Cinematica Angolare! FONDAMENTI DI BIOINGEGNERIA - ING.FRANCESCO SGRO!
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- Raffaello Romano
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1 Cinematica Angolare!
2 Movimento angolare! ü Si definisce movimento angolare qualsiasi movimento di rotazione che avviene rispetto ad un asse immaginario! ü In un movimento angolare tutto il corpo/soggetto sperimenta lo stesso angolo di rotazione! ü La cinematica angolare studia il movimento angolare dei corpi attraverso le seguenti grandezze:! Spostamento angolare! Velocità angolare! Accelerazione angolare!
3 Movimenti angolari! Movimento di rotazione! degli arti calciando una palla! Movimento di rotazione! degli arti e della mazza! colpendo una pallina!
4 Angoli di rotazione! ü L angolo è definito come lo spazio derivato dall intersezione di due linee rette (segmenti corporei) in un punto detto vertice (punto di rotazione)! ü Gli angoli possono essere classificati in:! Angoli assoluti: distanza tra un asse orizzontale (fisso) e il punto più lontano del segmento corporeo in esame.! Angoli relativi: la distanza tra due segmenti corporei, giunti in un vertice, calcolata rispetto all asse longitudinale del corpo.!
5 Angoli di rotazione! Asse longitudinale Anca angolo del ginocchio (angolo relativo) Ginocchio angolo della coscia (angolo assoluto) Asse orizzontale (fisso) Caviglia angolo della caviglia (angolo relativo)
6 Spostamento angolare! ü Come per il movimento lineare, anche per il movimento angolare è possibile descriverlo attraverso due grandezze:! Distanza: grandezza scalare! Spostamento: grandezza vettoriale! ü Lo spostamento angolare può essere misurato utilizzando due diverse grandezze, correlate fra loro:! Gradi! Radianti!
7 Radianti e segni! ü Un radiante è definito come una porzione di cerchio pari a 57,3! Cerchi con centro O! Rotazione! Oraria(-)! Rotazione! Oraria(-)! ü Lo spostamento, essendo un vettore, avrà un segno:! Positivo: verso antiorario! Negativo: verso orario! Quale distanza e quale spostamento?
8 Esempio: Calcio al pallone! ü L effetto della rotazione si manifesta sull oggetto da colpire! ü La velocità d uscita è determinata come risultante d e l l e componenti orizzontali e verticali!
9 Velocità angolare! ü La velocità angolare è espressa come la variazione dello spostamento angolare nell unità di tempo! ü La velocità angolare, ad esempio, di un arto, è esattamente la stessa per ogni parte dell arto interessato! ü Simbolicamente la velocità angolare si esprime con la lettera greca omega:! ω = spostamento _ angolare tempo = gradi(rad) sec
10 Esempio: calcio! Posizione 1! Posizione 2! Asse Anca! Rotazione! anti-oraria (+)! ü Rappresentazione del movimento della coscia in un calcio (t=0.5s)! Asse! ginocchio! Anca! Anca! Anca! Tempo! Ginocchio! Ginocchio! Ginocchio! ω = s = 60 / s =1.05rad / s
11 Accelerazione angolare! ü L accelerazione angolare è espressa come la variazione di velocità al variare del tempo! ü Come per la velocità si ha che:! L accelerazione sperimentata è la stessa per ogni parte del corpo accelerato! L accelerazione è indipendente dal punto di rotazione! ü L accelerazione angolare è matematicamente indicata con la lettera greca alpha! α = Δvelocità Δtempo = ω 2 ω 1 t 2 t 1 = grad s 2 = rad s 2
12 Esempio: calcio! ü Calcolare l accelerazione associata all esempio precedente! Anca! Anca! Anca! Tempo! Ginocchio! Ginocchio! Ginocchio! ω = s = 60 / s =1.05rad / s Velocità Angolare! α = 60 / s 0 0.5s 0 =120 / s2 = 2.09rad / s 2 Accelerazione! Angolare!
13 Esempio: accel. Gamba inferiore! Anca! Anca! Rotazione! anti-oraria(+)! Caviglia! Ginocchio! Ginocchio! Rotazione! anti-oraria(+)! Caviglia! Coscia e gamba sperimentano! la stessa rotazione?!
