NOTA 3. VETTORI LIBERI e VETTORI APPLICATI. Negli esempi visti sono stati considerati due tipi di vettori :

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1 NOTA 1 VETTOI LIBEI e VETTOI APPLICATI Negli esempi visti sono stati considerati due tipi di vettori : 1) Vettori liberi, quando non è specificato il punto di applicazione. Di conseguenza ad uno stesso vettore corrispondono (infiniti alla seconda) segmenti orientati aventi la stessa direzione, lo stesso verso, la stessa direzione (uno per ogni punto del piano). ) Vettori Applicati, quando è specificato il punto di applicazione A. Di conseguenza il vettore è univocamente determinato dall unico segmento orientato che ha origine nel punto considerato. Cioè tra tutti i vettori liberi che hanno lo stesso modulo, direzione e verso(uguali fra loro) ne consideriamo solo uno, quello applicato in A. A Non tutte le operazioni introdotte si possono fare indifferentemente per i due tipi di vettori: Volendo eseguire la somma di due vettori applicati, la posso fare solo se la punta del primo vettore si trova sulla coda del secondo vettore, oppure se i due vettori hanno lo stesso punto di applicazione. Il prodotto di un vettore v applicato nel punto A per uno scalare t sarà il vettore tv applicato nel punto A. NOTA Componenti di un vettore Dato un vettore v = v x i + v y j, le componenti soddisfano le seguenti relazioni: v x = v i, v y = v j come si verifica facilmente svolgendo i prodotti scalari. NOTA 3 Dato un vettore v, il vettore unitario u, avente la direzione e il verso di v ( si dice che u è il versore di v), si ottiene dividendo v per il suo modulo : u = v v, es : v = i + j, u = (i + j ) Verifica : u = i + j = = 1

2 Vettori nello spazio 3 Nello spazio tridimensionale si definisce (analogamente al caso del piano) una terna di assi cartesiani ortogonali fra loro,0xyz, con origine 0. La terna è orientata in verso antiorario,cioè, un osservatore con i piedi nell origine 0 e la testa sulla freccia dell asse z vede ruotare l asse x sull asse y in senso antiorario. I punti dello spazio sono individuati dalle coordinate (x,y,z) [corrispondenza biunivoca tra i punti e le terne di numeri reali]. Oltre ai versori degli assi x e y, i e j, denotiamo con k il versore dell asse z che unisce l origine con il punto (0,0,1). z x i O k j y Consideriamo il punto P(a,b,c) e il vettore v di origine il punto O(0,0,0) ed estremo P, v = OP, detto vettore posizione del punto P. i, j, k versori degli assi della terna cartesiani P 1 (a,b,0) proiezione ortogonale di P sul piano xy

3 Graficamente: il vettore OP 1,congiungente l origine degli assi con il punto P 1, è la diagonale del parallelogramma costruito con i vettori ai e b j Quindi si ha : OP 1 = ai + b j vettore nel piano xy, per la regola del parallelogramma OP = c k, dove P è la proiezione ortogonale di P sull asse z, essendo c la coordinata z di P. Applicando nuovamente la regola del Parallelogramma ai vettori OP 1 e ck ( P 1 P = ck ) P 1 Il triangolo OP 1 P è rettangolo in P 1 Si ottiene la rappresentazione cartesiana del vettore v v = OP = OP 1 + OP = ai + b j + c k Dove,quindi, a, b, c, sono le componenti di v lungo i tre assi cartesiani x, y, z. Il modulo di v corrispondente alla lunghezza OP e cioè alla distanza del punto P dall origine, sarà quindi per il Teorema di Pitagora: v = 1 + OP = (a + b ) c OP + Più in generale, la distanza fra due punti P 1 (x 1,y 1, z 1 ) e P (x,y,z ) nello spazio, sarà

4 P 1 P = (x + - x1) + (y - y1) ( z - z1) Si estendono facilmente ai vettori nello spazio le regole introdotte nel caso piano(somma, prodotto per uno scalare, prodotto scalare tra due vettori). Essendo i tre versori mutuamente ortogonali, risulta i j = i k = j k = 0 e i i = j j = k k = 1 Quindi Dati : v = x 1 i + y 1 j + z 1 k, u = x i + y j + z k isulta : t(u + v) = t(x 1 + x ) i + t(y 1 + y ) j + t(z 1 + z ) k, t Nota che : u v = x 1 x + y 1 y + z 1 z u = x + y + z = u u Inoltre, come nel caso piano, risulta. x 1 = v i, y 1 = v j, z 1 = v k COSENI DIETTOI Siano gli angoli che un vettore v forma con gli assi coordinati x,y,z, risulta allora dalla definizione di prodotto scalare v x = v i = cos, v y = v j = cos, v z = v k = cos e quindi v v = v x i + v y j + v z k = (cos i + cos j + cos k) = v (cos i + cos j + cos k)

