocco = x(nn + l), l = 0,...,N 1 v k = T v k, v k,m = N 1 T m,l u k,l = u k,t m,: l=0 anchi ortogonali 3

5 Trasformata a blocchi: analisi () Voglio scrivere la trasformata a blocchi come un banco di filtri Definisco i segnali di comodo Nota: anticausale h m ( l) = { Tm,l 0 l N 1 0 altrove (filtro) y m (k) = v k,m (uscita) anchi ortogonali 4

6 Trasformata a blocchi: analisi (3) Riscrivo come y m (k) = v k,m = N 1 h m ( l)x(nk + l) l=0 h m ( l)x(nk + l) = l Z = r Z N 1 T m,l u k,l l=0 h m (r)x(nk r) = h m x(nk) Definizione di h e u Supp. finito di h Sostituzione l r anchi ortogonali 5

7 Trasformata a blocchi: analisi (4) Riassunto Q: Cosa abbiamo scoperto? A: Una trasformata a blocchi con trasformazione N N T può essere implementata con un banco di filtri con N canali le cui risposte impulsive sono le righe di T rovesciate Nota: le risposte impulsive hanno lunghezza N anchi ortogonali 6

8 Trasformata a blocchi: ortogonalità La base di l (Z) associata con la trasformata a blocchi è formata dalle righe di T traslate di multipli di N Il banco è ortogonale se e solo se T è ortogonale anchi ortogonali 7

9 Trasformata a blocchi: ortogonalità () Riga 0 Supporti disgiunti Riga 1 Riga Righe di T ortogonali Riga 3 anchi ortogonali 8

10 Esempio di trasformata a blocchi: la DCT Un tipo molto comune di trasformata a blocchi prevede è la DCT Vantaggi: 1. Esiste un algoritmo veloce. uone proprietà scorrelanti Q: Qual è la risposta in frequenza dei filtri associati alla DCT? anchi ortogonali 9

11 DCT I filtri associati Funzioni di base a k,n = c(k) N cos [( n + 1 ) ] { kπ 1/ se k = 0 ; c(k) = N 1 se k 0 I filtri h k ( n) = a k,n possono essere scritti ( ) nkπ h k (n) = D k r(n) cos N φ k ; r(n) = { 1 se (N 1) n 0 0 altrimenti anchi ortogonali 10

12 DCT () Le risposte in frequenza Ogni filtro è un rect moltiplicato per un coseno 3.5 anco DCT a 16 canali La risposta in frequenza del k-simo filtro è un sincoide centrato intorno a k/n H 4 (f) I filtri della DCT non sono molto selettivi Freq. normalizzata anchi ortogonali 11

13 Trasformate a blocchi: caratteristiche Vantaggi Semplici da implementare Eredita un eventuale algoritmo veloce per T Si può cambiare T al volo senza perdere l ortogonalità Svantaggi Filtri corti cattiva risposta in frequenza anchi più generali possono avere prestazioni migliori Introduzione di artefatti a blocchi anchi ortogonali 1

14 Artefatti a blocchi Originale Codificata JPEG anchi ortogonali 13

15 Artefatti a blocchi () Dettaglio del cappello anchi ortogonali 14

16 anchi ortogonali a due canali Perché? Due canali non sono un po pochini? Didatticamente semplici Mattoni base usati in schemi più complessi Usati anche nel progetto di certi banchi modulati anchi ortogonali 15

17 anchi iterati Ricorda: Usa le identita nobili x H H H A y 0 y 1 H A H H A y y 3 anchi ortogonali 16

18 anchi iterati () Equivalente del primo ramo x H H y 0 x H H (z ) y 0 x H (z) H (z ) 4 y 0 anchi ortogonali 17

19 anchi iterati (3) anco equivalente H (z) H (z ) 4 y 0 x A H (z) H (z ) 4 y 1 A H (z) H (z ) 4 y A A H (z) H (z ) 4 y 3 anchi ortogonali 18

20 anchi iterati non uniformi H H H A y 0 y 1 H x H A y H A y 3 anchi ortogonali 19

