Cristiano Teodoro

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1 Crstao Teodoro La GENERAZIONE della CHIAVE PRIVATA ell algortmo crttografco RSA a chave pubblca Chave Prvata : Sommaro: scopo d questo artcolo è quello d descrvere la realzzazoe della CHIAVE PRIVATA ell algortmo RSA a chave pubblca co l utlzzo delle cogrueze lear. I effett l uso delle cogrueze lear vee mpegato o solo el suddetto algortmo ma ache dvers altr metod crttografc, come ad esempo ell algortmo DSA e ell algortmo d El Gamal per la geerazoe e la verfca della frma dgtale. S zerà pertato co l llustrare u algortmo per la rsoluzoe della cogrueza leare Ax C (mod B) o dell equazoe leare dofatea A x B y = C dove A, B e C soo umer ter qualsas postv o egatv. Come caso partcolare s prederà cosderazoe la cogrueza del tpo Ax (mod B) per l calcolo della Chave Prvata. Dopo ua breve premessa vee descrtto lo svluppo d u umero razoale frazoe cotua arrvado al calcolo del MCD d due umer. S passa qud ad trodurre l algortmo rguardate la rsoluzoe d questo tpo d equazo o cogrueze attraverso seguet pass: calcolo delle rdotte; codzo d rsolvbltà dell equazoe; rsoluzoe delle equazoe A x B y = ± e qud delle equazoe pù geerale A x B y = C. Vee data po ua cocsa paoramca dell mpego egl algortm crttograf ctat d questo tpo d cogrueza, llustrado po dettaglo ua sua applcazoe rguardate l calcolo della Chave Prvata ell algortmo RSA.Per avere de rsultat cocret s soo realzzat due programma lguaggo Qbasc.Il prmo (Allegato ) rguarda sa soluzo della cogrueza leare geerca co valor umerc d A, 5 B e C qualsas, ma cascuo valore assoluto < 0 sa l calcolo della chave prvata ell algortmo RSA sempre co valor umerc < 0 5 per og prmo mpegato, quato c s lmta e calcol d questo programma all uso della doppa precsoe. I rsultat ottebl per la geerazoe della chave prvata soo qud da rteers d sgfcato ucamete dmostratvo.. Il secodo programma (Allegato ), è dedcato espressamete per l RSA al calcolo d chav prvate, costtute ache da cetaa d cfre decmal. Co l mpego pertato d quest ultmo programma, cu s utlzza ua artmetca a precsoe multpla, s possoo otteere valor d Chav Prvate rguardat u loro effettvo e reale mpego el campo della Crttografa. Abstract: the am of ths paper s to llustrate the PRIVATE KEY mplemetato the RSA publc key cryptographc method by usg lear cogruece. Ideed ther employmet s used ot oly the aforesad algorthm, but also other mportat cryptographc systems, such as the DSA ad the ElGamal, regardg the Dgtal Sgature geerato ad verfcato. So we start explag a algorthm for soluto of the lear cogruece Ax C (mod B) or lear dophate equato A x B y = C where A, B, C are whole postve or egatve umbers. After a cocse troducto we expla the cotued fracto expaso of ratoal umber, attag the GCD of two umber. The we llustrate the algorthm for the soluto of the lear cogrueces by the ext steps: the covergets computato; the equato resolvablty codtos; the A x B y = ± ad A x B y = C solutos. We gve also a short survey of the lear cogrueces employed the metoed cryptographc methods ad the we expla the partcular computato regardg the prvate key of the RSA algorthm. We have mplemeted two programs Qbasc laguage. The former (Allegato ) cosders ether the lear cogrueces soluto wth A, B, C, each < 0 5 or the prvate 5 key computato the RSA algorthm wth every prme umercal value < 0. The prvate key values ths case are oly demostratve values. The secod program (Allegato ) cosders expressly the prvate keys computato, composed by several tes or some hudreds of dgt..so ths program permts, by usg a multple precso arthmetc, the achevemet of umerc value for prvate keys, that ca be of actual utlzato the cryptographc feld.

2 . Premessa Per llustrare la realzzazoe della chave prvata ell algortmo RSA rsulta ecessaro llustrare aztutto u algortmo dedcato alla rsoluzoe delle equazo lear dofatee A x B y = C dove A, B e C soo umer ter qualsas postv o egatv. Rsolvere queste equazo sgfca trovare per le cogte x e y de valor umerc ter che la soddsfao. Ma perché la rsoluzoe d questo tpo d equazoe può teressare l campo della crttografa? Basterà per ora acceare che dvers mportat algortm crttografc a chave pubblca qual l algortmo RSA e l algortmo DSA (Dgtal Sgature Algorthm) s deve rsolvere l equazoe A x B y = o l equvalete cogrueza leare Ax (mod B) co A e B ter postv per l calcolo d alcue gradezze o parametr rguardat sa la geerazoe della chave prvata ell algortmo RSA, sa la geerazoe e la verfca della Frma Dgtale ell algortmo DSA. S rmada el seguto a maggor dettagl sull mpego dell equazoe questo campo. Sotto l ttolo è rportato u esempo d valore umerco d chave prvata relatvo all algortmo RSA, valore che può cosderars d effettvo e reale utlzzo. Questa ota zerà llustrado la rsoluzoe delle equazo lear dofatee A x B y = C.. Svluppo d u umero razoale frazoe cotua Per poter rsolvere l equazoe leare A x B y = C questoe occorre vere a coosceza d alcu argomet essezal rguardat lo svluppo d u umero razoale frazoe cotua, che soo qu d seguto llustrat. Per var tp d otazo e smbol utlzzat come pure per la valdtà delle formule e delle relazo mpegate s fa rfermeto a [Old]. A Og umero razoale è ua frazoe della forma co A e B ter e B 0 B S dmostra [Old] che og frazoe, coè og umero razoale lo s può esprmere ella forma seguete: A = B a + () a + a + a3 + a a + a co u umero lmtato d term a ( da a a egatvo o ullo e gl altr valor a soo degl ter postv. I var a s rcavao eseguedo le seguet dvso successve: r A = B B r a ) dove l terme a può essere sa u tero postvo che a + B co a e r rspettvamete quozete e resto della dvsoe d A per B e qud 0 < r < B r = a + co r resto della dvsoe d B per r e qud 0 < r < r r r r3 = a3 + co r 3 resto della dvsoe d r per r e qud 0 < r 3 < r r r

3 r = a r + 3 r r 0 = a + r r r = a co r resto della dvsoe d r 3 per r e qud 0 < r < r co r = 0 I rest r, r, r 3,. r, r soo d valore decrescete e costtuscoo ua successoe fta d term l cu ultmo terme r è sempre d valore 0 [Old]. Sarà pertato fta ache la successoe de term a che predoo l ome d quozet parzal. La formula () s poe per covezoe sotto la seguete forma pù pratca e cocsa : A = [ a, a, a3, a4... a, a ] (b) B Faccamo u semplce esempo. A 37 Sa da svluppare frazoe cotua l umero razoale = B 7 Eseguedo le dvso successve come s è sopra dcato s ottegoo per dvers a ed r seguet valor: a = 4 r = 43 a = r = 8 a 3 = 8 r3 = 9 a 4 = r4 = 9 a 5 = r5 = a = 9 r = pertato s ha: A 37 = = [ 4,, 8,,, 9 ] (c) B 7 7 Se s volesse vece svluppare frazoe cotua è facle vedere che s ha: 37 7 = [0, 4,, 8,,, 9] che s dffereza dalla(c) per u quozete parzale pù: l prmo quozete che 37 rsulta d valore 0. Questo procedmeto delle dvso successve sopra llustrato vee otoramete utlzzato co effcaca per l calcolo del Massmo Comu Dvsore d due umer A e B che sarà dcato el seguto ella seguete maera: (A,B). E questo fatt l be oto algortmo Eucldeo (Eucldea algorthm) per l calcolo del Massmo Comu Dvsore fra due umer. I effett cosderat due umer ter A e B s può dmostrare [Old ] che l pù pccolo resto o ullo della successoe r, r, r 3,.. è l loro (A,B). 3. Equazo e Cogrueze lear 3. Calcolo delle rdotte A Teedo presete lo svluppo d cosderamo ora la seguete successoe d gradezze c che B predoo l ome d rdotte: c = [a]; c= [a,a]; c3=[a,a,a3]; c4=[a,a,a3,a4]; A c-=[a,a,a3,a4.a-]; c = [a,a,a3,a4,..a-, a] = B Esplctado due prm term s ha: p c = a = dove s è posto p = a e q = q 3

