MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 25 gennaio 2010 studenti nuovo ordinamento
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1 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 25 gennaio 2010 studenti nuovo ordinamento Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Pacati (SI) dott. Quaranta (SI) dott. Riccarelli (AR) dott. Falini (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l investimento di una somma S in interessi semplici al tasso annuo i = 4%. Sapendo che l interesse maturato in 5 anni è I = 250, calcolare la somma iniziale S. S = Nell ipotesi che l investimento sia regolato da interessi composti, anziché semplici, con lo stesso tasso annuo, si determini la somma S necessaria per produrre lo stesso interesse nello stesso periodo di tempo. S = Si consideri quindi l investimento di S in una rendita francese di rata semestrale I e durata 5 anni; si determini la somma S in modo che l operazione di investimento sia equa secondo la legge esponenziale di tasso annuo i. S = Esercizio 2. Si consideri l operazione finanziaria di al tempo t = 0 e al prezzo P = 99.5 di un TCF a un anno, con cedola semestrale, tasso nominale anno del 4% e valore facciale C = 100 ; se ne calcoli il tasso interno di rendimento i, esprimendolo in forma percentuale e in base annua. i = % Si determini quindi quale incremento di prezzo P occorre applicare, al fine di ottenere un tasso interno di rendimento in base annua del 2%. Considerando infine l operazione di del TCF al prezzo P + P, se ne calcoli il valore montante M e il valore residuo V al tempo T = 11 mesi, secondo la legge esponenziale di tasso annuo il 2%. P = M = V =
2 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = al tasso annuo i = 6%, da restituirsi in 3 rate trimestrali posticipate secondo un ammortamento non standard, in cui la prima rata è R 1 = e la quota capitale dell ultima rata è C 3 = Si compili il piano d ammortamento. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo
3 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 sia in vigore la seguente struttura per scadenza dei fattori di sconto: v(0, s) = 1 ks con k = 0.03 e le scadenze s espresse in anni. In questo mercato, si calcolino: il prezzo P 1 e la duration D 1 espressa in anni di un TCF biennale con cedola annuale, tasso nominale del 6%, capitale facciale C = 100. P 1 = D 1 = anni il prezzo P 2, pattuito in t = 0, pagabile in T = 1 anno e 3 mesi, per avere il pagamento di 50 in s = 2 anni e 4 mesi. P 2 = l intensità istantenea di interesse a 4 anni δ(0, 4) = anni 1 Esercizio 5. Si consideri al tempo t = 0 un mercato in cui sono quotati: il titolo a cedola nulla x, che rimborsa 100 a un anno, al prezzo a pronti di 95 ; il titolo a cedola nulla y, che rimborsa 200 a due anni, al prezzo a pronti di 184 ; il contratto z/{1, 2} /anni, con z = {100, 200}, al prezzo a pronti di 273. Si costruisca un arbitraggio non rischioso, che produca un guadagno immediato di 6, avendo chiuso in pareggio le posizioni negli istanti successivi. azione (A) al tempo di quote del titolo x; azione (B) azione (C) al tempo di quote del titolo y; al tempo di quote del titolo z.
4 Esercizio 6. Si consideri, al tempo t = 0, un mercato obbligazionario dove sono quotati: un titolo a cedola nulla a un anno, di tasso interno di rendimento il 5% in base annua; un titolo a cedola nulla a due anni, che rimborsa 200 al prezzo a pronti di 182 ; un contratto a termine, che rimborsa 100 a tre anni, al prezzo, contrattato in t e pagabile a un anno, di 90. In riferimento allo scadenzario t = {1, 2, 3} anni, si determinimo i tassi a pronti e i tassi di interest rate swap, esprimendoli in forma percentuale e su base annua. i(0, 1) = % i sw (0; 1) = % i(0, 2) = % i sw (0; 2) = % i(0, 3) = % i sw (0; 3) = %
5 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 25 gennaio 2010 studenti nuovo ordinamento Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Pacati (SI) dott. Quaranta (SI) dott. Riccarelli (AR) dott. Falini (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l investimento di una somma S in interessi semplici al tasso annuo i = 5%. Sapendo che l interesse maturato in 5 anni è I = 600, calcolare la somma iniziale S. S = Nell ipotesi che l investimento sia regolato da interessi composti, anziché semplici, con lo stesso tasso annuo, si determini la somma S necessaria per produrre lo stesso interesse nello stesso periodo di tempo. S = Si consideri quindi l investimento di S in una rendita francese di rata semestrale I e durata 5 anni; si determini la somma S in modo che l operazione di investimento sia equa secondo la legge esponenziale di tasso annuo i. S = Esercizio 2. Si consideri l operazione finanziaria di al tempo t = 0 e al prezzo P = di un TCF a un anno, con cedola semestrale, tasso nominale anno del 5% e valore facciale C = 100 ; se ne calcoli il tasso interno di rendimento i, esprimendolo in forma percentuale e in base annua. i = % Si determini quindi quale incremento di prezzo P occorre applicare, al fine di ottenere un tasso interno di rendimento in base annua del 2%. Considerando infine l operazione di del TCF al prezzo P + P, se ne calcoli il valore montante M e il valore residuo V al tempo T = 11 mesi, secondo la legge esponenziale di tasso annuo il 2%. P = M = V =
6 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = al tasso annuo i = 7%, da restituirsi in 3 rate trimestrali posticipate secondo un ammortamento non standard, in cui la prima rata è R 1 = e la quota capitale dell ultima rata è C 3 = Si compili il piano d ammortamento. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo
7 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 sia in vigore la seguente struttura per scadenza dei fattori di sconto: v(0, s) = ks con k = 0.04 e le scadenze s espresse in anni. In questo mercato, si calcolino: il prezzo P 1 e la duration D 1 espressa in anni di un TCF biennale con cedola annuale, tasso nominale del 6%, capitale facciale C = 100. P 1 = D 1 = anni il prezzo P 2, pattuito in t = 0, pagabile in T = 1 anno e 3 mesi, per avere il pagamento di 50 in s = 2 anni e 4 mesi. P 2 = l intensità istantenea di interesse a 4 anni δ(0, 4) = anni 1 Esercizio 5. Si consideri al tempo t = 0 un mercato in cui sono quotati: il titolo a cedola nulla x, che rimborsa 200 a un anno, al prezzo a pronti di 190 ; il titolo a cedola nulla y, che rimborsa 100 a due anni, al prezzo a pronti di 92 ; il contratto z/{1, 2} /anni, con z = {200, 100}, al prezzo a pronti di 276. Si costruisca un arbitraggio non rischioso, che produca un guadagno immediato di 6, avendo chiuso in pareggio le posizioni negli istanti successivi. azione (A) al tempo di quote del titolo x; azione (B) azione (C) al tempo di quote del titolo y; al tempo di quote del titolo z.
8 Esercizio 6. Si consideri, al tempo t = 0, un mercato obbligazionario dove sono quotati: un titolo a cedola nulla a un anno, di tasso interno di rendimento il 6% in base annua; un titolo a cedola nulla a due anni, che rimborsa 100 al prezzo a pronti di 89.5 ; un contratto a termine, che rimborsa 200 a tre anni, al prezzo, contrattato in t e pagabile a un anno, di 177. In riferimento allo scadenzario t = {1, 2, 3} anni, si determinimo i tassi a pronti e i tassi di interest rate swap, esprimendoli in forma percentuale e su base annua. i(0, 1) = % i sw (0; 1) = % i(0, 2) = % i sw (0; 2) = % i(0, 3) = % i sw (0; 3) = %
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