Lezione 4. Sommario. L artimetica binaria: I numeri relativi e frazionari. I numeri relativi I numeri frazionari

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1 Lezione 4 L artimetica binaria: I numeri relativi e frazionari Sommario I numeri relativi I numeri frazionari I numeri in virgola fissa I numeri in virgola mobile 1

2 Cosa sono inumeri relativi? I numeri relativi sono numeri dotati di segno il segno può essere + o - il segno ha conseguenza su le operazioni aritmetiche fra i numeri relativi I numeri relativi Si possono rappresentare i numeri negativi in diversi modi noi tratteremo: rappresentazione con modulo e segno rappresentazione in complemento a 2 2

3 Modulo e segno Si stabilisce convenzionalmente il numero di bit usato per rappresentare i numeri si aggiunge un bit a sinistra della sequenza (il bit più significativo) e per convenzione: se il bit piu significativo è 0 il numero si considera positivo se il bit piu significativo è 1 il numero si considera negativo gli altri bit rappresentano il modulo del numero Esempio Numeri binari di 7 bit: (2) =73 (10) Numero relativo positivo (2) =+73 (10) Numero relativo negativo (2) =-73 (10) 3

4 Complemento a 2 Si stabilisce convenzionalmente il numero di bit usato per rappresentare i numeri si aggiunge sempre un bit a sinistra (bit più significativo) di valore 0 se il numero è positivo si lascia invariato se il numero è negativo si esegue la procedura di complementazione Procedura di complementazione si scambia ogni 0 con un 1 e viceversa, cioè si sostituisce ad ogni 0 la cifra 1 e ad ogni 1 la cifra 0 si somma il numero 1 al risultato Nota: se un numero è rappresentato in complemento a due ed il bit più significativo (MSB) è 1 allora si tratta di un numero è negativo 4

5 Quale rappresentazione conviene? La rappresentazione con segno permette di eseguire prodotti in modo più semplice La rappresentazione con complemento permette di eseguire somme e sottrazioni in modo più semplice Quanti bit sono usati Se si usano n bit per rappresentare complessivamente un numero (con segno o in complemento) allora ne rimangono n-1 per rappresentare il modulo Attenzione alla magnitudine del numero relativo con 6 bit si possono rappresentare numeri in un intervallo di?32 e non oltre (non fino a 64). 5

6 Aumentare il numero di bit per la rappresentazione in complemento a 2 Se vogliamo passare da una rappresentazione di un numero in complemento a 2 con 6 bit ad una con 8 bit si elimina il bit di segno si distinguono poi i seguenti casi: se il numero è positivo si aggiunge in testa 00 se il numero è negativo si aggiunge in testa 11 si aggiunge il bit di segno infatti nel caso negativo è come se si fosse aggiunto 00 al modulo e successivamente avessimo eseguito la procedura di complementazione Aumentare il numero di bit per la rappresentazione in modulo e segno Se vogliamo passare da una rappresentazione di un numero in modulo e segno con 6 bit ad una con 8 bit si elimina il bit di segno si aggiunge in testa 00 si aggiunge il bit di segno 6

7 Aritmetica dei numeri relativi Somma in complemento a due: stesso algoritmo per somma di numeri senza segno la somma viene fatta su tutti i bit, anche quelli di segno si trascura il riporto oltre il bit di segno Condizione di overflow in complemento Si ha condizione di overflow nella rappresentazione in complemento a 2 quando: sommando due numeri negativi il bit di segno è 0 sommando due numeri positivi il bit di segno è a 1 infatti questo implica che si è avuto overflow nella somma di n-1 bit e si è andati con il riporto sul bit di segno. In condizioni normali il risultato deve essere positivo e avremmo dovuto avere quindi il bit di segno a 0. 7

8 Aritmetica dei numeri relativi Somma con segno: si esegue in modo diverso a seconda del segno e del modulo dei numeri il segno del risultato si calcola separatamente a partire dal confronto dei segni e dei moduli dei due numeri le regole per la somma sono: Segno X Segno Y Confronto Risultato Segno + + X + Y x > Y X - Y X < Y Y - X x > Y X - Y X < Y Y - X X + Y - Condizione di overflow con segno Si ha condizione di overflow nella rappresentazione in complemento a 2 quando: sommando due numeri concordi su n bit risulta che la somma dei moduli di n-1 bit genera un riporto sul bit n 8