4 a a + c = a + = = a a p q avedo posto p = a a + e q = a Per la successva rdotta dopo opportu passagg e mapolazo s pervee alle seguete espressoe a a a3 + a + a3 a3 ( a a + ) + a a3 p + p p3 c3 = a + = = = = co p 3 = a3 p + p e q 3 = a3 q + q a a + a3 + a3 a + a3 q + q q3 a3 aalogamete per c 4 e c 5 dopo opportu passagg e mapolazo, s potrà pervere ache qu rspettvamete a seguet rsultat: a4 p3 + p p4 c 4 = = avedo posto p 4 = a 4 p3 + p e q 4 = a 4 q3 + q a4 q3 + q q4 a5 p4 + p3 p5 c5 = = avedo posto p 5 = a5 p4 + p3 e q 5 = a5 q4 + q3 a5 q4 + q3 q5 e così va per tutt le altre rdotte so a quella corrspodeza della quale l valore del resto rsulta d valore ullo ( r = 0 ): A a c = = p p p = co A = p B a q q q = a p p e B = q = a q q () I geerale s dmostra per duzoe [Old] che: umerator p e q delle rdotte c relatve alla frazoe cotua [ a, a, a3, a4,... a, a ] soddsfao le uguaglaze: p a p p (5) = + = a q + q q (6) per = 3, 4, 5, e co valor zal p = a ; q = ; p = a a + ; q = a (7) Da quato llustrato s vede pertato che s può mpostare u algortmo d tpo teratvo, ad esempo co l loop rportato el rquadro, ua volta post N = A; D = B e le codzo zal: = ; p = a ; q = ; p = a a + ; q = a Algortmo per l calcolo de valor Izo loop : = + N a = : r = N a D D p = a p + p = a q + q q se r = 0 esc dal loop N = D D = r p = p : p = p q = q : q = q tora a zo loop = : REM r = 0 fe M.C.D.(A,B) = p e r q fo alla terazoe = corrspodeza della quale s ha resto r = 0 4

5 4 - Rsoluzoe della equazoe A x B y = C (3a) 4. Codzo d rsolvbltà S vogloo trovare per x e y valor ter soddsfacet la suddetta equazoe. L equazoe può essere scrtta così: A x = y B + C mettedo co cò evdeza che y e C rappresetao rspettvamete l quozete ed l resto della dvsoe d A x per B. Tale equazoe s può esprmere ache come cogrueza assumedo tal caso la seguete forma: A x C (mod B) (3b) e s euca dcedo che A x è cogruo a C modulo B. Quado s trattao cogrueze l valore del modulo B è da cosderars d valore postvo. Questa espressoe può essere ache messa sotto la seguete forma: x = C A (mod B); per C = s ha x = A (mod B); questo caso x vee chamato verso moltplcatvo d A. Portado C el prmo membro d (3b) s ha A x C 0 (mod B): s dce allora che A x C è cogruo a 0 modulo B. La prma cosa da appurare è vedere se la (3a) o la (3b) ammettoo soluzo. L equazoe e qud la corrspodete cogrueza soo rsolvbl solo se sussste la seguete codzoe[old ]: C è dvsble per (A,B) Questa codzoe equvale ad ua qualsas d queste due codzo: A e B soo prm tra loro. A e B o soo prm tra loro, ma u loro dvsore comue è ache dvsore d C. 4. Rsoluzoe della equazoe A x B y = (4) Rvolgamo ora l attezoe all equazoe A x B y = dove A e B possoo essere degl ter sa postv che egatv. Iaztutto perché l equazoe sa rsolvble teedo preset le codzo dette sopra, occorre che A e B sao prm tra loro e che qud sa (A,B ) = per A e B dello stesso sego e (A,B) = per A e B d sego opposto. Per valor geerc d p e q per cu vale la relazoe p q p Ma dalla () s osserva che A = p e B = p q p q Se è par s ottee q B p valor q e p e d q s dmostra sempre per duzoe (ved [Old]) che sussste la seguete q = ( relazoe : p q p ) Applcado l algortmo teratvo che è esposto el rquadro, s esce dal cclo alla terazoe per cu s ha resto r = 0; quest ultma terazoe che chameremo terazoe -esma s soo acqust valor d p, q, q = ( ). q, per cu s pervee alla seguete relazoe: A q B p = = ( ) (5) A =. S può allora vedere mmedatamete dal cofroto co la (4) che p soo valor ter rspettvamete d x e d y che soddsfao l equazoe. Tuttava, per teere coto che A e B possoo essere sa postv che egatv e qud ache d sego opposto, gl effettv q p valor soddsfacet l equazoe soo dat dalle seguet formule : x0 = e y0 = co (A,B) = ( A, B) ( A, B) se A e B soo dello stesso sego e (A,B) = se A e B soo d sego opposto. S può mostrare [Old] po che ache valor d x del tpo x0 + B k e corrspodet valor d y del tpo y0 + A k dove k è u tero postvo o egatvo qualsas soddsfao ach ess l equazoe (4). Pertato tutt gl ft valor rsolutv d x e d y s possoo otteere dalle seguet formule: x = x 0 ± B k ; y = y 0 ± A k co k =,, 3, 5

6 Qualora fosse dspar s può procedere modfcado lo svluppo (b) ella seguete maera come mostrato [Old]: A = [ a, a, a3, a4... a, a ] =[ a, a, a3, a4,..., a, a, ] B seza alterare l valore, rportado però ad u umero par lo svluppo de quozet parzal. 4. Rsoluzoe dell equazoe A x B y = L algortmo per rsolvere questa equazoe è aalogo a quello utlzzato per l terme oto d valore +. Perveedo alla -esma terazoe alla relazoe p q p q = A q B p = ( ) se è d valore dspar s ottegoo x 0 = q e y 0 = p qual soluzo dell equazoe Se rsultasse par s procede ache qu scompoedo l quozete parzale a e due quozet parzal a e seza alterare l valore dello svluppo, rportado però ad u valore dspar l umero de quozet parzal. Per teere coto che A e B possoo essere d sego opposto, gl effettv valor che soddsfao l equazoe soo dat dalle seguet formule : q p x0 = e y0 = ( A, B) ( A, B) dove rsulta (A,B) = se A e B soo dello stesso sego e (A,B) = se A e B soo d sego opposto. 4.3 Rsoluzoe dell equazoe A x B y = C Ua volta rsolta la A x B y = co la sua soluzoe partcolare x 0 e y 0 è facle vedere che per l equazoe geerale A x B y = C co A, B, C ter postv o egatv, la corrspodete soluzoe partcolare è : q p x 00 = C x0 = C ; y 00 = C y 0 = C ( A, B) ( A, B) e tutt gl altr ft valor d x e d y che la soddsfao soo dat da x k = x 00 + B k ; y k = y 00 + A k co k =,, 3, 4,. Se s vuole po rcercare la soluzoe x, y tale per cu x assume l mmo valore postvo, essa è data da seguet valor: x00 B x m = x00 x co x = x ( A, B) y m = y 00 y00 y y co y = A ( A, B) co (A,B) = se A e B soo dello stesso sego e (A,B) = se A e B soo d sego opposto. 6

