LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione

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1 LEZIONE Prodotti sclri. Definizione Si V uno spzio vettorile su R. Un prodotto sclre su V è un ppliczione tle che:, : V V R (v 1, v 2 ) v 1, v 2 (PS1) per ogni v 1, v 2 V si h v 1, v 2 = v 2, v 1 (il prodotto sclre è commuttivo); (PS2) per ogni v 1, v 2, v 3 V si h v 1, v 2 + v 3 = v 1, v 2 + v 1, v 3 (il prodotto sclre è distributivo rispetto ll somm); (PS3) per ogni α R e v 1, v 2 V si h α v 1, v 2 = αv 1, v 2 ; (PS4) per ogni v V \ { 0 V } si h v, v > 0 (il prodotto sclre è definito positivo). Osservzione Si V uno spzio vettorile su R. lcune ovvie proprietà dei prodotti sclri su V. i) Si v 0 V fissto. Allor l ppliczioni Elenchimo di seguito, v 0 : V R v v, v 0 è linere. Per l commuttività del prodotto sclre segue nche l linerità dell ppliczione v 0, : V R v v 0, v. Per quest doppi proprietà di linerità si dice spesso che il prodotto sclre è un ppliczione bilinere. ii) Si h llor che 0, v = v, 0 = 0 per ogni v V : in prticolre v, v = 0 se e solo se v = 0. iii) Chirmente se W V è un sottoinsieme h senso considerre l restrizione, W W, che è un prodotto sclre su W. 1 Typeset by AMS-TEX

2 PRODOTTI SCALARI Definizione Si V uno spzio vettorile su R munito di prodotto sclre,. Per ogni v V il numero v = v, v si dice modulo di v: i vettori di modulo 1 si dicono versori. Esempio Nello spzio V 3 (O) dei vettori pplicti in O si può definire un prodotto sclre in V 3 (O) ponendo ( ) v, w = v w cos( v w) per ogni coppi di vettori v, w V 3 (O) non nulli. Se O ı j k è un fissto sistem di riferimento nello spzio e v = v x ı + v y j + v z k, w = wx ı + w y j + w z k, è noto che v, w = v x w x + v y w y + v z w z. Esempio Si V = R n. Se x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ) si definisce prodotto sclre stndrd Si noti che in tl cso risult x, y = x 1 y x n y n. x, y = x t y = xi n t y come prodotto di mtrici. Il ftto che tle ppliczione soddisfi le prorietà (PS1), (PS2) e (PS3) è evidente dll definizione. Per qunto rigurd l proprietà (PS4) si noti che x, x = x x 2 n : m un somm di numeri reli non negtivi, come lo sono i qudrti di numeri reli, è non negtiv ed è null se e solo se tutti gli ddendi sono nulli. Si noti che questo non è l unico possibile prodotto sclre che possimo definire su R n. Per esempio si verifichi che l ppliczione ((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) 3x 1 y 1 + x 2 y 2 /2 è un prodotto sclre in R 2 diverso dl prodotto stndrd. Si noti che ( ) ( ) 3 0 y1 3x 1 y 1 + x 2 y 2 /2 = ( x 1 x 2 ). 0 1/4 Si V uno spzio vettorile su R munito di prodotto sclre,. Se v, w V \ { 0 V }, per ogni t R si h v 2 2t v, w + t 2 w 2 = v tw, v tw 0. Il primo membro di tle trinomio non può vere rdici distinte, dovendo ltrimenti cmbire di segno, quindi v, w 2 v 2 w 2 0: essendo v, w > 0 segue llor l cosiddett disuguglinz di Cuchy Schwrtz. y 2

3 LEZIONE 20 3 Proposizione Si V uno spzio vettorile su R munito di prodotto sclre,. Per ogni v, w V ( ) v, w v w Inoltre vle l uguglinz in ( ) se e solo se v e w sono proporzionli. Dimostrzione. Rimne d dimostrre l second ffermzione. Vle l uguglinz in ( ) se e solo se l equzione v 2 2t v, w +t 2 w 2 = 0 h soluzione, ovvero se e solo se v tw, v tw = 0 h soluzione, cioè se e solo se v = tw. Osservzione Si V uno spzio vettorile su R munito di prodotto sclre,. i) Se v, w V \ { 0 V } llor 1 v, w v w 1 : possimo perciò definire l ngolo fr v e w come ( ) v, w vw = rccos. v w Si h quindi v, w = v w cos( vw) che generlizz l ( ) prodotti sclri qulsisi. ii) Sempre d ricvimo l disuguglinz tringolre: v + w 2 = v + w, v + w = v 2 + v, w + w, v + w 2 = = v v, w + w 2 v v, w + w 2 v v w + w 2 = ( v + w ) 2, quindi v + w v + w. In modo nlogo verificre che v w v w. Esempio Si I = [, b] R non vuoto e si consideri nello spzio C 0 (I) l ppliczione f, g = b f(x)g(x)dx. Che le proprietà di prodotto sclre (PS1), (PS2), (PS3) sino soddisftte è ovvio. Inoltre il teorem dell permnenz del segno per funzioni continue ci ssicur che nche l condizione (PS4) è soddisftt. In questo cso l disuguglinz di Cuchy Schwrtz diviene b b b f(x)g(x)dx f(x) 2 dx g(x) 2 dx.

