Derivate delle funzioni di una variabile. Il problema delle tangenti

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1 Derivate delle funzioni di una variabile Il concetto di derivata di una funzione di una variabile è uno dei più importanti di tutta la matematica sia per le sue implicazioni di natura puramente teorica, sia per le numerose applicazioni di tipo pratico. La nozione di derivata è alla base del calcolo differenziale ce, insieme con il calcolo integrale, costituisce l'analisi infinitesimale. Il calcolo differenziale fu inventato, nel XVII secolo, da Newton e Leibniz, ce indipendentemente l uno dall altro, introdussero la nozione di derivata e di differenziale. I problemi ce in particolare diedero origine al concetto di derivata e ce per tale motivo rappresentano il punto di partenza per il calcolo differenziale, sono: il problema delle tangenti e il problema della velocità istantanea. Storicamente, la derivata si presenta come la risposta più efficace al problema delle tangenti, cioè al problema di come determinare la retta tangente a una qualsiasi curva in un suo punto. Già i greci si erano occupati della questione: Arcimede, Apollonio e Pappo avevano elaborato metodi ingegnosi per costruire tangenti alle conice e a curve più complesse, come la famosa spirale di Arcimede. Si trattava comunque di metodi particolari, applicabili caso per caso, e ce non possedevano perciò il carattere di procedimento generale, valido per tutte le curve. Nel Seicento ance Fermat e Cartesio, con l introduzione della geometria analitica, diedero un notevole impulso alle ricerce in questo campo. Il problema delle tangenti Per definire la retta tangente ad una curva in un suo punto non è possibile estendere ad essa la definizione adottata dalla geometria elementare nel caso della circonferenza ( Si ciama tangente alla circonferenza in un suo punto P quella particolare retta avente in comune con la circonferenza soltanto il punto P percé la retta tangente ad una qualsiasi curva in un suo punto P a in comune con la curva almeno due punti. Non è possibile utilizzare neance l altra definizione ce si dà in geometria elementare per la tangente e ce afferma: La tangente è la retta ce, passante per P, lascia la curva tutta da una stessa parte rispetto alla retta. Infatti, nel caso di una curva qualsiasi, la tangente può lasciare la curva da parti opposte.

2 E invece più opportuno introdurre il concetto di tangente attraverso un procedimento di tipo dinamico. Ossia: Si ciama tangente ad una curva piana in un suo punto P la posizione ite (se esiste della retta P P ce unisce P con un altro punto P della curva, allorcé il punto P, mouvendosi sulla curva, si avvicina indefinitamente a P. Data questa definizione di tangente si pone il problema di trovare l equazione della retta tangente ad una curva di equazione y in un suo punto P. Procedimento risolutivo del problema delle tangenti Sappiamo ce l equazione della tangente passante per il punto P (, y è: y-y m(- dove m rappresenta il coefficiente angolare della y y retta ed è dato da m. Per determinare il valore di m (tgα consideriamo sulla curva un altro punto Q di coordinate [o, ]. Il coefficiente angolare della secante PQ sarà: m Il coefficiente angolare della tangente (se Q P sarà: m RQ Poicé tgβ tgβ tgα PR Quindi: se la curva y, nel punto di ascissa, ammette una retta tangente, non parallela all asse y, il coefficiente angolare di tale retta è dato dal

3 Tale ite, quando esiste ed è finito, viene detto derivata della funzione calcolata nel punto. Da questo e da altri problemi è nata la definizione di derivata. Definizione Derivate Data la funzione y definita in un intervallo [a, b] si ciama derivata della funzione nel punto ] a, b[ il ite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale al tendere a zero dell'incremento della variabile indipendente. Note Se da si passa ad un altro punto qualunque, dell'intervallo [a, b], si dice ce si è dato alla variabile l'incremento (positivo o negativo. La differenza:, tra i valori ce la funzione assume quando la variabile passa dal valore al valore, si ciama incremento della funzione e può avere valore positivo, negativo o nullo. Il rapporto si ciama rapporto incrementale della funzione relativo al punto e all'incremento ; precisamente, si ciama rapporto incrementale destro o sinistro secondo ce sia: >, oppure: <. La derivata si indica con uno qualunque dei seguenti simboli: [ ] f (, y'(, D, D, (La notazione f '( risale a LAGRANGE, la notazione D a CAUCHY. Pertanto la derivata f (o della funzione è definita dalla relazione: d d, ecc. f''( nell'ipotesi ce il ite esista e sia finito. L'operazione con la quale si calcola la derivata di una funzione è detta la derivazione di questa funzione. Può darsi ce, pur non esistendo il ite per del rapporto incrementale, esista e sia finito tuttavia il ite a sinistra o il ite a destra, od entrambi; questi si ciameranno allora, rispettivamente, derivata sinistra e derivata destra di f ( in Nel seguito quando diremo ce la funzione f ( è derivabile nel punto, intenderemo sempre ce in questo punto esista finita sia la derivata sinistra ce la derivata destra e ce queste siano fra loro eguali..