7 5. Applcazoe alla Crttografa U mportate applcazoe cu s utlzza l equazoe dofatea del tpo sopra llustrato, partcolare del tpo A x B y = co A e B etramb postv, s ha ell ambto della crttografa a chave pubblca e precsamete ell algortmo RSA, ell algortmo DSA (Dgtal Sgature Algorthm), dedcato quest ultmo espressamete alla frma elettroca, e ell algortmo d El Gamal come pure altr algortm crttografc meo ot. Cosderado due mportat metod crttografc RSA e DSA s rportao qu solo le specfche rguardat alcu loro parametr seza predere cosderazoe ua loro descrzoe per la quale s può rmadare a var test o artcol, ved ad esempo [FeL], [G.U.],[Hel] [Me], [Sch], [Sga], st Iteret [Me],[Ol] e partcolare l sto Iteret del Lceo Classco M.Foscat - Veeza [L.F], per semplctà e charezza ell esposzoe del prcpo d fuzoameto dell algortmo RSA. Per quato rguarda questo algortmo s llustrerà dettaglo pù avat come s può trovare la Chave prvata co l auslo delle cogrueze lear. 5. Chav ell Algortmo RSA Chave pubblca: è costtuta da due umer deomat covezoalmete uo co l smbolo, l altro co l smbolo e è u umero composto da due umer prm p, q grad: = p q ; e è u umero radom postvo < Φ dove Φ = ( p ) ( q ) è deomata fuzoe d Eulero; e deve essere tale per cu ( e, Φ ) =. Se s poe e prmo o occorre aturalmete verfcare la codzoe che sa ( e, Φ ) =. Chave prvata: è u umero d legato ad e ed a Φ dalla seguete relazoe: e d Φ y = che possamo ache porre sotto la forma e d (mod Φ) od ache d = e (mod Φ). Pertato d rsulta essere l verso moltplcatvo d e modulo Φ Per trovare l valore d d, ua volta ot valor d Φ e d e, s dovrà rsolvere pertato l equazoe dofatea. e x Φ y =. Il valore d x soddsfacete l equazoe sarà l valore della chave prvata d. 5. Algortmo DSA Per questo pù complesso algortmo, dedcato alla frma dgtale, s accea brevemete solo a quato segue, facedo rfermeto per la deomazoe de smbol e per maggor dettagl a [Me]. Chave pubblca: è costtuta da quattro parametr deomat p, q, α, y dove: q è u umero prmo radom costtuto da 48 cfre decmal; p è u umero prmo costtuto da o meo d 54 cfre decmal e tale per cu (p -) sa dvsble per q; α = g p q essedo g u tero postvo radom < p; y = α a (mod p) dove a è u tero postvo radom q. Chave prvata: è costtuta dal solo parametro a (sopra defto) Per la geerazoe d quest parametr pertato o rsulta mplcata essu operazoe d rsoluzoe d equazo lear dofatee Questo tpo d operazoe vee vece mpegata e rguard sa della geerazoe della Frma dgtale (Sgature geerato) sa quella per la verfca della Frma (Sgature verfcato). Seza etrare e partcolar, el computo de parametr rchest per la geerazoe della frma dgtale, uo d ess rsulta esser l verso moltplcatvo modulo q d u umero segreto k tero postvo scelto modo radom e more d q; s deve effettuare qud l calcolo d k (mod q) e qud rsolvere ua equazoe leare dofatea. Aalogamete ache elle operazo d verfca per trovare uo de suo parametr occorre effettuare l calcolo dell verso moltplcatvo d u parametro defto elle operazo dedcate alla geerazoe. 7

8 5.3 Calcolo della Chave prvata ell algortmo RSA Vedamo ora qual soo le operazo ecessare per l calcolo Chave Prvata ell algortmo crttografco RSA. Per calcolare la chave prvata d, come s è gà detto occorre rsolvere l equazoe e x Φ y =. ( ) Teedo coto d quato esposto el paragraf precedet ua volta cooscute le gradezze Φ ed e l valore q q rsolutvo x0 = sarà la Chave prvata d cercata. Pertato s ha d = x0 =. Poché po deve ( e, Φ) ( e, Φ) essere ( e, Φ ) = s avrà d = q. S mostrao egl Allegat esemp d calcolo d tale gradezza co l auslo d due programm Qbasc. Il prmo programma, rportato Allegato, utlzza l artmetca dspoble sul PC col Qbasc che o va oltre la doppa precsoe; qud co esso per o avere rsultat approssmat s devoo usare per tre parametr e, p, q valor postv tal per cu la somma complessva delle cfre che l compogoo o super l valore 6 (ad esempo e composto al massmo da 4 cfre co p e q compost cascuo da 6 cfre), qual qud s possoo cosderare solo come esemp esplcatv dell algortmo. Essedo effett questo programma rvolto alla rsoluzoe dell equazoe geerale A x B y = C ache valor de coeffcet A, B, C, che possoo essere umer ter sa postv 5 che egatv, o devoo avere lea d massma cascuo u valore assoluto maggore d 0, avvertedo che per otteere soluzo esatte qualsas rsultato otteble e calcol o deve avere 5 valore > 0 relazoe ad ua qualuque delle tre opzo offerte dal programma: - la prma dedcata alla rsoluzoe d ua geerca equazoe leare dofatea; - la secoda relatva espressamete al calcolo della chave prvata d ua volta trodott da put la gradezza e ed due umer prm p e q, da cu s può rcavare l valore d Φ = ( p ) ( q ) e l valore d = p q che costtusce seme ad e la Chave pubblca (,e ) ell RSA. - la terza dedcata ad u esempo d calcolo d chave prvata d. Il secodo programma sempre Qbasc, rportato Allegato, è dedcato ach esso alla rsoluzoe d equazo lear dofatee, ma a dffereza del programma allegato è grado d elaborare umer grad e qud d calcolare effettv valor d chav prvate poché le operazo d calcolo soo programmate per ua loro utlzzazoe artmetca a precsoe multpla. Esso comuque per o appesatrlo troppo è dedcato solo alla geerazoe della chave prvata, qud alla rsoluzoe dell equazoe del tpo e x Φ y = e preseta due opzo: Prma opzoe: dedcata al calcolo della chave prvata d troducedo dall estero e qud da rchesta d INPUT tre umer prm grad, costtut da strghe d tpo umerco, rguardat seguet tre parametr: e umero prmo radom ( ) ; p umero prmo radom grade (l umero p per u suo effettvo mpego dovrebbe essere costtuto da almeo 60 cfre); q umero prmo radom (d almeo 40 cfre); umer p e q devoo essere tal per cu = p q rsult costtuto da almeo 309 cfre decmal (dgt) par a 04 bt (ved Art.4 dell ALLEGATO TECNICO d [G.U.]). S suppoe che suddett tre parametr sao stat prelmarmete creat tramte calcol gà effettuat co opportu programm [ved Nota] e tal per cu MCD(e. Φ ) = dove Φ = ( p ) ( q ) Secoda opzoe: relatva ad u esempo co valor de tre parametr suddett gà sert el programma come dat costtut da strghe umerche e qud mmedatamete dspobl. Nota: umer prm grad e, p, q possoo rcavars geere tramte l auslo d appost pacchett software matematc (ved ad esempo Mathematca, Maple, ecc.). I umer prm casual rportat egl esemp e el testo del programma rportato ell Allegato soo vece stat creat cascuo co u tempo d calcolo d qualche muto, utlzzado u apposto programma Qbasc dedcato alla geerazoe e alla verfca d umer prm relatvamete grad, descrtto e rportato [Teo]). Ioltre per l calcolo de valor d Φ e del MCD s soo utlzzat opportu programm artmetca a precsoe multpla realzzat dall autore. () La scelta del pù opportuo valore d e rchede partcolare attezoe quato s deve teer coto d due esgeze fra d loro cotrastat: u valore pccolo d e comporta u pù veloce processo d cfratura; d altra parte è opportuo avere grad sa l valore d e che quello della chave prvata d [Sch] cotro possbl attacch crttoaaltc. 8