4 BASI ORTONORMALI Per ogni f C 0 (I) l quntità b f 2 = f(x) 2 dx viene dett norm L 2 di f Bsi ortonormli. Definizione Si V uno spzio vettorile su R munito di prodotto sclre,. I vettori v 1, v 2 V si dicono ortogonli (o perpendicolri) se v 1, v 2 = 0 ed in tl cso si scrive v 1 v 2. L insieme { v 1,..., v n } V si dice ortogonle se v i v j per i, j I con i j. L insieme { v 1,..., v n } V si dice ortonormle se è ortogonle ed i v i sono versori. Se V è finitmente generto, un bse ortonormle B = (v 1,..., v n ) è un bse di V tle che l insieme { v 1,..., v n } si ortonormle. In bse ll definizione concludimo che l insieme { v 1,..., v n } V è ortonormle se per ogni i, j = 1,..., n { 1 i = j, v i, v j = δ i,j = 0 i j. Esempio Si fissi un sistem di riferimento O ı j k nello spzio. Allor l insieme { ı, j, k } è ortonormle in V 3 (O) rispetto l prodotto sclre geometrico (si ved l Esempio ). Si noti che B = ( ı, j, k ) viene quindi d essere un bse ortonormle di V 3 (O). Esempio Si consideri lo spzio R n munito del prodotto sclre, definito nell Esempio Allor i vettori dell bse cnonic formno un insieme { e 1,..., e n } ortonormle: perciò l bse cnonic C = (e 1,..., e n ) è un bse ortonormle. Invece { e 1, e 2 } non è ortonormle rispetto l prodotto sclre ((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) 3x 1 y 1 + x 2 y 2 /2 introdotto nello stesso esempio. Inftti è vero che e 1 e 2 m e 1 = 3 e e 2 = 1/ 2. Concludimo che, rispetto tle prodotto sclre, { e 1 / 3, 2e 2 } è ortonormle.

5 LEZIONE 20 5 Esempio Si consideri lo spzio V delle funzioni continue e periodiche di periodo 2π. Per esempio 1, cos px, sin px V per ogni p N (si noti che sin px e cos px hnno periodo minimo 2π/p). In V definimo f, g = 1 π π π f(x)g(x)dx : è fcile verificre che, è un prodotto sclre. Inoltre dll nlisi è noto che 1/ 2, 1/ 2 = 1 { 1 se p = q 0, cos px, cos qx = 0 se p q, sin px, cos qx = 0 { 1 se p = q 0, sin px, sin qx = 0 se p q, quindi, per ogni N N, l insieme { 1/ 2, cos px, sin qx } p,q=1,...,n è ortonormle. Abbimo visto che in tutti gli esempi trttti è sempre possibile determinre un bse ortonormle. Di ftto questo è un risultto generle che si può dimostrre in modo lgoritmico con il metodo di ortonormlizzzione di Grm Schmidt. Ci limiteremo d enuncire il seguente risultto. Proposizione Si V { 0 V } uno spzio vettorile finitmente generto su R munito di prodotto sclre,. Allor esistono in V bsi ortonormli. L importnz ed utilità delle bsi ortonormli è dt dll seguente Proposizione Si V uno spzio vettorile su R munito di prodotto sclre,. Si { v 1,..., v n } V è un insieme ortonormle. Allor: i) v 1,..., v n sono linermente indipendenti; ii) se V è finitmente generto e dim R (V ) = n, llor B = (v 1..., v n ) è un bse ortonormle di V e si h v = v, v 1 v v, v n v n per ogni v V. Dimostrzione. Per definizione { v 1,..., v n } V è un insieme di vettori ortonormli se e solo se { 0 se i j, v i, v j = 1 se i = j, quindi, se α 1 v α n v n = 0 è un relzione di dipendenz linere, si h 0 = 0, v j = α 1 v α n v n, v j = α 1 v 1, v j + + α n v n, v j = α j. In prticolre v 1,..., v n sono linermente indipendenti. Se V è finitmente generto e dim R (V ) = n, per l Proposizione , segue che B è un bse di V.