5 1 = v v = cos i + cos j + cos k = cos + cos +cos Che è la ben nota proprietà dei coseni direttori. Prodotto vettoriale Il prodotto vettoriale tra due vettori, v u è un vettore caratterizzato dalle seguenti proprietà: 1) v u = v u senα ) v u è perpendicolare al piano individuato da u e v 3) v, u e v u formano,nell ordine, una terna orientata in senso antiorario. Dalla 1) segue che il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è nullo in quanto se sono concordi l angoloα = 0, se sono discordi α =π, Dalla 3) si ha che il prodotto vettoriale non è commutativo infatti risulta u v = - v u Proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto vettoriale tu (av + bw) = ta u v +tb u w t,a,b Dalle proprietà 1), ), 3) segue i j = - j i = k, i k = - k i = -j, j k = - k j = i

6 i i = j j = k k = 0 Componenti di v u v u = (x 1 i + y 1 j + z 1 k ) ( x i + y j + z k) = x 1 y i j + x 1 z i k + y 1 x j i + y 1 z j k + z 1 x k i + z 1 y k j (x 1 y - y 1 x ) k + (-x 1 z + z 1 x )j +( y 1 z - z 1 y )i Esempio v = i + 3j k, u = -i + k v u = (i + 3j k) (-i + k) = i (-i) + i k + 3j (-i) +3j k + (-k) (-i) + (-k) k = = 0-4j + 3k + 6i +j = = -3j +6i + 3k Esempio: Momento di una forza F applicata nel punto A rispetto ad un punto (polo) O. M = OA F, retta di azione di F = OA F sen = b F, b = OA sen braccio distanza di O dalla L effetto di un momento di una forza è sempre quello di produrre una rotazione attorno al polo (per esempio la rotazione del volante di un auto generata dalla forza della mano sul bordo e che si trova ad una distanza fissata dal centro del volante).

7 Esempi di applicazioni dei vettori a semplici problemi di Statica dei corpi rigidi vincolati. Nota: La teoria dettagliata e completa di quest argomento verrà insegnata in corsi specifici. Diamo le definizioni basilari dei termini usati. 1. Corpo rigido: corpo ideale assolutamente indeformabile, in cui cioè le distanze fra due suoi punti qualsiasi rimangono costanti. Ovviamente un liquido non è un corpo rigido, il cemento sì. Ma si tratta comunque di una idealizzazione perché, ad esempio, la dilatazione termica avviene anche per il cemento.. Vincolo: qualunque collegamento esterno adatto ad impedire i vari movimenti del corpo considerato. Esempio: Il tavolo(vincolo) impedisce all oggetto pesante poggiato su di esso di compiere traslazioni verso il basso per effetto della gravità. F 1 = Forza peso = massa x accelerazione di gravità (mg) Kilogrammi x 9,8metri /secondi Newton (unità di misura) Es: il peso di una massa di 4 Kg. è di 39, Newton Si definisce eazione Vincolare la forza esercitata dal vincolo per impedire i movimenti del corpo rigido. Il tavolo (vincolo) esercita una reazione vincolare che deve bilanciare il peso dell oggetto, quindi: In un riferimento cartesiano piano Oxy sarà F = - F 1 (vettori opposti) F 1 = - mgj, F = mgj Dove j è il versore dell asse y. 3. STATICA: è la parte della Meccanica Classica che studia l equilibrio dei corpi. Le reazioni vincolari esercitate su un corpo rigido soggetto ad assegnate forze attive, sono in genere incognite e devono di volta in volta essere calcolate imponendo l equilibrio di tutte le forze esterne, sia attive che vincolari. Questo corrisponde a risolvere le Equazioni Cardinali della Statica che affermano che affinché un corpo sia fermo la somma di tutte le forze applicate deve essere uguale a zero e così pure la somma dei momenti di tali forze rispetto ad un polo fissato :