4 Negli estremi a e b, dell'intervallo [a, b], la derivata coincide rispettivamente con la derivata destra e sinistra. Se la funzione f ( è derivabile in ogni punto interno all'intervallo [a, b] e se ammette derivata destra nel punto a e derivata sinistra nel punto b, la si dice derivabile nell'intervallo ciuso [a, b]. Teorema Se una funzione è derivabile nel punto, allora è necessariamente continua in tale punto. L incremento della funzione può essere così scritto: con Considerando i iti, per, di entrambi i membri, si a: [ f ( f ( ] Poicé per ipotesi f è derivabile f''( e quindi [ f ( f ( ] f '( Ricordando ce una funzione f è continua in quando si verifica ce: f f ovvero quando f f si a ce la f è continua in. Da questo teorema segue ce: ( ( [ ( ( ] Nei punti di discontinuità una funzione non può ammettere derivata. La proprietà inversa del teorema dato non è vera; cioè: se una funzione è continua in un punto non è detto ce sia derivabile in tale punto. Esempi La funzione y 3 è continua in, ma non è ivi derivabile ( il ite del rapporto incrementale per è. 2 La funzione y è continua in, ma non è ivi derivabile ( i iti destro e sinistro del rapporto incrementale, per, non sono uguali. Dunque: la derivabilità è un condizione più restrittiva della continuità. Osservazioni Si parla di derivata, per le funzioni definite su un intervallo, nei punti interni all'intervallo (a, b. La derivata di f in (a, b, quando esiste, è un numero. Se la derivata di f esiste in ogni punto di (a, b, allora possiamo pensare alla funzione di dominio (a, b ce associa ad ogni punto (a, b quel numero ce è la derivata di f in. Tale funzione si dice «funzione derivata». In generale la funzione derivata è una funzione avente come dominio l'insieme dei punti in cui esiste la derivata di f, ed è tale ce il valore da essa assunto in è f '(.

5 Significato geometrico di derivata Considerando il problema delle tangenti, da cui, storicamente, trae origine la derivata, si può affermare ce il rapporto incrementale della funzione si identifica con il coefficiente angolare della secante PQ ce unisce i due punti di ascissa e. Facendo tendere a accade conseguentemente ce: Il punto Q tende al punto P La secante r tende alla retta tangente t Il coefficiente angolare di r tende al coefficiente angolare di t Il rapporto incrementale tende alla derivata della funzione in. Da tutto ciò segue ce: La derivata di una funzione in un suo punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto alla curva di equazione y. Nota La derivabilità di una funzione in un punto implica l esistenza della tangente alla curva nel punto corrispondente. Derivate di alcune funzioni elementari Funzione yc y Derivata y y y n y n n- y ysen y 2 y cos ycos y -sen ylog a ylog ya ye y y log e a y a log a y e log a

6 Teoremi sul calcolo delle derivate Teorema. La derivata di una funzione costante yk, il cui insieme di definizione è R, è zero. y O yk k - k Preso un punto Teorema 2. La derivata della funzione y è y. y y O Preso un punto a: Teorema 3. / / La derivata della funzione y n con n N è la funzione y n n-. Teorema 4. La derivata della funzione y Preso un punto a: / / / - / è la funzione y 2 ( 2 ( ( (

7 Teorema 5. La derivata della funzione ysen è y cos in tutto R Preso un punto si a: sen( sen sen cos cos sen sen sen (cos cos sen (cos sen sen cos cos sen sen cos sen cos cos Si dimostra in modo analogo il seguente teorema: Teorema 6. La derivata della funzione cos è y - sen. Teorema 7. La derivata della funzione ylog a (con a> e a, definita in In particolare, se si pone ae e quindi log e, si a: La derivata della funzione ylog è y. Teorema 8. R, è y La funzione ye è sempre derivabile in R e la sua derivata è la funzione y e. Preso un punto a: e e e e e e ( e e ( e e e In modo analogo si dimostra ce: Teorema 9. La derivata della funzione ya (con a costante positiva e R è y a log a. log a e

8 Il calcolo con le derivate La determinazione della derivata di funzioni aventi una rappresentazione analitica piuttosto complessa, applicando la definizione di derivata è, a volte, molto laboriosa. I seguenti teoremi consentiranno di semplificare la procedura di calcolo della derivata di una generica funzione. Teorema della somma Se e g( sono due funzioni derivabili in un intervallo I allora ance la funzione somma g( è derivabile in I e risulta: [ g( ] y' f'( g' ( y cioè la derivata della somma di funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni. Se è un punto qualsiasi di I, il rapporto incrementale della funzione somma in è: [ g( ] [ g( ] - g( g( Passando al ite per si a: - g( g( f'( [ g( ] [ g( ] g'( - g( g( In particolare se g( è la funzione costante, cioè se è g(k, si a: y k y' f' In modo analogo si dimostra ce: Teorema della differenza [ ] ( Se e g( sono due funzioni derivabili in un intervallo I allora ance la funzione differenza -g( è derivabile in I e risulta: y [ - g( ] y' f'( g' ( cioè la derivata della differenza tra funzioni è uguale alla differenza delle derivate delle singole funzioni. In generale: La derivata della somma algebrica di più funzioni derivabili è uguale alla somma algebrica delle derivate delle singole funzioni.