9 RIFERIMENTI [FeLu] P. Ferraga e F. Lucco, CRITTOGRAFIA, Capp. 8 e 9 00 Bollat Borgher edtore s.r.l, Toro [G.U.] DECRETO DEL PRESIDENTE DEL CONSIGLIO DEI MINISTRI 8 febbrao 999 GAZZETTA UFFICIALE DELLA REPUBBLICA ITALIANA, Ao 40 - Numero 87 del 5 aprle 999 [Hel] M. E. Hellma, The Mathematcs of Publc - Key Cryptography, Scetfc Amerca, v. 4. 8I Aug.979 [L.F.] [Me] A.J. Meezes, P.C. va Oorscht, S.a Vastoe HANDBOOK of APPLIED CRYPTOGRAPHY Ch. [Old] C.D. Olds, FRAZIONI CONTINUE, Zachell, Bologa 970 [Ol] A. Olva, Cfratura RSA, [Sch] B. Scheer,APPLIED CRYPTOGRAPHY, Capp. e Joh Wley & Sos, Ic. [Sga] A Sgarro, CRITTOGRAFIA,Cap.7 Prma dzoe 986, fraco muzzo & c.edtore [Teo] C. Teodoro, Verfca e Geerazoe d Numer Prm relatvamete grad Allegato DEFDBL A-Z PRINT " Programma LCONGRSA.BAS " PRINT "l presete Programma prevede tre opzo:" PRINT "^ OPZIONE: RISOLUZIONE DELLA EQUAZIONE DIOFANTEA A * x - B * y = C" PRINT " se s vuole questa opzoe battere u tasto qualsas e po" PRINT " sul tasto relatvo alla cfra " PRINT "^ OPZIONE: CALCOLO DELLA CHIAVE PRIVATA d NELL'ALGORITMO RSA" PRINT " se s vuole questa opzoe battere u tasto qualsas e po"; PRINT " sul tasto relatvo alla cfra " PRINT "3^ OPZIONE:ESEMPIO DI CALCOLO DELLA CHIAVE PRIVATA d NELL'ALGORITMO RSA" PRINT " se s vuole questa opzoe battere u tasto qualsas e po" PRINT " sul tasto relatvo alla cfra 3" PRINT : PRINT "battere ora u tasto qualsas": PRINT DO: y$ = INKEY$: LOOP WHILE y$ = "" DIM a(00), r(00), p(00), q(00), x(00), y(00) 5 INPUT "INTRODURRE L'OPZIONE DESIDERATA e battere po l tasto Ivo :", oz$ vt = 0 IF oz$ = "" GOTO 0 IF oz$ = "" GOTO 0 IF oz$ = "3" GOTO 30 IF oz$ <> "" OR oz$ <> "" OR oz$ <> "3" GOTO 5 REM OPZIONE PRINT : INPUT "A"; e: INPUT "B"; f: INPUT "C"; c: le = LEN(STR$(e)): lp = LEN(STR$(f)): lq = LEN(STR$(c)): lt = le + lp + lq - 3 IF lt > 6 THEN PRINT "qualche valore è troppo grade: rcomca": GOTO 0 PRINT "l'equazoe da rsolvere è la seguete:"; PRINT "("; e; ") * x - ("; f; ") * y ="; c a = 0 GOTO 40 REM OPZIONE : PRINT PRINT "ATTENZIONE!! ACCERTARSI CHE I VALORI DA INTRODURRE SIANO NUMERI PRIMI" PRINT pare: INPUT "troduc umero prmo e:", e IF e / = INT(e / ) THEN PRINT "rtrodurre l valore d e": GOTO pare parp: INPUT "troduc umero prmo p:", p IF p / = INT(p / ) THEN PRINT "rtrodurre l valore d p": GOTO parp parq: INPUT "troduc umero prmo q:", q IF q / = INT(q / ) THEN PRINT "rtrodurre l valore d q": GOTO parq z$ = "0" 9

10 le = LEN(STR$(e)): lp = LEN(STR$(p)): lq = LEN(STR$(q)): lt = le + lp + lq - 3: 'PRINT "!!!"; lt IF lt > 6 THEN PRINT "qualche valore è troppo grade: rcomca": GOTO 0 = p * q: f = (p - ) * (q - ) PRINT " due parametr della chave pubblca ell'algormo RSA soo:" PRINT " = p * q = "; ; " e = "; e: PRINT " " PRINT "l valore della fuzoe d Eulero f = (p-)*(q-) Š:"; f PRINT : PRINT "la chave prvata d ell'algortmo RSA s calcola rsolvedo"; PRINT "l'equazoe leare dofatea:": PRINT : PRINT " "; e; "* x - "; f; "* y = " GOTO 40 REM OPZIONE 3 : ESEMPIO PRINT PRINT " 3 umer prm seguet soo g post el lstato del programma" PRINT : e = 867: dp = 7499: dq = 943: f = (dp - ) * (dq - ): PRINT "e ="; e; " p ="; dp; " q ="; dq PRINT : PRINT "fuzoe d Eulero: f = (p-)*(q-) ="; f 'c = PRINT : PRINT "la chave prvata d ell'algortmo RSA s calcola rsolvedo"; PRINT "l'equazoe leare dofatea:": PRINT : PRINT "("; e; ") * x - ("; f; ") * y = " REM PARTE COMUNE ALLE TRE OPZIONI IF ABS(e) = ABS(f) THEN a = IF a = AND c / e <> INT(c / e) THEN PRINT "l'equazoe è mpossble": END IF a = THEN PRINT "l'equazoe dofatea ("; e; ") x - ("; f; ") y = "; c; IF a = THEN PRINT "Š soddsfatta per u qualsas valore tero d"; IF e = -f THEN PRINT " x co y = "; c / e; " - x": END IF e = f AND c / e < 0 THEN PRINT " x co y = x +"; ABS(c / e); : END IF e = f AND c / e > 0 THEN PRINT " x co y = x -"; ABS(c / e); : END REM CALCOLO DEL MASSIMO COMUN DIVISORE j = 0: e = e: f = f zo: j = j + : ' PRINT j; a(j) = INT(e / f): rs = e - a(j) * f IF rs = 0 THEN j = j: GOTO masscom e = f: f = rs GOTO zo masscom: mcd = f PRINT : PRINT "s trova: MCD("; e; ","; f; ") ="; f REM 'PRINT "l'equazoe Š rsoluble ed ha la seguete soluzoe;" IF c / mcd <> INT(c / mcd) THEN PRINT "l'equazoe ("; e; ") x - ("; f; ") y"; IF c / mcd <> INT(c / mcd) THEN PRINT " ="; c; " o ha soluzo. ": END IF c / mcd <> INT(c / mcd) AND oz$ = "" THEN z$ = "cvp" IF z$ = "cvp" THEN PRINT " cambare valor de parametr": GOTO 0 IF j = INT(j / ) * GOTO term IF a(j) > THEN a(j) = a(j) - : a(j + ) = : j = j + : GOTO term IF a(j) = THEN a(j - ) = a(j) + : j = j - term: p(0) = : p() = a() q(0) = 0: q() = FOR k = TO j p(k) = a(k) * p(k - ) + p(k - ): ' PRINT "p("; k; ")="; p(k), q(k) = a(k) * q(k - ) + q(k - ): ' PRINT "q("; k; ")="; q(k) xo = q(j - ): 'PRINT "xo="; xo, yo = p(j - ): 'PRINT "yo="; yo REM dell'equazoe dofatea ax - by = ss = e * xo - f * yo IF oz$ = "" GOTO opzoe 0

