Com è noto, le operazioni inverse dell addizione e della moltiplicazione, la sottrazione e la

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1 GLI INSIEMI NUMERICI Com è noto, le operazioni inverse dell addizione e della moltiplicazione, la sottrazione e la divisione, non sempre si possono eseguire nell'insieme dei numeri naturali. Da ciò nasce l'esigenza dell'ampliamento del campo numerico. A tal fine, viene introdotta nuovamente l'operazione di addizione, procedendo come se si trattasse di un gioco. Come si sa, ogni gioco consiste di giocattoli e di regole. In questo contesto, i giocattoli sono i numeri naturali che, per l'occorrenza, vengono rappresentati su una semiretta, come indicato in figura fig. Ogni giocata si esegue con una coppia di numeri. Vengono stabilite le seguenti regole del gioco: il primo numero della coppia indica la posizione che bisogna occupare sulla I) semiretta il secondo numero della coppia specifica di quanti posti bisogna spostarsi II) verso destra, a partire dalla posizione indicata dal primo numero. Così operando, si perverrà, in modo univoco, ad un altro numero che rappresenta l'effetto della giocata. Si consideri la seguente coppia di numeri naturali: (, 6). Si esegua il gioco, applicando le regole stabilite. Dopo aver disposto i numeri naturali sulla semiretta, come indicato prima: si occupa la posizione (primo numero della coppia) a partire dalla posizione contrassegnata dal numero, si realizzi uno spostamento di 6 posti verso destra fig. Si perviene, così, al numero 8, come indicato in figura. Si può scrivere: (, 6) 8. Come si vede, alla coppia (, 6), applicando rigorosamente le regole del gioco, corrisponde, in modo univoco, il numero 8. Si realizza, cioè, una corrispondenza univoca fra l'insieme di tutte le coppie di numeri naturali e l'insieme N dei numeri naturali. Poiché la semiretta su cui sono rappresentati i numeri naturali può essere percorsa sia verso destra sia verso sinistra, si capisce che possono eseguirsi anche giochi diversi da quello che presentato prima. In tal caso, è necessario dare un nome ad ognuno di tali giochi. Per convenzione, si è ritenuto di chiamare ADDIZIONE il gioco presentato prima e SOTTRAZIONE l'altro, ossia quello che prescrive di spostarsi verso sinistra piuttosto che verso destra.

2 Addirittura, per economia di linguaggio, si è pensato di indicare il primo gioco con una crocetta " + ", da leggere " più ", e il secondo con una lineetta " ", da leggere " meno " fig. ESEMPI (, ) + 7 (8, ). La crocetta esprime il seguente messaggio: " A partire dal numero spostarsi di posti verso destra ". La lineetta, invece, esprime il messaggio: " A partire dal numero 8 spostarsi di posti verso sinistra ". I segni: " + " e " " si dicono segni operativi ed esprimono dei comandi: + vai a destra vai a sinistra Si consideri ora l'esempio: (, 7) Si capisce che questa volta il comando non può essere eseguito. Infatti, partendo dal numero, al massimo può essere effettuato uno spostamento di posti verso sinistra e non di 7, come richiesto. Si dice che l'operazione proposta è impossibile. Quindi, il gioco della sottrazione, con questi giocattoli che si hanno a disposizione (i numeri naturali), non sempre si può eseguire. Infatti, mentre verso destra si può sempre procedere, verso sinistra, invece, non è possibile superare la barriera contrassegnata dal numero 0 ( zero). Per questo, si dice che l'insieme dei numeri naturali è illimitato a destra e limitato a sinistra. La difficoltà di cui sopra può essere superata modificando opportunamente i giocattoli. Si può procedere, ad esempio, nel modo seguente: far precedere ogni numero naturale con uno dei due segni " + " o " - ". In questo modo, con un numero naturale si formano due nuovi enti che vengono detti numeri relativi. Infatti, col numero si formano i numeri relativi: e +. I due segni " + " e " - " non esprimono un comando, bensì una qualità. Così operando, partendo dai numeri naturali, si possono introdurre nuovi enti il cui insieme viene denominato insieme dei numeri interi relativi. Questo insieme si indica con la lettera Z. Si ha: Z = {,,,,, 0, +, +, +, +, }. I numeri relativi preceduti dal segno " - " sono detti negativi e quelli preceduti dal segno " + " positivi. Anche i numeri relativi possono essere rappresentati su una retta. Scelto il punto della retta a cui associare il numero 0 (zero), la retta viene decomposta in due semirette, in una delle quali si rappresentano i numeri negativi e nell'altra quelli positivi.