9 Teorema del prodotto Se e g( sono due funzioni derivabili in un intervallo I allora ance la funzione prodotto g( è derivabile in I e risulta: y [ g( ] y' f'( g( g'( cioè la derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto della derivata della prima funzione per la seconda più il prodotto della derivata della seconda funzione per la prima. Se è un punto qualsiasi di I, il rapporto incrementale della funzione prodotto in è: [ g( ] [ g( ] g( g( g( g( g( g( g( Passando al ite per si a: sottraendo e sommando - g( g( g( g( g( al numeratore si a [ g( ] [ g( ] g( - g( g'( g( f'( g( In particolare se g( è la funzione costante, cioè se è g(k, si a: y k y' k f'( cioè la derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione. In generale, si a: La derivata del prodotto di n funzioni è uguale alla somma degli n prodotti della derivata di ciascuna funzione per le rimanenti n- funzioni non derivate. In modo analogo si dimostra ce:

10 Teorema del quoziente Se e g( sono due funzioni derivabili in un intervallo I ed è g(, I, allora ance la funzione quoziente / g( è derivabile in I e risulta: f'( g( g'( y y' 2 g( g( cioè la derivata del quoziente di due funzioni è uguale ad una frazione avente per denominatore il quadrato del divisore e per numeratore il prodotto della derivata del dividendo per il divisore diminuito del prodotto del dividendo per la derivata del divisore. In particolare, se, e quindi f (, si a: y g( y' g'( [ g( ] 2 cioè la derivata della reciproca di una funzione derivabile è uguale ad una frazione avente per denominatore il quadrato della funzione e per numeratore l opposto della della derivata della funzione. In particolare: y y' 2

11 Derivata delle funzioni composte Per determinare la derivata delle funzioni ottenibili attraverso operazioni di composizione di due o più funzioni si ricorre al seguente teorema: Sia g ( una funzione definita in un intervallo I e derivabile in I e sia f ( z una funzione definita in I, tale ce gi ( I, e derivabile nel punto z g(. Allora la funzione composta F( f[ g( ] è derivabile in, e si a: F f z g '( '( '( cioè la derivata di una funzione composta è uguale al prodotto delle derivate delle funzioni componenti. Questo teorema è estendibile ance al caso in cui le funzioni componenti siano più di due. Ad esempio, se è: y f g ( y f( z, z g( u, u ( { } Esempio 2 Derivare la funzione y sen( Le funzioni componenti sono: 2 2 g( e f ( z sen z y' cos( (2 e quindi: y ' f '( z g '( u '( u Applicando la regola di derivazione di una funzione composta, è possibile ricavare altre due regole di derivazione: f ( a Se a>, a e è derivabile, allora ance y a è derivabile e risulta: f ( y' a f '( lna b In particolare, per ae, si a: f ( y' e f '( Derivata delle funzioni inverse Data la funzione y definita e invertibile in un intervallo I, se è derivabile in I, vale il teorema: Sia y una funzione continua e derivabile in un intervallo I e sia g(y la sua inversa, se è derivabile nel punto I, con derivata f (, allora ance g(y è derivabile nel punto y e si a: g'( y f '( cioè la derivata di una funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione data.

12 Esempio n La funzione y è l inversa di y n y ny n n ' n n n n n (

13 Derivate di ordine superiore al primo Se la funzione è una funzione derivabile in un intervallo (a, b e la sua derivata f ( è una funzione anc essa derivabile in (a, b, allora si dice derivata seconda (o derivata del secondo ordine la derivata della derivata di. La derivata seconda si indica con uno dei simboli: y, f (, D 2 y, D 2 Esempio: y6 3 y 8 2 y 36 Se la derivata seconda è una funzione ancora derivabile, si dice derivata terza (o del terzo ordine la derivata della seconda. La derivata terza si indica con uno dei simboli: y, f (, D 3 y, D 3 In generale, la derivata n-esima, o di ordine n, di una funzione è la derivata della derivata di ordine (n--esimo. Per indicare la derivata quarta, quinta,... di una funzione si usano i simboli: y IV, y V, y VI,..., y n Per uniformità la derivata f ( viene detta derivata prima. Nota In generale le derivate successive anno una rappresentazione analitica più complessa della funzione. Nel caso delle funzioni polinomiali invece, le derivate successive diventano più semplici e per una funzione polinomiale di grado n, tutte le derivate successive, a partire da quella di ordine n, si annullano. Esempio: y3 2 y 6 y 6 y y IV,... Applicazioni del calcolo delle derivate alla geometria. Equazione della tangente a una curva Data la curva di equazione y, il coefficiente angolare della tangente alla curva in un punto di ascissa è f ( y-y f ( (- 2. Equazione della normale ad una curva Si ciama normale alla curva nel punto P(, y, la retta perpendicolare alla tangente alla curva in P(, y. La sua equazione è: y-y (- f'(