21 anchi iterati non uniformi () anco equivalente H (z) H (z ) H (z ) 4 8 y 0 x H (z) H (z ) H (z ) A 4 8 y 1 A H (z) H (z ) 4 y H A (z) y 3 anchi ortogonali 0

22 anco a due canali: lunghezza dei filtri Sia h il filtro di un banco ortogonale a due canali Sia h lungo L nel senso che h (n) 0 0 n L 1 h (0) 0 h (L 1) 0 Risultato: L è pari anchi ortogonali 1

23 anco a due canali: lunghezza dei filtri () Se L fosse uguale a k + 1, h non sarebbe ortogonale a τ k h n=0 n=1 n=l 1=k h(0) h(1).... h(k) h τ k h h(0) h(1).... τ k h, h =h(0) h(k) = 0 anchi ortogonali

24 anco a due canali: filtro complementare Risultato: Se h è il filtro di un banco ortogonale a due canali, h A è univocamente determinato a meno di una traslazione pari ed il prodotto per una costante α, α = 1. In particolare, h A può essere scelto pari a h A (n) = ( 1) n h (L 1 n) anchi ortogonali 3

25 anco a due canali: filtro complementare () Prova Dalla condizione di ortogonalità H t (z 1 )H(z) si ottiene dove H(z) = H(z 1 ) H,0 H,0 + H,1 H,1 = R = 1 H A,0 H A,0 + H A,1 H A,1 = R AA = 1 H A,0 H,0 + H A,1 H,1 = R A = 0 H A,0 H,0 + H A,1 H,1 = R A = 0 Nota: le ultime due condizioni sono equivalenti dato che R A = R A. anchi ortogonali 4

26 anco a due canali: filtro complementare (3) Dalla prima condizione R = H,0 H,0 + H,1 H,1 = 1 si ottiene che MCD(H,0,H,1 ) = 1 Dim: Se fosse MCD(H,0,H,1 ) = K(z) 1, R (z) sarebbe multiplo di K(z) anchi ortogonali 5

27 anco a due canali: filtro complementare (4) Dalla quarta condizione H,0 H A,0 + H,1 H A,1 = 0 si ottiene H,0 H A,0 = H,1 H A,1 = mcm(h,0,h,1 )K(z) Dato che H,0 e H,1 sono primi tra loro, mcm(h,0,h,1 ) = H,0 H,1 anchi ortogonali 6

28 anco a due canali: filtro complementare (5) Otteniamo H,0 (z)h A,0 (z) = H,0 (z)h,1 (z)k(z) H,1 (z)h A,1 (z) = H,1 (z)h,0 (z)k(z) da cui H A,0 (z) = H,1 (z 1 )K(z 1 ) H A,1 (z) = H,0 (z 1 )K(z 1 ) anchi ortogonali 7

29 anco a due canali: filtro complementare (6) Infine, sfruttiamo la seconda condizione per trovare K(z) H A,0 H A,0 + H A,1 H A,1 = 1 Sostituendo, si ottiene H A,0 H A,0 + H A,1 H A,1 = H,1 H,1 KK + H,0 H,0 KK = KK(H,1 H,1 + H,0 H,0 ) = KK = 1 anchi ortogonali 8

30 anco a due canali: filtro complementare (7) La condizione K(z)K(z) = 1 implica che K ha un inverso moltiplicativo K = αz Da deduciamo α = 1. K(z)K(z) = α = 1 Imponendo α = 1 otteniamo H A,0 (z) = H,1 (z 1 )z H A,1 (z) = H,0 (z 1 )z con a scelta anchi ortogonali 9

31 anco a due canali: filtro complementare (8) Portando le condizioni nel dominio del tempo otteniamo h A,0 (n) = h,1 ( n) h A,1 (n) = h,0 ( n) da cui h A (n) = h ( n 1) h A (n 1) = h ( n) unificabili in h A (m) = ( 1) m h ( 1 m) Scegliendo = L si ha la tesi anchi ortogonali 30

32 anco a due canali: filtro complementare (9) Costruzione grafica h (n) h (0) h (1) h () h (M 3) h (M ) h (M 1) h (n) A h (M 1) h (M ) h (M 3) h () h (1) h (0) Con cambio di segno Senza cambio di segno anchi ortogonali 31