14 Esercizio! Anca! Anca! ü Calcolare la cinematica Caviglia! Tempo trascorso! Ginocchio! Gamba superiore! Ginocchio! della gamba inferiore.! Gamba inferiore! Caviglia! Posizione 1! Posizione 2! ω = 105 = 210 / s = 3,66rad / s 0.5s Gamba 210 / s 0 α = 0.5s 0 = 420 / = 7,33rad / s 2 inferiore s2
15 Esercizio! Anca! Anca! ü Calcolare la cinematica della Caviglia! Tempo trascorso! Gamba superiore! coscia.! Ginocchio! Ginocchio! Gamba inferiore! Caviglia! Posizione 1! Posizione 2! ω = s α = s = 60 / s =1.05rad / s =120 / s = 2,09rad / s Coscia
16 Principio della somma delle velocità! ü Quale sarà la velocità angolare complessiva del calcio?! ω = s = 270 / s = 4,71rad / s Principio di somma delle velocità
17 Relazione tra Cinematica Lineare e Angolare!
18 Punti di rotazione! Linee di rotazione Oggetto Asse di rotazione θ ü In biomeccanica si è soliti valutare gli!! spostamenti in almeno 2 punti interni degli arti coinvolti! ü Stesso spostamento Lin/Ang?! ü Stessa velocità Lin/Ang?! ü Stessa accelerazione Lin/Ang?!
19 Componenti lineari e angolari! ü I movimenti possono essere decritti attraverso le loro grandezze cinematiche lineari e angolari! ü Le grandezze lineari e angolari sono legate da opportune relazioni matematiche! ü Riepilogando:! Lineari spostamento = L velocità = dis tan za tempo Angolari ω = spostamento = θ spostamento _ angolare tempo a = v t = m s 2 α = Δvelocità Δtempo = ω t
20 Grandezze lineari e angolari! ü Qualsiasi spostamento angolare, come il calcio di un pallone o il tiro con una mazza da golf, influenza la traiettoria lineare dell oggetto colpito! Asse di rotazione Posizione 1 Posizione 2
21 Spostamento! ü Si definisce corda una linea diritta che congiunge due punti di una curva! ü La lunghezza di una corda è definita come la lunghezza lineare (spostamento lineare) di uno spostamento angolare definito in radianti! A r θ Corda (spostamento lineare) s = θ * r B 1 B 2 Lunghezza traiettoria ( S )
22 Esercizio! ü Calcolare le distanze coperte dai punti A e B del braccio in un lancio (baseball)?! O = Asse di rotazione θ (angolo anti-orario)= 22 θ s A = θ * r A = 0,38*0,46 = 0,175m s B = θ *r B = 0,38*0,67= 0,255m Più elevata è la distanza dall asse di rotazione Maggiore sarà la distanza lineare prodotto ü La corda (spostamento lineare) è determinata attraverso relazioni trigonometriche dell angolo descritto!
23 Relazione Velocità lineare e angolare! s = θ * r v = s t Distanza lineare! Velocità lineare! ω = θ t Velocità angolare! v = s t = θ *r t = ω *r Relazione velocità lineare-angolare!
24 Relazione Accelerazione! v = ω * r Relazione velocità! lineare-angolare! a = v t Accelerazione lineare! α = ω t Accelerazione angolare! a = v t = ω *r t = α *r Relazione accelerazione lineare-angolare!
25 Velocità e accelerazioni istantanee! ü Le relazioni esposte in precedenza sono sempre basate su stime medie delle grandezze coinvolte! ü A volte potrebbe essere necessario parlare di velocità e accelerazioni istantanee, cioè limitate ad un preciso istante! ü Matematicamente queste si indicano con il limite della grandezza che tende a zero o, più spesso, come il rapporto differenziale tra due grandezze! ü Geometricamente si descrivono come la tangente in un punto alla curva, tangente che si trova a 90 rispetto all asse di rotazione e ha la stessa inclinazione della curva in quel punto!
26 Considerazioni! ü In biomeccanica può essere importante calcolare i valor istantanei in modo tale da poter descrivere, in funzione delle grandezze coinvolte, il risultato di un movimento (es. golf)! ü Capire la relazione sussistente tra le grandezze lineari e angolari può aiutare a capire meglio le risultanze del movimento umano!
27 Esercizio! ü Riprendendo l esempio sul calcio di un pallone, determinare la lunghezza percorsa dalla palla, la velocità d uscita e l accelerazione sperimentata dalla palla sapendo che la gamba misura, complessivamente 1,35m.!
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