8 n i= 1 n Fi = 0, Mi = 0, n numero delle forze presenti i= 1 dove il simbolo di sommatoria = Nell esempio del tavolo n i 1 significa F 1 + F + F F n. Fi = F1 + F = mgj + mgj = 0 i= 1 Lo studio dell equilibrio delle travi è alla base della Scienza delle Costruzioni. La trave è un corpo rigido di forma allungata in cui una delle tre dimensioni (lunghezza) è molto più grande delle altre due(larghezza,altezza) e viene, quindi schematizzata con una linea(l asse). Nel piano la trave ha tre possibilità di movimento(tre gradi di libertà): 1)traslazione orizzontale )traslazione verticale 3)rotazione nel piano Quindi per mantenerla in equilibrio occorre bloccare tutti e tre i movimenti. Questo si può fare mettendo dei vincoli alla trave che eliminano 1 grado di libertà (vincolo semplice) o o più gradi di libertà(vincoli composti). I vincoli più usati sono: Carrello (appoggio semplice): blocca solo lo spostamento verticale, non si oppone né a rotazioni attorno ad al punto di appoggio A né a traslazioni orizzontali(verso destra o verso sinistra). Quindi la reazione vincolare può avere solo una componente ortogonale all appoggio(toglie un solo grado di libertà). A Cerniera : consente solo le rotazioni attorno al punto di appoggio A, blocca sia lo spostamento verticale che orizzontale, quindi la reazione vincolare avrà sia una componente orizzontale che una verticale (toglie due gradi di libertà): A = Ax i + Ay j A

9 Incastro : blocca tutti e tre gli spostamenti, fornisce quindi una reazione vincolare più un momento (toglie 3 gradi di libertà) Esempio di trave isostatica(l equilibrio esiste e le reazioni sono calcolabili) y P F B A H B x La trave AB è incernierata in A e appoggiata in B, ha lunghezza l ed è caricata da una forza F = - F j a distanza uguale da A e B( con F modulo di F e P punto di applicazione). Calcolare le reazioni vincolari in A e in B. Incognite in A: Incognite in B : Ax By, Ay La prima equazione cardinale della Statica dice che: Cioè A + B + F = 0 i + j + j - Fj 0 in forma cartesiana Ax Ay By = Questa equazione vettoriale fornisce due equazioni scalari in quanto il vettore risultante (somma) delle tre forze, è nullo se e solo se le sue componenti lungo l asse x e l asse y sono nulle: proiettando sull asse x si ha Ax = 0 sull asse y sarà - F equazione in due incognite Ay By = Nota La componente x si ottiene moltiplicando scalarmente il vettore per il versore i :

10 ( i + j + j - Fj) i = Ax Ay By e, analogamente, per la componente y si moltiplica per il versore j : Ax ( Ax i + Ay j + By j - Fj) j = Ay + By F Essendoci due incognite, abbiamo bisogno di un altra equazione. Usiamo allora la seconda equazione cardinale della Statica scegliendo come polo il punto A: M F + M A + M B = 0 Usando la definizione di momento di un vettore rispetto ad un polo, si ha: M F = AP F =[ (AP) x i + (AP) y j ] (-Fj) = (- F) ( k ) ( braccio = ) M A = 0 A = 0 (la retta di azione di A passa per A quindi il braccio è nullo) M B = AB B = ( AB) x i ( B ) y j = l B ( k) Nota che si è scelto l asse delle z con il verso uscente dal foglio (terna levogira) Quindi, le componenti dei momenti lungo l asse z sono: M F = - F, M A = 0, M B = + By l e la seconda equazione della Statica in forma scalare fornisce - F + By l = 0 Nota : Nei sistemi piani, come quello dell esercizio, il momento è sempre perpendicolare al piano e quindi ha solo la componente lungo l asse z. In alcuni testi si sceglie per convenzione di considerare positiva tale componente quando la forza tende a far ruotare la struttura intorno ad A in senso orario( negativo nell altro senso). Cioè, in pratica, tale componente è data dal prodotto della lunghezza del vettore per il braccio con il segno + o a seconda della rotazione. E quindi in tal caso risulta + (F ) - ( By l) = 0 (Il risultato è identico perché c è l uguaglianza a zero).

11 In definitiva, il sistema di due equazioni in incognite da risolvere è: - F Ay F + l + By By = 0 l = 0 Due equazioni in due incognite 1 sola soluzione trave (isostatica): l By = F l Ay = F Cioè le reazioni in A e in B saranno ambedue verticali e rivolte come il verso positivo dell asse y. Può capitare che le condizioni di vincolo e le corrispondenti reazioni vincolari siano in numero superiore a quello delle equazioni fornite dalla statica dei corpi rigidi. La struttura, assimilata ad un corpo rigido, si dice allora iperstatica o staticamente indeterminata, perché, in tal caso, esistono infinite soluzioni che soddisfano le equazioni di equilibrio. Si può pensare infatti di fissare ad arbitrio le n componenti di reazione vincolare incognite eccedenti il numero delle equazioni disponibili e ricavare corrispondentemente le incognite rimanenti (vedi teorema di ouchè-capelli nelle lezioni sulle Matrici). Il grado di indeterminazione di una struttura è misurato dal numero n di condizioni di vincolo eccedenti quello delle equazioni disponibili Il caso delle strutture iperstatiche è quello più frequente nella pratica e per queste l'esperienza dimostra che l'equilibrio risulta ben definito. È perciò evidente che è l'ipotesi di corpo rigido che rende indeterminato questo caso, problema che viceversa ridiventa determinato quando si tenga conto della deformabilità dei corpi. Per questo motivo lo studio della Scienza delle Costruzioni è basato sulla meccanica dei solidi deformabili. La conoscenza delle deformazioni poi è utile di per sé stessa in quanto consente quei riscontri sperimentali che si effettuano in sede di collaudo di una struttura.