11 REM OPZIONI E PRINT : PRINT " xo ="; xo, "yo ="; yo PRINT "co xo ed yo soluzo della suddetta equazoe" d = xo IF ss <> THEN PRINT "pochš rsulta e * d - f * y ="; ss; "<> l valore" IF ss <> THEN PRINT "trovato per d o può cosderars Chave Prvata": END PRINT : 'PRINT "l'equazoe è rsoluble quato M.C.D.(e,f) = " IF ss = THEN PRINT "la chave prvata cercata è: d = xo ="; d: PRINT PRINT " quato s ha:" PRINT : PRINT "e*d - f*yo ="; e; "*"; d; "-"; f; "*"; yo PRINT "e*d - f*yo ="; e * d; "-"; f * yo; "="; ss IF ss = THEN END REM OPZIONE opzoe: xoo = c * q(j - ) / mcd yoo = c * p(j - ) / mcd PRINT "l'equazoe Š rsoluble ed ha la seguete soluzoe:" PRINT "xoo = c*xo/mcd = "; c; "*"; xo; "/"; f; "="; xoo PRINT "yoo = c*yo/mcd = "; c; "*"; yo; "/"; f; "="; yoo xa = ABS(xoo): ya = ABS(yoo): IF xa > 0 ^ 6 THEN PRINT " valore d xoo arrotodato e qud o precso" IF ya > 0 ^ 6 THEN PRINT " valore d yoo arrotodato e qud o precso" IF xa > 0 ^ 6 OR ya > 0 ^ 6 THEN r = : PRINT "pertato o Š possble"; "" IF r = THEN PRINT "rsolvere l'equazoe co valor esatt per x ed y": END x = f / mcd: y = e / mcd: xom = xoo - INT(xoo / x) * x yom = yoo - INT(xoo / x) * y 'PRINT " xoo ="; xoo;, " yoo = "; yoo PRINT : 'PRINT "l' equazoe "; e; "x -"; f; "y = "; c PRINT "I valor mm d x e d y che soddsfao l'equazoe:" PRINT : PRINT "("; e; ") * x -("; f; ")* y = "; c: PRINT : PRINT "soo:"; PRINT " xom = "; xom; ", yom ="; yom PRINT : ' PRINT PRINT " VERIFICA " PRINT : PRINT "A * xoo - B * yoo = "; PRINT "("; e; ")*("; xoo; ") - ("; f; ")*("; yoo; ") = "; e * xoo - f * yoo w = e * xoo - f * yoo: IF w = c THEN PRINT "xoo e yoo soo valor VALIDI" PRINT : PRINT "verfca co valor mm xom e yom :" PRINT "A * xom - B * yom = "; PRINT "("; e; ")*("; xom; ") - ("; f; ")*("; yom; ") = "; e * xom - f * yom m = xom * e - yom * f: IF m = c THEN PRINT "xom e yom soo valor VALIDI" IF oz$ <> "" THEN END PRINT " ALTRE SOLUZIONI " PRINT "altre soluzo d valore toro a xom ed yom soo le seguet:" h = -4: h0 = h acca: h = h + : IF h > 3 THEN END IF h = 0 THEN PRINT "xom ="; xom, "yom ="; yom: GOTO acca x = xom + h * f / mcd: PRINT "x("; h; ")="; x, y = yom + h * e / mcd: PRINT "y("; h; ")="; y 'PRINT s; "x("; h; ") - "; r; " y("; h; ")="; s * x(h) - r * y(h) GOTO acca DO: y$ = INKEY$: LOOP WHILE y$ = "" CLS : END

12 Esemp d rsoluzoe tramte l programma Qbasc rportato Allegato S llustra per cascua delle 3 opzo u esempo d calcolo, rportado cò che compare sullo schermo del motor dopo aver fatto partre l programma ed aver serto gl evetual dat rchest rguardat l opzoe scelta. Esempo relatvo alla a opzoe Eseguedo l programma rportato allegato, ua volta trodott da put valor d A, B, C relatv alla equazoe dofatea A x B y = C, sullo schermo del motor comparrà quato segue: Programma LCONGRSA.BAS l presete Programma prevede tre opzo: ^ OPZIONE: RISOLUZIONE DELLA EQUAZIONE DIOFANTEA A * x - B * y = C se s vuole questa opzoe battere u tasto qualsas e po l tasto relatvo alla cfra ^ OPZIONE: CALCOLO DELLA CHIAVE PRIVATA d NELL'ALGORITMO RSA se s vuole questa opzoe battere u tasto qualsas e po l tasto relatvo alla cfra 3^ OPZIONE:ESEMPIO DI CALCOLO DELLA CHIAVE PRIVATA d NELL'ALGORITMO RSA se s vuole questa opzoe battere u tasto qualsas e po l tasto relatvo alla cfra 3 battere ora u tasto qualsas INTRODURRE L'OPZIONE DESIDERATA e battere po l tasto Ivo : A? B? 7468 C? -563 l'equazoe da rsolvere è la seguete:(-3980 ) * x - ( 7468 ) * y =-563 s trova: MCD(-3980, 7468 ) = l'equazoe è rsoluble ed ha la seguete soluzoe: xoo = c*xo/mcd = -563 * 563 / = yoo = c*yo/mcd = -563 *-9968 / = I valor mm d x e d y che soddsfao l'equazoe: (-3980 ) * x -( 7468 )* y = -563 soo: xom = 7069, yom = VERIFICA A * xoo - B * yoo = (-3980 )*( ) - ( 7468 )*( ) = -563 xoo e yoo soo valor VALIDI verfca co valor mm xom e yom : A * xom - B * yom = (-3980 )*( 7069 ) - ( 7468 )*( ) = -563 xom e yom soo valor VALIDI ALTRE SOLUZIONI altre soluzo d valore toro a xom ed yom soo le seguet: x(-3 )=-5335 y(-3 )= 8736 x(- )=-7867 y(- )= 4935 x(- )=-399 y(- )= 34 xom = 7069 yom = x( )= 4537 y( )= x( )= 005 y( )=-769 x( 3 )= 9473 y( 3 )= x( )= 4537 y( )= x( )= 005 y( )=-769

13 x( 3 )= 9473 y( 3 )= Esempo relatvo alla ^ opzoe Sao dspobl seguet valor che soo tutt umer prm ( ved Nota a pag.8 ): e = 459 p = 94 q = 7693 Eseguedo l programma rportato ell Allegato, ua volta trodott da Iput valor d e d p e d q vee calcolato l valore d Φ e qud rsolta l equazoe leare e d Φ y = s trova subto l valore d = quale Chave prvata. Sullo schermo del motor compare quato segue: Programma LCONGRSA.BAS l presete Programma prevede tre opzo: ^ OPZIONE: RISOLUZIONE DELLA EQUAZIONE DIOFANTEA A * x - B * y = C se s vuole questa opzoe battere u tasto qualsas e po l tasto relatvo alla cfra ^ OPZIONE: CALCOLO DELLA CHAVE PRIVATA d NELL'ALGORITMO RSA se s vuole questa opzoe battere u tasto qualsas e po l tasto relatvo alla cfra 3^ OPZIONE:ESEMPIO DI CALCOLO DELLA CHAVE PRIVATA d NELL'ALGORITMO RSA se s vuole questa opzoe battere u tasto qualsas e po l tasto relatvo alla cfra 3 battere ora u tasto qualsas INTRODURRE L'OPZIONE DESIDERATA e battere po l tasto Ivo : ATTENZIONE!! ACCERTARSI CHE I VALORI DA INTRODURRE SIANO NUMERI PRIMI troduc umero prmo e: 459 troduc umero prmo p: 94 troduc umero prmo q: 7693 due parametr della chave pubblca ell'algortmo RSA soo: = p * q = e = l valore della fuzoe d Eulero f = (p-)*(q-) è: la chave prvata d ell'algortmo RSA s calcola rsolvedo l'equazoe leare dofatea: 459 * x * y = s trova: MCD ( 459, ) = xo = yo = 693 co xo e yo soluzo della suddetta equazoe la chave prvata cercata è: d = xo = quato s ha: e*d - f*yo = 459 * * 693 e*d - f*yo = = 3