3 Generalmente, i numeri negativi vengono rappresentati nella semiretta di sinistra e i positivi in quella di destra fig. In questo nuovo contesto, si può sempre procedere sia verso destra che verso sinistra. Si dice che l'insieme dei numeri relativi è illimitato sia a destra che a sinistra. Come si vede dalla rappresentazione geometrica, i numeri interi relativi positivi occupano i posti che prima occupavano i numeri naturali. In questo senso allora si può parlare di ampliamento del campo numerico. L'insieme N, cioè, risulta incluso nel nuovo insieme Z. Si ha, cioè: N Z. Come visto prima, nell'insieme N dei numeri naturali si possono eseguire sempre le operazioni di addizione e Z N moltiplicazione. Ossia, l'insieme N è chiuso sia rispetto all'addizione sia rispetto moltiplicazione. In simboli, si ha: fig. a, b N, c N a + b = c a, b N, c N a b = c Si può dire, cioè: La somma di due numeri naturali esiste sempre ed è un numero naturale. Il prodotto di due numeri naturali esiste sempre ed è un numero naturale. Per rendere sempre possibile l'operazione di sottrazione si è proceduto ad un ampliamento del campo numerico, introducendo i numeri relativi. Nell'insieme Z dei numeri interi relativi sono sempre possibili le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione. Ossia, l'insieme Z è chiuso rispetto alle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione. In simboli, si ha: a, b Z, c Z a + b = c a, b Z, c Z a b = c a, b Z, c Z a b = c Si può dire, cioè: La somma di due numeri interi relativi esiste sempre ed è un numero relativo. La differenza di due numeri interi relativi esiste sempre ed è un numero relativo. Il prodotto di due numeri interi relativi esiste sempre ed è un numero relativo. L'operazione di divisione non sempre risulta possibile nell'insieme N dei numeri naturali né in quello Z dei numeri interi relativi. Si ricorda che il quoto di un numero a per un numero b è quel numero c che moltiplicato per b risulta uguale al numero a. In simboli, si ha: a b = c c b = a

4 ESEMPI ) 6 = perché 6 =. ) 0 0 = perché 0 = 0. ) 0 = 0 perché 0 = 0. ) 7 = non esiste nessun numero naturale né relativo che sia il risultato dell operazione Per rendere sempre possibile l'operazione di divisione si è proceduto ad un ampliamento del campo numerico, introducendo i numeri frazionari detti anche razionali. L'insieme dei numeri razionali si indica con la lettera Q. Il nuovo insieme comprende i due precedenti e, perciò, si può scrivere: Q N N Z Q. Z Nell'insieme Q dei numeri razionali relativi si possono eseguire sempre le quattro operazioni fondamentali fig. 6 dell'aritmetica, ad eccezione della divisione nel caso in cui il divisore sia nullo. Si ha, infatti: 7 0 = non esiste perché qualsiasi numero moltiplicato per zero è uguale a zero (operazione impossibile). 6 frazione priva di significato. 0 In simboli, si ha: a, b Q, c Q a + b = c a, b Q, c Q a b = c a, b Q, c Q a b = c a, b Q, b 0, c Q a b = c Si può dire, cioè: La somma di due numeri razionali esiste sempre ed è un numero razionale. La differenza di due numeri razionali esiste sempre ed è un numero razionale. Il prodotto di due numeri razionali esiste sempre ed è un numero razionale. Il quoto di due numeri razionali, a condizione che il secondo sia diverso da zero, esiste sempre ed è un numero razionale. Quindi, l'insieme Q è chiuso rispetto alle quattro operazioni elementari dell'aritmetica, con la sola eccezione della divisione se il divisore è nullo.

