Corso di Fisica. Onde Interferenza e Diffrazione. Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni a.a.08-09

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1 Corso di Fisica Onde Interferenza e Diffrazione Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni a.a

2 SOMMARIO 1. Esercizi sulle onde 2. Diffrazione 3. Interferenza 4. Diffrazione con Raggi X su cristalli e legge di Bragg 2

3 1. Esercizi sulle onde 1. Un onda è descritta dall espressione: y Asen ( kx ωt ) = con A = 0.02 m; k = 2.11 rad/m ; w = 3.62 rad/s. Determinare la lunghezza d onda, la frequenza e la velocità dell onda. Si ha 2 π λ = = 2.98 m ; f 576Hz k = ω 2 π = 0. m ; υ = fλ = s 2. Scrivere l espressione di un onda sinusoidale y che viaggia lungo una corda nel verso negativo dell asse x con le seguenti caratteristiche y max = 8cm, λ = 80cm; f = 3Hz, y(0,0) = 0. 2π 1 La formula generale è: y = A sen ( kx +ω t +φ ). Osservo che: A = ymax, k = = 7.85m ; λ rad ω = 2 π f = 6π. Inoltre poiché y(0,0) = 0 allora φ = 0, da cui: y = 0.08sen ( 7.85x + 6π t). s 3. Riscrivere l espressione dell onda di cui all esercizio sopra nel caso in cui y(x,0) = 0 nel punto x = 10cm. L espressione è: y = 0.08sen ( 7.85x + 6π t + φ ). Se y(x,0) = 0 per x = 10cm si ha: 0 = 0.08sen ( 7. 85x + φ ) da cui otteniamo φ = rad. Si ha: y = 0.08sen ( 7.85x + 6π t 0.785) 3

4 1 0 1 ω1 φ ω2 φ2 4. Due onde sinusoidali sono descritte da: y = A sen[ k x t ]; y = A sen[ k x t ] con: A0 = 5m; k1 = k2 = 4π m 1 ; ω 1= ω2 =1200π s; φ1=0; φ2 = 0.25π rad. (a) Qual è l ampiezza dell onda risultante? (b) Qual è la frequenza dell onda risultante? φ2 φ2 La funzione dell onda risultante ha la forma: y = y1 + y2 = 2A0 cos sen k 1x ω1t con 2 2 φ2 ampiezza A = 2A0 cos =9.24m e frequenza 2 = ω1 f = 600Hz. 2 π 5. Due altoparlanti sono azionati da un oscillatore a 800Hz e sono l uno di fronte all altro a distanza di D =1.25m. Trovare i due punti lungo il segmento che li unisce dove si aspetterebbero dei minimi relativi ( velocità del suono v = 343 m/s). La lunghezza d onda è: λ = υ = 0.429m. Per avere minimo, la differenza di cammino deve essere f un numero dispari di mezza lunghezza d onda. Quindi, se X è la distanza di uno dei due λ D x x = 2n + 1 con altoparlanti dall ascoltatore, la differenza di cammino delle due onde è: ( ) ( ) 2 n numero intero. Otteniamo, per n = 0,1,2,-1,-2, i seguenti punti di minimo: x = 0.518m; 0.303m; 0.089m;0.732m;0.947m. 4

5 6. Due onde sono date da: y1 = Acos[ kx ωt] ; y = Acos[ kx + ωt] 2 con x e y in metri e t in secondi, A = 0.015m; k = 0.5 m 1 ; ω = 40 s. (a) determinate la posizione dei nodi dell onda stazionaria risultante. (b) Qual è lo spostamento massimo per 0.4m? L onda stazionaria risultante è data dalla somma delle due: y y + y = A cos ( kx) cos( ω ) x x (a) I nodi si formano dove y = 0, cioè cos = 0 2 nodi per : x = π m; 3 π m ; 5 π m (b) Per x = 0.4m l onda ha ampiezza : y = 0.03cos = m. 2 = t quindi per: = ( 2n + 1) 2 2 π. Avremo perciò 7. A quale distanza da una sorgente isotropa ( cioè che irradia allo stesso modo in tutte le direzioni ) di onde elettromagnetiche di potenza 30W l ampiezza del campo elettrico sarà E m = 10V/m? Risp. X = 4.24m 8. Un onda radio trasmette 1.5 W/m 2 di potenza per unità di area. Una superficie piana di area A è perpendicolare alla direzione di propagazione dell onda. Calcolare la pressione di radiazione dell onda nell ipotesi che la superficie sia un assorbitore perfetto. Risp. p = 5x10-9 Pa 5