14 3 - Esempo relatvo alla 3^ opzoe I questo esempo soo gà ot e dspobl el lstato del programma seguet valor d e d p e d q (ved Nota a pag. 8) : e = 867 p = 7499 q = 943 ( tutt e tre umer prm ) Sullo schermo del motor compare quato segue: Programma LCONGRSA.BAS l presete Programma prevede tre opzo: ^ OPZIONE: RISOLUZIONE DELLA EQUAZIONE DIOFANTEA A * x - B * y = C se s vuole questa opzoe battere u tasto qualsas e po l tasto relatvo alla cfra ^ OPZIONE: CALCOLO DELLA CHAVE PRIVATA d NELL'ALGORITMO RSA se s vuole questa opzoe battere u tasto qualsas e po l tasto relatvo alla cfra 3^ OPZIONE:ESEMPIO DI CALCOLO DELLA CHAVE PRIVATA d NELL'ALGORITMO RSA se s vuole questa opzoe battere u tasto qualsas e po l tasto relatvo alla cfra 3 battere ora u tasto qualsas INTRODURRE L'OPZIONE DESIDERATA e battere po l tasto Ivo :3 3 umer prm seguet soo gà post el lstato del programma e = 867 p = 7499 q = 943 fuzoe d Eulero: f = (p-)*(q-) = la chave prvata d ell'algortmo RSA s calcola rsolvedo l'equazoe leare dofatea: ( 867 ) * x - ( ) * y = s trova: MCD( 867, ) = xo = yo = 446 co xo ed yo soluzo della suddetta equazoe la chave prvata cercata è: d = xo = quato s ha: e*d - f*yo = 867 * * 446 e*d - f*yo = = 4

15 Allegato REM PROGRAMMA "INVERSZZ.BAS " REM Il programma è dedcato al calcolo d x ed y ter soddsfacet la REM equazoe dofatea e*x - F*y =, ovvero la cogrueza: e*x = mod(f) REM co e = parametro costtuete seme a = p * q la chave REM pubblca ell' algortmo crttografco RSA ed F è la Fuzoe REM d Eulero defta da F = (p-)*(q-), dove e, p, q soo REM tre umer prm grad radom. REM Il valore tero d x trovato rsulta essere l'verso REM moltplcatvo d e, qud è la chave prvata d = x = e^- (mod F) REM ell'rsa. REM I valor d e d p e d q possoo essere ache format ache REM da DECINE o CENTINAIA d cfre; dovrao pertato essere REM trovat prevamete co apposto programma. REM battere u tasto qualsas CLS REM PRINT PRINT "================= RISOLUZIONE DELL'EQUAZIONE e * x - F * y = ======"; PRINT "=========" PRINT : PRINT "(e = CHIAVE PUBBLICA; F = FUNZIONE DI EULERO);"; PRINT " d = x CHIAVE PRIVATA ell'rsa)" PRINT : PRINT "Soo prevste due opzo:": PRINT PRINT "la PRIMA OPZIONE è relatva ad trodurre come INPUT tre umer"; PRINT " prm radom : e, p, q": PRINT PRINT "la SECONDA OPZIONE è relatva ad u ESEMPIO d calcolo co e, p, q"; PRINT " gà sert" PRINT " " PRINT "Se s vuole la prma opzoe battere prma su u tasto qualsas"; PRINT "e po sul tasto relatvo alla cfra ": PRINT PRINT "Se s vuole la secoda opzoe battere su prma u tasto qualsas"; PRINT "e po sul tasto relatvo alla cfra " DO: y$ = INKEY$: LOOP WHILE y$ = "" CLS : DEFDBL A-Z: PRINT DIM ap(00), aq(00) DIM a(00), a(00), b(00), b(00), r(00), q(00) DIM pt(00), p(00), p0(00), qt(00), q(00), q0(00) DIM s(500), s(500), s(500) p0(0) = 0: q0(0) = : p(0) = : q(0) = 0 g = 6: pr = 0 ^ g oz: INPUT "quale opzoe"; oz$ IF oz$ = "" GOTO z IF oz$ = "" GOTO tempo PRINT " rbatt": GOTO oz z: PRINT " ATTENZIONE!!!!!!! " PRINT "I TRE NUMERI DA INTRODURRE DEVONO ESSERE PRIMI" PRINT: INPUT "trodurre l parametro e:", d$: l = LEN(d$): PRINT "cfre d e:"; l PRINT INPUT "trodurre l umero prmo p:", dp$: lp = LEN(dp$) PRINT "cfre d p:"; lp PRINT INPUT "trodurre l umero prmo q:", dq$: lq = LEN(dq$) PRINT "cfre d q:"; lq tempo: t = TIMER: ' g = 5: pr = 0 ^ g IF oz$ = "" GOTO 5

16 333 REM ========================= esempo ================================== d$ = " " d$ = " " d$ = d$ + d$ ld = LEN(d$): ' PRINT d$: PRINT "e = " + d$, "cfre d e:"; ld dp$ = " " dp$ = " " dp3$ = " " dp$ = dp$ + dp$ + dp3$ lp = LEN(dp$): PRINT "p = " + dp$, "cfre d p:"; lp dq$ = " " dq$ = " " dq3$ = " " dq$ = dq$ + dq$ + dq3$ lq = LEN(dq$): PRINT "q = " + dq$, "cfre d q:"; lq REM MESSA FORMA DI e l = LEN(d$) + : c = INT((l - ) / g): IF c = (l - ) / g THEN c = c - cr = INT((lr - ) / g): IF cr = (lr - ) / g THEN cr = cr - IF c = 0 THEN a(0) = VAL(d$): PRINT a(0): ' GOTO dvs FOR k = 0 TO c - : c = l - (k + ) * g: a$ = MID$(d$, c, g) a(k) = VAL(a$) IF c > THEN a$ = LEFT$(d$, c - ): a(c) = VAL(a$) REM messa forma del umero prmo p lp = LEN(dp$) + : ' PRINT "cfre d p:"; lp - cp = INT((lp - ) / g): IF cp = (lp - ) / g THEN cp = cp - IF cp = 0 THEN ap(0) = VAL(dp$): PRINT ap(0): GOTO dvp FOR k = 0 TO cp - : c = lp - (k + ) * g: a$ = MID$(dp$, c, g) ap(k) = VAL(a$) IF c > THEN a$ = LEFT$(dp$, c - ): ap(cp) = VAL(a$): dvp: ' PRINT "p ="; ap(cp); 'FOR k = cp - TO 0 STEP -: PRINT ap(k); : 'PRINT "p = " + dp$, "cfre d p:"; lp - REM messa forma del umero prmo q lq = LEN(dq$) + : ' PRINT "cfre d q:"; lq - cq = INT((lq - ) / g): IF cq = (lq - ) / g THEN cq = cq - IF cq = 0 THEN aq(0) = VAL(dq$): PRINT aq(0): GOTO dvq FOR k = 0 TO cq - : c = lq - (k + ) * g: a$ = MID$(dq$, c, g) aq(k) = VAL(a$) IF c > THEN a$ = LEFT$(dq$, c - ): aq(cq) = VAL(a$): dvq: 'PRINT "q = " + dq$, "cfre d q:"; lq - REM calcolo della fuzoe d EULERO : F=(p-)*(q-) ap(0) = ap(0) - : aq(0) = aq(0) - w = cp + cq + : FOR k = 0 TO cq: r = 0 FOR h = 0 TO cp x = b(h + k) + ap(h) * aq(k) + r: r = INT(x / pr): b(h + k) = x - r * pr NEXT h b(h + k) = r IF b(w) = 0 THEN w = w - 6