5 Rappresentazione geometrica dei numeri razionali Al pari dei numeri naturali e dei numeri interi relativi, anche i numeri razionali si possono rappresentare geometricamente mediante i punti di una retta. Per realizzare una corrispondenza fra l'insieme dei numeri razionali e l'insieme dei punti di una retta è necessario orientare preliminarmente la retta. Il che consiste nell'associare arbitrariamente a due punti di tale retta i numeri 0 e rispettivamente. O P Sia r una retta, O l'immagine del numero 0, P l'immagine del numero. a r 0 b Fig. 7 Il segmento u = OP rappresenta l'unità di misura dei segmenti che vengono considerati sulla retta. Per determinare l'immagine di un numero razionale a b qualsiasi, si procede nel modo seguente: I) Si divide il segmento unitario u = OP in b parti uguali II) Si prendono a di tali parti uguali, disponendoli consecutivamente, a partire dal punto O. L'ultimo estremo di tali segmenti è l'immagine del numero razionale a b. Sia A il punto corrispondente al numero a OA = OP. b a. Il segmento OA è a volte la b esima parte di OP. b ESEMPI. Rappresentare il numero razionale su una retta orientata. Si consideri una retta r sulla quale si associa arbitrariamente il punto O al numero 0 e il punto P al numero. Si divide il segmento OP in parti uguali. Considerando soltanto due di esse, a partire dal punto O, si determina O A P 0 Fig. 8 r in modo univoco il punto A, che è l'immagine del numero razionale. Si ha: OA = OP.. Rappresentare geometricamente i numeri razionali: 7 6. O C D P E A B Fig. 9 r

6 Si ha: OA = OP OP = OB = OP OP = OC = OP OE = OP OP 7 7 =. OD = OP OP 6 6 = Come si vede, rappresentando i numeri naturali su una retta, rimangono dei tratti vuoti di ampiezza costante. I numeri razionali, i quali comprendono anche i numeri naturali, si inseriscono in tali tratti vuoti, senza però colmarli, come si potrà vedere subito. Fra due numeri naturali consecutivi si possono inserire quanti numeri razionali si vogliono. Ad esempio, fra i numeri 0 e trovano posto numeri razionali come: I numeri razionali considerati hanno per immagini sulla retta orientata punti a sinistra del punto associato al numero. Essi appartengono al seguente insieme: n n N = 0,,,,.... n + Si tratta di un insieme formato da infiniti numeri razionali minori di Oltre a tali numeri razionali compresi fra 0 e esistono infiniti altri come: Quindi, fra 0 e esistono infiniti numeri razionali le cui immagini geometriche sono rappresentate da punti del segmento unitario OP. Si può far vedere ora come fra due numeri razionali qualsiasi è possibile inserire infiniti altri numeri razionali. Si consideri prima qualche caso particolare. Dei due numeri razionali e, le cui immagini geometriche sono i punti A e D rispettivamente, calcolare la loro semisomma. + Si ha: + = = =. 8 Il numero razionale 8 è compreso fra i numeri e. Cioè, è vera la relazione: < <, 8 che risulta evidente riducendo le frazioni al medesimo denominatore, come indicato qui di seguito: 6 < < O A C B 0 8 P Fig. 0 r 7 8 e 8, 9 si ottiene il numero, 6 il quale risulta ancora compreso 6

7 fra e. Così continuando, si possono determinare quanti numeri razionali si vogliono fra i due numeri considerati e. Il procedimento descritto prima, che consiste nel determinare la semisomma di due numeri razionali, può essere ripetuto quante volte si vuole perché le operazioni di addizione e di divisione per sono leggi binarie di composizione interne ovunque definite nell'insieme Q dei numeri razionali. Se si vuole generalizzare la questione trattata prima, si considerino due numeri razionali x e y qualsiasi, con x < y. La semisomma di due numeri razionali è un numero razionale che è TEOREMA maggiore del minore dei due dati numeri e minore del maggiore. IPOTESI: x < y, x, y Q TESI : x ( x + y) < y Scrivendo due volte l'ipotesi, si ha: x < y x < y Sommando x a entrambi i membri della prima relazione e y in quelli della seconda, si ottengono le due relazioni seguenti: x + x < y + x x + y < y + y ossia: x < y + x x + y < y Dividendo per entrambi i membri, si ha: x < ( x+ y ) ( ) x+ y < y Si può scrivere, sinteticamente: x < ( x+ y) < y C.V.D. Il teorema dimostrato autorizza ad affermare che fra due numeri razionali qualsiasi è compreso almeno un numero razionale. Questa caratteristica particolare dell'insieme dei numeri razionali si esprime dicendo: L'insieme Q dei numeri razionali è denso. L'insieme dei numeri naturali, invece, non è denso. Infatti, fra due numeri naturali consecutivi non è possibile inserire nessun numero naturale. Ad esempio, mentre fra i numeri naturali e 6 si possono inserire i numeri naturali e, invece, fra i numeri naturali consecutivi e non esiste nessun numero naturale. Questa circostanza dell'insieme dei numeri naturali si esprime dicendo: L'insieme N dei numeri naturali è discreto. Lo stesso vale per l'insieme dei numeri interi relativi. Quindi: L'insieme Z dei numeri interi relativi è discreto. Come si vedrà in seguito, mentre ad ogni numero razionale rimane associato univocamente uno ed un solo punto di una retta orientata viceversa, esistono punti di tale retta che non sono immagini di nessun numero razionale. Si può dire, cioè, che le immagini geometriche di tutti i numeri razionali non coprono interamente la retta orientata. Ciò si esprime dicendo che l insieme Q dei numeri razionali presenta < 7