6 BASI ORTONORMALI In prticolre per ogni v V esistono α 1,..., α n R tli che v = α 1 v α n v n. Quindi v, v j = α 1 v α n v n, v j = α 1 v 1, v j + + α n v n, v j = α j per ogni j = 1,..., n. Il coefficiente v, v j viene spesso detto coefficiente di Fourier (di v rispetto v j ). Esempio Si consideri lo spzio R 3 munito del prodotto sclre, definito nell Esempio I tre vettori v 1 = 1/3(2, 2, 1), v 2 = 1/3(1, 2, 2) e v 3 = 1/3( 2, 1, 2) formno un insieme { v 1, v 2, v 3 } ortonormle, quindi B = (v 1, v 2, v 3 ) è un bse di R 3. Si v = (1, 1, 1) R 3. Allor v, v 1 = 5/3, v, v 2 = v, v 3 = 1/3: quindi, come è nche fcile verificre direttmente, risult v = 5 3 v v v Mtrici ortogonli. Fccimo un breve digressione su un importnte fmigli di mtrici, quelle ortogonli. Definizione P R n,n si dice ortogonle se t P P = I n. Prim di dre esempi di mtrici ortogonli, fccimo lcune osservzioni. Osservzione Si noti che l mtrice identità I n è ortogonle in bse ll definizione dt: nche ogni mtrice ottenut d I n cmbindo segno d un o più delle sue entrte è ortogonle. Si P R n,n ortogonle. i) Poiché t P P = I n, segue che P è invertibile e P 1 = t P : in prticolre si h nche P t P = I n. In mnier nlog si dimostr che se P t P = I n llor nche t P P = I n, cioè P è ortogonle se e solo se P t P = I n. ii) Si h 1 = det(i n ) = det( t P P ) = det( t P ) det(p ) = det(p ) 2, dunque det(p ) = ±1: qunto sopr osservto sull mtrice identità ci permette di ffermre che esistono mtrici di entrmbe i tipi. iii) Poiché l rig i esim di t P è l colonn i esim P i di P, l condizione t P P = I n si può leggere dicendo che il prodotto sclre stndrd (si ved l Esempio con l solit identificzione di R n con R n,1 ) delle colonne P i e P j di P è δ i,j : in ltre prole un mtrice è ortogonle se e solo se le sue colonne sono un insieme ortonormle, rispetto l prodotto sclre stndrd, di n vettori di R n,1. iv) In mnier simile, poiché nche P t P = I n, nche le righe di P formno un insieme ortonormle, rispetto l prodotto sclre stndrd, di n vettori di R 1,n.

7 LEZIONE 20 7 Le mtrici ortogonli si dividono, quindi, in due clssi non vuote, quelle con determinnte 1 e quelle con determinnte 1. H senso dre un nome questi due tipi di mtrici. Definizione Si P R n,n ortogonle. P si dice specile se det(p ) = 1 non specile det(p ) = 1. Grzie qunto osservto sopr, simo perciò in grdo di dre esempi non bnli di mtrici ortogonli. Esempio Le mtrici di R 3,3 P 1 = , P 2 = , sono ortogonli. L prim è non specile, l second specile. Esempio Determinimo tutte le mtrici ortogonli d ordine 2. Si ( ) p1,1 p P = 1,2 R 2,2 p 2,1 p 2,2 ortogonle. L condizione P t P = I 2 si trduce llor nel sistem p 2 1,1 + p 2 1,2 = 1 p 1,1 p 2,1 + p 1,2 p 2,2 = 0 p 2 2,1 + p 2 2,2 = 1. L prim e l terz equzione implicno l esistenz di ϑ, ϕ [0, 2π] tli che p 1,1 = cos ϑ, p 1,2 = sin ϑ, p 2,1 = sin ϕ, p 2,2 = cos ϕ. L second equzione è llor equivlente 0 = cos ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϕ = sin(ϕ ϑ). In prticolre, meno di multipli di 2π, si deve vere o ϕ = ϑ ovvero ϕ = ϑ + π. Nel primo cso ( ) cos ϑ sin ϑ P =, sin ϑ cos ϑ (in tl cso P è ortogonle specile) nel secondo ( ) cos ϑ sin ϑ P = sin ϑ cos ϑ (in tl cso P è ortogonle non specile). Ricordimo un interpretzione geometric delle mtrici ortogonli specili già vist ll inizio del corso. Considerimo nel pino due sistemi di riferimento O ı j,

8 MATRICI ORTOGONALI O ı j e si ψ l ngolo misurto in senso ntiorrio fr i versori ı e ı. Allor si deve vere ı = ı + b j, j = c ı + d j e si h, per l Proposizione ii), = ı, ı = cos ψ, b = ı, j = sin ψ, c = j, ı = sin ψ, d = j, j = cos ψ. Se or considero v = x ı + y j = x ı + y j, sostituendo le espressioni ottenute sopr di ı e j in funzione di ı e j, tenendo conto che ( ı, j ) è un bse di V 2 (O), si ottiene ( ) ( ) ( ) x cos ψ sin ψ x y =. sin ψ cos ψ y Concludimo che le mtrici ortogonli specili corrispondono lle rotzioni nel pino. Per questo spesso indichimo con R ψ l mtrice ( cos ψ sin ψ sin ψ cos ψ Un nlog interpretzione può essere dt per mtrici ortogonli in R n,n con n 3. ).