6 9. Un impulso che viaggia su una corda in moto verso destra lungo l asse x è rappresentato da una funzione: 2 y( x, t) = ( x 3t) Dove x e t sono misurati in metri e secondi rispettivamente. (a) mostrare che questa espressione rappresenta una funzione d onda e determinarne la velocità. (b) Mostrare in grafico la forma d onda negli istanti t = 0 e t = 2s. Soluzione: (b) y(x,0) y(x,2s) (a) si mostri che: 2 x y 2 1 = 2 υ 2 t y 2 y(x,t) con v = 3 m/s x [m] 6

7 10. Una lampadina incandescente irradia 15W isotropicamente. Calcolare il valore massimo del campo elettrico e del campo magnetico alle distanze: (a) 1m; (b) 5 m dalla sorgente. (a) E = 30 V/m; B = 0.1 µt (b) E = 6 V/m; B = 0.02 µt 11. Un onda elettromagnetica piana ha un flusso di energia di 300 W/m 2. Una superficie piana rettangolare di dimensioni 20cmx40cm è posta perpendicolarmente rispetto alla direzione di propagazione. Se la superficie assorbe metà dell energia incidente e ne riflette la metà calcolare (a) l energia totale assorbita dalla superficie in un minuto (b) la quantità di moto assorbita nello stesso tempo. (a) 720J; (b) 2.4x10-6 kg m/s 12. La luce del sole esercita una pressione di radiazione tipica di 5x10-6 Pa. Calcolare la forza di radiazione su uno specchio orizzontale perfettamente riflettente di dimensioni 40cm x 80cm. F = 3.2 µn 13. Un filo lungo ha un raggio di 0.3mm e resistenza 5 Ω è percorso da una corrente di 2 A. Determinare il valore e la direzione del vettore di Poynting del filo S = 1.06x10 4 W/m 2 diretto radialmente verso il filo. 7

8 2. Diffrazione Consideriamo una sorgente di onde elettromagnetiche S piane, i cui fronti d onda incontrano un ostacolo come l'apertura in uno schermo opaco (fenditura). La fenditura abbia dimensioni lineari dello stesso ordine di grandezza della lunghezza d onda della radiazione elettromagnetica. Consideriamo il caso particolare Diffrazione di Fraunhofer ) dove la sorgente S e lo schermo C dove si visualizza il fenomeno della diffrazione siano a grande distanza dalla fenditura che supponiamo rettilinea, di larghezza a e lunghezza L>>a. S k a Fronti d onda piana Schermo C Schermo opaco con fenditura 8

9 Suddividiamo la fenditura in N strisce ciascuna di larghezza y =a/n. Ciascuna striscia funge da sorgente di onde secondarie ( principio di Huygens-Fresnel) contribuendo con ampiezza E al campo risultante E p in un punto P dello schermo, individuato dai raggi uscenti ad angolo θ rispetto alla normale al piano della fenditura. I contributi relativi a due strisce adiacenti hanno nel punto P la differenza di fase, derivante dalla differenza di cammino ysenθ: 9

10 Metodo dei fasori Possiamo rappresentare l onda armonica come un vettore, detto FASORE, di modulo E 0 /r, che ruota intorno all origine con velocità angolare ω. La proiezione del fasore sull asse verticale dà, istante per istante, il valore E 1 (t). 10