8 d Fig. delle lacune. Per rendersi conto di tale situazione, è bene dare un cenno circa la scoperta dei numeri irrazionali. Fino a Pitagora erano noti soltanto i numeri razionali, ossia quei numeri costituiti da una coppia di numeri naturali: i termini della frazione (numeratore e denominatore). Poiché tutti i problemi che venivano affrontati trovavano una soddisfacente risoluzione con i numeri frazionari, nulla faceva sospettare che potessero esisterne degli altri. In seguito alla scoperta della relazione che sussiste fra i lati di un triangolo rettangolo, meglio nota come teorema di Pitagora, vennero alla luce nuovi enti numerici come:,,, ecc. Infatti, considerando un quadrato di lato lungo una unità, per la diagonale si trova: d = + = + = =,... Si ottiene, cioè, un numero decimale illimitato non periodico. Quindi nessuna frazione è rappresentativa di tale numero. Non è possibile allora rappresentarlo sulla retta orientata, procedendo come nel caso delle frazioni. Insomma, ammesso che esista l'immagine geometrica del numero trovato, non è possibile individuarla con procedimenti di tipo aritmetico, ossia con l'ausilio di quelle tecniche che sono state utilizzate prima. Si è detto " ammesso che esista tale immagine geometrica " perché secondo le concezioni geometriche del tempo, come si vedrà meglio in seguito, con i numeri razionali si otteneva un ricoprimento completo di tutta la retta su cui venivano B C rappresentati. Quindi non poteva esistere un punto rappresentativo del nuovo ente trovato. Tuttavia, facendo ricorso a un procedimento di tipo puramente geometrico, è possibile A D E rappresentare il numero non razionale trovato. Si consideri la solita retta orientata. 0 r Fig. Costruito il quadrato di lato AD = unità, si disegni la circonferenza di centro A e raggio AC fino ad incontrare in E la retta data. Poiché AE = AC, perché raggi della stessa circonferenza allora il punto E è l'immagine geometrica di e di nessun altro numero. Con ciò bisognava ammettere l'esistenza di numeri non razionali, che furono detti numeri irrazionali. Gli insiemi dei numeri razionali e irrazionali sono disgiunti e la loro unione costituisce l'insieme R dei numeri reali. La rappresentazione geometrica dei numeri irrazionali colma le lacune lasciate dai numeri razionali. Come si vedrà in seguito, la scoperta dei numeri irrazionali ha prodotto un rivoluzionamento nel campo matematico e filosofico, portando alla concezione del punto privo di estensione e, quindi, alla fondazione della matematica in senso moderno. Poiché la rappresentazione dei numeri razionali e irrazionali non lascia più lacune sulla retta orientata, si dice che l'insieme dei numeri reali è continuo. ad ogni numero reale corrisponde univocamente un punto della retta orientata e,viceversa, ad ogni punto di una retta orientata corrisponde univocamente un numero reale. Cosicché: 8