17 PRINT " "; PRINT " " PRINT "Fuzoe d Eulero:"; PRINT " F = (p-)*(q-) "; : ' FOR = w TO 0 STEP -: PRINT b(); : NEXT F$ = STR$(b(w)): fw = LEN(F$) - : cf = w * g + fw PRINT : F$ = " ": ab$ = STR$(b(w)): lx = LEN(ab$) IF g = 7 THEN w$ = " " PRINT "F = "; SPC(g - lx); ab$; SPC(); FOR k = w - TO 0 STEP - x$ = "": c$ = STR$(b(k)): la = LEN(c$) - : r$ = RIGHT$(c$, la) s = g - la: IF s = 0 THEN b$ = x$ + r$: GOTO X99 z$ = "0": x$ = STRING$(s, z$): b$ = x$ + r$ X99: PRINT b$; SPC(); PRINT : PRINT "======="; PRINT "=====================================================================" cb: cb = w REM ^ celle del DIVIDENDO a(k) : c REM ^ celle del DIVISORE b(h) : cb c = c: cb = cb: = 0 FOR k = 0 TO c: a(k) = a(k): FOR h = 0 TO cb: b(h) = b(h): NEXT h REM DIVISIONE REM PRINT " ", " r", " qz", " p", " q" REM INIZIO CICLO per l calcolo del M.C.D mcd: = + : 'PRINT, ERASE q: cc = 0 FOR k = c TO 0 STEP -: r(k) = a(k): d = b(cb) + : ' PRINT "b(cb)="; b(cb), "cb="; cb FOR h = c TO cb + STEP -: a = r(h): sv = cb IF a < d THEN a = r(h) * pr + r(h - ): sv = cb + q = INT(a / d): q(h - sv) = q(h - sv) + q FOR k = 0 TO cb x = q * b(k) + r: r = INT(x / pr): z = x - r * pr s = k + h - sv IF z > r(s) THEN r(s) = pr + r(s): r(s + ) = r(s + ) - r(s) = r(s) - z r(h) = r(h) - r r = 0 IF r(h) <> 0 THEN h = h + NEXT h REM cotrollo sul resto r della dvsoe REM r puo' essere acora > d b : s va a "cotua" REM se r < b, r rsulta ga' essere l'effettvo resto: s va a "resto" trovar: FOR j = cb TO 0 STEP - IF r(j) < b(j) GOTO resto IF r(j) > b(j) GOTO cotua NEXT j REM RESTO = 0 GOTO gcd cotua: r = 0: d = b(cb) + IF r(cb) = b(cb) THEN d = b(cb) q = INT(r(cb) / d): q(0) = q(0) + q FOR j = 0 TO cb x = q * b(j) + r: r = INT(x / pr): z = x - r * pr IF z > r(j) THEN r(j) = pr + r(j): r(j + ) = r(j + ) - r(j) = r(j) - z NEXT j IF r(cb) > 0 GOTO trovar 7

18 resto: FOR j = cb TO 0 STEP -: IF r(j) > 0 THEN cr = j: j = 0: GOTO stampar NEXT j stampar: REM PRINT "RESTO:"; : FOR k = cr TO 0 STEP -: PRINT r(k); : cc = ABS(c - cb): IF q(cc) = 0 THEN cc = cc - rs = 0 REM CALCOLO FINALE del quozete FOR k = 0 TO cc: x = q(k) + rs: rs = INT(x / pr): q(k) = x - rs * pr: IF rs > 0 THEN cc = cc + : q(cc) = rs REM 'PRINT : PRINT "========================================================" 'PRINT : PRINT "QUOZIENTE:"; : PRINT "q="; ' FOR k = cc TO 0 STEP -: PRINT q(k); : 'PRINT : PRINT "========================================================" 'DO: y$ = INKEY$: LOOP WHILE y$ = "" facle: REM REM calcolo d pt(k) = q(k)* p(k) + p0(k) REM calcolo d s(j) = q(k) * p(k) FOR k = 0 TO cp: r = 0 FOR h = 0 TO cc x = s(h + k) + q(h) * p(k) + r: r = INT(x / pr): s(h + k) = x - r * pr NEXT h s(h + k) = r cs = cc + cp + FOR h = cs TO 0 STEP - IF s(h) <> 0 THEN cpt = h: GOTO pt NEXT h pt: REM calcolo d pt(j) = s(j) + p0(j) IF cpt < cp0 THEN cpt = cp0 r = 0 FOR j = 0 TO cpt: x = s(j) + p0(j) + r: r = INT(x / pr): pt(j) = x - r * pr NEXT j IF r > 0 THEN cpt = cpt + : pt(cpt) = r ERASE s: : cs = 0: r = 0 'DO: y$ = INKEY$: LOOP WHILE y$ = "" REM REM calcolo d qt(k)= q(k) * q(k) + q0(k) REM calcolo d s(j) = q(k) * q(k) FOR k = 0 TO cq: r = 0 FOR h = 0 TO cc x = s(h + k) + q(h) * q(k) + r: r = INT(x / pr): s(h + k) = x - r * pr NEXT h s(h + k) = r cs = cc + cq + : ' PRINT "cs="; cs FOR h = cs TO 0 STEP - IF s(h) <> 0 THEN cqt = h: GOTO cqut NEXT h REM calcolo d qt(j) = s(j) + q0(j) cqut: ' cqt = cs: IF cqt < cq0 THEN cqt = cq0 r = 0 FOR j = 0 TO cqt x = s(j) + q0(j) + r: r = INT(x / pr): qt(j) = x - r * pr NEXT j IF r > 0 THEN cqt = cqt + : qt(cqt) = r ERASE s: cs = 0: r = 0 8