11 Con riferimento alla figura, gli N fasori che rappresentano le ampiezze E delle singole sorgenti secondarie, in cui è suddivisa la fenditura, costituiscono una poligonale di N lati. L angolo formato tra ciascun fasore e il successivo è dato da : La differenza di fase tra l onda emessa dall estremo B e l estremo A è : Per y ed N la poligonale diventa un arco di circonferenza di raggio ρ con angolo al centro pari a α. Dalla figura l ampiezza del campo eletrico risultante è pari alla corda che sottende l arco: 11

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14 1. Esercizi sulla diffrazione

15 3. Interferenza di onde: esperimento di Young In questo esperimento la luce uscente dalla sorgente S viene diffratta alle fenditure S 1 ed S 2. La luce emessa da S 1 ed S 2 produce su uno schermo C, posto a distanza L >> d ( d = separazione fenditure) una figura di interferenza consistente in strisce chiare (massimi di intensità luminosa ) e scure (minimi) alternate, detta figura di interferenza. 15

16 Siano E 1, E 2 onde prodotte dalle sorgenti S 1 ed S 2 : La differenza di fase tra le due onde è: I massimi di interferenza si hanno quando la differenza di percorso dsenθ è un multiplo intero della lunghezza d onda λ. In questa condizione le due onde risultano infatti in fase. 16

17 1. Esercizi sull interferenza

18 4. Diffrazione X dei Cristalli Durante il corso di chimica vi è stato mostrato come i solidi, in forma cristallina, si dispongano in strutture tridimensionali ordinate. Un reticolo cristallino molto comune in natura è per esempio il reticolo cubico a facce centrate (FCC). Cu a (Å) C ( diamante ) 3.57 Si 5.43 Ge 5.66 α-sn 6.49 GaAs 5.65 a Si 2 FCC compenetrati di ¼ della diagonale di corpo NaCl 2 FCC compenetrati di 1/2 lato del cubo 18

19 E possibile esplorare la struttura microscopica dei cristalli utilizzando un fascio di raggi X, radiazione elettromagnetica con lunghezza d onda di circa 1Ǻ, lo stesso ordine di grandezza della costante reticolare a nei cristalli. La teoria della diffrazione X è stata sviluppata da Sir William Bragg nel Bragg mostrò che un piano di atomi nel cristallo riflette la radiazione nello stesso modo nel quale la luce viene riflessa da uno specchio, percui l angolo in uscita θ r è uguale all angolo incidente θ i. k cristallo Fronte onda piana Fascio incidente Fascio riflesso Θ i Θ r = Θ i a Piano di Bragg 19

20 Legge di Bragg Se si considera la radiazione come riflessa da piani di Bragg paralleli e successivi, è possibile che i fasci riflessi dai vari piani interferiscano costruttivamente. Perché si abbia interferenza costruttiva, la differenza di cammino tra le due onde riflesse deve essere tale che: θ θ AB + BC = nλ A θ B d C ossia deve valere la legge di Bragg: 2d sen θ = nλ Poiché la distanza tra piani d corrisponde a qualche Å il fenomeno non si osserva con luce visibile ( ~ 5000 Å). E necessario usare fotoni X. 20

21 Esercizi sulla Diffrazione nei cristalli 1. Lo ioduro di potassio ha stessa struttura cristallina di quella del NaCl, con d = nm. Un fascio monocromatico di raggi X mostra un massimo di diffrazione per primo ordine quando l angolo di incidenza è 7.6. Calcolare la lunghezza d onda dei raggi X. λ = 0.934nm 2. Un fascio monocromatico di raggi X incide sulla superficie di un cristallo di NaCl. Nel fascio riflesso il massimo del secondo ordine si trova ad un angolo di 20.5 tra il fascio incidente e la superficie. Determinare la lunghezza d onda dei raggi X. λ = 0.984nm 3. Raggi monocromatici X di lunghezza d onda λ = 0.166nm incidono su un cristallo di KCl. Se la distanza tra i piani è di 0.314nm a quale angolo rispetto alla superficie del cristallo bisogna dirigere il fascio per poter osservare un massimo del secondo ordine? α = 32 21