9 ad ogni numero reale corrisponde univocamente un punto della retta orientata e,viceversa, ad ogni punto di una retta orientata corrisponde univocamente un numero reale. Si dice che fra l'insieme dei numeri reali e l'insieme dei punti di una retta orientata sussiste una corrispondenza biunivoca. Si può dire: L'insieme o classe dei numeri reali è costituita dai numeri razionali e irrazionali. Sono razionali tutti i numeri frazionari. Sono frazionari tutti i numeri interi, i numeri decimali finiti e i numeri decimali illimitati periodici. ESEMPI 6 6 =, =, =. 0 9 Sono irrazionali tutti i numeri decimali illimitati non periodici. ESEMPI I numeri irrazionali, oltre che con l'estrazione di numeri reali radice, si possono ottenere anche con altre operazioni. Q L insieme dei numeri reali si indica col simbolo irrazionali R. N Z Fig. Qui accanto si ha la seguente rappresentazione dei numeri incontrati fino ad ora. Per completare la panoramica del campo numerico, viene dato un cenno riguardante i numeri complessi. Come si è potuto vedere, l'ampliamento del campo numerico è stato determinato dalla necessità di rendere sempre possibili le cosiddette operazioni inverse: la sottrazione, la divisione e l'estrazione di radice. Viene ripresa brevemente ora l'operazione di estrazione di radice quadrata. Come è già noto al lettore, estrarre la radice quadrata di un numero a significa determinare un altro numero b che elevato al quadrato sia uguale ad a. In simboli, si ha: a = b b = a Se a è un quadrato perfetto, ossia è un elemento dell'insieme dei quadrati dei numeri reali, allora il risultato è uguale alla base di tale quadrato. ESEMPIO = =. Se a è un numero positivo non quadrato perfetto, l'operazione ha ancora significato e il risultato è un numero irrazionale. Se a è un numero negativo, l'operazione non può essere eseguita nell'insieme dei numeri reali perché nessun numero reale elevato al quadrato è uguale a un numero negativo. Per rendere sempre possibile l'operazione di estrazione di radice quadrata di qualsiasi numero reale, positivo e negativo, si è proceduto ad un ampliamento del campo numerico introducendo i numeri complessi. Si cerca ora di dare un'idea di questi nuovi enti chiamati numeri complessi. Posto = i, si ha: i =. Con il simbolo " i " viene indicata una nuova unità, detta unità immaginaria. Il numero, invece, 9

10 viene detto unità reale. Per la convenzione fatta, si ha: DEFINIZIONE Ad esempio, l'espressione: 9 = i perché (i) = i = 9 ( ) = i Dicesi numero complesso quell'ente formato dalla somma di unità reali e di unità immaginarie. rappresenta un numero complesso formato da 7 unità reali e da unità immaginarie. E' facile convincersi che per costruire un numero complesso bisogna disporre di una coppia di numeri reali per specificare di quante unità dell'uno e dell'altro tipo esso è costituito. Numero complesso significa numero formato da unità di tipo diverso. ESEMPI libri + penne è un numero complesso 00 euro + 00 dollari è un numero complesso In generale un numero complesso viene indicato nel modo seguente: a + bi con a, b numeri reali. a rappresenta la parte reale del numero complesso bi rappresenta la parte immaginaria del numero complesso. Se b = 0, il numero complesso diviene un numero reale. Pertanto, si può dire che l'insieme dei numeri reali è incluso nell'insieme C dei numeri complessi. Si ha: R C. Lo schema seguente fornisce un'idea abbastanza chiara circa l'evoluzione del concetto di numero. Partendo dai numeri naturali, passo passo si è pervenuti ai numeri complessi. I numeri irrazionali furono scoperti nell'ambito della scuola pitagorica, detta SCUOLA ITALICA, sorta a Crotone, nella Magna Grecia, per merito di Pitagora. Pitagora nacque nell'isola di Samo nel VI sec. a.c. Non si conoscono esattamente né la data di nascita né quella della sua morte. Si sa soltanto che egli viaggiò molto venendo a contatto, così, con le civiltà orientali come quelle irrazionali R Q N C Z Fig. egizia e babilonese. Forse arrivò anche in Persia e in India. Dagli egiziani apprese molte nozioni di geometria che gli permisero di scoprire la relazione che sussiste fra i lati di un triangolo rettangolo, a tutti nota come TEOREMA DI PITAGORA. Per ragioni politiche abbandonò la sua patria e si stabilì a Crotone, dove fondò una scuola nella quale furono coltivati molto gli studi matematici. Con Pitagora la matematica segnò una svolta decisiva. Infatti, in seguito alla scoperta dei numeri irrazionali, essa acquistò quasi l'aspetto odierno. I numeri complessi furono introdotti dal matematico italiano Raffaele Bombelli durante il periodo rinascimentale. Della loro importanza, purtroppo, i matematici si accorsero quasi due secoli e mezzo dopo, ossia ai primi dell'800, per merito soprattutto del matematico tedesco Gauss. I numeri complessi hanno molta importanza specialmente nella matematica applicata. L'argomento dovrà essere ripreso successivamente per essere adeguatamente approfondito. Per ora si è ritenuto opportuno fornire soltanto un'informazione, anche se a grandi linee, del campo numerico il quale costituisce la piattaforma su cui poggia tutto l'edificio matematico. 0