12 Equazione della retta in 3 : P(x,y,z) P 0 (x 0,y 0,z 0 ) v(a,b,c) Consideriamo una retta passante per un punto P 0 in 3 e parallela al vettore v. Un generico punto P sulla retta a distanza t v da P 0,con t, soddisfa la seguente relazione 1) OP = OP 0 + tv, t (regola della somma di due vettori con punti di applicazione non coincidenti) v vettore direzione della retta, tv multiplo di v La 1) in forma cartesiana è: ) xi + y j + z k = x o i + y o j + z o k + ta i + tb j + tc k Uguagliando le componenti dei vettori nella ) si ha : x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + ct Equazioni parametriche della retta di direzione v (parallela al vettore v di componenti a,b,c) tv vettore parallelo al vettore v. Quindi, se a 0, b 0, c 0 si ha

13 x x 0 = t, y y 0 = t, z z 0 = t a b c cioè x x 0 = y y 0 = z z 0 Equazioni cartesiane a b c Esempio : Scrivere le equazioni parametriche e cartesiane della retta passante per P 0 (5,-6,) e parallela al vettore v = 3i + 1j -8k x = 5 + 3t y = t z = - 8t, x = y = z Esempio: Scrivere l equazione della retta passante per i due punti P 0 (3,-1,1), P 1 (4,,-3) Possiamo scegliere come vettore direzione v della retta il vettore P 0 P 1 v = P 0 P 1 = (x 1 -x 0 )i + (y 1 -y 0 )j +(z 1 -z 0 )k = (4-3) i + [-(-1)] j + (-3-1) k = i + 3j 4k Cioè, in questo caso, a = (x 1 -x 0 ), b = (y 1 -y 0 ), c = (z 1 -z 0 ) Quindi x = 3 + t y = t x 3 = y + 1 = z - 1 z = 1 4t NOTA x x 0 = y y 0 = z z 0 x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 Equazione retta per due punti Casi particolari y - y0 z - a = 0 x = x 0, = 0 b cz è una retta che giace nel piano parallelo al piano cartesiano yz e passante per x = x 0

14 Analogamente per i casi b = 0, c = 0 Equazione del piano in 3 Un piano nello spazio può essere individuato da un punto e da un vettore ortogonale al piano stesso. Per tre punti passa uno e un solo piano. Per direzione di un piano si intende la direzione della retta ad esso ortogonale. 1)Equazione del piano assegnato un suo punto ed un vettore ortogonale ad esso 1) P 0 (x 0, y 0, z 0 ) piano, n( a, b, c) vettore ortogonale al piano (ortogonale a tutte le rette del piano), P(x, y, z) generico punto del piano P 0 P giace sul piano e quindi è perpendicolare a n cioè n P 0 P = 0 (ai + bj + ck)[(x x 0 ) i + (y y 0 ) j + (z z 0 ) k] = 0 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 Equazione del piano oppure ax + by + cz = d, d = ax 0 + by 0 + cz 0 se d = 0, ax + by + cz = 0 equazione passante per l origine se c = 0, ax + by = d è un piano perpendicolare al piano xy (parallelo all asse z). se a = 0 e c = 0 il piano ha equazione y = b d = costante ed è parallelo al piano xz.

15 )Equazione del piano assegnati tre suoi punti: P 0 (x 0,y 0,z 0 ), P 1 (x 1,y 1,z 1 ), P (x,y,z ) I due vettori v = P 0 P 1 e u = P 0 P determinano il piano e quindi il loro prodotto vettoriale è ortogonale al piano. Allora possiamo calcolare n facendo il prodotto vettoriale v u e quindi si torna all equazione n P 0 P = 0, con n = P 0 P 1 P 0 P Esempio: P 0 (1,0,-1), P 1 (,1,0), P (0,1,-) P 0 P 1 = ( - 1) i + (1 0) j + (0 + 1) k = i + j + k P 0 P = (0 1) i + (1 0) j + (- + 1) k = -i + j k P 0 P 1 P 0 P = (i + j k) (-i + j k) = -i + k = n n P 0 P = (-i + k) [(x 1) i + (y 0) j + (z + 1) k] = 0 -(x-1) + (z +1) = 0 -x +z -4 = 0 -x + z = 0