19 'DO: y$ = INKEY$: LOOP WHILE y$ = "" IF fl = GOTO term REM sosttuzoe d a(h) <--- b(h) e d b(h) <---- r(h) FOR h = 0 TO cb: a(h) = b(h): NEXT h FOR h = 0 TO cb: b(h) = r(h): NEXT h c = cb: cb = cr REM ---- sosttuzoe: p0(k)<--- p(k), p(k)<--- pt(k) FOR k = 0 TO cp: p0(k) = p(k): ERASE p FOR k = 0 TO cpt: p(k) = pt(k): cp0 = cp: cp = cpt REM ---- sosttuzoe: q0(h)<--- q(h), q(h)<--- qt(h) FOR h = 0 TO cq: q0(h) = q(h): NEXT h ERASE q FOR k = 0 TO cqt: q(k) = qt(k): cq0 = cq: cq = cqt GOTO mcd gcd: 'DO: y$ = INKEY$: LOOP WHILE y$ = "" PRINT "m.c.d.(e,f) ="; : FOR k = cb TO 0 STEP -: PRINT b(k); : fl = 0 IF cb > 0 THEN PRINT "o essedo MCD(e,F)= l calcolo"; IF cb > 0 THEN PRINT "della chave d è IMPOSSIBILE": GOTO tempo IF b(0) <> THEN PRINT "IMPOSSIBILE": GOTO tempo PRINT " umero d terazo :"; IF = INT( / ) * GOTO term 'IF cc = 0 AND q(0) = THEN PRINT "cc="; cc, "q(0)="; q(0),: GOTO 00 REM umero d terazo Š dspar e q(0)> (a>) FOR k = cc TO 0 STEP - 'IF q(k) > 0 THEN PRINT "q>", "q(0)="; q(0): REM calcolo d q(k)=q(k) 'PRINT : PRINT "pt:"; : FOR k = cpt TO 0 STEP -: PRINT pt(k); : 'PRINT : PRINT "qt"; : FOR k = cqt TO 0 STEP -: PRINT qt(k); : fl = : PRINT : ' PRINT "fl"; fl GOTO facle REM REM -----umero d terazo Š dspar e q(0)= (a=) REM term: PRINT : F$ = "": ab$ = STR$(qt(cqt)): lx = LEN(ab$) IF g = 7 THEN w$ = " " PRINT "d = " + w$; SPC(g - lx); ab$; SPC(); 'PRINT "e * x = "; SPC(g - lx); ab$; SPC(); FOR k = cqt - TO 0 STEP - x$ = "": c$ = STR$(qt(k)): la = LEN(c$) - : r$ = RIGHT$(c$, la) s = g - la: IF s = 0 THEN b$ = x$ + r$: GOTO X9 z$ = "0": x$ = STRING$(s, z$): b$ = x$ + r$ X9: PRINT b$; SPC(); PRINT xm = qt(cqt): cx = LEN(STR$(xm)) - + g * (cqt) PRINT: PRINT "l umero d è l'verso moltplcatvo d e (mod F)"; PRINT "tale umero può cosderars CHIAVE PRIVATA ell'algortmo RSA se "; PRINT "umer p, q"; "rsultao essere effettvamete prm;" PRINT "d è composto da"; cx; "cfre" IF pt(cpt) = 0 THEN cpt = cpt - PRINT 9

20 Prt " VERIFICA " PRINT " " ERASE s: cs = 0 FOR k = 0 TO cqt: r = 0 FOR h = 0 TO c x = s(h + k) + a(h) * qt(k) + r: r = INT(x / pr): s(h + k) = x - r * pr NEXT h s(h + k) = r w = c + cqt + IF s(w) = 0 THEN w = w - FOR = w TO 0 STEP -: s() = s(): NEXT PRINT : F$ = "": ab$ = STR$(s(w)): lx = LEN(ab$) IF g = 7 THEN w$ = " " PRINT "e * d =" + w$; SPC(g - lx); ab$; SPC(); FOR k = w - TO 0 STEP - x$ = "": c$ = STR$(s(k)): la = LEN(c$) - : r$ = RIGHT$(c$, la) s = g - la: IF s = 0 THEN b$ = x$ + r$: GOTO X90 z$ = "0": x$ = STRING$(s, z$): b$ = x$ + r$ X90: PRINT b$; SPC(); ERASE s: cs = 0 FOR k = 0 TO cpt: r = 0 FOR h = 0 TO cb x = s(h + k) + b(h) * pt(k) + r: r = INT(x / pr): s(h + k) = x - r * pr NEXT h s(h + k) = r w = cb + cpt + IF s(w) = 0 THEN w = w - FOR = w TO 0 STEP -: s() = s(): NEXT PRINT : F$ = "": ab$ = STR$(s(w)): lx = LEN(ab$) IF g = 7 THEN w$ = " " PRINT : PRINT "F * y =" + w$; SPC(g - lx); ab$; SPC(); FOR k = w - TO 0 STEP - x$ = "": c$ = STR$(s(k)): la = LEN(c$) - : r$ = RIGHT$(c$, la) s = g - la: IF s = 0 THEN b$ = x$ + r$: GOTO X95 z$ = "0": x$ = STRING$(s, z$): b$ = x$ + r$ X95: PRINT b$; SPC(); PRINT:REM algortmo d sottrazoe: d(k) = a(k) - b(h) DIM d(00) r = 0: w = g FOR k = 0 TO w: d(k) = s(k) - s(k) - r: r = 0 IF d(k) < 0 THEN d(k) = pr + d(k): r = FOR k = w TO 0 STEP -: IF d(k) > 0 THEN k = k: k = 0 PRINT : PRINT "e * d - F * y ="; FOR h = k TO 0 STEP -: PRINT d(h); : NEXT h tempo: t = TIMER - t: : PRINT " tempo mpegato:"; t; "secod" END 0

21 Esemp d rsoluzoe tramte l programma Qbasc rportato Allegato S rporta per la prma opzoe tre esemp d calcolo mostrado cò che compare sullo schermo del motor dopo aver fatto partre l programma ed aver serto gl evetual dat rchest rguardat l opzoe scelta. esempo relatvo alla prma opzoe (dat trodott da put) I questo esempo s osserv che o è possble effettuare l calcolo della chave prvata d essedo MCD(e,F) ================= RISOLUZIONE DELL'EQUAZIONE e * x - F * y = =============== (e = CHIAVE PUBBLICA; F = FUNZIONE DI EULERO); d = x CHIAVE PRIVATA ell'rsa) Soo prevste due opzo: la PRIMA OPZIONE è relatva ad trodurre come INPUT tre umer prm: e, p, q la SECONDA OPZIONE è relatva ad u ESEMPIO d calcolo co e, p, q gà sert Se s vuole la prma opzoe battere prma su u tasto qualsas e po sul tasto relatvo alla cfra Se s vuole la secoda opzoe battere prma su u tasto qualsas e po sul tasto relatvo alla cfra quale opzoe? trodurre l parametro e: cfre d e: 9 trodurre l umero prmo p: cfre d p: 36 trodurre l umero prmo q: cfre d q: Fuzoe d Eulero: F = (p-)*(q-) F = =========================================================================== MCD(e,F) = 57 ; o essedo MCD(e,F) = l calcolo della chave d è IMPOSSIBILE tempo mpegato: 0 secod esempo relatvo alla prma opzoe (dat trodott da put) Sao ot seguet valor (ved Nota a pag. 8): e: e è u prmo d 4 cfre p: p è u prmo d 60 q: q è u prmo d 49 cfre Prma d effettuare l calcolo della chave prvata d s è appurato co u programma ad hoc che valor umerc radom de due prm p e q trodott fossero tal da avere MCD p q, = come suggerto [FeLu].

22 Eseguedo l programma s ottee sul motor due successve stampe l seguete rsultato: PRIMA STAMPA ============== RISOLUZIONE DELL'EQUAZIONE e * x - F * y = =============== (e = CHIAVE PUBBLICA; F = FUNZIONE DI EULERO); d = x CHIAVE PRIVATA ell' RSA) Soo prevste due opzo: la PRIMA OPZIONE è relatva ad trodurre come INPUT tre umer prm: e, p, q la SECONDA OPZIONE è relatva ad u ESEMPIO d calcolo co e, p, q gà sert Se s vuole la prma opzoe battere prma su u tasto qualsas e po sul tasto relatvo alla cfra Se s vuole la secoda opzoe battere prma su u tasto qualsas e po sul tasto relatvo alla cfra SECONDA STAMPA quale opzoe? ATTENZIONE!!!!!!! I TRE NUMERI DA INTRODURRE DEVONO ESSERE PRIMI trodurre parametro e: cfre d e: 4 trodurre l umero prmo p: cfre d p: 60 trodurre l umero prmo q: cfre d q: Fuzoe d Eulero: F = (p-)*(q-) F = ============================================================== m.c.d.(e,f) = umero d terazo : 75 d = l umero d è la Chave Prvata rsultado l'verso moltplcatvo d e (mod F); essa è composta da 309 cfre VERIFICA e * d = F * y = e * d - F * y = tempo mpegato:.05 secod

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