9 Aritmetica dei numeri relativi Sottrazione in complemento a 2: considerando X-Y come X+(-Y) ci si riporta al caso di somma Aritmetica dei numeri relativi Sottrazione con segno: si fa riferimento alla seguente tabella Segno X Segno Y Confronto Risultato Segno + + x > Y X - Y X < Y Y - X X + Y X + Y x > Y X - Y X < Y Y - X + 9

10 Aritmetica dei numeri relativi Moltiplicazione con complemento: si ricavano i moduli dei due fattori se il numero è negativo si complementa si moltiplicano i moduli si ricava il segno del risultato secondo la: + x + = + + x - = - x + = - - x - = + se il segno è negativo allora si complementa il risultato Aritmetica dei numeri relativi Moltiplicazione con segno: si moltiplicano i moduli dei due fattori si determina il segno del risultato secondo la: +*+=+ +*-=-*+=- -*-=+ se il segno è negativo allora si assegna 1 al bit di segno, 0 altrimenti 10

11 Cosa sono inumeri frazionari? I numeri frazionari vengono usati per rappresentare i numeri razionali Con i numeri frazionari si possono indicare quantità anche inferiori all unità Sono caratterizzati da un simbolo detto punto frazionario. Si usa il simbolo. per separare la parte frazionaria da quella intera I numeri frazionari In base 10, il peso associato alle cifre a destra del. vale 10 -i In generale dato un numero in base numerica B: c n c n-1 c 1 c 0. c -1 c -2 c -(m-1) c -m dove la cifra c i assume uno di B possibili valori il valore in base decimale è dato da c n *B n +c n-1 *B n-1 + c 1 *B 1 +c 0 *B 0 + c -1 *B -1 +c -2 *B c -m *B -m 11

12 Rappresentazione binaria dei numeri frazionari Gli unici simboli che un elaboratore tratta sono quelli del sistema binario cioè {0,1} per rappresentare il simbolo. si usa una convenzione Rappresentazioni numeri frazionari: rappresentazione fixed-point (virgola fissa) rappresentazione floating-point (virgola mobile) Virgola fissa Si stabilisce convenzionalmente di utilizzare un certo numero di bit per rappresentare la parte intera e il rimanente per la parte frazionaria Ex. Si stabilisce di usare parole di 8 bit di cui 6 per la parte intera e 2 per quella frazionaria 12

13 Esercizio Quale è l intervallo di numeri rappresentabili in virgola fissa utilizzando m bit per la parte intera e n bit per la parte frazionaria per numeri assoluti per numeri relativi in modulo e segno/complemento a 2 Conversione decimale a binario Si considera separatamente la parte intera da quella frazionaria la conversione di quella intera segue l algoritmo già presentato per la parte frazionaria: si moltiplica la parte frazionaria per 2 la parte intera risultante (o 0 o 1) è il bit più significativo si reitera utilizzando solo la parte frazionaria per determinare gli altri bit ci si ferma quando o si ha parte frazionaria nulla o si sono utilizzati tutti i bit a disposizione 13

14 Esempio Conversione di in binario con 5 bit per la parte intera e 5 per la parte frazionaria: 22/2? 0 11/2? 1 5/2? 1 2/2? 0 1/2? x2=0.824? x2=1.648? x2=1.296? x2=0.592? x2=1.184? 1 risultato: Numeri Frazionari Relativi Per rappresentare numeri frazionari relativi si può usare la notazione con segno o con complemento per quella con segno una volta determinata la parte intera del numero gli si attribuisce il bit di segno per quella a complemento a due se il numero è negativo si esegue la complementazione (dell intero numero, compresa cioè la parte frazionaria) 14

15 Virgola mobile Si usa la notazione esponenziale:?m * b e dove m è detto mantissa e e esponente la mantissa per convenzione è un numero in [0,1] la base è 2 si rappresenta come: segno esponente modulo della mantissa dove la rappresentazione dell esponente è con segno o con complemento Virgola mobile Valori caratteristici: segno: 1 bit esponente: 7 bit mantissa: 16 bit Totale: 3 byte 15

16 Forma Normale Dato che un numero in notazione esponenziale ammette più di una rappresentazione se ne sceglie per convenzione una: il modulo ha valore assoluto minore di 1 Pertanto: 234,45=0,23445 x ,00856=0,856 x = x =0.11 x 2-3 Esercizio Calcolare l intervallo dei numeri rappresentabili in virgola mobile impiegando 1 bit per l esponente, m bit per l esponente (rappresentato in modulo e segno) e n bit per la mantissa 16